teori antrian materi kuliah 3b

(1)

4.3 Sistem Antrian M/M/1/GD/c/

Pada sistem antrian ini terdapat pembatasan arrival sebanyak c customer dan hanya terdapat satu server. Diasumsikan interarrival times berdistribusi eksponensial dengan rate  dan service times berdistribusi eksponensial dengan rate . Sistem antrian

ini dapat dimodelkan sebagai proses birth-death dengan parameter sebagai berikut : 

j  (j = 0, 1, …, c–1)

0  c



0 0 



j  (j = 1, 2, …, c)

Karena _c 0 maka sistem tidak akan mencapai state c + 1 atau state di atasnya. Untuk

sistem M/M/1/GD/c/ ini akan tetap mencapai steady-state biarpun   . Hal ini dikarenakan jika  , sistem akan membatasi jumlah customer yang masuk sehingga

jumlah customer dalam sistem akan tetap terkendali.

Didefinisikan  

  untuk   maka substitusi ke persamaan (4.1.2.1) berlaku :

, 0 1

 

  ₂0,

2

 

  …, c

c

c     0

karena hanya terdapat state 0, 1, 2, …, c maka :

1 ...

1

0   c 



1 ) ... 1

( 2

0     

c

 

 

misal S12 ...c

(2)

(1)S 1c1 diperoleh

 

 

 

1 1 c 1 S

jadi ₀ ₁

1 1 1



 

 c

S 

 

Dari fakta bahwa





 j c j

j j L

0

 maka untuk   dapat ditunjukkan :

L0122...cc

 ₀22₀...cc₀ ₀(22...cc)

misalkan S'  22 ...cc

S'  223...cc1

(1)S'  2...ccc1

misalkan ''   2 ... c c1

c

S    

S''  23...c1cc2

(1)S''  c1cc2 diperoleh





   

 

 

1

1 1

''

c c

c S

jadi



₂



1 '

) 1 ( 1

 

  

 c c c S



 

















 

   

   

    

 _  _ 

1 1

1 )

1 ( 1 1

1

2 1

1 '

0 c

c c c

c

c c

S L

sedangkan Ls 0₀1(₁,₂,...,c)1₀

dan L_q dapat dihitung dari L_q  LL_s

Khusus untuk  , maka c_j 1 untuk j = 0, 1, 2, …, c

(3)

berarti akan didapatkan semua _j akan sama, sedangkan dari kenyataan :



j_c  j

j 0

1

 yang berarti (c1)_j 1

maka akan diperoleh

1 1

 

c j 

kemudian (0 1 2 ... )

0

c j

L j

c j

j

j     







  

2 2

) 1 ( 1

1 c c c

c

L   

 

1 1 1 1

...) (

1

0 ₀ ₁ ₂ ₀

        

c

Ls    

sedangkan L_q dapat dihitung dari L_q  LL_s

Kemudian kita perhatikan customer yang masuk ke sistem.  adalah jumlah rata-rata customer yang datang per satuan waktu. Untuk sistem ini akan terdapat _c

customer yang tidak dapat masuk ke sistem karena sudah penuh. Berarti rata-rata customer yang masuk ke sistem adalah :

) 1

( c

c  



   customer per satuan waktu.

Jadi

) 1

( _c

L W



 

 , dan

) 1

( _c

q q

L W



 



Berikut adalah contoh untuk sistem antrian di atas. Contoh 3.

(4)

tidak bisa masuk. Diperlukan waktu sekitar 12 menit untuk memotong rambut satu orang dan waktu untuk potong rambut ini berdistribusi eksponensial.

1. Berapa jumlah rata-rata customer yang selesai potong rambut dalam satu jam ?

2. Berapa rata-rata waktu yang diperlukan seseorang di tempat potong rambut tersebut ?

Penyelesaian :

Sebagian dari customer yang datang yaitu ₁₀ bagian tidak dapat masuk karena sudah

penuh. Berarti rata-rata dalam satu jam ada (110) customer yang masuk. Dari soal diketahui c10,  20 customer per jam,  5 customer. Jadi :

4 5 20

 



11 0

4 1

 



75 . 0 4 1

) 4 ( 3 4

1 4 1

4 ₁₁

10

11 10

10 

      

 

 



Ini berarti rata-rata ada 20(1 – 0.75) = 5 orang per jam yang selesai potong rambut (rata-rata 20 – 5 = 15 orang batal potong rambut).

Kemudian





9.67

) 4 1 )( 4 1 (

) 4 ( 10 ) 4 ( 11 1 4

11

11 10

 

 

 

L customer

Diperoleh 1.93

) 75 . 0 1 ( 20

67 . 9

 



W jam.

