3-1 PERSAMAAN LINIER
A. Bentuk umumAx + by = c
Persamaan linier adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu. Bentuk umum :
1. Persamaan linier satu variabel ax + b = 0, suatu konstanta a ≠ 0 dan a,b Є R 2. Persamaan linier dua variabel ax + by + c = 0 dengan a,b,c atau konstanta a ≠ 0,
b ≠ 0, c ≠ 0 dan x, y Є R
3. Persamaan linier tiga variabel ax + by + cz + d = 0 dengan a,b,c,d, suatu konstanta a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 dan x, y,z Є R
Contoh persamaan linier :
1. 3x + 9 = 18, y Є R → persamaan linier satu peubah 2. 2y + 3x – 4 = 0, x,y, Є R → persamaan linier dua peubah 3. 3x + 2y – 6z = 12, x,y,z Є R → persamaan linier tiga peubah
B. Penyelesaian Sistem persamaan linier dan kuadrat 1. Metode eliminasi
Dalam Metode eliminasi kita menghilangkan satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel baru.Untuk mengeliminasi atau menghilangkan satu variabel samakan nilainya kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangi.
Contoh 1:
a. Eliminasi variabel x
(1). 3x + 2y = 60.000 –x 5 15x + 10y =300.000 (2). 5x + y = 65.000 --x3 15x + 3y =195.000
7y = 105.000 y = 15.000 b. Eliminasi variabel y
(1). 3x + 2y = 60.000 –x 1 3x + 2y =60.000 (2). 5x + y = 65.000 --x2 10x + 2y =130.000
didapat hasil x = 10.000 dan y = 15.000
2. Metode subtitusi
Dalam Metode subtitusi suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain dari suatu persamaan selanjutnya variabel ini digunakan untuk mengganti variabel yang sama dalam persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu variabel
Contoh:
Dari persamaan : 5x + y = 65.000 y = 65.000 – 5x
substitusikan y = 65.000 – 5x ke persamaan 3x + 2y = 60.000 diperoleh 3x + 2.( 65.000 – 5x ) = 60.000
3x + 130.000 – 10x = 60.000 -7x + 130.000 = 60.000 -7x = -70.000
x = 10.000
Selanjutnya nilai x = 10.000 substitusikan ke persamaan y = 65.000 – 5x y = 65.000 –5 ( 10.000 )
y = 65.000 – 50.000 y = 15.000
didapat x = 10.000 dan y = 15.000
3. Metode gabungan eliminasi dan sustitusi
Dalam metode ini nilai satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi . Kemudian nilai variabel ini disustitusikan kedalam salah satu persamaan sehingga diperoleh variabel lainnya
(1). 3x + 2y = 60.000 –x 1 3x + 2y =60.000 (2). 5x + y = 65.000 --x2 10x + 2y =130.000
50.000 + y = 65.000 y = 15.000
didapat x = 10.000 dan y = 15.000
3-1-1 Persamaan Linear Satu Variable
Dalam matematika dikenal istilah pernyataan, yaitu kalimat benar dan kalimat salah.
Contoh : - Hasil kali 2 dan 5 adalah 10 merupakan kalimat benar
- Jumlah dua bilangan ganjil selalu merupakan bilangan ganjil
Kalimat diatas merupakan kalimat salah, karena jumlah dua bilangan ganjil selalu merupakan bilangan genap misal 3 + 7 =10.
Dalam matematika pun terdapat istilah kalimat terbuka, yaitu kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya.Pada kalimat terbuka terdaapat peubah atau variable yang dapat diganti oleh sembarang bilangan, sehingga menjadi kalimat benar atau kalimat salah.
Contoh : x - 4 = 8 adalah kalmat terbuka x disebut peubah / variable. Jika x diganti dengan 10, maka kalimatterbuka tersebut menjadi kalimat benar. 10 disebut konstanta ( pengganti dari peubah/ variable )
Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan disebut persamaan. Persamaan yang hanya memiliki satu peubah ( varable ) disebut persamaan dengan satu variable. Jika peubah ( variable )nya berpangkat 1, maka dnamakan persamaan linear satu.
Contoh :
Selesaikan 2y + 9 = 5y + 7, x Є Jawab :
2y – 5y = 7 – 9 -3y = -2
Jadi, Persamaan linear satu variable adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan, dan hanya memiliki satu variable berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variable adalah :
ax + b = c, dengan a ≠ 1 x disebut variable ( peubah ).
3-1-1-1 Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variable ( PLSV )
Penyelesaian sebuah persamaan linear satu variable adalah sebuah bilangan yang menggantikanvariable sehingga memenuhi persamaan tersebut. Untuk menyelesaikan sebuah persamaan linear satu variable, dapat digunakan beberapa aturan dari PSLV, yaitu
a. Aturan Penambahan
Suatu PLSV akan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan ditambah oleh bilangan yang sama.
b. Aturan Pengurangan
Suatu PLSV akan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan dikurangi oleh bilangan yang sama
CONTOH
Cari penyelesaian dari persamaan x - 4 = 5 Jawab :
Untuk mengelompokan antara variable dan konstanta maka ruas kiri dan kanan ditambah dengan 4 sehingga menjadi x - 4 + 4 = 5 + 4 → x + 0 = 9 → x = 9
CONTOH
Cari penyelesaian dari persamaan x + 5 =8
c. Aturan Pembagian
Suatu PLSV akan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan dibagi oleh bilangan yang sama
d. Aturan Perkalian
Suatu PLSV akan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan dikalikan oleh bilangan yang sama.
