A-144
PENERAPAN FUZZY MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PADA PERENCANAAN AGREGAT PRODUKSI
Sartin
Jurusan Teknik Industri, Unuversitas Pembangunan Nasional “Veteran” Jawa Timur ABSTRAK
Perencanaan agregat produksi merupakan kegiatan perencanaan mengenai pegawai, bahan baku, mesin, dan modal yang diperlukan untuk memproduksi produk pada suatu periode tertentu di masa depan sesuai dengan estimasi permintaan pasar. Kegiatan ini dilakukan sebelum melaksanakan proses produksi untuk menghindari adanya kelebihan produk yang dapat mengakibatkan banyaknya produk yang menumpuk di gudang yang pada akhirnya dapat mengakibatkan pemborosan atau kerugian. Perencanaan agregat produksi juga bertujuan untuk mengendalikan komponen-komponen dalam proses produksi seperti kebutuhan jumlah pegawai, bahan, modal, peralatan dan persediaan produk. Penelitian ini mengembangkan model fuzzy multi objective linear programming yang merupakan modifikasi dari model multi objective linear programming untuk menyelesaikan permasalahan perencanaan agregat produksi dengan tiga fungsi objektif fuzzy yaitu meminimumkan total biaya produksi, biaya penyimpanan produk dan backorder, serta perubahan tingkat pegawai yang didasarkan pada jumlah persediaan, jumlah pegawai, kapasitas mesin, luas gudang dan faktor peningkatan pada masing-masing biaya. Model yang dikembangkan, melibatkan pengambil keputusan dalam menentukan nilai optimal yang dinginkan dari model dengan menggunakan fungsi keanggotaan piecewise linear. Hasil dari permasalahan diperoleh nilai L=0,9644738 dengan nilai masing-masing fungsi objektif zx = 1.396.389.628 , z2 = 14.564.175 dan z3 = - 2027,8 dan nilai
fungsi keanggotaan masing-masing fungsi objektif µ(z1) = 0,96754, µ(z2) = 0,93919 dan µ (z3) = 0,94571.
Kata kunci : Perencanaan Agregat Produksi, Fungsi Keanggotaan Piecewise Linear, Fuzzy Multi Objective Linear Programming
ABSTRACT
Aggregate production planning is the planning activities of employees, raw materials, machinery, and capital required to manufacture products in a given period in the future according to with the estimated market demand. This activity is carried out before carrying out the production process to avoid any excess product that may result in many products that accumulate in the warehouse that could eventually lead to wastage or loss. Aggregate production plan also aims to control the components in the production process such as the need for staffing, materials, capital, equipment and product inventory. This Research is to develop a model multi-objective fuzzy linear programming which is a modification of multi-objective linear programming model to solve the aggregate production planning problems with three fuzzy objective function is minimizing the total cost of production, product storage and backorder costs, and changes in levels of employees based on the number of inventory, staffing, capacity engine, spacious warehouse and enhancement factor on each charge. The model was developed, involving decision-makers in determining the optimal value of the chill of the model using piecewise linear membership functions. The results of the problem obtained value of L = 0.9644738 with the value of each objective function zx = 1,396,389,628, 14,564,175 and z2 = z3 = - 2027.8 and the value of membership function of each objective function µ (z1) = 0 , 96 754, µ (z2) = 0.93919 and µ (z3) = 0.94571.
Keywords: Aggregate Production Planning, piecewise Linear Membership Functions, Fuzzy Multiple Objective Linear Programming
PENDAHULUAN
Proses produksi merupakan bagian pokok dalam setiap perusahaan karena mencakup aktivitas untuk menciptakan nilai tambah suatu produk, sehingga produk yang dihasilkan dapat sesuai dengan keinginan pasar. Sebelum melaksanakan proses produksi, setiap perusahaan baik perusahaan kecil maupun besar perlu melakukan perencanaan agregat produksi karena dengan adanya perencanaan agregat produksi yang baik, diharapkan nantinya aktivitas produksi dapat berjalan dengan efektif dan efisien sehingga dapat mencapai tujuan perusahaan.
Perencanaan agregat produksi adalah perencanaan dan pengorganisasian mengenai pegawai, bahan baku, mesin, dan modal yang diperlukan untuk memproduksi produk pada suatu periode tertentu di masa depan sesuai dengan yang diprediksikan. Oleh karena itu, diperlukan pertimbangan dan ketelitian yang terperinci dengan memperhatikan faktor intern dan ekstern. Faktor intern adalah faktor
yang datang dari dalam perusahaan seperti mesin, pegawai, serta bahan yang digunakan. Sedangkan faktor ekstern adalah faktor yang datang dari luar perusahaan seperti inflasi, kebijakan dari pemerintah, keadaan politik, sosial, ekonomi, dan keadaan yang lainnya.
Estimasi permintaan pasar dijadikan dasar dalam penyusunan perencanaan agregat produksi. Hal itu dilakukan untuk menghindari adanya kelebihan produk yang dapat mengakibatkan banyaknya produk yang menumpuk di gudang, yang pada akhirnya dapat mengakibatkan pemborosan atau kerugian bagi perusahaan. Selain itu, dengan perencanaan agregat produksi, semua komponen yang berhubungan dengan aktivitas produksi dapat dikendalikan, seperti jumlah produk yang diproduksi, serta kebutuhan jumlah pegawai, bahan, peralatan, modal, dan persediaan produk.
Penelitian ini melakukan penelitian terhadap permasalahan perencanaan agregat produksi dengan tiga tujuan (objective) yaitu meminimumkan biaya produksi, biaya penyimpanan produk dan
backorder, serta tingkat perubahan pegawai yang didasarkan pada jumlah persediaan, jumlah pegawai,
kapasitas mesin, luas gudang, dan faktor peningkatan pada masing-masing biaya. Akan tetapi, penentuan nilai optimal dari masing-masing tujuan ditentukan oleh pengambil keputusan, sehingga tujuan dari permasalahan perencanaan agregat produksi dalam Penelitian ini menjadi samar (fuzzy).
Permasalahan perencanaan agregat produksi dengan tiga tujuan fuzzy dalam Penelitian ini diselesaikan dengan menggunakan fuzzy multi objective linear programming.
