Fungsi Dua Variabel Atau Lebih

Kalkulus Peubah Banyak

Kalkulus Peubah Banyak

Fungsi Dua Variabel atau Lebih

Fungsi Dua Variabel atau Lebih

Dr. A.A. G. Ngurah Dr. A.A. G. Ngurah Universitas Airlangga Universitas Airlangga Semester Genap 2010/2011 Semester Genap 2010/2011

Definisi fungsi

Definisi fungsi

Misalkan

Misalkan S S  adalah himpunan titik-titik diadalah himpunan titik-titik di RRnn.. FungsiFungsi _{f f nn} variabelvariabel

dengan daerah definisi

dengan daerah definisi S S  adalah aturan pengkaitan setiap elemenadalah aturan pengkaitan setiap elemen ((x x ₁₁,,x x ₂₂, . . . ,, . . . , x x _nn) di) di S S  dengan satu dan hanya satu bilangan yangdengan satu dan hanya satu bilangan yang ditulis

ditulis f  f  ((x x ₁₁,, x x ₂₂, . . . ,, . . . , x x _nn))..

Jika

Jika S S  didi RR22_{, maka, maka} fungsifungsi _{f  f   dua variabel dengan daerah definisidua variabel dengan daerah definisi S S} 

adalah aturan pengkaitan setiap elemen (

adalah aturan pengkaitan setiap elemen (x x ,, y y ) ) didi S S  dengan satudengan satu dan hanya satu bilangan yang ditulis

dan hanya satu bilangan yang ditulis z z  == f  f  ((x x ,, y y ))..

Contoh:

Contoh: z z  == f  f  ((x x ,, y y ) ) == x x 22 ++ y y 22..

Jika

Jika z z  == f  f  ((x x ,, y y ), maka), maka x x  dandan y y  disebutdisebut variabel bebasvariabel bebas dandan z z 

disebut

Daerah definisi

Daerah definisi

Jika diketahui fungsi dengan aturan pengkaitan

Jika diketahui fungsi dengan aturan pengkaitan z z  == f  f  ((x x ,, y y ), maka), maka daerah definisi fungsi

daerah definisi fungsi adalah himpunan terbesar sehingga aturanadalah himpunan terbesar sehingga aturan tersebut mempunyai arti.

tersebut mempunyai arti. Contoh:

Contoh: z z  == f  f  ((x x ,, y y ) ) ==

 

 

x x 22

₋

₋

y y 22 mempunyai daerah definisimempunyai daerah definisi

{{

((x x ,, y y ))

_||

x x 22

₋

₋

y y 22

_≥

_≥

00

_}}

.. Soal: Tentukan daerah definisi fungsi berikut: Soal: Tentukan daerah definisi fungsi berikut: 1.

1. z z  == xy xy 

2.

2. z z  = = 22x x 

√ 

√ 

y y 

3.

3. z z  == _x x 22

√ 

√ 

₊₍₊₍y y _y y −−₋₋x x ₁₎₁₎22 22

4.

4. z z  == _x x x _x −−++y y _y y  5.

Grafik dan kurva ketinggian

Grafik dan kurva ketinggian

Grafik

Grafik dari fungsidari fungsi f  f   dengandengan nn variabel (variabel (x x ₁₁,, x x ₂₂, . . . ,, . . . , x x _nn) adalah) adalah himpunan titik-titik di

himpunan titik-titik di RRnn+1+1 yang berbentukyang berbentuk

((x x ₁₁,,x x ₂₂, . . . ,, . . . , x x _nn,, f  f  ((x x ₁₁,, x x ₂₂, . . . ,, . . . , x x _nn))..)) Khususnya

Khususnya grafikgrafik dari fungsidari fungsi z = f(x, y) adalah himpunanz = f(x, y) adalah himpunan

{{

((x x ,, y y ,, z z ))

_||

z z  == f  f  ((x x ,, y y ))

_}}

yang merupakan himpunan titik-titik di

yang merupakan himpunan titik-titik di RR33. Himpunan ini pada. Himpunan ini pada

umumnya membentuk permukaan di

umumnya membentuk permukaan di RR33..

Contoh: Gambarlah grafik dari

Grafik dan kurva ketinggian

Grafik dan kurva ketinggian

Grafik dari fungsi dua variabel sangat sukar untuk di gambar. Grafik dari fungsi dua variabel sangat sukar untuk di gambar.

Untuk fungsi dengan aturan sederhanapun, grafik fungsinya tidak Untuk fungsi dengan aturan sederhanapun, grafik fungsinya tidak selalu mudah untuk di gambar.

selalu mudah untuk di gambar. Untuk setiap bingan

Untuk setiap bingan c c , persamaan, persamaan f  f  ((x x ,, y y ) =) = c c  adalah persamaanadalah persamaan dari suatu kurva di bidang. Kurva ini disebut

dari suatu kurva di bidang. Kurva ini disebut kurva ketinggiankurva ketinggian dari

dari f  f   didi c c . Jadi kurva ketinggian. Jadi kurva ketinggian LL_c c  daridari f  f   didi c c  adalah himpunanadalah himpunan

L

L_c c  ==

_{{

((x x ,,y y ))

_||

f  f  ((x x ,, y y ) ) == c c 

_}}

..

