BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum untuk matriks atas aljabar maks-plus.
2.1
Tinjauan Pustaka
Ide aljabar maks-plus ditemukan pertama kali pada tahun 1950-an tetapi te-ori aljabar maks-plus mulai berkembang pada tahun 1960-an (Tam [14]). Dalam aljabar maks-plus nilai eigen dan vektor eigen penting dalam penyelesaian suatu sistem ataupun untuk menentukan kestabilan suatu sistem. Penelitian yang di-laksanakan Binding dan Volkmer [3] maupun Cuninghame-Green dan Butkoviˇc [5] menjelaskan tentang masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum pa-da aljabar maks-plus. Papa-da hasil penelitian yang dituliskan Binding pa-dan Volkmer [3] menjelaskan mengenai masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum untuk matriks tak tereduksi nonnegatif. Sedangkan dalam penelitian yang telah dilakukan Elsner dan van den Driessche [6] menjelaskan suatu algoritma metode pangkat untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen. Adapun Cuninghame-Green dan Butkoviˇc [5] dalam penelitiannya telah membahas mengenai masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum untuk matriks pada aljabar maks-plus. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dibahas mengenai penyelesaian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum untuk matriks atas aljabar maks-plus.
2.2
Teori Penunjang
Pada bagian ini dijelaskan definisi dan teori untuk mendukung tujuan dari penelitian. Berikut definisi dan teorema tentang struktur aljabar biasa, aljabar maks-plus, matriks atas aljabar maks-plus, graf dalam aljabar maks-plus, nilai eigen dan vektor eigen.
2.2.1
Struktur Aljabar Biasa
Mengacu pada Herstein [9], berikut sifat-sifat aljabar biasa pada operasi penjumlahan dan perkalian.
1. Tertutup
Ambil sebarang x, y ∈ R, sifat tertutup dipenuhi jika terdapat z1, z2 ∈ R
dan berlaku
x + y = z1.
x× y = z2.
2. Assosiatif
Ambil sebarang x, y, z ∈ R berlaku
(x + y) + z = x + (y + z). (x× y) × z = x × (y × z). 3. Komutatif
Ambil sebarang x, y ∈ R berlaku
x + y = y + x. x× y = y × x.
4. Distributif
Ambil sebarang x, y, z ∈ R berlaku
x(y + z) = xy + xz.
5. Terdapat elemen identitas yaitu 0 terhadap operasi + dan 1 terhadap ope-rasi × dan berlaku
x + 0 = 0 + x = x. x× 1 = 1 × x = x.
Berikut tiga definisi dalam aljabar biasa mengacu pada Herstein [9].
Definisi 2.2.1. Himpunan G disebut semigrup terhadap operasi biner + dan ×
jika berlaku sifat tertutup dan assosiatif.
Definisi 2.2.2. Himpunan G disebut monoid terhadap operasi biner + dan ×
jika berlaku sifat tertutup, assosiatif, dan mempunyai elemen identitas.
Definisi 2.2.3. Himpunan G disebut grup terhadap operasi biner + dan × jika
memenuhi sifat tertutup, assosiatif, terdapat unsur identitas, dan setiap unsur dalam G memiliki invers.
Menurut Subiono [12], berikut definisi mengenai semiring dan semilapangan dalam aljabar biasa.
Definisi 2.2.4. Suatu semiring (S, +,×) adalah himpunan tak kosong S disertai
dengan operasi biner + dan ×, yang memenuhi aksioma
1. (S, +) adalah semigrup komutatif dengan elemen identitas 0, yaitu∀x, y, z ∈ S memenuhi
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x + 0 = 0 + x = x.
2. (S,×) adalah semigrup dengan elemen identitas 1, yaitu ∀x, y, z ∈ S me-menuhi
(x× y) × z = x × (y × z)
3. Sifat penyerap elemen netral 0 terhadap operasi×, yaitu ∀x ∈ S memenuhi x× 0 = 0 × x = 0.
4. Operasi × distributif terhadap operasi +, yaitu ∀x, y, z ∈ S berlaku
(x + y)× z = (x × z) + (y × z)
x× (y + z) = (x × y) + (x × z).