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan yang muncul pada Penelitian, adalah:
1. Bagaimana membentuk MOLP (Multi Objective Linear Programming) pada permasalahan
perencanaan agregat produksi dengan tiga tujuan.
2. Bagaimana memodifikasi MOLP yang telah terbentuk menjadi FMOLP (Fuzzy Multi Objective Linear Programming).
3. Bagaimana mendapatkan nilai optimal dari FMOLP.
Tujuan dari Penelitian adalah :
1. Mendapatkan bentuk FMOLP yang merupakan modifikasi dari MOLP pada
perencanaan agregat produksi dengan tiga tujuan.
2. Mendapatkan nilai optimal dari FMOLP.
Perencanaan agregat produksi merupakan salah satu cara yang dapat dilakukan perusahaan untuk menyesuaikan antara sumber daya yang dimiliki perusahaan dengan estimasi permintaan pasar selama beberapa periode yang akan datang. Tujuan dari perencanaan agregat produksi adalah menentukan kapasitas produksi untuk memenuhi estimasi permintaan pasar pada beberapa periode yang akan datang dan menentukan keputusan serta kebijakan mengenai kerja lembur, backorder, subkontrak, tingkat persediaan, mempekerjakan dan memberhentikan sementara pegawai. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perencanaan agregat produksi, salah satunya adalah menggunakan program linear.
Sistem Fuzzy, himpunan dapat dipandang secara sederhana sebagai koleksi objek-objek. Objek-objek tersebut dapat berupa bilangan, nama-nama orang, warna dan Iain-lain. Pengertian himpunan tersebut merupakan pengertian himpunan crisp yang hanya mempunyai dua arti yaitu anggota dan bukan anggota. Zadeh pada tahun 1965, mengembangkan konsep fuzzy yang merupakan perluasan dari konsep crisp dimana konsep fuzzy dapat menggambarkan situasi yang sebenarnya. Himpunan crisp
mempunyai batas keanggotaan yang jelas, sedangkan batas keanggotaan pada himpunan fuzzy tidak jelas (kabur). Jika diberikan semesta^, maka himpunan fuzzy A dalam X dapat ditulis à yang didefinisikan : à = {(x,µÃ (x)|x X}
dengan µÃ : x → [0,1] merupakan fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzyA.
Konsep fuzzy juga mengenal himpunan level-α atau α — cut yang merupakan himpunan crisp
dengan elemen-elemen himpunan fuzzy à dengan derajat keanggotaan sekurang-kurangnya a, yang ditulis dengan : Ãα = {( xX | µÃ (x) > α}, α [0,1]
Pengambilan keputusan pada fuzzy, Bellman dan Zadeh mengemukakan tiga konsep dasar pada tahun 1970, yaitu goal fuzzy, batasan fuzzy dan keputusan fuzzy serta menjelaskan aplikasi dari konsep-konsep tersebut terhadap pengambilan keputusan pada^uzzy.
Diberikan X adalah himpunan penyelesaian yang mungkin dari permasalahan pengambilan keputusan pada fuzzy dan goal fuzzy G adalah himpunan fuzzy dalam X , maka fungsi keanggotaan goal
fuzzy G didefinisikan : µG ; X → [0,1]
A-146
fuzzyC didefinisikan : µC ; X → [0,1]
dikarenakan goal fuzzy G dan batasan fuzzy C harus dipenuhi secara bersamaan, maka Belhnan dan Zadeh kemudian mendefinisikan keputusan fuzzy D yang merupakan hasil irisan antara goal fuzzy G dan batasan fuzzy C .
Keputusan fuzzy DBellman dan Zadeh adalah himpunan fuzzy D dalam X yang didefinisikan dengan : = G C
dan fungsi keanggotaannya menjadi :
D
x min
G
x ,
C
x
fungsi keanggotaan keputusan fuzzy D kemudian dimaksimumkan karena semakin maksimum maka semakin mendekati crisp, sehingga diperoleh : maks (x) maksmin (x), (x)
C G X x D X x ….. (1) Secara umum, apabila diberikan k goal fuzzy dan m batasan fuzzy, maka keputusan fuzzy D
didefinisikan dengan:
D
G
1
...
G
k
C
1
...
C
mfungsi keanggotaan maksimum yang didefinisikan :
( ),..., ( ), ( ),...., ( )
min ) ( 1 1 x x x x maks x maks m K C C G G X x D X x Dalam hal ini penting untuk memperoleh persamaan diatas pada keputusan fuzzy Bellman dan Zadeh, yang memasukkan goal fuzzy dan batasan fuzzy pada D
Program linear fuzzy, Zimmermann pertama kali memasukkan teori himpunan fuzzy pada permasalahan program linear biasa. Program linear yang koefisien - koefisiennya berupa bilangan fuzzy
disebut program linear fuzzy. Program linear fuzzy terdiri dari program linear dengan goal fuzzy dan program linear dengan batasan fuzzy.
Program linear fuzzy yang dikemukakan oleh Zimmermann mampu mengatasi kelemahan
program linear yaitu pengambil keputusan dapat menentukan nilai optimal dari permasalahan. Secara umum program linear fuzzy untuk kasus minimum dirumuskan sebagai berikut :
minimumkan 0 ~ z cx dengan batasan Ax b ~ ... (2) 0 x dimana ~
menunjukkan bentuk pertidaksamaan fuzzy dari <. Pertidaksamaan fuzzy pada persamaan (2) mewakili goal fuzzy dan batasan fuzzy pengambil keputusan yang berarti bahwa nilai cxpada fungsi objektif lebih kecil atau sama dengan nilai z0 dan nilai Ax pada batasan fuzzy lebih kecil atau sama dengan nilai b.
