B. Ruang Sampel dan Titik Sampel - Peluang

(1)

1 Peluang

A. Populasi dan Sampel Definisi

Populasi adalah himpunan semua obyek yang diteliti. Sampel adalah himpunan bagian dari populasi.

Contoh: Dalam rangka menentukan tingkat kecerdasan rata-rata siswa SMP di suatu Kabupaten, diadakan tes kecerdasan di 6 SMP. Tentukan:

a) Populasinya? b) Sampelnya? Jawab:

a) Populasinya = Siswa SMP se-Kabupaten b) Sampelnya = Siswa 6 SMP yang di tes

B. Ruang Sampel dan Titik Sampel Definisi

Ruang Sampel adalah himpunan dari semua percobaan. Titik Sampel adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

 Pada Uang Logam, ada Angka dan Gambar. Jadi, Ruang Sampel sebanyak {2}.

 Pada Dadu, ada 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jadi, Ruang Sampel sebanyak {6}.  Pada Kartu Remi, ada :

{

13 Kartu Sekop ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠 13 Kartu Hati ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠 13 Kartu Keriting ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠

13 Kartu Berlian ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠 Jadi, Ruang Sampel sebanyak {52}.

C. Menentukan Ruang Sampel 1) Diagram Pohon

Contoh: Dua mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan: a) Ruang sampelnya (𝑆)?

b) Banyaknya titik sampel 𝑛(𝑆)? Jawab:

a) Uang Logam 1 Uang Logam 2 Hasil

A AA

A

G AG

A GA

G

(2)

2 𝑆 = {(𝐴𝐴), (𝐴𝐺), (𝐺𝐴), (𝐺𝐺)}

b) 𝑛(𝑆) = 4 2) Tabel

Contoh: Dua mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan: a) Ruang sampelnya (𝑆)?

b) Banyaknya titik sampel 𝑛(𝑆)? Jawab:

a)

𝑆 = {(𝐴𝐴), (𝐴𝐺), (𝐺𝐴), (𝐺𝐺)}

b) 𝑛(𝑆) = 4

D. Peluang Teoritik Suatu Kejadian Tunggal 1) Nilai Peluang

𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆) Keterangan: 𝑃(𝐴) = nilai peluang kejadian 𝐴

𝑛(𝐴) = banyaknya titik sampel kejadian 𝐴 𝑛(𝑆) = banyaknya ruang sampel

2) Kisaran Nilai Peluang

Nilai dari suatu peluang mempunyai kisaran tertentu, yaitu: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

𝑃(𝐴) = 0, berarti suatu kejadian yang tidak mungkin (kemustahilan)

𝑃(𝐴) = 1, berarti suatu kejadian yang pasti (kepastian)

Contoh: Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan peluang mata dadu bilangan prima!

A G

A AA AG

G GA GG

Uang Logam 2

(3)

3 Jawab:

Mata Dadu yang diamati Mata Dadu yang muncul (𝐴) Mata Dadu keseluruhan (𝑆)

1 0 1

2 1 1

3 1 1

4 0 1

5 1 1

6 0 1

Jumlah 𝑛(𝐴) = 3 𝑛(𝑆) = 6

Ruang sampel (𝑆) = {1,2,3,4,5,6} 𝑛(𝑆) = 6

titik sampel bilangan prima (𝐴) = {2,3,5} 𝑛(𝐴) = 3

𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆) = 3

6

= 1

2

3) Peluang Komplemen Definisi

Jika 𝑃 (𝐴𝑐) adalah peluang kejadian selain 𝐴 (Peluang Komplemen) dan 𝑃(𝐴) adalah peluang kejadian 𝐴, maka:

𝑃(𝐴𝑐_{) = 1 − 𝑃(𝐴)}

Contoh: Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan peluang mata dadu bukan bilangan prima!

