Gelombang Datar Serbasama

Modul 3

EE2323 Elektromagnetika Telekomunikasi

Gelombang Datar Serbasama

Oleh :

Nachwan Mufti Adriansyah, ST

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 2

Organisasi

Modul 3

Gelombang Datar Serbasama

• A. Pendahuluan

page 3

• B. Penurunan Persamaan Gelombang

page 5

• C. Persamaan Gelombang

page 13

• D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

page 16

• E. Gelombang Datar Pada Ruang Hampa

page 21

• F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

page 24

• G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

page 27

A. Pendahuluan

Gelombang

adalah suatu fenomena alamiah yang terjadi dalam dimensi ruang dan waktu. Gelombang dapat diperhatikan sebagai

‘gangguan’ yang merambat dengan kecepatan tertentu.

Jika gangguan tersebut merambat ke satu arah, maka disebut sebagai gelombang 1-D.

Contohnya adalah gelombang datar ( plane

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 4

Pendahuluan

Gelombang EM yang dipancarkan suatu

sumber , akan merambat ke segala arah.

Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan

dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar.

Muka gelombang adalah titik-titik yang

memiliki fasa yang sama.

Amplitude medan pada bidang muka

gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama

Hampir berbentuk bidang datar

B. Penurunan Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang

dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan.

Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa

dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara

vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi…

1

1

0

0

r r V

















Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :

s s

j

H

E





















_s s

j

E

H



















0

E

_s











0

H











Perubahan E dan H sinusoidal ,

dengan pertimbangan bahwa perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 6

Penurunan Persamaan Gelombang

s s

j

H

E























H



_s









j





E



_s







E



_s



0







H



_s



0

Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.





s 2 s s

E

E

E







































0    E_s

Dari identitas vektor

s 2 s

E

E

























S s

j

H

E

































_s s j E H  





   





_s s

j

j

E

E





























Dari pers. Maxwell I

Didapatkan Persamaan Diferensial Vektor Gelombang Helmholtz, sbb : s





s 2

E

j

j

E



















Penurunan Persamaan Gelombang





_s s 2

E

j

j

E



















2 _s s 2

E

E













Dimana , Atau dapat dituliskan sbb : 2 _{= j} ₍ _{+ j}₎  disebut sebagai Konstanta propagasi

Kemudian, dengan uraian bahwa :

z 2 zs 2 2 zs 2 2 zs 2 y 2 ys 2 2 ys 2 2 ys 2 x 2 xs 2 2 xs 2 2 xs 2 s 2 aˆ z E y E x E aˆ z E y E x E aˆ z E y E x E E _                                               

Komponen x Komponen y Komponen z

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

0

0











_{z ys zs} y

E

E

E

E

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 8

Penurunan Persamaan Gelombang





_s s 2

E

j

j

E



















0

0











_{z ys zs} y

E

E

E

E





_s 2 xs 2 2 xs 2 2 xs 2 s 2

E

j

j

z

E

y

E

x

E

E





































Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E

tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :





_xs 2 xs 2

E

j

j

z

E















xs 2 2 xs 2

E

z

E

_

_







atau

Penurunan Persamaan Gelombang

xs xs E z E 2 2 2



  

Solusi

persamaan diferensial dapat dituliskan :

z

0

x

xs

E

e

E







dimana,  2 _{= j} ₍ _{+ j}₎  =  + j = Konstanta propagasi

Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :









x t j z j 0 x

e

e

aˆ

E

Re

)

t

(

E





   





_x

z

0

x

e

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E















Ingat kembali perubahan dari bentuk fasor ke bentuk waktu !!







































j

1

j

j

j

j

propagasi

konstanta

10

Penurunan Persamaan Gelombang

s s

j

H

E

















ys 0 y xs xs z y x

H

j

aˆ

z

E

0

0

E

z

y

x

aˆ

aˆ

aˆ



























y xs 0 ys

aˆ

z

E

j

1

H

















_y z 0 x

_e

_cos

_t

_z

_aˆ

E

H



















































_

j

1

1

j

j

H

E

intrinsik

impedansi

y x

Penurunan Persamaan Gelombang

Loss Tangent

Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent









tan

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi _{terhadap rapat arus pergeseran}

Nilai-Nilai Pendekatan

Untuk



0

,

1

















































j

1

2

12

Penurunan Persamaan Gelombang

E



H



P



Arah perambatan gelombang

Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan,





_x z 0 x

e

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E













 

_x0 z





_y

aˆ

z

t

cos

e

E

t

H













_







Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut

sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).