Himpunan penyelesaian dari penyelesaian - penyelesaian persamaan disebut himpunan penyelesaian. Misalkan : pada persamaan 3x = 9, penyelesaiannya adalah x = 3. Maka himpunan penyelesaiannya adala { 3 } atau ditulis HP ={3}
3-1-2 Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel
3-1-2-1 Persamaan Linear dengan Dua Variabel serta penyelesaiannya
Bentuk umum persamaan linear dengan dua variable dalam x dan y dapat dituliskan sebagai berikut:
CONTOH
Cari penyelesaian dari persamaan 3x =18 Jawab :
Untuk mengelompokan antara variable dan konstanta maka ruas kiri dan kanan dibagi dengan3 sehingga menjadi
CONTOH
Cari penyelesaian dari persamaan Jawab :
Ax + by = c, dengan a, b dan c bilangan riil Contohnya :
a) 2x + 3y = 12 b) 5x – 2y = 7 c) X + y = -6
Bila x = p dan y = q, sedemikian hingga persamaan ax + by = c, menjadi ap + bq = c, merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka (p, q) disebut penyelesaian dari ax + by = c
Pasangan berurutan (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), merupakan penyelesaian, sedangkan (5,-1) bukan penyelesaian karena y = -1 bukan bilangan cacah. Jadi himpunan penyelesaian dari x + y = 4 adalah , secara geometris, grafik himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4 dengan x dan y bilangan cacah adalah koordinat titik-titik pada bilangan cartesius (gambar 3.2). sedangkan bila x dan y bilangan riil, maka grafik himpunan penyelesaiannya berupa garis lurus.
CONTOH
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4, untuk x dan y bilangan cacah !
Jawab : X + y = 4
X = 0, maka y = 4 X = 1, maka y = 3 X = 2, maka y = 2 X = 3, maka y = 1 X = 4, maka y = 0
3-1-2-1 Sistem persamaan linear dan linear dengan dua variable.
Cara menentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan dua variabel adalah sebagai berikut :
a) Metode Eliminasi
Mengeliminasi artinya menghilangkan sementara / menyembunyikan salah satu variabel menjadi hanya satu variabel dan dalam system persamaannya dapat diselesaikan. Cara menghilangkan sementara salah satu variabel adalah dengan menyamakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan kemudian dikurangkan. Apabila tanda koefisien sama atau dijumlahkan, apabila tanda koefisien berlawanan. Untuk menyamakan koefisien, masing-masingpersamaan linearnya dikalikan dengan bilangan sesuai dengan kebutuhannya..
b) Metode Subsitusi
Metode subsitusi dilakukan dengan menggunkan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengubah salah satu variabel menjadi fungsi terhadap variabel lainnya pada salah satu persamaan.
2. Variabel yang sudah menjadi fungsi disubsitusikan ke persamaan lainnya
c) Metode gabungan eliminasi dan Subsitusi
Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi salah satu variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubsitusikan hasil dari eliminasi tersebut :
3-1-3 Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Tiga Variabel
Bentuk umum dari persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dalam x,y, dan z adalah sebagai berikut : ax2+ by + cz = d
, , , , , , , , , bilangan riil. Seperti pada system persamaab linear dan linear dengan dua variabel, himpunan penyelesaian, himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dapat diperoleh dengan menggunkan metode :
b. Subsitusi
c. Gabungan Eliminasi dan Subsitusi)
3-2 SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT
Bentuk umum system persamaan linear dan kuadrat sebagai berikut y = ax + b ……….bentuk linear
y = …………...bentuk kuadrat
dengan a, b, p, q, r, x dan y adalah bilangan riil.
Grafik dari persamaan linear dan fungsi kuadrat berturut-turut berupa garis lurus dan parabola. Titik potong garis dan parabola merupakan penyelesaian dari system persamaan linear dan kuadrat tersebut. Subsitusikan y = ax + b ke y = . = ax + b
Adalah bentuk persamaan kuadrat dengan diskriminan D Jadi ada 3 kemungkinan himpunan penyelesaiannya, yaitu :
1. Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2. JIka D = 0, maka garis dan parabola berpotongan disatu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
3. Jika D<0, maka garis dan parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan kuadrat dapat menggunakan metode subsitusi
Deskriminannya adalah
1. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya.
2. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan disatu titik (bersinggungan) yang merupakan himpunan penyelesaiaannya.
4. Jika a = p dan b q, maka kedua parabola berpotongan disatu titik yang merupakan himpunan penyelesaiaannya.
5. Jika a = p, b = q, dan , maka kedua parabola tidak berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya atau,
6. Jika a = p, b = q, dan c = r, maka kedua pokok parabola berimpit sehingga anggota himpunan penyelesaiannya tak berhingga banyaknya.
Latihan Soal Bab 3
2. Jumlah tiga bilangan adalah 7. Jika bilangan pertama adalah dua kali bilangan kedua dan bilangan ketiga dua kali bilangan pertama, maka salah satu
bilangan tersebut adalah ……. ( dalam tahun ). Jika pada tahun 2006 usia anak itu sepertiga usia ibunya, maka tahun lahir anak tersebut…..
a. 1988
b. 1990
c. 1992
d. 1994
e. 1996
a. 14 b. 28
c. 70 d. 84
e. 126
5. Vera membeli sebuah sikat gigi dan tiga buah sabun mandi dengan harga Rp.7.900,00. Sedangkan Tyas membeli sikat gigi dan sabun mandi masing-masing dua buah dengan harga Rp. 8.600. Harga sebuah sikat gigi adalah…..
a. Rp. 2.500,00
b. Rp. 2.000,00
c. Rp. 1.800,00
d. Rp. 1500,00