(5)

4.4 Sistem AntrianM/M/s/GD// Sistem ini dapat dimodelkan dengan



j  (j = 0, 1, …)



j  j (j = 0, 1, …, s-1)



j  s (j = s, s+1, s+2,…)

sehingga akan diperoleh probabilitas steady-state : Substitusi ke persamaan (4.1.2.1) diperoleh :

      

 

  



 _! ( )

) 1

( !

0 0

s j s

s

s j j

j s j

j j j

j

  



Jumlah dari probabilitas steady-state harus sama dengan satu, sehingga :

1 1

0 0

1

0 0

0

! !

1 !

! 1

 





  





  



   

 

 

  

    



 _

 



s

j j s

s j

j j

s s r s

j j s

j s j

j

j j j

j

s s

r j

r

dan r

kan didefinisi

s s j



   

 



  

(6)

Kita perhatikan deret berikut : ) ( ! 1 ) 1 ( 1 ! ! ! ! 0 r s s sr dengan s r s r s r s r s r s s r s s r s r s k k s s j s j s s j s j j                     



        

sehingga akan diperoleh :





1 1 0 1 1 0 0 ! 1 ! 1 1 ) ( ! !                                                      



        s s s j r s s sr j r j s j j s r s s j j

Kemudian Lq dapat dihitung sebagai berikut :

Karena untuk jumlah customer di dalam sistem kurang dari atau sama dengan jumlah server, tidak akan ada antrian, maka :



                s

j j s

j s j j s j s j j q r s s s r s s j s j L 0 0 ! ! ) (   

perhatikan deret yang pertama,



_  



_ 



_                               s

j j s j s

s j s j s s j j s r s s r s j s r s s jr s 1 1 1 0 0 ) ( ! !  

 



_   _                 s

j r_s rs

s s j j r s s r s s jr

s 1 1

(7)

Sedangkan untuk deret yang kedua,

 

) 1 ( ! ! ! ! 0 0 0 0 0 s r s k k s r s s j s j s r s s j s j j s sr sr s sr s s sr s      



           

sehingga diperoleh :









2 0 1 2 2 2 1 0 1 ! 1 1 1 1 !                              s r s s r s r s r s q s s r r s r s s s r L

 

0 2 ) ( )! 1 (                  s s L s q

dari sini kita dapat memperoleh nilai L, yaitu dengan menggunakan Little’s Formula :

W

L dengan nilai WW_q W_s

 _1 q W

 

0 2 ) ( )! 1 (                    s s L W s q q

jadi

 

₂ ₀

) ( )! 1 ( 1                   s s W s

dan selanjutnya diperoleh :

(8)





2 0 1

1

! 

   

  

  



s r s

s s r r

Contoh 4.

Manajer sebuah bank harus menentukan berapa banyak teller yang bekerja pada hari jumat. Berdasar pengamatan, manajer tersebut mengetahui bahwa untuk setiap menit seorang customer berada di antrian, bank akan membayar 5 sen. Dalam satu menit, rata-rata terdapat 2 customer yang datang, sedangkan satu teller rata-rata-rata-rata memerlukan waktu 2 menit untuk melayani satu customer. Bank membayar seorang teller $9 per jam. Diasumsikan interarrival times dan service times berdistribusi eksponensial. Berapakah jumlah teller optimal ?

Jawab :

soal di atas merupakan sistem antrian M/M/s/GD// diketahui : 2 customer/menit

menit customer/ 5

, 0 



supaya tercapai steady-state maka :

1    s

1 5 , 0

2  s

5



(9)

Untuk sistem antrian dengan 5 teller : menit t delay harapan menit t service harapan menit n pengeluara harapan

total cos cos

  menit menit jam menit t service harapan / 75 , 0 $ 15 , 0 $ 5 9 $ 5 cos                    customer t delay harapan menit customer harapan menit t delay

harapan cos cos

dengan 

menit customer harapan , dan q W customer t delay harapan  0,05 cos

diperoleh W_q W_q W_q

menit t delay harapan 1 , 0 05 , 0 2 05 , 0 cos       

untuk mencari nilai W_q , harus dicari dulu nilai ₀ :



_    1 0 0 ) ( ) ( ! 1 ) ( ! 1 1 s j j s s s j s s      

 , dengan s5 dan 4

5 , 0 2     ) ( ) ( 67 , 10 67 , 10 8 4 1 1 2 5 , 0 5 5 , 0 5 5 5 , 0 2 120 1 0          012987 , 0 77 1

0  

 77 1 ) 2 5 , 0 5 ( ! 4 5 , 0 ) ( ) ( )! 1 ( ) ( 2 5 5 , 0 2 0

2 

                   _ _  s s W s q

85,3333₇₇1 1,108225 menit_. Jadi untuk s = 5 diperoleh :

(10)

8608225 ,

0 $ 1108225 ,

0 75 ,

0  



menit

n pengeluara harapan

total

Bila kita perhatikan untuk sistem antrian dengan s = 6, akan diperoleh :

9 , 0 $ 15 , 0 6 cos

  

menit t service

> pengeluaran total dengan lima teller.