Definisi 2.2.5. Suatu semiring komutatif (S, +,×) dinamakan semilapangan bila
setiap elemen x di S − {0} mempunyai invers terhadap operasi ×, yaitu untuk setiap x di S− {0} ada x−1 sehingga x× x−1 = x−1× x = 1.
2.2.2
Aljabar Maks-Plus
Berikut ini adalah definisi dari aljabar maks-plus menurut Tam [14].
Definisi 2.2.6. Aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring ¯R = R ∪
{∞}, yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan ”⊕ = max” dan perkalian
”⊗ = +”. Elemen identitas untuk penjumlahan ϵ = −∞ dan elemen identitas
untuk perkalian e = 0.
Berikut sifat-sifat aljabar maks-plus dengan a, b, c∈ ¯R menurut Heidergott [8]. 1. Asosiatif a⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c a⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c. 2. Komutatif a⊕ b = b ⊕ a a⊗ b = b ⊗ a. 3. Distributif a⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
4. Terdapat elemen identitas yaitu ϵ =−∞ untuk operasi ⊕ dan e = 0 untuk operasi ⊗ a⊕ ϵ = ϵ ⊕ a = a a⊗ e = e ⊗ a = a. 5. Idempoten a⊕ a = a.
Definisi 2.2.7. Misalkan a, b∈ R, b disebut invers dari a apabila
a⊗ b = 0 = b ⊗ a dan dinotasikan b = a−1.
2.2.3
Matriks atas Aljabar Maks-Plus
Menurut Farlow [7] dan Tam [14], operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks atas aljabar maks-plus atas ¯R sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks atas R. Diambil sembarang matriks A dan B dengan elemen dalam ¯R.
1. Operasi Penjumlahan
Diambil sebarang matriks A dan B yang berukuran m× n, yaitu
A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . . . ... am1 am2 . . . amn dan B = b11 b12 . . . b1n b21 b22 . . . b2n .. . ... . . . ... bm1 bm2 . . . bmn .
Elemen-elemen pada baris ke-i kolom ke-j dari matriks A dan B dinotasikan
aij dan bij untuk i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n. Elemen aij dapat juga
dituliskan sebagai [A]ij. Operasi penjumlahan atas R dinotasikan dengan
⊕ sehingga penjumlahan matriks A dan B dalam dapat ditulis dengan Am×n⊕ Bm×n = [A⊕ B]ij = (aij ⊕ bij) = (maks{aij, bij})
2. Operasi Perkalian
(a) Perkalian matriks dengan matriks
Diambil sembarang matriks A yang berukuran m × p dan B yang berukuran p× n, yaitu A = a11 a12 . . . a1p a21 a22 . . . a2p .. . ... . . . ... am1 am2 . . . amp dan B = b11 b12 . . . b1n b21 b22 . . . b2n .. . ... . . . ... bp1 bp2 . . . bpn .
Operasi perkalian atas R dinotasikan dengan ⊗ sehingga perkalian matriks A dan B atasR dapat ditulis dengan
Am×p⊗Bp×n = p
⊕
k=1
(aik⊗bkj) = (maks{ai1+b1j, ai2+b2j, . . . , aip+bpj}).