Dikarenakan goal fuzzy cx
~
z0dan batasan fuzzy Ax~
b merupakan dua hal yang sama pentingnya seperti pada keputusan fuzzy Bellman dan Zadeh, maka persamaan (2) ditulis dalam bentuk :Bx ~
x > 0 dimana A c B , b z b 0 'dan Bx > 0 sehingga untuk memenuhi pertidaksamaan fuzzy ke-i (Bx)i
' ~ i b untuk i =1,…., m dari pertidaksamaan fuzzy Bx ~
b' pengambil keputusan, Zimmermann mengenalkan fungsi keanggotaan
linear yang didefinisikan dengan :
i i i i i i i i i i d b Bx d b Bx b b i Bx d b Bx i Bx ' ) ( ' ) ( ' ' ) ( ; ; ; 0 ' ) ( 1 ) ( 1 1 1
dimana setiap dtadalah konstanta yang dipilih secara subjektif untuk menunjukkan batas yang diterima dari pertidaksamaan ke-i. Dalam hal ini diasumsikan bahwa fungsi keanggotaan ke-i bernilai 1 jika batasan ke-i dipenuhi dan fungsi keanggotaan ke-i bernilai 0 jika batasan ke-i dilanggar, yaitu melebihi batas dt atau batas daerah yang memenuhi dari 0 sampai dengan 1. Fungsi keanggotaan linear digambarkan pada Gambar 1.
Gambar 1 Fungsi Keanggotaan Linear
diperoleh : ( ) min
(( ))
,..., 0 0 0 D x i m i i x x maks Bx maks … (3) Dengan mensubstitusikan i i i i i d b Bx Bx)) 1 ( ) ' (( pada persamaan (3), maka akan diperoleh :
i i i m i x D x d b Bx maks x maks ( ) min 1 ( ) ' ,..., 0 0 0
Pada Gambar 1 tampak bahwa semakin besar nilai domain, maka memiliki fungsi keanggotaan yang cenderung semakin kecil. Oleh karena itu, dengan memasukkan variabel auxiliary λ, maka untuk mendapatkan nilai A -cut dapat dihitung sebagai:
λ = 1 – t atau t =1–λ....... (4)
dengan :
b
'
i
td
i : ruas kanan batas ke-i. Jadi untuk sebarang λ, berlaku : ii
i b td
Bx) '
( ... (5) dengan mensubtitusikan persamaan (4) ke dalam persamaan (5), diperoleh :
i i i b d Bx) '1 ( ; (Bx)i b'ididi; dib'idi (Bx)i; i i i i d Bx d b' ( ) i i i i i d Bx d d d ( ) ; i
(Bx)i
maka persamaan (2) dapat ditransformasi ke dalam program linear, sehingga persamaan (2) menjadi: maksimumkan λ dengan batasan
(
Bx
)
i
;
i
0
,
,
m
dimana x 0Fungsi keanggotaan piecewise linear digunakan jika untuk setiap fungsi objektif, diasumsikan pengambil keputusan dapat menentukan derajat keanggotaan untuk beberapa nilai pada setiap fungsi objektif [9]. Fungsi keanggotaan piecewise linear dirumuskan sebagai berikut:
i ij i i i N j ij i PL i z x z x x z x ) ( | ) ( | ) ( 1 …. (6) Dimana : 2 ; 2 ; 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ip i i i p i i ij j i ij S S t t t t ….. (7)
diasumsikan
iPL
z
i(
x
)
t
ijz
i(
x
)
s
ijuntuk masing-masing bagian xij ≤ zi(x)≤xi(j-1) dengan j =0,1,2,…,p + 1 dimana tij merupakan kemiringan dan Sij merupakan titik potong terhadap sumbu y
(y-intercept) pada garis yang berawal dari xij dan berakhir pada xi(j-1). Fungsi keanggotaan piecewise linear
dapat digambarkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Fungsi keanggotaan piecewise linear
Fuzzy multi objective linear programming merupakan permasalahan optimasi k fungsi objektif
linear zi (x) = cix, i = 1, …, k. Secara umum FMOLP dirumuskan sebagai berikut:
minimumkan
T k x z x z x z x Z( ) 1( ), 2( ),, ( ) dengan batasanAx
b
,
x
0
dimana T m T n in i i c c x x x b b bc ( 1,, ), ( 1,, ) , ( 1,, ) , A
aij matriks m x n pada masing-masing fungsi objektif zi(x) = cix, diasumsikan pengambil keputusan dapat menentukan derajat keanggotaan untuk beberapa nilai pada fungsi objektif zi(x) = cix sehingga dengan menggunakan fungsi keanggotaanpiecewise linear seperti pada persamaan (2.6) dan keputusan fuzzy Bellman Zadeh, maka permasalahan
FMOLP dapat dirumuskan sebagai berikut: maksimumkan λ dengan batasan
zi(x)
PL i
i = 1, …, k; Axb,x
0
,
0
Permasalahan FMOLP dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan goal programming
A-148
menjadi: Maksimumkan λ, dengan batasan
zi(x)
PL i
i = 1,…, k ij ij ij i x d d x z( ) j = 1,…, p dimana dijdan ij d pada zi x dij ij xij ) ( adalah variabelsimpangan non negatif untuk xij dan xij adalah nilai dari fungsi objektif
z
i(x
)
serta
iPL
z
i(x
)
adalah fungsi keanggotaan piecewise linear yang didefinisikan dengan ij i i i N j ij ij i PL i z x d d z x
( ) ( ) ) ( 1 i = 1,…,k METODEPada bab ini akan dijelaskan mengenai langkah-langkah pengerjaan Penelitian yang berjudul Aplikasi Fuzzy Multi-Objective Linear Programming pada perencanaan agregat produksi. Langkah-langkah tersebut digunakan sebagai panduan dan petunjuk dalam mengerjakan Penelitian, sehingga diperoleh hasil yang dapat dipertanggungjawabkan. Adapun metode penelitian yang digunakan, yaitu : 1. Studi pendahuluan
Tahap ini dilakukan dengan identifikasi permasalahan dan pengumpulan referensi-referensi yang berkaitan dengan dasar perencanaan agregat produksi, model umum pemrograman linear
perencanaan agregat produksi, metode Fuzzy Linear Programming (FLP) dan FMOLP pada
perencanaan agregat produksi yang diperoleh melalui buku, jurnal, dan internet. 2. Pembentukan model MOLP dan FMOLP pada permasalahan perencanaan
agregat produksi
Dalam hal ini dibentuk model MOLP pada perencanaan agregat produksi meliputi notasi-notasi, fungsi objektif dan kendala yang digunakan.
3. Langkah-langkah penyelesaian FMOLP
Pada tahap ini FMOLP yang terbentuk akan diselesaikan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Menentukan beberapa nilai untuk masing-masing (zi)
b. Menentukan derajat keanggotaan untuk masing-masing nilai (zi) .
c. Menghubungkan titik-titik yang terbentuk dari nilai (zi) dan fungsi keanggotaannya, sehingga membentuk bagian-bagian garis.
d. Membentuk fungsi keanggotaan µi,(zi)untuk masing-masing (zi) .
e. Mentransformasikan FMOLP kedalam program linear dengan fungsi objektif tunggal. 4. Pembahasan dan Hasil
Model MOLP dan FMOLP yang telah terbentuk akan diterapkan pada data perencanaan agregat produksi untuk mendapatkan hasil yang optimal.
5. Menarik kesimpulan
Pada tahap terakhir ini akan dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil yang telah diperoleh. Selanjutnya akan diberikan saran yang digunakan pada penelitian berikutnya.
Pada perencanaan agregat produksi, membentuk FMOLP yang merupakan modifikasi dari MOLP pada perencanaan agregat produksi serta langkah-langkah penyelesaian FMOLP untuk mendapatkan solusi yang diinginkan pengambil keputusan.
Perencanaan agregat produksi pada Penelitian ini mempunyai tiga fungsi objektif, pertama meminimumkan total biaya produksi. Tujuan ini ditentukan perusahaan karena dengan biaya produksi yang minimum diharapkan perusahaan memperoleh keuntungan. Kedua adalah meminimumkan biaya
penyimpanan produk dan backorder. Tujuan ini ditentukan perusahaan karena dengan biaya
penyimpanan produk dan backorder minimum, dapat menyebabkan tidak terjadinya penumpukan
produk di gudang dan produk yang di-backorder minimal. Ketiga adalah menimumkan tingkat perubahan pegawai. Tujuan ini ditentukan perusahaan karena dengan tingkat perubahan pegawai yang minimal maka pegawai yang bekerja akan sesuai dengan estimasi permintaan. Diasumsikan ketiga fungsi objektif tersebut mempunyai pengaruh yang penting dalam perusahaan sehingga harus dioptimasi secara bersamaan. Untuk mencapai tujuan tersebut, Penelitian ini menggunakan metode multi objective
linear programming dengan tiga fungsi objektif yang didasarkan pada banyaknya persediaan, jumlah
Notasi yang digunakan untuk membentuk model MOLP perencanaan agregat produksi pada perencanaan T(T= 12,…t) dengan t periode sebagai berikut:
Estimasi Permintaan
Dt : estimasi permintaan pada periode ke-t (unit) Produksi
at : biaya produksi reguler per unit pada periode ke-t (Rp./unit) Qt : banyaknya produksi reguler pada periode ke-t (unit)
ia : faktor peningkatan untuk biaya produksi pada waktu reguler (%)
bt : biaya produksi waktu lembur per unit pada periode ke-t (Rp./unit) Ot : banyaknya produksi waktu lembur pada periode ke-t (unit) ib : faktor peningkatan untuk biaya produksi pada waktu lembur (%) Subkontrak
ct : biaya subkontrak per unit pada periode ke-t (Rp./unit) St : banyaknya subkontrak pada periode ke-t (unit) ic : faktor peningkatan untuk biaya subkontrak (%)
St max : maksimum subkontrak yang diperbolehkan pada periode ke-t (unit)
Persediaan
dt : biaya penyimpanan produk per unit pada periode ke-t (Rp./unit) It : banyaknya persediaan pada periode ke-t (unit)
id : faktor peningkatan untuk biaya penyimpanan produk (%)
St max : minimum persediaan yang tersedia pada periode ke-t (unit)
Backorder
et : biaya backorder per unit pada periode ke-t (Rp./unit) Bt : tingkat backorder pada periode ke-t (unit)
ie : faktor peningkatan untuk biaya backorder (%)
B t max : maksimum backorder pada periode ke-t (unit)
Pegawai
kt : biaya memperkerjakan satu pegawai pada periode ke-t (Rp./pegawai-jam) Ht : jumlah pegawai yang bekerja pada periode ke-t (pegawai-jam)
mt : biaya memperhentikan sementara satu pegawai pada periode ke-t (Rp./ pegawai-jam) Ft : jumlah pegawai yang diberhentikan sementara pada periode ke-t (pegawai-jam)
if : faktor peningkatan untuk biaya mempekerjakan dan memperhentikan sementara pegawai (%) nt : jam kerja pegawai per unit pada periode ke-t (pegawai-jam/unit)
Wt: jumlah pegawai yang tersedia pada periode ke-t (pegawai-jam)
Wt max : maksimum pegawai yang tersedia pada periode ke-t (pegawai-jam)
Mesin
rt : jam kerja penggunaan mesin per unit dalam periode ke-t (mesin-jam/unit) Mrmax : kapasitas maksimum mesin yang tersedia pada periode ke-t (mesin-jam) Gudang
Vnt : luas gudang per unit dalam periode ke-t (m2/unit)
Vt max : maksimum gudang yang tersedia pada periode ke-t (m2)
Fungsi objektif yang digunakan dalam permasalahan perencanaan agregat produksi pada Penelitian ini ada tiga macam yaitu :
1. Meminimasi total biaya produksi
Total biaya produksi pada periode ke-t diperoleh dengan menggunakan rumus:
Total biaya produksi periode ke-t = Biaya produksi regular + Biaya produksi waktu lembur +
Biaya subkontrak + Biaya persediaan + Biaya back/order + Biaya untuk memperkerjakan pegawai + Biaya untuk memperhentikan sementara pegawai
dengan
Biaya produksi regular, Br = t
a t T t i Q a (1 ) 1 1
Biaya produksi waktu lembur, El= t
b t T t i Q a (1 ) 1 1
A-150 Biaya subkontrak, Bs = t c t T t i Q a (1 ) 1 1 Biaya persediaan, Bp = t d t T t i Q a (1 ) 1 1
Biaya backorder, Bb = t e t T t i Q a (1 ) 1 1
Biaya memperkerjakan dan memperhentikan sementara pegawai, Bk = t
f t t T t t tH mF i k )(1 ) ( 1
Sehingga fungsi objektifhya dapat dirumuskan sebagai berikut :
Min z1 =
T t t d t t t c t t t b t t t a t tQ i bO i cS i dI i a 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1
t f t t t t t e t tB i k H mF i e (1 ) ( )(1 )Dalam hal ini faktor peningkatan dimasukkan pada masing - masing biaya.
