REPRSENTASI FUNGSI BOOLE PADA GRAF KUBUS

p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392

REPRSENTASI FUNGSI BOOLE PADA GRAF KUBUS

Wulan Cahyani

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman

wulanchy@yahoo.com Siti Rahmah Nurshiami

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman

Ari Wardayani

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman

ABSTRACT. This research discussed about range of simplification Boole functions with 2, 3, 4 and 5 variables in a graph Cube. Two vertices of the cube graph is connected if and only if their binary representations differ in a single digit. Representation of Boolean function with two variable are lines with two vertices adjacent have one bits in the same position. Representation of Boolean functions with 3 variable are line and square, with two vertices adjacent have two bits in the same position and square with four vertices adjacent have a 1 bit in the same position, respectively. Representation of Boolean function with 4 variable are line, square, and cube, with two vertices adjacent have 3 bits at the same position, four vertices adjacent have two bits in the same position, 8 vertices adjacent have one bit in the same position, respectively. Representation of Boolean function with 5 variable are line, square, cube, tesseract, with two vertices adjacent having 4 bits in the same position, four vertices adjacent have 3 bits at the same position, 8 vertices adjacent have two bits in the same position and 16 vertices adjacent have one bit in the same position.

Keywords: Boole function, graph Cube, Gray code, K-Map

ABSTRAK. Penelitian ini mengkaji representasi fungsi Boole dengan 2, 3, 4 dan 5 variabel pada graf Kubus. Dua simpul pada graf kubus terhubung jika dan hanya jika bit pada string yang direpresentasikan berbeda tepat satu bit. Representasi fungsi Boole dengan 2 variabel berbentuk garis apabila 2 simpul bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama. Representasi fungsi Boole dengan 3 variabel berbentuk garis apabila 2 simpul yang bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama, berbentuk persegi apabila 4 simpul bertetangga memiliki 1 bit

dengan posisi yang sama. Representasi fungsi Boole dengan 4 variabel masing-masing berbentuk garis, atau persegi, atau, kubus dengan 2 simpul bertetangga memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, atau 4 simpul bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama, atau kubus dengan 8 simpul bertetangga memiliki 1 bit dengan posisi yang sama. Representasi fungsi Boole dengan 5 variabel masing-masing berbentuk garis, atau persegi, atau kubus, atau bangun 4 dimensi dengan 2 simpul bertetangga memiliki 4 bit dengan posisi yang sama, 4 simpul bertetangga memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, 8 simpul bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama, 16 simpul bertetangga memiliki 1 bit dengan posisi yang sama.

Kata Kunci: fungsi Boole, graf kubus, K-Map, Kode gray

1. PENDAHULUAN

Aljabar Boole pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Inggris, George Boole pada tahun 1854. Dalam buku The Laws of Thought, Boole memaparkan aturan-aturan dasar logika yang kemudian dikenal sebagai logika Boole. Aturan dasar logika ini membentuk sistem matematika yang disebut Aljabar Boole. Pada tahun 1938, Claude Shannon memperlihatkan penggunaan Aljabar Boole untuk merancang rangkaian sirkuit yaitu rangkaian pengalihan telepon. Rangkaian pengalihan telepon bekerja dengan mode operasi biner. Aljabar Boole telah menjadi dasar teknologi komputer digital karena rangkaian elektronik didalam komputer juga bekerja dengan mode operasi biner. Saat ini Aljabar Boole digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian pensaklaran, rangkaian digital.

Pada Aljabar Boole terdapat variabel-variabel yang membentuk fungsi Boole. Fungsi Boole dapat disajikan dalam bentuk Sum of Product (SOP) dan Product of Sum (POS). Fungsi-fungsi Boole tersebut dapat diimplementasikan menjadi rangkaian digital. Penyederhanaan fungsi Boole bertujuan untuk mendapatkan rangkaian yang lebih sederhana, karena jumlah gerbang yang terbentuk lebih sedikit. Beberapa metode untuk menyederhanakan fungsi Boole, yaitu secara aljabar menggunakan aksioma Aljabar Boole, metode Peta Karnaugh (K-Map), metode Tabulasi (Quine-McCluskey) dan metode Map Entered

Dalam penelitian ini akan digunakan metode Peta Karnaugh, yaitu metode grafis untuk menyederhanakan fungsi Boole. Banyaknya variabel pada fungsi Boole berpengaruh pada banyaknya kotak yang terbentuk pada K-Map. Semakin banyak variabel yang digunakan maka semakin banyak pula kotak yang terbentuk pada K-Map. Pada K-Map kotak-kotak bernilai 1 dapat dikelompokan sehingga memudahkan untuk penyederhanaan fungsi Boole. Kode gray pada K-Map dapat diinterpretasikan kedalam graf kubus (Q ), yaitu graf yang simpulnya _n merepresentasikan string sebanyak 2n bit. Penulis tertarik untuk menentukan hasil penyederhanaan fungsi Boole pada graf kubus. Adapun tujuan dari penelitian ini yaitu mengkaji bentuk graf kubus untuk fungsi Boole dengan 2, 3, 4 dan 5 variabel dan representasi fungsi boole pada graf kubus.

2. HASIL PENELITIAN

Bagian ini membahas mengenai penyederhanaan fungsi Boole, bentuk graf kubus serta representasi fungsi Boole dengan 2, 3, 4 dan 5 variabel pada graf kubus.

2.1 Representasi Fungsi Boole dengan 2 Variabel pada Graf Kubus

Kode gray pada K-Map 2 variabel yaitu 00, 01, 11 dan 10 dapat direpresentasikan ke dalam graf kubus. Berikut representasi fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole dengan 2 variabel yang dinotasikan Q₂.

Gambar 1 Representasi fungsi Boole pada graf Q₂

Diberikan fungsi Boole f a b( , )a b ab'  . Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f a b( , )a b ab'  _adalah b. _Berikut representasi fungsi Boole f a b( , )a b ab'  _pada Q₂.

00

10

01

11

Gambar 2Representasi fungsi Boole f a b( , )a b ab'  pada Q2

Diperoleh representasi fungsi Boole f a b( , )a b ab'  berbentuk garis. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 3 fungsi Boole dengan 2 variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.

2.2 Representasi Fungsi Boole dengan 3 Variabel pada Graf Kubus

Kode gray pada K-Map 3 variabel, yaitu 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, dan 100 dapat direpresentasikan ke dalam graf kubus. Berikut representasi fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole dengan 3 variabel yang dinotasikan Q₃.

Gambar 3 Representasi fungsi pada graf Q₃

Diberikan fungsi Boole f a b c( , , )a b c' ' a bc' abcab c' . Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole

( , , ) ' ' '

f a b c a b ca bc abc ab c ' adalah c. Berikut representasi fungsi Boole ( , , ) ' ' '

f a b c a b ca bc abc ab c ' pada graf kubus Q₃.

00

10

01

11

b

00

0

01

0

00

1

01

1

10

1

11

1

10

0

11

0

Gambar 4Representasi fungsi Boole ( , , ) ' ' ' '

f a b c a b ca bcabcab c pada Q₃

Diperoleh representasi fungsi Boole f a b c( , , )a b c' ' a bc' abcab c' berbentuk bidang. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 5 fungsi Boole dengan tiga variabel yang memiliki 4 minterm juga berbentuk bidang.

Kemudian diberikan fungsi Boole f a b c( , , )a b c' ' a bc' . Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole

( , , ) ' ' '

f a b c a b ca bc adalah a c . Berikut representasi fungsi Boole ' ( , , ) ' ' '

f a b c a b ca bc _{pada graf} Q3.

Gambar 5Representasi fungsi Boole f a b c( , , )a b c' ' a bc' pada Q3

Diperoleh representasi fungsi Boole f a b c( , , )a b c' ' a bc' berbentuk garis. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 11 fungsi Boole dengan tiga variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.

000

010

001

011

101

111

100

110

c

000

010

001

011

101

111

100

110

2.3 Representasi Fungsi Boole dengan 4 Variabel pada Graf Kubus

Kode gray pada K-Map 4 variabel, yaitu 0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0111, 0101, 0100, 1100, 1101, 1111, 1110, 1010, 1011, 1001, dan 1000 dapat direpresentasikan ke dalam graf kubus. Berikut representasi fungsi Boole pada graf Q₄. 0000 1000 1100 0100 0010 1010 1110 0110 0111 1111 1101 1001 0001 0011 1011 0101

Gambar 6Representasi fungsi Boole pada graf Q₄

Diberikan fungsi Boole f a b c d( , , , ) (0,1, 4,5,8,9,12,13). Dengan mengguna kan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f a b c d( , , , ) (0,1, 4,5,

8,9,12,13) adalah _{c Berikut representasi fungsi Boole} '. f a b c d( , , , ) (0,1, 4,5, 8,9,12,13) _{pada graf} Q₄.

Gambar 7Representasi fungsi Boole ( , , , ) (0,1, 4,5,8,9,12,13)

f a b c d   pada graf Q₄

Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f a b c d( , , , ) (0,1, 4,5,8,9, 12,13) berbentuk ruang. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 7 fungsi Boole dengan 4 variabel yang memiliki 8 minterm juga berbentuk ruang.

Kemudian diberikan fungsi Boole f a b c d( , , , )a b c d' ' ' 'a bc d' ' ' ' ' ' ' '

abc d ab c d . Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f a b c d( , , , )a b c d' ' ' 'a bc d' ' ' abc d' 'ab c d' ' 'adalah c d' '. Berikut representasi fungsi Boole f a b c d( , , , ) a b c d' ' ' 'a bc d' ' 'abc d' '

' ' '

ab c d pada graf Q₄.

Gambar 8 Representasi fungsi Boole ( , , , ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

f a b c d a b c d a bc d abc d ab c d pada graf Q₄

Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f a b c d( , , , )a b c d' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' '

a bc d abc d ab c d berbentuk bidang. Dengan cara yang sama diperoleh 26 representasi fungsi Boole dengan 4 variabel yang memiliki 4 minterm juga berbentuk bidang .

Selanjutnya, diberikan fungsi Boole f a b c d( , , , )a b c d' ' ' 'a bc d' ' '. Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole

( , , , ) ' ' ' '

f a b c d a b c d  a bc d adalah ' ' ' a c d' ' '. Berikut representasi fungsi Boole f a b c d( , , , ) _{' ' ' '}a b c d  a bc d pada ' ' ' Q_4.

Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f a b c d( , , , )a b c d' ' ' 'a bc d' ' ' berbentuk garis. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 32 fungsi Boole dengan 4 variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.

2.4 Representasi Fungsi Boole dengan 5 Variabel pada Graf Kubus

Kode gray pada K-Map 5 variabel yaitu 00000, 00001, 00010, 00011, 00100, 00101, 00110, 00111, 01000, 01001, 01010, 01011, 01100, 01101, 01110, 01111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111, 11000, 11001, 11010, 11011, 11100, 11101, 11110, 11111 dapat di representasikan ke dalam graf kubus. Berikut representasi fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole dengan 5 variabel yang dinotasikan dengan Q₅.

Gambar 10_{Representasi fungsi Boole pada graf} Q5

Diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, f a b c d e( , , , , )  (8,9,10,11,12, 13,14,15, 24, 25, 26, 27, 28, 29,30,31). Dengan menggunakan K-Map diperoleh penyederhanaan fungsi Boole f a b c d e( , , , , ) (8,9,10,11,12,13,14,15, 24, 25,

26, 27, 28, 29,30,31) adalah b. Berikut representasi fungsi Boole f a b c d e( , , , , ) (8,9,10,11,12,13,14,15, 2425, 26, 27, 28, 29,30,31)

Gambar 11 Representasi fungsi Boole

( , , , , ) (8,9,10,11,12,13,14,15, 24, 25, 26, 27, 28, 29,30,31)

f a b c d e   _pada Q5

Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f a b c d e( , , , , )  (8,9,10,11, 12,13,14,15, 24, 25, 26, 27, 28, 29,30,31) berbentuk ruang 4 dimensi. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 9 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 16 minterm juga berbentuk ruang 4 dimensi.