(b) Perkalian skalar dengan matriks
Diberikan skalar α∈ R dan sebarang matriks A yang berukuran m×n. Perkalian skalar α dengan matriks A dapat ditulis dengan
α⊗ A = (α ⊗ aij) dengan i = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n. Contoh 2.2.1. 3 5 0 6 ⊕ 0 8 1 5 = 3 8 1 6 Contoh 2.2.2. 1 2 −2 3 ⊗ 4 1 = 5 4 Contoh 2.2.3. 2⊗ 5 −3 3 2 = 7 −1 5 4
Menurut Tam [14] matriks A ≤ B jika untuk setiap (aij) ≤ (bij). Untuk
setiap matriks-matriks A, B, C, dan vektor-vektor x, y dengan ukuran yang sesuai, serta α, β ∈ R dapat ditunjukkan bahwa
1. A⊗ (α ⊗ B) = α ⊗ (A ⊗ B), 2. α(A⊕ B) = α ⊗ A ⊕ α ⊗ B,
3. xT ⊗ α ⊗ y = α ⊗ (xT ⊗ y) dengan T adalah transpose, 4. (α⊕ β) ⊗ A = α ⊗ A ⊕ β ⊗ A,
5. A≤ B =⇒ A ⊕ C ≤ B ⊕ C, 6. A≤ B =⇒ A ⊗ C ≤ B ⊗ C, 7. x ≤ y =⇒ A ⊗ x ≤ A ⊗ y, 8. A≤ B ⇐⇒ A ⊕ B = B.
Kemudian, Tam [14] mendefinisikan matriks diagonal dan matriks identitas sebagai berikut.
Definisi 2.2.8. Misalkan a, b, c, . . . , adalah bilangan real. Matriks diagonal
di-definisikan dengan diag(a, b, c, . . .) = a ϵ ϵ . . . ϵ ϵ b ϵ . . . ϵ ϵ ϵ c . . . ϵ .. . ... ... . .. ... ϵ ϵ ϵ . . . .
Dari Definisi 2.2.8, didefinisikan matriks identitas seperti yang dapat dilihat pada Definisi 2.2.9
Definisi 2.2.9. Matriks identitas adalah suatu matriks diagonal dengan semua
Dari Definisi 2.2.9, itu berarti I ⊗ A = A = A ⊗ I untuk setiap matriks A dan I dengan ukuran-ukuran yang sesuai. Selanjutnya, matriks A0 = I untuk setiap matriks bujur sangkar.
Berdasarkan Cuninghame-Green dan Butkoviˇc [5], didefinisikan matriks permutasi dan matriks permutasi yang diperumum. Setiap matriks yang da-pat diperoleh dari matriks identitas dengan permutasi pada baris-baris dan/atau kolom-kolom disebut matriks permutasi. Setiap matriks yang dapat diperoleh dari matriks diagonal dengan permutasi pada baris-baris dan/atau kolom-kolom disebut matriks permutasi yang diperumum.
Berdasarkan Tam [14], berikut diberikan definisi mengenai matriks konju-gat. Didefinisikan Rm×n adalah R dengan matriks yang berukuran m × n.
Definisi 2.2.10. Misalkan A = (aij) ∈ R m×n
. Konjugat dari matriks A yaitu A∗ = (a∗ij). Ini diperoleh dari negasi dan transpose matriks A. Secara matematis,
A∗ dapat dituliskan dengan A∗ =−AT.
Definisi 2.2.11. Misalkan A∈ Rn×n, A disebut invertible apabila ada B ∈ Rn×n sedemikian sehingga A⊗ B = I = B ⊗ A.
Definisi 2.2.12. Misalkan A∈ Rn×n. Ak = A⊗ A ⊗ . . . ⊗ A
| {z }
k
.
2.2.4
Graf dalam Aljabar Maks-Plus
Berikut ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai graf dalam aljabar maks-plus menurut Schutter [10].
Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan (V, E), dengan V adalah su-atu himpunan yang anggotanya disebut vertex dan E adalah susu-atu himpunan pasangan vertex. Anggota dari E disebut edge. Suatu digraf (graf berarah) G didefinisikan sebagai pasangan (V, A), dengan V adalah suatu himpunan vertex dan A adalah suatu himpunan pasangan vertex. Anggota dari A disebut arc.
Definisi 2.2.13. Misalkan A ∈ Rn×n. Graf precedence dari A dinotasikan oleh G(A) adalah digraf (graf berarah) berbobot dengan vertex 1, . . . , n dimana terdapat arc (j, i) dengan bobot aij untuk aij ̸= −∞.