2. Meminimasi biaya penyimpanan produk dan backorder Min
z2 =
T t t e t t t d t tI i eB i d 1 ) 1 ( ) 1 (Dalam hal ini faktor peningkatan juga dimasukkan pada biaya penyimpanan produk dan backorder.
3. Meminimasi tingkat perubahan pegawai
Tingkat perubahan pegawai dipengaruhi oleh jumlah pegawai yang bekerja dan jumlah pegawai yang diperhentikan sementara, sehingga:
Min z3 =
T t t t F H 1Batasan (constraints)yang digunakan dalam permasalahan perencanaan agregat roduksi pada Penelitian ini terdiri dari :
1. Batasan tingkat persediaan
Batasan tingkat persediaan dalam permasalahan perencanaan aggregat produksi dipengaruhi oleh tingkat persediaan, backorder, banyaknya produksi regular dan waktu lembur, serta subkontrak dimana jumlahnya harus sesuai dengan estimasi permintaan pasar, sehingga dapat dirumuskan :
t B I S Q B I Dt t1 t1 t t t t,
persamaan diatas, diperoleh kendala tingkat persediaan:
T
t D S Q B I Dt t1 t1 t t t, 1,2,...,2. Batasan tingkat penggunaan pegawai
Batasan tingkat penggunaan pegawai dipengaruhi oleh jumlah pegawai yang tersedia, jumlah pegawai yang bekerja, dan jumlah pegawai yang diperhentikan sementara, sehingga dapat dirumuskan :
dengan
Wt = nt (Qt + Ot) dan Wt-1 =
n
t1(
Q
t1
O
t1)
sehingga batasan tingkat penggunaan pegawai dapat dirumuskan
T t O Q n F H O Q nt1( t1 t1) t t t( t t)1,2,...., nt(QtOt)Wtmax,t
1,2,...,T
3. Batasan kapasitas mesin dan gudang
Batasan kapasitas mesin dipengaruhi oleh banyaknya subkontrak dan banyaknya mesin yang tersedia, sehingga batasan kapasitas mesin dapat dirumuskan :
T
t S St tmax, 1,2,....,
Q O
M t
T
rt t t tmax, 1,2,...,Batasan kapasitas gudang dipengaruhi oleh tingkat persediaan dan luas gudang per unit, sehingga batasan kapasitas gudang dapat dirumuskan:
T
t V I
vt t tmax, 1,2,....,
4. Batasan non negatif pada variabel keputusan
T
t F H B S O Qt, t, t, t, t, t 0, 1,2,...,Model MOLP perencanaan agregat produksi berdasarkan fungsi objektif dan batasan yang telah terbentuk sebagai berikut :
Minimumkan z1= t d t T t t t b t t t a t tQ i bO i dI i a (1 ) (1 ) 1 1
t f t t t t t e t tB i kH mF i e (1 ) ( )(1 )z2=
T t t e t t t d t tI i eB i d 1 ) 1 ( ) 1 ( ; z3=
T t t t F H 1 ) ( dengan batasan
T
t D S O Q B I B It t t1 t1 t t t t, 1,2,..., ItItmin,t
1,2,...,T
T
t B Bt tmax, 1,2,...,
Q O
H F n
Q O
t
T
nt1 t1 t1 t t 1 t t , 1,2,.... nt(QtOt)Wtmax,t
1,2,....,T
StStmax,t
1,2,...,T
T
t M O Q rt( t t) tmax, 1,2,..., rtItVtmax,t
1,2,...,T
; Qt,Ot,St,Bt,Ht,Ft0,t
1,2,...,T
Model FMOLP perencanaan agregat produksi, hasil optimasi dari masing-masing fungsi objektif pada MOLP perencanaan agregat produksi yaitu total biaya produksi, biaya penyimpanan produk dan backorder, serta tingkat perubahan pegawai tidak selamanya memberikan hasil yang diinginkan oleh pengambil keputusan. Oleh karena itu, model MOLP perencanaan agregat produksi diubah menjadi FMOLP dimana pengambil keputusan dapat menentukan goal fuzzy untuk masing-masing fungsi objektif. Atas dasar tersebut, model MOLP perencanaan agregat produksi diubah menjadi FMOLP sebagai berikut: Minimumkan z1
t d t t t c t T t t t b t t t a t tQ i bO i cS i dI i a (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1
t f t t t t t e t tB i kH mF i e (1 ) ( )(1 ) z2
T t t e t t t d t tI i eB i d 1 ) 1 ( ) 1 ( ; z3
T t t t F H 1 ) ( dengan batasan
T
t D S O Q B I B It t t1 t1 t t t t, 1,2,..., It Itmin,t
1,2,...,T
; BtBtmax,t
1,2,...,T
Q O H F nQ O t T nt1 t1 t1 t t 1 t t,1,2,.... ; nt(QtOt)Wtmax,t
1,2,....,T
; St Stmax,t
1,2,...,T
T
t M O Q rt( t t) tmax, 1,2,..., ; rtIt Vtmax,t
1,2,...,T
; Qt,Ot,St,B1,Ht,Ft0,t
1,2,...,T
Penyelesaian Model FMOLP, dengan fungsi objektif (zi) untuk i = 1,2,3 yang telah terbentuk, akan diubah menjadi program linear dengan fungsi objektif tunggal menggunakan pendekatan goalprogramming dan fungsi keanggotaan piecewise linear untuk menunjukkan goal fuzzy pengambil
keputusan.