Jawab:

Ruang sampel (𝑆) = {1,2,3,4,5,6} 𝑛(𝑆) = 6

titik sampel bilangan prima (𝐴) = {2,3,5} 𝑛(𝐴) = 3 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆)

= 3₆ = 1 2

𝑃(𝐴𝑐_{) = 1 − 𝑃(𝐴)}

(4)

4

E. Frekuensi Relatif atau Peluang Empirik Suatu Kejadian Tunggal 1) Nilai Peluang

𝑓𝑟(𝐴) = _𝑛(𝐵)𝑛(𝐴)

Keterangan: 𝑓_𝑟(𝐴) = nilai empirik 𝐴

𝑛(𝐴) = banyaknya titik sampel kejadian 𝐴 𝑛(𝐵) = banyaknya percobaan

2) Kisaran Nilai Peluang

Nilai dari suatu peluang mempunyai kisaran tertentu, yaitu: 0 ≤ 𝑓𝑟(𝐴) ≤ 1

𝑓𝑟(𝐴) = 0, berarti suatu kejadian yang tidak mungkin

(kemustahilan)

𝑓𝑟(𝐴) = 1, berarti suatu kejadian yang pasti (kepastian)

Contoh: Sebuah dadu dilempar 10 kali, tentukan peluang empiriknya! Jawab:

Mata Dadu yang diamati

Mata Dadu yang muncul (𝐴)

Berapa kali Mata Dadu yang muncul (𝐵)

1 1 2

2 1 2

3 1 2

4 1 2

5 1 1

6 1 1

Jumlah 𝑛(𝐴) = 6 𝑛(𝐵) = 10

𝑓_𝑟(𝐴) = 𝑛(𝐴)

𝑛(𝐵)

= 6

10

= 3

5

F. Frekuensi Harapan Definisi

Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada sejumlah percobaan. 𝐹ℎ(𝐴) = 𝑛 ∙ 𝑃(𝐴)

Contoh: Sebuah dadu dilempar 30 kali. Hitunglah Frekuensi Harapan munculnya mata dadu ganjil!

Jawab: 𝑛 = 30

Ruang sampel (𝑆) = {1,2,3,4,5,6} 𝑛(𝑆) = 6

(5)

5 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆)

= 3₆ = 1₂

𝐹ℎ(𝐴) = 𝑛 ∙ 𝑃(𝐴)

= 30 ∙1₂ = 15

G. Peluang Suatu Kejadian Majemuk 1) Operasi Himpunan

a) Irisan Definisi

Irisan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∩ 𝐵! Jawab:

Jadi, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2} b) Gabungan

Definisi

Gabungan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 atau himpunan 𝐵 atau semuanya, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵}.

(6)

6 Jawab:

Jadi, 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}

2) Peluang Kejadian Saling Bebas Definisi

Irisan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵}, maka peluang 𝐴 dan 𝐵 dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)

Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {2, 3, 4, 5}, carilah peluang munculnya kedua mata dadu berangka sama!

Jawab:

Diketahui: 𝐴 = {1, 2} 𝐵 = {2, 3, 4, 5} Ditanya: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)? Jawab: 𝐴 = {1, 2}

𝑛(𝐴) = 2

𝐵 = {2, 3, 4, 5} 𝑛(𝐵) = 4

𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑛(𝑆) = 6

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆) =2₆

(7)

7 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)

=2₆⋅4₆ =₃₆8 =2₉

Jadi, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =2

9

3) Peluang Kejadian Gabungan Definisi

Gabungan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 atau himpunan 𝐵 atau semuanya, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵}, maka peluang 𝐴 dan 𝐵 dikatakan peluang kejadian gabungan jika dan hanya jika

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {2, 3, 4, 5}, carilah peluang kejadian gabungannya!

Jawab:

Diketahui: 𝐴 = {1, 2} 𝐵 = {2, 3, 4, 5} Ditanya: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)? Jawab: 𝐴 = {1, 2}

𝑛(𝐴) = 2

𝐵 = {2, 3, 4, 5} 𝑛(𝐵) = 4

𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑛(𝑆) = 6

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆) =2₆

(8)

8 =4₆

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵) =2₆⋅4₆

=₃₆8 =2₉

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =2₆+4₆−2₉

=12₃₆+24₃₆−₃₆8 =36₃₆−₃₆8 =28₃₆ =7₉

Jadi, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =7

9

4) Peluang Kejadian Saling Lepas 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 0

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {3, 4, 5}, carilah peluang kejadian saling lepas!

Jawab:

Diketahui: 𝐴 = {1, 2} 𝐵 = {3, 4, 5} Ditanya: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)? Jawab: 𝐴 = {1, 2}

(9)

9 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑛(𝑆) = 6

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)_𝑛(𝑆) =2₆

𝑃(𝐵) =𝑛(𝐵)_𝑛(𝑆) =3₆

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =2₆+4₆−2₉ =12₃₆+24₃₆−₃₆8 =36₃₆−₃₆8 =28₃₆ =7₉

Jadi, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =7