1 1.1 Latar Belakang
Perusahaan asuransi menawarkan berbagai produk untuk menarik minat banyak orang agar mau menjadi pemegang polis pada perusahaan tersebut. Salah satu produk asuransi tersebut adalah produk asuransi kesehatan yang lebih dari satu nilai atau manfaat, misalnya produk asuransi klaim obat-obatan (drugs claim), klaim biaya jasa dokter, dan lain sebagainya. Perhitungan premi produk tersebut dipengaruhi oleh jumlah klaim (frekuensi) dan besarnya nilai uang (severitas) yang diajukan pemegang polis tiap tahunnya. Dengan demikian, klaim asuransi kesehatan harus dimodelkan berdasarkan frekuensi dan severitasnya.
Dalam memodelkan klaim pada asuransi kesehatan yaitu mencakup dua model utama diantaranya pertama, model yang berkaitan dengan kejadian klaim (frekuensi) dan kedua, model besarnya biaya klaim yang diajukan ke perusahaan asuransi (severitas). Dalam literatur sebelumnya, sejumlah model telah digunakan untuk memodelkan klaim asuransi kesehatan, baik frekuensi maupun model severitas. Untuk model frekuensi dan severitas dengan kesesuaian distribusi kerugian (loss distributions) baik univariat dan bivariat; Hogg & Klugman, 1984; Panjer & Willmot, 1992; Klugman et al., 1998; Klugman & Parsa, 1999; Watkins, 1999. Selain itu, untuk model lain menggunakan model regresi dengan tujuan segmentasi portofolio; Beirlant et al., 1998. Portofolio yang dimaksud adalah dengan memodelkan model severitas distribusi dengan asumsi klaim independen; Goovaerts and Dhaene , 1996. Semua kajian tersebut memodelkan klaim frekuensi
dan klaim severitas tersendiri dengan hanya satu manfaat polis saja. Escarela & Carriere (2006) menggunakan model klaim data bivariat yaitu klaim frekuensi dan severitas (dua jenis manfaat) dalam satu polis. Dalam satu periode asuransi, pemegang polis yang tidak mengajukan klaim, dalam hal ini dikatakan besarnya biaya klaim adalah nol. Akan tetapi, ada tidaknya klaim yang diajukan tetap akan dihitung dengan menggunakan model gabungan klaim frekuensi dan severitas untuk mengakomodasi kedua manfaat yang terdapat dalam polis.
Dalam hubungan (dependency) antara frekuensi dan severitas yang keduanya merupakan model marjinal, yang dalam hal ini bukanlah hal yang mudah untuk memodelkan keduanya secara bersama. Dalam literatur statistika, salah satu teknik yang bisa digunakan untuk menggabungkan dua distribusi data yang berhubungan dan memiliki model marjinal berbeda adalah dengan memanfaatkan distribusi bersama (joint distributions).
Pemodelan hubungan antara klaim frekuensi dan klaim severitas sebagai model regresi gabungan untuk frekuensi dan severitas klaim menggunakan bivariat copula sebagai akomodasi hubungan antara frekuensi klaim dan severitas. Metode copula tersebut memberikan suatu alternatif dalam mengkonstruksi distribusi bersama yang bersesuaian dengan distribusi marjinal yang ada. Sehingga metode copula dapat digunakan untuk menghubungkan model frekuensi klaim dan model severitas klaim dengan masing-masing model marjinal yang dipengaruhi oleh kovariat yaitu usia, jenis kelamin atau yang lainnya.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang permasalahan tersebut berikut ini dapat penulis rumuskan beberapa permasalah yang menjadi kajian dalam penelitian yaitu : 1. Bagaimana mendapatkan model klaim frekuensi dan distribusi severitas. 2. Bagaimana mendapatkan model pada klaim frekuensi dan distribusi severitas
dengan nilai manfaat yang berbeda.
3. Bagaimana mengaplikasikan model pada klaim frekuensi dan severitas pada salah satu contoh kasus dalam bentuk simulasi.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian dari tesis ini adalah sebagai berikut :
1. Untuk mendapatkan model pada klaim frekuensi dan distribusi severitas. 2. Untuk mendapatkan model pada klaim frekuensi dan severitas pada nilai
manfaat yang berbeda.