Proses perubahan FMOLP menjadi program linear dengan fungsi objektif tunggal menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menentukan beberapa nilai untuk masing-masing (zi)
Langkah pertama dalam menentukan nilai masing-masing fungsi objektif adalah menyelesaikan model MOLP perencanaan agregat produksi sehingga diperoleh nilai optimal dari masing-masing fungsi objektif. Selanjutnya, nilai optimal tersebut digunakan oleh pengambil keputusan sebagai dasar dalam menentukan beberapa nilai untuk masing-masing fungsi objektif pada FMOLP seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai fungsi objektif
zi < xi,p+1 xi,p+1 xip … xi2 xi1 xi0 > xi0 dengan xijadalah nilai fungsi objektif untuk i = 1,2,3 dan j = 0,l,2,... ,p+ l
2. Menentukan derajat keanggotaan untuk masing-masing nilai (zi)
Nilai masing-masing fungsi objektif yang sudah terbentuk pada Tabel 4.1, selanjutnya akan ditentukan derajat keanggotaannya oleh pengambil keputusan untuk masing-masing xij. Derajat keanggotaan adalah penilaian pengambil keputusan. Nilai derajat keanggotaan berada pada rentang 0,1 sampai dengan 1 dengan pengelompokan derajat keanggotaan pada Tabel 2.[6].
Tabel 2. Derajat keanggotaan
Derajat Keanggotaan Penilaian pengambil keputusan 0,9 < µ < 1 Sangat optimis
0,7 < µ < 0,9 Optimis 0,5 < µ < 0,7 Biasa 0,3 < µ < 0,5 Pesimis 0,1 < µ < 0,3 Sangat pesimis
A-152
Penentuan derajat keanggotaan masing-masing xijmenggunakan Tabel 3. Tabel 3. Fungsi keanggotaan
z1 < x1(p+1) x1(p+1) x1p … x12 x11 x10 > x10 µ1(z1) 1 1 q1p … q12 q11 0 0 z2 < x2(p+1) x2(p+1) x2p … x22 x21 x20 > x20 µ2(z2) 1 1 Q2p … q22 q21 0 0 z3 < x3(p+1) X3(p+1) X3p … x32 x31 x30 > x30 µ3(z3) 1 1 Q3p … q32 q31 0 0
dengan 0qij1;qij qi(j1);i 1,2,3;j0,1,2,...,p1dimana qij : fungsi keanggotaan dari xij 3. Menghubungkan titik-titik yang terbentuk dari nilai (zi) dan fungsi keanggotaannya, sehingga
membentuk bagian-bagian garis. Masing-masing nilai (zi) dan fungsi keanggotaannya akan dihubungkan menjadi suatu titik. Selanjutnya, titik-titik tersebut dihubungkan dan membentuk bagian-bagian garis. Misalkan pengambil keputusan menetapkan goal untuk fungsi objektif pertama yaitu 40 ≤ z1 ≤ 70 atau z1 ≈ 55. Dalam hal ini, pengambil keputusan menentukan beberapa nilai dan fungsi keanggotaan untuk fungsi objektif pertama sebagai berikut:
z1 <40 40 50 60 70 >70
µ1(z1) 1 1 0,8 0,4 0 0
maka nilai (zi) dan fungsi keanggotaannya dapat digambarkan :
Gambar 3. Hubungan nilai fungsi objektif dengan derajat keanggotaan 4. Membentuk fungsi keanggotaan µi(zi)untuk masing-masing (zi)
Fungsi keanggotaan µi(zi) untuk masing-masing (zi) dibentuk dengan mensubstitusikan persamaan (7) ke dalam fungsi keanggotaan piecewise linear yang dirumuskan pada persamaan (6), sehingga diperoleh fungsi keanggotaan untuk masing-masing fungsi objektif sebagai berikut:
Fungsi objektif 1 (z1), total biaya produksi
p p p x z t t x z t t x z t t z 1 1 1 ) 1 ( 1 12 1 12 13 11 1 11 12 1 1 2 ... 2 2 2 2 11 1 ) ( 1 1 11 ) 1 ( 1 s s z t t p p ……… (8) dimana p p p p x x q t x x q q t x x q t 1 ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 11 12 11 12 12 10 11 11 11 1 ... : ; 0 dengan p j t t j j ,..., 2 , 1 ; 0 2 1 ) 1 ( 1
Fungsi objektif 2 (z2), biaya penyimpanan produk dan backorder
p p p x z t t x z t t x z t t z 2 2 2 ) 1 ( 2 22 2 22 23 21 2 21 22 1 1 2 ... 2 2 2 2 21 1 ) ( 2 2 21 ) 1 ( 2 s s z t t p p ……….. (9) dimana p p p p x x q t x x q q t x x q t 2 ) 1 ( 2 2 1 ) ( 2 21 22 21 22 22 20 21 21 21 1 ... : ; 0 dengan t j t j j p ,..., 2 , 1 ; 0 2 2 ) 1 ( 2
Fungsi objektif 3 (z3), tingkat perubahan pegawai
p p p x z t t x z t t x z t t z 3 3 3 ) 1 ( 3 32 3 32 33 31 3 31 32 3 3 2 ... 2 2 2 2 31 1 ) ( 3 3 31 ) 1 ( 3 s s z t t p p ……….. (10) dimana p p p p x x q t x x q q t x x q t 3 ) 1 ( 3 3 1 ) ( 3 31 32 31 32 32 30 31 31 31 1 ... : ; 0 dengan t j tj j p ,..., 2 , 1 ; 0 2 3 ) 1 ( 3
5. Mengubah FMOLP menjadi program linear dengan fungsi objektif tunggal
Untuk mengubah FMOLP menjadi program linear dengan fungsi objektif tunggal, akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :
a. Menambahkan variabel simpangan non negatif dijdan dij
Variabel simpangan non negatif dijdan dijakan ditambahkan pada masing-masing fungsi objektif dengan menggunakan rumusan sebagai berikut :
1 1 1 ) ( i i i i x d d x z dengan i = 1,2,3 ip ip ip i x d d x z ) (
sehingga untuk masing-masing fungsi objektif dan fungsi keanggotaannya menjadi : Fungsi objektif 1 (z1), total biaya produksi
t t t t c t t t b t a t T t tQ i bO i cS i dI id a (1 ) 1 1(1 ) (1 ) (1 ) 1
