Matriks Inversi Dan Sifat2nya

MATRIKS INVERSI &

MATRIKS INVERSI & SIFAT-SIFATNYASIFAT-SIFATNYA

Bila

Bila adalah adalah skalar skalar bilangan bilangan real real yang yang memenuhi memenuhi ,,

maka apabila maka apabila b b  x  x a a ,,,, a a  x  x

=

=

b b ax ax

=

=

b b 1 1 − − 0 0

≠

≠

a a ..

Sekarang, untuk sistem persamaan linier 

Sekarang, untuk sistem persamaan linier 

 A

 A

 x

 x

=

=

b

b

apakah solusiapakah solusi  x x dapat diselesaikan dengan

dapat diselesaikan dengan

 x

 x

=

=

 A

 A

−−11

b

b

??

Matriks Identitas Matriks Identitas Untuk

Untuk skalar skalar

a

a

((real number real number dandan

a

a

≠

≠

0

0

), ), maka maka aa−−11aa

=

=

aaaa−−11

=

=

11.. Untuk

Untuk matriks matriks ((n x nn x n), apabila), apabila

 A

 A

mempunyaimempunyai −−11, maka, maka

n n

 I 

 I 

=

=

 A

 A

 A

 A

 AA

 AA

−−11

=

=

−−11 Matriks

Matriks identitas identitas didefinisikan didefinisikan sebagai sebagai matriks matriks ((n x nn x n) sebagai) sebagai  berikut:  berikut: n n  I   I                  = = 1 1 0 0 0 0 0 0 :: :: :: :: 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 n n  I   I        = = 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2  I   I  _;;           = = 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 3 3  I   I 

TEOREMA 12 TEOREMA 12

Bila

Bila

 B

 B

adalah adalah matriks matriks ((m x nm x n),), maka

maka I  I mm B B

=

=

 B Bdandan  BI  BI nn

=

=

 B B..

Demikian pula, bila

Demikian pula, bila

 A

 A

adalah matriks (n x n),adalah matriks (n x n), maka

maka  I  I nn A A

=

=

 AI  AI nn

=

=

 A A n

n

 I 

 I 

 _{pada dasarnya adalah pada dasarnya adalah} I  I _nn

=

=

[ [

ll₁₁ ll₂₂

...

...

llnn

]]

                = = 0 0 :: 0 0 0 0 1 1 1 1 l l                 = = 0 0 :: 0 0 1 1 0 0 2 2 l l                 = = 1 1 :: 0 0 0 0 0 0 n n l l Matriks Inversi Matriks Inversi Definisi 12 Definisi 12 Sebuah

Sebuah matriks matriks  B B ((n x nn x n_{) adalah invers dari matriks) adalah invers dari matriks ((}n x nn x n₎₎

 jika

Contoh:













=

4 3 2 1  A

_











−

−

=

2 1 2 3 1 2  B

Tunjukkan bahwa matriks  A2×2berikut ini tidak memiliki invers.













=

6 3 2 1  A  Jawab: Katakanlah













=

=

− d  c b a  B  A 1













=













+

+

+

+

=

=

























=

1 0 0 1 6 3 6 3 2 2 6 3 2 1 2 d  b c a d  b c a  I  d  c b a  AB sehingga a

+

2c

=

1 dan 3a

+

6c

=

0

tidak ada solusi

⇒

TEOREMA 13

Bila

 B

dan

C 

adalah invers dari matriks

 A

, maka  B

=

C .

Bila matriks mempunyai invers, maka inversnya adalah unik.

Formula sederhana untuk menghitung invers matriks (2x2):

Matriks  A2×2 sebagai berikut:



_









=

d  c b a  A

 bila

∆

=

ad 

−

bc

maka

a. jika

∆

=

0

, maka tidak mempunyai invers

 b. jika

∆

≠

0

, maka mempunyai invers sebagai berikut:













−

−

∆

=

− a c b d   A 1 1













−

−

∆

⋅













=

− a c b d  d  c b a  AA 1 1













−

−

∆

=

bc ad  bc ad  0 0 1       = 1 0 0 1

Contoh:













=

4 3 8 6  A

_











=

5 3 7 1  B  Jawab: Matriks A:

∆

_{= 4(6) – 3(8) = 24 – 24 = 0}

Matriks A tidak mempunyai invers, sebab

∆

=

0

Matriks B: 16 ) 3 ( 7 ) 5 ( 1

−

=

−

=

∆

_,

maka B mempunyai invers yaitu:













−

−

=

− 1 3 7 5 16 1 1  B _.

SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS

TEOREMA 14

dan

 B

adalah matriks (n x n) yang keduanya mempunyai invers, maka:

1. −1 mempunyai sebuah invers, dan

( )

 A

=

 A

− −₁ 1

2.  B mempunyai invers, dan

( )

 AB −1

=

 B−1 A−1

3. Bila

k 

adalah scalar tak nol, maka

kA

mempunyai sebuah invers, dan

( )

−1

=

1 A−1

k  kA

4. T mempunyai invers, dan

( ) ( )

 AT  −1

=

 A−1 T  Contoh:

A dan B adalah matriks-matriks (2x2) sebagai berikut:













=

4 2 3 1  A

_











−

−

=

1 1 2 3  B

a. Gunakan formula sederhana untuk menghitung −1, B−1,

( )

 AB −1  b. Gunakan teorema 14 untuk menghitung

( )

 AB −1

INVERS MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER 

TEOREMA 15 b

 x

 A

=

adalah sebuah sistem persamaan linier (n x n), dan anggap mempunyai invers. Maka sistem tersebut mempunyai solusi yang unik yakni:

 x

=

 A

−1

b

Contoh:

Tentukan solusi SPL sebagai berikut: 1 3 ₂ 1

+

 x

=

−

 x 2 4 2 x₁

+

 x₂

=

 Jawab: Matriks koefisien













=

4 2 3 1  A _;

_











−

−

=

− 2 1 1 2 3 2 1  A maka:













−

=











−













−

−

=













2 5 2 1 2 1 1 2 3 2 2 1  x  x

5

1

=

 x

_dan  x₂

=

−

2

Catatan:

•

 _A x

=

_{b mempunyai solusi}  x

=

 A−1b hanya bila merupakan matriks bujur sangkar dan mempunyai invers.

•

_{Meskipun demikian, meski mempunyai invers,}

mereduksi matriks yang diperbesar 

 A

b

1

−

adalah lebih efisien dibandingkan dengan menghitung .

•

_{Dari sudut pandang komputasi, metode eliminasi Gauss}

lebih disukai untuk memecahkan sistem persamaan linier  b

 x

MENENTUKAN INVERS

DARI SEBUAH MATRIKS TAK SINGULAR 

TEOREMA 16

Bila (n x n) adalah sebuah matriks tak singular, maka ada sebuah matriks B (n x n) sedemikian rupa sehingga

 B

=

 I 

.

Contoh:

Sebuah matriks (3 x 3) sebagai berikut:





















−

−

−

−

=

2 5 1 1 5 2 1 3 1  A

Perlihatkan bahwa tak singular dan tentukan matriks B (3 x 3) sedemikian rupa sehingga  B

=

 I .

 Jawab:

SPL homogen  _A x

=

θ  _{mempunyai matriks yang diperbesar} 

[ ]

          − − − − = 0 2 5 1 0 1 5 2 0 1 3 1 θ   A _,

 bila direduksi ke dalam bentuk eselon, diperoleh

          − − = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 3 1 C 

Æ SPL homogen tersebut mempunyai solusi trivial, maka adalah matriks tak singular, sehingga  A x

=

b akan mempunyai solusi yang unik untuk setiap vektor b (3 x 1).

Matriks Identitas I (3 x 3)

[

1 2 3

]

1 0 0 0 1 0 0 0 1 l l l =           =  I  matriks

[

1 2 3

]

33 32 31 23 22 21 13 12 11  x  x  x b b b b b b b b b  B

=





















=

Dengan demikian:

 A

 x

1

=

l1,

 A

 x

2

=

l2 ,  A x3

=

l3 akan juga

Persamaan linier 

 A

 x

1

=

l1 mempunyai matriks yang diperbesar  sebagai berikut:

[ ]

          − − − − = 0 2 5 1 0 1 5 2 1 1 3 1 1 l  A Bentuk eselon:           − − 5 1 0 0 2 1 1 0 1 1 3 1 5 1 =  x ,  x₂ =−3,  x₃ = −5 maka           − − = 5 3 5 1 b _,

dengan cara yang sama diperoleh

          − − = 2 1 1 2 b _dan          − = 1 1 2 3 b _.

Dengan demikian, matriks B (invers dari matriks A):

[

]





















−

−

−

−

−

=

=

1 2 5 1 1 3 2 1 5 , , 2 3 1 b b b  B check!           =           − − − − −           − − − − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 5 1 1 3 2 1 5 2 5 1 1 5 2 1 3 1

TEOREMA 17

Bila dan adalah matriks (n x n) sedemikian rupa sehingga

 I 

 B

=

, maka

 A

=

 I 

. Dalam hal ini

=

−1

TEOREMA 18

Sebuah matriks (n x n) mempunyai invers, jika dan hanya jika tak singular.