Graf precedence G(A) dikatakan strongly connected jika untuk setiap dua
vertex yang berbeda i, j terdapat sebuah path dari i ke j, dimana pengertian path adalah barisan dari vertex i1, i2, . . . , ik sehingga terdapat sebuah arc dari ij
ke ij+1, untuk j = 1, . . . , k− 1.
Definisi 2.2.14. Suatu matriks A ∈ Rn×n dikatakan tak tereduksi jika graf pre-cedence G(A) adalah strongly connected.
Sebaliknya, jika graf precedence G(A) tidak strongly connected, maka ma-triks A adalah mama-triks tereduksi.
Sebagai contoh, diberikan matriks A dan B yang diambil dari Andersen [1]
A = 2 3 −∞ −∞ 4 1 5 −∞ −∞ B = 2 3 −∞ −∞ 4 −∞ 5 1 −∞
Gambar 2.1. (a) Graf Precedence G(A) (Kiri), (b) Graf Precedence G(B) (Kanan). Dari gambar 2.1.(a), terlihat bahwa graf precedence G(A) strongly
connect-ed, sehingga matriks A merupakan matriks taktereduksi. Sedangkan pada gambar
2.1.(b), terlihat bahwa graf precedenceG(B) tidak strongly connected karena tidak terdapat path dari v3 menuju vertex lainnya, sehingga matriks B merupakan
matriks tereduksi.
2.2.5
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut ini pengertian nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dalam aljabar maks-plus menurut Subiono [12].
Pengertian nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari suatu matriks persegi A yang berukuran n×n sebagaimana dijumpai dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam aljabar maks-plus, yaitu bila diberikan suatu persamaan
A⊗ x = λ ⊗ x
dalam hal ini masing-masing vektor x ∈ Rn×n dan skalar λ ∈ R
berturut-turut dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor
x ̸= (ϵ, ϵ, . . . , ϵ)T. Subiono dan van der Woude [13] menjelaskan berikut ini
me-rupakan suatu algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A∈ Rn×n yang dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linear
x(k + 1) = A⊗ x(k), k = 0, 1, 2, . . . (2.1) 1. mulai dari sembarang nilai awal x(0)̸= (ε, ε, . . . , ε)T,
2. iterasi persamaan (2.1) hingga terdapat bilangan bulat p dan q dengan
p > q ≥ 0 serta bilangan real c sehingga terjadi suatu perilaku periodik
atau memenuhi x(p) = c⊗ x(q), 3. hitung nilai eigen λ = p−qc , 4. hitung vektor eigen
v =
p−q
⊕
i=1
(λ⊗(p−q−i)⊗ x(q + i − 1)).
Definisi 2.2.15. (Tam [14]) Diberikan A∈ Rn×n dan λ∈ R. Didefinisikan
(i) V (A, λ) ={x ∈ Rn| A ⊗ x = λ ⊗ x}, (ii) Λ(A) ={λ ∈ R | ∨(A, λ) ̸= {ϵ}}, (iii) V (A) =∪λ∈∧(A)∨(A, λ),
(iv) V+(A, λ) =∨(A, λ) ∩ Rn,
2.3
Kerangka Pemikiran
Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat dibentuk kerangka pemikiran untuk menyelesaikan masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum untuk ma-triks atas aljabar maks-plus. Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperu-mum membentuk persamaan
A⊗ x = λB ⊗ x
di dalam persamaan tersebut ada matriks B yang menyebabkan bentuk yang diperumum. Akan tetapi pada persamaan (2.3) untuk matriks nonnegatif. Dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum akan ditentukan sebarang matriks B yang sesuai dengan banyaknya nilai eigen dan vektor eigen. Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum ini mengacu pada Binding dan Volkmer [3]. Dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum untuk matriks tak tereduksi dan matriks tereduksi yang mengacu pada Cuninghame-Green dan Butkoviˇc [5] disajikan dalam bentuk
A⊗ x = λ ⊗ B ⊗ x.
Adapun untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen mengacu pada algoritma metode pangkat yang telah dijelaskan Elsner dan van den Driessche [6].