j j j t f t t t t t e t tB i kH mF i d d x e 1 1 1 1 1 Karena t t t t c t t t b t a t T t tQ i bO i cS i dI id a z (1 ) 1 1(1 ) (1 ) (1 ) 1 1
t f t t t t t e t tB i kH mF i e 1 1 maka z1x1j d1jd1j (11)sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (11) kedalam persamaan (8), maka fungsi keanggotaan untuk fungsi objektif 1 menjadi:
p p p p t d d t d d t t d d t t z 1 1 1 ) 1 ( 1 12 12 12 13 11 11 11 12 1 1 2 .... 2 2 ) ( t d t t t b t t t a t T t t p i S c i O b i Q a t t ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 11 ) 1 ( 1 . (12)
2 ) 1 )( ( ) 1 ( i kH mF i s1( 1) s11 B e t p f t t t t t e t t Fungsi objektif 2 (z2), biaya penyimpanan produk dan backorder
j j j T t t e t t t d t tI i eB i d d x d 2 2 2 1 ) 1 ( ) 1 (
karena t e T t t d t tI i eB i d z (1 ) 1 1(1 ) 1 2
, maka z2x2j d2jd2j ……… (13) sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (13) kedalam persamaan (9), maka fungsi keanggotaan untuk fungsi objektif 2 menjadi: p p p p d d t t d d t t d d t t z 2 2 2 ) 1 ( 2 22 22 22 23 21 21 21 22 2 2( ) 2 2 .... 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 21 ) 1 ( 2 1 21 ) 1 ( 2 s s i B e i I d t t T p t t e t t t d t t p .... (14)
Fungsi objektif 3 (z3), tingkat perubahan pegawai
j j T t j t t F d d x H 3 3 1 3 ) (
Karena ( ) 1 3 T t t t F H z makaz3x3j d3jd3j ………… (15)dengan mensubstitusikan persamaan (15) kedalam persamaan (10), maka fungsi keanggotaan untuk fungsi objektif 3 menjadi:
p p p p d d t t d d t t d d t t z 3 3 3 ) 1 ( 3 32 32 32 33 31 31 31 32 3 3( ) 2 2 .... 2 2 ( 2 31 ) 1 ( 3 1 31 ) 1 ( 3 s s F H t t T p t t t p ………… (16)
Memunculkan Variabel auxiliary L yang dimunculkan, menunjukkan derajat keanggotaan pengambil keputusan. Akhirnya, dengan menggunakan fungsi keanggotaan masing-masing fungsi objektif pada persamaan (12), (14) dan (16) serta pengambilan keputusan Bellman Zadeh pada persamaan (1) maka FMOLP perencanaan agregat produksi dapat diubah menjadi program linear dengan fungsi objektif tunggal sebagai berikut:
Maksimumkan L dengan batasan
) ( 2 .... ) ( 2 ) ( 2 1 1 1 ) 1 ( 1 12 12 12 12 11 11 11 12 p p p p d d t t d d t t d d t t L
t c t t t b t t t a t T t t p i s c i O b i Q a t t ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 11 ) 1 ( 1
2 ) 1 )( ( ) 1 ( i kH mF i s1( 1) s11 B e t p f t t t t t e t t ( ) 2 .... ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 ) 1 ( 2 22 22 22 23 21 21 21 22 p p p p d d t t d d t t d d t t L
2 ) 1 ( ) 1 ( 2 21 ) 1 ( 2 1 21 ) 1 ( 2 s s i B e i I d t t T p t t e t t t d t t p
2 .... ) ( 2 ) ( 2 3 ) 1 ( 3 32 32 32 33 31 31 31 32 t p tp d d t t d d t t LA-154 ; 2 2 ) ( 3( 1) 31 1 31 ) 1 ( 3 3 3 s s F H t t d d p T t t t p p p
T t t d t t t c t t t b t t t a t tQ i bO i cS i dI i a 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
j j j t f t t t tH mF i d d x k )(1 ) 1 1 1 (
j j j T t t e t t t d t tI i eB i d d x d 2 2 2 1 ) 1 ( ) 1 (
t j j j T t t F d d x H 3 3 3 1 ) (
PEMBAHASANBerdasarkan data perencanaan agregat produksi,data permintaan,data biaya, jam kerja pegawai,data kapasitas mesin serta data kapasitas gudang yang sudah diketahui, selanjutnya diperoleh hasil sbb: Model dan penyelesaian MOLP perencanaan agregat produksi, berdasarkan keadaan perusahaan manufaktur X dan data perencanaan agregat produksi, maka model MOLP perencanaan agregat produksi perusahaan manufaktur X
Model MOLP perencanaan agregat produksi perusahaan manufaktur X mempunyai 3 fungsi objektif, 84 variabel keputusan dan 96 batasan. Dengan menggunakan software MOLP, didapatkan nilai untuk masing-masing fungsi objektif (z,-) sebagai berikut:
z1= 1392405800, z2= 11705900 , z3= -2191,6. nilai z3 < 0 menunjukkan bahwa jumlah pegawai yang diberhentikan sementara lebih banyak dibandingkan dengan jumlah pegawai yang dipekerjakan. Nilai masing-masing fungsi objektif tersebut, selanjutnya dijadikan dasar pengambil keputusan dalam menentukan beberapa nilai masing-masing fungsi objektif pada model FMOLP. Hasil MOLP secara lengkap dapat dilihat pada lampiran F.
Penyelesaian FMOLP perencanaan agregat produksi, berdasarkan model FMOLP, data perencanaan agregat produksi dan hasil MOLP, maka penyelesaian FMOLP dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sudah di jelaskan diatas yaitu :
1. Menentukan beberapa nilai untuk masing-masing (zi)
Berdasarkan penyelesaian model MOLP perencanaan agregat produksi yang diperoleh, pengambil keputusan menentukan nilai-nilai untuk masing-masing (zi) sesuai dengan Tabel 3.