TEOREMA 19

adalah matriks (n x n). Berikut ini berlaku:

1. tak singular, yaitu _x

=

θ  _{hanya merupakan solusi  A x}

=

θ 

2. Vektor-vektor kolom matriks tak bergantungan linier. 3.  A x

=

b selalu mempunyai solusi

 x

yang unik.

Cara lain menghitung invers matriks

Sebagai ilustrasi, misalkan (3x3) sebuah matriks tak singular  yang sebelumnya telah dijelaskan.

1

−

sebagai matriks  B

=

b1 b2 b3 .

Dalam hal ini b1,b2,b3 adalah solusi tunggal dari 3 SPL berikut: 1 1

=

l

b

 A

2 2

=

l

b

 A

2 2

=

l b  A

Dari 3 kali melakukan reduksi membentuk matriks eselon,

Æ sekarang cukup satu kali:

3 2 1 l l l

 A

→ _{matriks (3x6)}

[ ] [ ]

_→

_→

−1

 A

 I 

 B

 I 

 I 

 A

Contoh:





















−

=

10 1 1 4 5 2 3 2 1  A

[

 A

]

=

[ ]

 A I 





















−

=

1 0 0 10 1 1 0 1 0 4 5 2 0 0 1 3 2 1 3 2 1 l l l 1 3 1 2 2 R , R  R  R − −           − − − − 1 0 1 7 3 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 3 2 1 2 3 3 R  R + _{Æ bentuk eselon}           − − − 1 3 7 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 3 2 1 3 2 3 1 3 R , R 2 R  R − +           − − − − 1 3 7 1 0 0 2 7 16 0 1 0 3 9 22 0 2 1 2 1 2 R  R − =

[ ]

 I  B           − − − − 1 3 7 1 0 0 2 7 16 0 1 0 7 23 54 0 0 1           − − − − = = → − 1 3 7 2 7 16 7 23 54 1  A  B

DETERMINAN

Didefinisikan hanya untuk matriks bujur sangkar 

Definisi 1

) (a_ij

 A

=

_{adalah matriks (2x2).}

Determinan

 A

adalah: det( A)

=

a₁₁a₂₂

−

a₁₂a₂₁

notasi: 22 21 12 11 ) det( a a a a  A

=

Contoh:

Tentukan determinan matriks-matriks sebagai berikut:













−

=

3 1 2 1  A

_











=

8 6 4 3  B  Jawab: 5 2 3 3 1 2 1 ) det( = + = − =  A 0 24 24 8 6 4 3 ) det( B = = − =

Definisi 1a

 A

adalah matriks (3x3). Determinan adalah

32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 ) det( a a a a a a a a a a a a a a a  A

=

−

+

Definisi 2 ) (a_ij

 A

=

_{adalah matriks (n x n).}

 M 

_{rs adalah matriks (n-1)x(n-1)}

yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-r dan kolom ke-s. Matriks

 M 

rs dikatakan sebagai matriks minor dari matriks . Selanjutnya: ) det( ) 1 ( i  j _ij ij  M 

 A

=

−

+ _{yang dikatakan sebagai kofaktor.}

Contoh:

Tentukan minor matriks-matriks , dan untuk  matriks 11

 M 

 M ₂₃

 M 

₃₂ sebagai berikut:           − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1  A

 Jawab: 11

 M  diperoleh dengan menghilangkan baris 1 dan kolom 1 pada matriks A:           − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1  A _diperoleh

_

_,











−

=

1 5 3 3 11  M 

dengan cara yang sama:

          − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1  A _diperoleh

_











−

=

5 4 1 1 23  M            − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1  A _diperoleh

_











−

=

3 2 2 1 32  M  Kofaktor: 18 5 . 3 1 . 3 det ) 1 ( 1 1 ₁₁ 11

=

−

=

+

=

+  M   A

9

)

4

.

1

5

.

1

(

1

det

)

1

(

2 3 ₂₃ 23

=

−

=

−

+

=

−

+

 M 

 A

7 ) 4 3 ( 1 det ) 1 ( 3 2 ₃₂ 32

=

−

=

−

−

−

=

+  M   A

Definisi 3

) (a_ij

 A

=

_{adalah matriks (n x n).}

Determinan adalah: det( A) = a11 A11 −a12 A12 +...+ a1n A1n

dimana  Aij adalah kofaktor aij , 1

≤

 j

≤

n.