C. Persamaan Gelombang





_x

z

xo

e

cos

t

z

aˆ

E

E















Persamaan umum gelombang berjalan

Amplituda medan

 = konstanta redaman (neper/meter)

 = konstanta fasa (radian/meter)

Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah

sumbu-z positif.

Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah

Gelombang bergetar searah sumbu-x













meter

Volt

 =  + j = Konstanta Propagasi

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 14

Persamaan Gelombang

Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah

sumbu-x negatif , dan bergetar searah sumbu-z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz





_















m

A

aˆ

x

5

,

0

t

10

2

cos

e

100

H



2

x

6

_z

Amplitudo = 100 (A/m)

Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke

sumbu-x negatif Konstanta fasa = 2 (radian/m), merambat ke sumbu-x negatif Frekuensi = 1 MHz = 106 _Hertz Bergetar searah sumbu-z Jawab :

Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsi waktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar di samping.

Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalan dapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang berubah, maka suatu titik dengan amplitudo tertentu akan berubah posisi

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 16

D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

Teorema daya

untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

t

D

J

H





















Kedua ruas dikalikan dengan E





t D E E J H E                

Dengan Identitas vektor





t

D

E

E

J

E

H

H

E















































Dengan substitusi, t B E          H B   D  E





t

H

H

t

E

E

E

J

H

E





















































_













_





















2

H

2

E

t

E

J

H

E

2 2









              2 E t t E E 2                 2 H t t H H 2  

Vektor Poynting dan

Peninjauan Daya





_



































2

H

2

E

t

E

J

H

E

2 2









Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume





dV

2

H

2

E

t

dV

E

J

dV

H

E

V 2 2 V V



















































Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :





dV

2

H

2

E

t

dV

E

J

dS

H

E

V 2 2 V S

















































Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan

penyerapan/disipasi daya total pada volume

Ruas kanan :

Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik

Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/ tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut,

kemudian turunan

parsial terhadap waktu menyatakan daya

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 18

Didefinisikan

Vektor Poynting =

E



H



P



Arah perambatan gelombang

P

E

H











P



y y x x z

z

aˆ

E

aˆ

H

aˆ

P





E



H



Vektor Poynting dan

Peninjauan Daya

Vektor Poynting dan

Peninjauan Daya

Peninjauan Daya ...

Misalkan :





_x z 0 x

e

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E













 

x0 z





_y

aˆ

z

t

cos

e

E

t

H













_







Maka,

















z z 2 2 0 x z z 2 2 0 x

aˆ

z

2

t

2

cos

cos

e

E

aˆ

z

t

cos

z

t

cos

e

E

H

E

P

      





























































2

m

Watt













2

m

Watt

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 20

Vektor Poynting dan

Peninjauan Daya

Daya Rata-Rata ...

  

_









e

cos

2

E

dt

P

T

1

P

2 z 2 0 x T 0 z av , z

• Terjadi redaman kerapatan daya seharga

• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos _ yang juga menentukan kerapatan daya

z 2

e

 

E. Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

Untuk ruang hampa :





)

m

/

F

(

10

.

854

,

8

m

/

H

10

.

4

12 0 7 0  



















0

0









• Bentuk umum pada

dielektrik merugi,

Pada ruang hampa,

s s

j

H

E





















_s s

j

E

H



















0

E

_s











0

H

_s











s 0 s

j

H

E

















s 0 s

j

E

H















0

E

_s











0

H

_s











• Persamaan gelombang Helmholtz





_s s 2

E

j

j

E



















2 _{0 0 s} s 2

E

E



















Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

• Persamaan medan listrik

Pada ruang hampa,





_x z 0 x

e

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E













 

x0





_y

aˆ

z

t

cos

377

E

t

H















_x 0 x

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E











 

_x0 z





_y

aˆ

z

t

cos

e

E

t

H













_







• Persamaan medan magnet • Konstanta propagasi





            j 1 j j j 0 0

j

0













• Impedansi intrinsik                 _ j 1 1 j j o 0 0



₃₇₇



₀









Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

• Bentuk Gelombang

_{Pada ruang hampa,}

• Kecepatan gelombang

 

m

8



• Vektor Poynting









z z 2 2 0 x

aˆ

z

2

t

2

cos

cos

e

2

E

P

 



_













_











_z 2 2 0 x

aˆ

z

t

cos

377

E

P











• Daya rata-rata   

_









e

cos

2

E

dt

P

T

1

P

2 z 2 0 x T 0 z av , z

377

E

2

1

P

2 0 x av , z



8

10

.