Tabel 3. Nilai masing-masing (zi) pengambil keputusan
z1 <1390000000 1390000000 1396000000 1402000000 1408000000 > 1408000000
z2 < 10000000 10000000 17000000 24000000 31000000 > 31000000
z3 <-2600 -2.600 -1.700 -800 100 > 100
2. Menentukan derajat keanggotaan untuk masing-masing nilai (zi). Nilai masing-masing (zi) yang sudah ditentukan pada langkah1, selanjutnya pengambil keputusan menentukan derajat keanggotaannya berdasarkan nilai derajat keanggotaan pada Tabel 2. Seperti tampak pada Tabel 4.
Tabel 4. Derajat keanggotaan nilai masing-masing (zi) pengambil keputusan
z1 <1390000000 1390000000 1396000000 1402000000 1408000000 > 1408000000 µ1(z1 ) 1 1 0,8 0,5 0 0 z2 < 10000000 10000000 17000000 24000000 31000000 > 3 1000000 µ2(z2 ) 1 1 0,7 0,4 0 0 z3 <-2600 -2.600 -1.700 -800 100 >100 µ3(z3 ) 1 1 0,7 0,4 0 0
3. Menghubungkan titik-titik yang terbentuk dari nilai (zi) dan derajat keanggotaannya, sehingga membentuk bagian-bagian garis. Masing-masing nilai (zi) dan derajat keanggotaannya pada Tabel 4. Selanjutnya dihubungkan, sehingga membentuk bagian-bagian garis seperti pada Gambar 4.
Z1 Z2 Z3
4. Membentuk fungsi keanggotaan µi(zi) untuk masing-masing (zi)
Fungsi keanggotaan masing-masing fungsi objektif dibentuk berdasarkan Tabel 4. dan Gambar 4, dengan menggunakan fungsi keanggotaan piecewise linear.
Fungsi objektif 1 (zt) , total biaya produksi, fungsi keanggotaan untuk fungsi objektif 1, dibentuk sesuai dengan persamaan 8 sehingga diperoleh:
µ1(z1)=0,0000000167|z1–140200000|0,00000000833|z1 – 1396000000| - 0,0000000583z1 + 82,3333 dengan mengambil : 0000000833 , 0 1408000000 1402000000 0 5 , 0 0 1 11 11 11 x x q t 0,00000005 1402000000 1396000000 5 , 0 8 , 0 0 11 12 12 12 x x q t 0000000333 , 0 1396000000 1390000000 8 , 0 1 0 10 13 13 13 x x q t 0,0000000167 2 0000000833 , 0 00000005 , 0 2 11 12t t 3 0000000083 , 0 2 00000005 , 0 0000000333 , 0 2 12 13t t 0000000583 , 0 2 0000000833 , 0 00000005 , 0 2 11 12t t persama
an garis antara (1396000000,0,8) dan (1390000000,1) 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x 8 , 0 1 8 , 0 1396000000 1390000000 1396000000 y x 2 , 0 8 , 0 6000000 1396000000 y x - 6000000y + 4800000 = 0,2x 279200000- 6000000y = 0,2x – 28400000
y = -0,000000033x + 47,33 jika x = 0 , maka y — intercept = 47,33 persamaan garis antara (1408000000,0) dan (1402000000,0,5)
1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x maka 0 5 , 0 0 1408000000 1402000000 1408000000 y x jadi 5 , 0 0 6000000 1408000000 y x - 6000000 Maka y = 0,5x – 704000000 sehingga y = -0,000000033x + 117,33
jika x = 0 , maka y — intercept = 47,33
jadi, y – intercept untuk z1 yaitu 82,3333
2 33 , 117 33 , 47 2 11 13s s KESIMPULAN
Berdasarkan pada tujuan dan serangkaian kerja yang telah dilakukan untuk penulisan Penelitian ini dapat disimpulkan bahwa:
1. Pembentukan MOLP pada perencanaan agregat produksi menunjukkan konflik antar fungsi
objektif.
2. Modifikasi MOLP perencanaan agregat produksi menjadi FMOLP dengan fungsi objektif/fuzzy
menunjukkan goal fuzzy pengambil keputusan.
3. Nilai L yang merupakan derajat keanggotaan seluruh fungsi objektif
permasalahan perencanaan agregat produksi dipengaruhi oleh nilai dari fungsi objektif biaya penyimpanan dan backorder (z2) serta fungsi objektif tingkat perubahan pegawai (z3).
DAFTAR PUSTAKA
[1] Assauri Sofyan. 1993. Manajemen Produksi dan Operasi. Jakarta: LPFE UI
[2] Dantzig G.B. dan Thapa M.N., 1997. Linear Programming 1 introduction. Springer-Verlag New
York, LLC.
[3] Hannan E. L. 1981. Linear Programming with Multiple Fuzzy Goal. Fuzzy Set and System, 6,
235-248.
[4] Liu, G. P., Yang J. B., Whidborne J. F. 2004. Mnltiobjective Optimization and Control. England: Research Studies Press Ltd.
[5] Kusumadewi, S. 2002. Analisis dan Design sistem fuzzy Menggunakan Toolbox Matlab.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
A-156
Oil dengan Mempertimbangkan Preferensi Pengambil Keputusan. Jurnal Teknik Industri 10 (Juni): 38 - 49.
[7] Pardede, P. M. 2005. Manajemen Operasi dan Produksi : Teori, Model, dan Kebijakan. Yogyakarta: Andi.
[8] Render, B. dan Heizer, J. 2001. Prinsip - Prinsip Manajemen Operasi. Jakarta: Salemba Empat.
[9] Sakawa, M. 1993. Fuzzy Sets and Interactive Multiobjective Optimization. New York: Plenum
Press.
[10] Wang, R. C. and Liang, T. F., 2004. Application of Fuzzy Multi – Objective Linear Programming to Aggregate Production Planning. Computers and Industrial Engineering 46,1 :17-41.
[11] Windyaastuti I. S., 2000. Penerapan Metode Agregat Planning dalam Perencanaan Produksi Particle Board di PT. Mitra Nusantara Madiun. Penelitian. Surabaya : Matematika-Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