3. Mampu mengimplementasikan model klaim frekuensi dan severitas dalam produk asuransi dalam bentuk simulasi.
Selain itu pada konteks akademik, penelitian ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam meraih gelar master dalam bidang matematika pada program studi matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada (UGM). Sedangkan pada konteks praktis, penelitian ini dimaksudkan untuk memperkaya khazanah riset bidang ilmu aktuaria.
1.4 Pembatasan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah diatas, penulis memberikan batasan masalah dalam penelitian ini. Batasan masalah sangat diperlukan untuk menjamin keabsahan dalam kesimpulan yang diperoleh. Agar tidak terjadi penyimpangan dari tujuan semula dan pemecahan masalah lebih terkonsentrasi, maka pembahasan akan difokuskan pada :
1. Mendeskripsikan suatu model klaim frekuensi dan klaim severitas bivariat pada nilai manfaat yang berbeda dengan pendekatan copula yaitu copula Frank dan tiga parameter pada distribusi Burr.
2. Melakukan simulasi pada model klaim frekuensi dan klaim severitas bivariat pada nilai manfaat yang berbeda dengan pendekatan copula yaitu copula Frank dan tiga parameter pada distribusi Burr.
1.5 Tinjauan Pustaka
Dasar model pada klaim frekuensi dan severitas adalah probabilitas frekuensi dan distribusi severitas. Pada literatur sebelumnya, pernah membahas analisis univariat dan bivariat distribusi severitas yang diteliti oleh Hogg & Klugman (1984) dan analisis regresi model untuk portofolio segmentasi oleh Beirlant (1998).
McCullagh & Nelder (1989) membahas tentang model linear tergeneralisasi (generalized linear model) yang nantinya akan digunakan sebagai langkah awal dalam memodelkan probabilitas frekuensi dengan model logistik tergeneralisasi (generalized logistic models) yang dikemukakan Cox & Snell.
Cox & Snell (1989) mengemukakan bahwa model regresi logistik biner bivariat merupakan pengembangan dari model regresi logistik biner, yang sebelumnya dibahas tentang model regresi biner oleh David Collet. Collet (2006) mengemukakan bahwa model regresi yang bersifat biner ini berasal dari data biner dengan dua variabel respon, yang mana sebelumnya juga telah dikemukakan oleh Seber & Lee dalam bukunya Seber & Lee (2003) tentang analisa regresi linear. Lebih lanjut, pada model regresi logistik biner bivariat yang dikemukakan oleh Cox & Snell bahwa struktur datanya mempunyai dua variabel respon yang saling berpasangan, dan masing-masing variabel respon berbentuk diskrit dengan berkategorikan biner dengan asumsi terdapat ketergantungan antara variabel respon.
Danardono (2014) menjelaskan bahwa dalam merancang dan memproses generasi data (data generating process) dari model regresi diperlukan nilai observasi yang nantinya dapat menginformasikan kedalam tabel maupun data.
Christensen (1997) mereview tentang informasi observasi berupa distribusi yang digunakan dalam menganalisa dari tabel kontingensi yaitu : Binomial, Multinomial, product Multinomial, dan Poisson.
Bain and Engelhardt (1992) menjelaskan dasar-dasar probabilitas yang nantinya berguna untuk memahami dan menjelaskan beberapa definisi probabilitas, probabilitas bersyarat, variabel random serta harga harapan (expected value). Lebih lanjut, Seldon M Ross dalam bukunya Ross (2010) membahas tentang distribusi gabungan (joint distributions) baik itu distribusi gabungan diskrit maupun distribusi gabungan kontinu.
Nelsen (1999) mengembangkan metode copula yang merupakan pendekatan yang berguna untuk memahami dan mendeteksi struktur dependensi variabel random. Konsep copula dikenalkan pertama kali oleh A. Sklar pada tahun 1959. Konsep copula ini mensyaratkan adanya distribusi marjinal yang sama, sehingga dapat digunakan untuk sembarang variabel random. Copula berguna mendefinisikan pengukuran independensi maupun dependensi diantara random variabel.