Kemudian diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, ( , , , , ) (8,9,10, 25,

f a b c d e   26, 27). Dengan menggunakan K-Map diperoleh

hasil penyederhanaan fungsi Boole f a b c d e( , , , , ) (8,9,10,11, 24, 25, 26, 27) adalah _{bc Berikut representasi fungsi Boole} '. f a b c d e( , , , , ) (8,9,10,11, 24,

25, 26, 27) pada Q₅.

Gambar 12 Representasi fungsi Boole ( , , , , ) (8,9,10,11, 24, 25, 26, 27)

f a b c d e   pada Q₅

Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f a b c d e( , , , , ) (8,9,10,11, 24, 25, 26, 27) berbentuk ruang. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 36 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 8 minterm juga berbentuk ruang.

Selanjutnya diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, ( , , , , ) ' ' ' ' '

f a b c d e a b c d ea b c d e ab c d e' ' ' '  ' ' ' 'ab c d e' ' ' . Dengan menggu nakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole

( , , , , ) ' ' ' ' ' ' ' ' '

f a b c d e a b c d ea b c d e ab c d e' ' ' 'ab c d e' ' ' adalah _{b c d} ' ' ' Berikut representasi fungsi Boole f a b c d e( , , , , )a b c d e' ' ' ' 'a b c d e' ' ' ' 

' ' ' ' ' ' '

ab c d eab c d e pada Q₅.

Gambar 13 Representasi fungsi Boole ( , , , , ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

f a b c d e a b c d ea b c d e ab c d e ab c d e pada graf Q₅

Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f a b c d e( , , , , )a b c d e' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

a b c d e ab c d e ab c d e berbentuk bidang. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 80 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 4 minterm juga berbentuk bidang.

Diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, f a b c d e( , , , , )ab c de' '  ' ' '

ab c de . Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f a b c d e( , , , , )ab c de ab c de' '  ' ' ' adalah _{ab c d Berikut representasi} ' ' . fungsi Boole f a b c d e( , , , , )ab c de' ' ab c de pada ' ' ' Q5.

.

Gambar 14 Representasi fungsi Boole ( , , , , ) ' ' ' ' '

Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f a b c d e( , , , , )ab c de' '  ' ' '

ab c de berbentuk garis. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 80 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.

3. KESIMPULAN DAN SARAN 3.1 Kesimpulan

Berdasarkan pada bagian Hasil dan Pembahasan, diperoleh bahwa :

1. Graf Q₂ terdiri atas 4 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf Q₂

berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama.

2. Graf Q₃ terdiri atas 8 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf Q₃

berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi yang sama dan berbentuk bidang dengan 4 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama.

3. Graf Q4 terdiri atas 16 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf Q4 berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, berbentuk bidang dengan 4 simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi yang sama dan berbentuk ruang dengan 8 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama.

4. Graf Q₅ terdiri atas 32 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf Q₅

berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 4 bit dengan posisi yang sama, berbentuk bidang dengan 4 simpul yang memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, berbentuk ruang dengan 8 simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi yang sama dan berbentuk ruang 4 dimensi dengan 16 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama

3.2 Saran

Dalam skripsi ini, penulis membatasi masalah penyederhanaan fungsi Boole yaitu sampai dengan 5 variabel, dalam bentuk Sum of Product (SOP). Penulis menyarankan agar dilakukan pengkajian lebih lanjut untuk melakukan penentuan

daerah hasil penyederhanaan fungsi Boole untuk 6 atau lebih variabel, baik dalam bentuk Sum of Product (SOP) maupun Product of Sum (POS).

DAFTAR PUSTAKA

Arifin, A., Aljabar Linier, ITB, Bandung, 2000.

Berge, C., Graphs, Elsevier Science, North Holland, 1991. Munir, R., Matematika Diskrit, Informatika, Bandung, 2012.

Sukirman, Pengantar Aljabar Abstrak, FMIPA UNY, Yogyakarta, 2000.

Whitesitt, J. E., Boolean Algebra and its Application, Addison-Wesley, London, 1961.