Contoh:

Hitung determinan matriks sebagai berikut:

          − = 1 0 4 3 1 2 1 2 3  A  Jawab: 13 13 12 12 11 11 )

det( A

=

a  A

+

a  A

+

a  A

0 4 1 2 1 1 4 3 2 2 1 0 3 1 3 − − − + = 29 ) 4 ( 1 ) 14 ( 2 ) 1 ( 3 − + − = − =

Contoh:

Hitung determinan matriks sebagai berikut:

            − − − − − = 1 2 3 2 0 1 2 3 1 3 2 1 2 0 2 1  A  Jawab: 14 12 11 14 14 13 13 12 12 11 11 2 2 )

det( A = a  A +a  A +a  A +a  A = A +  A +  A

15 2 3 1 2 1 1 3 0 2 3 1 2 0 1 2 1 2 3 0 1 2 1 3 2 11 _{− −} = − − + − − − − = − − − =  A 18 1 2 2 0 1 3 1 3 1 12 = − − − − − =  A 2 3 2 1 2 3 3 2 1 14 − − − − =  A 63 12 36 15 2 2 )

Soal :

Hitung determinan matriks segitiga bawah sebagai berikut:

            = 1 5 4 1 0 2 3 2 0 0 2 1 0 0 0 3 T   solusi: 14 14 13 13 12 12 11 11 ) det(T 

=

t  T 

+

t  T 

+

t  T 

+

t  T  karena t 12

=

t 13

=

t 14

=

0, maka 12 1 2 2 3 1 5 0 2 2 3 1 5 4 0 2 3 0 0 2 3 ) det(T  =t ₁₁T ₁₁ = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

TEOREMA 1 )

(t _ij

T 

=

_{adalah matriks segitiga bawah (n x n). Maka,} nn t  t  t  t 

⋅

⋅

T )

=

₁₁

⋅

₂₂

⋅

₃₃ ... det( Contoh: n

 I  _{adalah matriks identitas (n x n). Hitung determinan}  I _n.

 Jawab:

Karena

 I 

dapat dikatakan sebagai matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen diagonal = 1, maka:

1 1 ... 1 1 1 ) det( I 

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

OPERASI ELEMENTER DAN DETERMINAN

TEOREMA 2

Bila

 A

adalah matriks (n x n), maka det( AT )

=

det( A).

TEOREMA 3

[

 A  A  An

]

 A

=

1 2 ... adalah matriks (n x n). Bila

 B

diperoleh dari melalui pertukaran 2 kolom atau 2 baris, maka:

) det( )

Contoh:

Tentukan determinan dari matriks-matriks sebagai berikut:





















=

3 2 1 4 0 2 1 3 1  A           = 3 1 2 4 2 0 1 1 3  B           = 2 3 1 0 4 2 3 1 1 C 





















=

2 1 3 0 2 4 3 1 1  F 

Dalam hal ini

3 2

1  A  A

 A

 A

=

 B

=

 A2  A1  A3

[

 A1  A3  A2

]

C 

=

 F 

=

[

 A3  A1  A2

]

10 ) det( A

=

10 ) det( ) det( ) det( B

=

C 

=

−

 A

=

+

2 1 3 3 1

2  A  A  F   A  A  A

 A G  A

→

=

→

=

maka, ) det( ) det(G = −  A

dan det( F ) = −det(G) , selanjutnya

[

det( )

]

det( ) 10 )

det( )

TEOREMA 4

Bila

 A

adalah matriks (n x n), dan bila

 B

adalah matriks (n x n) yang diperoleh dengan mengalikan kolom ke- j (atau baris ke- j) matriks dengan sebuah skalar c, maka:

) det( ) det( B

=

c  A contoh:













=

22 21 12 11 a a a a  A

_











=

22 21 12 11 ' a ca a ca  A

_











=

22 21 12 11 '' ca a ca a  A

)

det(

)

(

)

det(

 A

'

=

ca

₁₁

⋅

a

₂₂

−

ca

₂₁

⋅

a

₁₂

=

c

a

₁₁

a

₂₂

−

a

₂₁

a

₁₂

=

c

⋅

 A

) det( )

( )

TEOREMA 4 a.

adalah matriks (n x n) dan c adalah sebuah skalar, maka: )

det( )

det(cA

=

cn  A

Contoh:

Hitung determinan (3A)













=

1 4 2 1  A  Jawab: 7 ) det( A

=

−

63 7 3 ) det(cA

=

2

⋅

=

−

check:       = 3 12 6 3 3 A 63 72 9 ) 3 det(  A

=

−

=

−

Microsoft Equation 3.0