3

1

E H P

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 24

F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

Untuk dielektrik sempurna :

0

0









Dielektrik sempurnan memiliki sifat dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum

1

1

r r









• Bentuk umum pada

dielektrik merugi,

Pada dielektrik sempurna

s s

j

H

E





















_s s

j

E

H



















0

E

_s











0

H

_s











s s

j

H

E

















s s

j

E

H















0

E

_s











0

H

_s











• Persamaan gelombang Helmholtz





_s s 2

E

j

j

E



















s 2 s 2

E

E



















Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

• Persamaan medan listrik

Pada dielektrik sempurna





_x z 0 x

e

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E













 

x0 r





_y

aˆ

z

t

cos

E

t

H



















_x 0 x

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E











 

x0 z





aˆ

z

t

cos

e

E

t

H

















_

• Persamaan medan magnet • Konstanta propagasi





            j 1 j j j











0

j

• Impedansi intrinsik                 _ j 1 1 j j r r

377















26

• Bentuk Gelombang

_{Pada dielektrik sempurna}

E H P • Kecepatan gelombang r r 8

10

.

3

1

v











• Vektor Poynting









z z 2 2 0 x

aˆ

z

2

t

2

cos

cos

e

2

E

P

 



_













_











_z 2 r r 2 0 x

_cos

_t

_z

_aˆ

377

E

P















• Daya rata-rata   

_









e

cos

2

E

dt

P

T

1

P

2 z 2 0 x T 0 z av , z r r 2 0 x av , z

377

E

2

1

P







Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

r r 8

10

.

3

v







G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

Pada konduktor yang baik :

1

1

r r









0









1







Pada konduktor yang baik

• Konstanta propagasi





            j 1 j j j















f

j

f

• Impedansi intrinsik                 _ j 1 1 j j o

45

2

1

j

1

_















Cobalah menurunkan sendiri !







28

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

• Persamaan medan listrik





_x z 0 x

e

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E













 

_x0 z





_y

aˆ

z

t

cos

e

E

t

H













_







• Persamaan medan magnet

Pada konduktor yang baik





x z 0 x

e

cos

t

z

aˆ

E

)

t

(

E





 





_

 

z





_y 0 x

.

e

cos

t

z

₄

aˆ

E

2

t

H







 





_





Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o _(1/8

siklus) terhadap intensitas medan listrik

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk

analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :







_











_E

₍

_t

₎

_E

_e

 

_cos

_t

_z

)

t

(

J

_{x x x0} z

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

• Vektor Poynting









z z 2 2 0

x

_e

_cos

_cos

₂

_t

₂

_z

_aˆ

2

E

P

 



_













_







• Daya rata-rata   

_









e

cos

2

E

dt

P

T

1

P

2 z 2 0 x T 0 z av , z

Pada konduktor yang baik

z z 2 2 0 x

aˆ

4

z

2

t

2

cos

4

cos

e

E

2

P

_























_

















 



 





z 2 2 0 x av , z

E

e

4

1

P

2 0 x E

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z =  adalah sebesar e-2 _,

atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ).

30

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

z

x

y



L

b

Jika misalkan ditanyakan daya yang menembus

permukaan z = 0 , yang memiliki lebar 0 < y < b , dan panjang 0 < x < L ( kearah arus ), maka dapat dihitung :

0 z b 0 L 0 z 2 2 0 x s av , bL

E

e

.

dx

.

dy

4

1

S

d

P

P

  

















2 0 x av , bL

b

L

E

4

1

P







Rapat arus pada permukaan konduktor akan menurun dengan cepat dengan faktor e-z/

jika masuk kedalam konduktor. Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam

konduktor, akan tetapi merambat di sekeliling konduktor, sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus yang mengalir dalam konduktor akan mengalami redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugian bagi konduktor sebagai pembimbing gelombang.

Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan konduktor sangat buruk dipakai sebagai

medium penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk pembimbing / penghantar arus dan cukup dalam bentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi.

H. Polarisasi Gelombang

Polarisasi

adalah sifat GEM yang menjelaskan arah dan amplitudo vektor intensitas medan listrik (E) sebagai fungsi waktu pada bidang yang tegak lurus terhadap arah perambatannya. Macam-macam polarisasi : Linear,

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 32

Polarisasi Gelombang

Polarisasi eliptik

dapat dipandang sebagai bentuk polarisasi yang paling umum : • _{Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi linear yang saling tegak lurus}

(orthogonal)

• Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi sirkular dengan arah berlawanan dan magnitudo berbeda

Jika polarisasi eliptik dipandang sebagai penjumlahan polarisasi linear yang saling tegak lurus, maka :





_x 1 1

E

sin

t

z

aˆ

E















_y 2 2

E

sin

t

z

aˆ

E















E

t

E

1

E

2















_{x 2}





_y 1

1

E

sin

t

z

aˆ

E

sin

t

z

aˆ

E























 

_{x 2}





_y

1

1

E

sin

t

aˆ

E

sin

t

aˆ

E















Polarisasi selalu ditinjau untuk jarak tertentu. Misal pada z = 0, akan didapatkan

Polarisasi Gelombang

 

_{x 2}





_y

1

1

E

sin

t

aˆ

E

sin

t

aˆ

E















E

_x

_E

_y

t

sin

E

E

_x



₁



1 x

E

E

t

sin





2 1 x 2

E

E

1

t

sin

1

t

cos





































E

sin

t

E

_{y 2}























































sin

E

E

1

cos

E

E

E

sin

t

cos

cos

t

sin

E

2 1 x 1 x 2 2

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 34

Polarisasi Gelombang

Persamaan polarisasi :











2 2 2 2 y 2 1 y x 2 1 2 x

_sin

E

E

E

E

cos

E

E

2

E

E

Jika E_x disetarakan dengan x, dan E_y disetarakan dengan y









2

2

2

sin

cy

bxy

ax

2 1

E

1

a



₂ 2

E

1

c



2 1

E

E

cos

2

b





Polarisasi Gelombang

Kasus paling umum :

Polarisasi Eliptik

Terjadi untuk a, b, c, sembarang

.

Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah :

a. Major Axis ( 2 x OA )

 

_   _{    }  E E E E 2E E cos 2 2 1 OA _x2 _y2 _x4 _y4 _x2 _y2 b. Minor Axis ( 2 x OB )

 

_   _{    }  E E E E 2E E cos 2 2 1 OB _x2 _y2 _x4 _y4 _x2 _y2 c. Tilt angle ( )             cos E E E E 2 arctan 2 1 2 y 2 x y x

d. Axial Ratio (AR )

OA

axis

Major

_



2 1

E

E

dan

n

2

















_

_







36

Polarisasi Gelombang

Polarisasi Linear

Polarisasi linear

terjadi untuk :

dst

...

,

2

,

1

,

0

n

n



_

_

_





x y

E

E

arctan







Polarisasi Gelombang

Polarisasi Sirkular

Polarisasi sirkular

terjadi untuk :

2 1

E

E

dan

n

2

















_

_







n = 0, + 1, + 2, …dst

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 38

Polarisasi Gelombang

Arah Polarisasi

Perputaran

 

t

,

z

k

f

E







Definisi klasik Definisi IRE Definisi Umum (IEEE) Searah jam (CW) GEM mendekat atau Berlawanan jam (CCW) GEM menjauh Putar Kanan (Right Hand) RH Putar Kiri (Left Hand) LH Putar Kiri (Left Hand) LH Searah jam (CW) GEM menjauh atau Berlawanan jam (CCW) GEM mendekat Putar Kiri (Left Hand) LH Putar Kanan (Right Hand) RH Putar Kanan (Right Hand) RH

Polarisasi dapat ditinjau terhadap referensi tertentu, misalnya terhadap bumi, lantai

pesawat, dsb. Bahkan terhadap polarisasi lain. • Polarisasi vertikal , E tegaklurus leferensi

• Polarisasi horisontal, E sejajar bidang referensi

• Polarisasi Silang ( cross polarization ), E tegaklurus terhadap E referensi • Polarisasi Sejajar ( co-polarization ), E sejajar terhadap E referensi