Analisa dari dua variabel yang memiliki distribusi marjinal (tidak harus berdistribusi Normal) dijelaskan oleh Frees dan Valdes (1998). Didalam tulisannya, mereka menjelaskan konsep copula, sifat dasar copula, hubungan copula dengan ukuran ketergantungan, dan beberapa keluarga dari copula yang telah muncul dalam literatur.
Disamping itu, Frees dan Wang (2005) juga mengembangkan penggunaan copula untuk memprediksi kerugian pada tahun yang akan datang berdasarkan besarnya klaim pada tahun-tahun sebelumnya yang melibatkan kovariat yang digunakan dalam model marjinal frekuensi klaim dan model marjinal severitas klaim.
Cunningham (2006) membahas tentang proses kedatangan klaim dalam periode waktu tertentu dan distribusi probabilitas yang menyatakan total finansial atau pembayaran finansial dalam pembayaran klaim dengan asumsi severitas dan distribusi probabilitas dari jumlah kerugian. Klugman, Panjer, & Willmont (1998) mengemukakan bahwa tingkat kerugian (severitas) dapat dimodelkan dari distribusi kerugian (loss distributions).
Carriere, J. (1979) dalam artikelnya yang berjudul Testing independence in bivariate distributions of claim frequencies and severities, membahas tentang pengujian hipotesa variabel independen pada klaim frekuensi dan severitas. Distribusi dari uji statistik yaitu dengan menggunakan pendekatan metode bootstrap.
Febi (2015) mengemukakan dalam tesisnya bahwa frekuensi klaim mengikuti distribusi Poisson dan severitas klaim mengikuti distribusi Gamma. Untuk memodelkan frekuensi dan severity klaim menggunakan copula Archimedean, antara lain copula Clayton, copula Gumbel, copula Frank. Yang selanjutnya digunakan untuk mengestimasi kerugian total (total loss). Metode estimasi yang digunakan adalah kemungkinan maksimal (Maximum Likelihood Estimation/MLE).
1.6 Metode Penelitian
Penelitian tentang model ini dilakukan dengan dua tahap. Tahap pertama berupa studi kepustakaan yang diperoleh dari sumber resmi seperti buku-buku di perpustakaan, jurnal-jurnal, situs-situs pendukung yang tersedia di internet, maupun bimbingan dari dosen pembimbing. Selanjutnya pada tahap kedua yaitu dengan simulasi model. Dalam melakukan simulasi model ini, dimulai dengan membangkitkan beberapa data yang selanjutnya dapat menentukan model klaim frekuensi dan distribusi severitas klaim dengan nilai bivariat. Pengolahan data menjadi model simulasi yaitu dengan menggunakan perangkat lunak (software) program R versi 3.2.3.
1.7 Sistematika Penulisan
Tesis ini disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut : BAB I Pendahuluan
Bab ini berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan yang memberikan arah terhadap penulisan. BAB II Landasan Teori
Bab kedua merupakan landasan teori yang membahas tentang teori dasar yang menunjang pembahasan tentang model klaim frekuensi dan severitas dengan nilai klaim bivariat, antara lain adalah teori probabilitas, fungsi distribusi, generalized linear model, generalized logistic models, model mixture, copula, serta korelasi Kendall’s tau sebagai pengantar copula.
BAB III Pembahasan
Bab ini menjelaskan topik materi tesis yang diangkat untuk membahas tentang pembatasan masalah.
BAB IV Simulasi Model
Berisi penjelasan aplikasi model yang digunakan pada bab sebelumnya dan memberikan pembahasan sejauh mana implikasi hasil aplikasi tersebut yang dapat dijadikan bahan simpulan.
BAB V Penutup
Pada bab ini berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan pada bab-bab sebelumnya dan saran berdasarkan untuk kelanjutan dari pembahasan dalam tesis ini pada khususnya dan perkembangan ilmu aktuaria pada umumnya.