Jadi 5 teller adalah optimal.

4.5 Sistem Antrian M/M/s/GD/c/

Sistem antrian ini sebenarnya hanyalah penggabungan dari sistem antrianM/M/s/GD// dan sistem antrian M/M/1/GD/c/. Dalam sistem ini jumlah server sebanyak s dan terdapat kapasitas maksimum sistem dalam menampung customer yaitu sebanyak c customer. Dengan demikian sisten ini dapat dimodelkan sebagai berikut :

) 1 ,..., 1 , 0

(  

 j c

j 



) 1 ,..., 1 , 0

(  

 j j s

j 



) ,..., 1 ,

(j s s c s

j    



Nilai j akan sama seperti pada sistem antrian M/M/s/GD//, yaitu :

      

  

  



 _! ( )

) 1

( !

0 0

c j s s

s

s j j

j s j

j j j

j

  



dengan demikian nilai dari ₀ juga akan sama, yaitu :

1 1

0 0

! !

 

   

 

 

 



s



j

c

s j

j j

s s

r j

r

(11)

Untuk jumlah customer di dalam sistem kurang dari atau sama dengan jumlah server, maka tidak akan ada customer di antrian. Dari sini maka jumlah customer di antrian adalah :



_ 

 c s j

j

q j s

L ( ) dengan ₀

! 



 j s j

j j

s s  

₀

! ) (

 



_ 

 c s j

j s j

j

s s

s j

Untuk nilai W dapat dihitung menggunakan Little’s Formula sebagai berikut :

s

q W

W

W 

  _1 q W

jadi

  

1 ) 1

(  



c q L W

dengan demikian diperoleh nilai L, yaitu :

W L(1c)

 (1 _c) q

L  



sedangkan nilai L_s adalah :

 (1 _c) q

s L L

L    

Contoh 5.

(12)

Manajer sebuah bank harus menentukan berapa banyak teller yang bekerja pada hari jumat. Berdasar pengamatan, manajer tersebut mengetahui bahwa untuk setiap menit seorang customer berada di antrian, bank akan membayar 5 sen. Dalam satu menit, rata-rata terdapat 2 customer yang datang, sedangkan satu teller rata-rata-rata-rata memerlukan waktu 2 menit untuk melayani satu customer. Bank membayar seorang teller $9 per jam. Kapasitas ruangan bank mampu menampung sebanyak 100 customer. Diasumsikan interarrival times dan service times berdistribusi eksponensial. Berapakah jumlah teller optimal ?

Jawab:

Soal di atas merupakan sistem antrian M/M/s/GD/100/ dengan 2 dan0,5. Dengan adanya pembatasan jumlah antrian, maka berapapun jumlah server pasti tercapai steady-state .

Sama seperti contoh 5., diperoleh :

Biaya total/menit = service cost/menit + delay cost/menit

= (jumlah server)x $0,15/menit + (2 x 0,05 x Wq )/menit

(13)

Perhatikan tabel berikut :

Jml. Server Service cost/menit Delay cost/menit Biaya total/menit

1 0,15 0,1x197,33333 $19,883333

2 2x0,15 0,1x97 $10,00000

3 3x0,15 0,1x62,66667 $6,716667

4 4x0,15 0,1x23,74753 $2,974753

5 5x0,15 0,1x1,13778 $0,863778

6 6x0,15 0,1x0,29459 $0,929459

Dari tabel terlihat bahwa jumlah server yang optimal adalah lima.

4.6 Pembuatan software untuk optimisasi server dan mengetahui hasil pemodelan Antrian

Sekarang kita lihat sistem antrian yang terakhir yaitu sistem antrian



/ / / /

/M s GD c

M , di dalam sistem antrian ini sebenarnya sudah mencakup semua sistem antrian yang dibahas sebelumnya, yaitu untuk 1s n , dan sc.

Dengan demikian bila kita membuat program untuk sistem antrian



/ / / /

/M s GD c

M , dengan 1sn , dan sc maka program ini akan berfungsi untuk semua sistem antrian yang telah dibahas di depan, yaitu sistem antrian

 / / / 1 / /M GD

M , sistem antrian M/M/1/GD/c/, sistem antrian

 / / / / /M s GD

(14)

Berikut ini sebuah program dalam bahasa pascal yang berguna untuk mengetahui Hal-hal penting dalam suatu sistem antrian M/M/s/G/c/, dengan 1sn , dan

 

c

s , juga berguna untuk mengoptimalkan jumlah server sehingga meminimalkan biaya total yang ada dalam suatu antrian. Tentu saja program ini masih sangat sederhana dan masih banyak yang harus dikembangkan lagi.