Contoh: Gambarlah kurva ketinggian dari fungsi berikut: Contoh: Gambarlah kurva ketinggian dari fungsi berikut: 1.

1. f  f  ((x x ,, y y ) ) == x x 22 ++ y y 22

2.

2. f  f  ((x x ,, y y ) ) == xy xy 

3.

Definisi himpunan buka di

Definisi himpunan buka di

RR22

Misalkan diketahui titik

Misalkan diketahui titik

−

−

→

→

x x _o o  = ((= aa,, b b ) dan bilangan  ) dan bilangan  >> 0.0. Himpunan titik-titik yang memenuhi

Himpunan titik-titik yang memenuhi

C 

C ((

−

−

→

→

x x _o o ,, ) ) ==

_{{

((x x ,, y y ))

_||

 

 

((x x 

₋

₋

aa))22 + (+ (y y 

₋

₋

b b ))22 < < 

_}}

merupakan

merupakan cakram buka berjari-jaricakram buka berjari-jari  dan berpusat didan berpusat di x x _o o .. CakramCakram ini merupakan perumuman dari interval (

ini merupakan perumuman dari interval (x x _o o 

₋

₋

,, x x _o o ++ )).. Misalkan

Misalkan U U  adalah himpunan di bidang. Himpunanadalah himpunan di bidang. Himpunan U U  disebutdisebut himpunan buka

himpunan buka jika untuk setiap titikjika untuk setiap titik

−

−

→

→

x x _o o  didi U U  adaada   >> 00 sehingga cakram buka

sehingga cakram buka C C ((

−

−

→

→

x x _o o ,, ))

_⊂

_⊂

U U .. Contoh: Himpunan

Contoh: Himpunan U U  ==

_{{

((x x ,, y y ))

_||

00 << x x  << 11

_}}

adalah himpunanadalah himpunan buka di

buka di RR22_{. Misalkan. Misalkan}

−

−

→

→

_{x x o o  = = ((aa,, b b ) adalah titik sebarang di) adalah titik sebarang di U U ..}

Ambil

Definisi himpunan buka di

Definisi himpunan buka di

RR33

Contoh: Himpunan

Contoh: Himpunan U U  ==

_{{

((x x ,, y y ))

_||

00 << x x  << 11,, y y  = 00=

_}}

bukanbukan himpunan buka.

himpunan buka.

Misalkan diketahui titik

Misalkan diketahui titik

−

−

→

→

x x _o o  = = ((aa,, b b ,,c c ) dan bilangan  ) dan bilangan  >> 0.0. Himpunan titik-titik yang memenuhi

Himpunan titik-titik yang memenuhi

B 

B ((

−

−

→

→

x x _o o ,, ) ) ==

_{{

((x x ,, y y ,, z z ))

_||

 

 

((x x 

₋

₋

aa))22 + (+ (y y 

₋

₋

b b ))22 + (+ (z z 

₋

₋

c c ))22 < < 

_}}

merupakan

merupakan bola buka berjari-jaribola buka berjari-jari  dan berpusat didan berpusat di x x _o o ..

Misalkan

Misalkan U U  adalah himpunan di ruang. Himpunanadalah himpunan di ruang. Himpunan U U  disebutdisebut himpunan buka

himpunan buka jika untuk setiap titikjika untuk setiap titik

−

−

→

→

x x _o o  didi U U  adaada   >> 00 sehingga bola buka

Definisi turunan parsial

Definisi turunan parsial

Misalkan

Misalkan f  f  ((x x ,, y y ) adalah fungsi dua variabel yang didefinisikan pada) adalah fungsi dua variabel yang didefinisikan pada himpunan buka

himpunan buka U U .. Turunan parsialTurunan parsial f  f   terhadapterhadap x x  didefinisikandidefinisikan sebagai

sebagai

Lim

Lim_hh→→00

f  

f  ((x x ++ hh,, y y ))

₋

₋

f  f  ((x x ,, y y ))

h h

asalkan limit ini ada. asalkan limit ini ada.

Turunan ini dinotasikan dengan Turunan ini dinotasikan dengan

D 

D ₁₁f  f  ((x x ,, y y ) ) == ∂ ∂ f  f   ∂ 

Definisi turunan parsial

Definisi turunan parsial

Turunan parsial

Turunan parsial f  f   terhadapterhadap y y  didefinisikan sebagaididefinisikan sebagai

Lim

Lim_hh→→00

f  

f  ((x x ,, y y ++ hh))

₋

₋

f  f  ((x x ,, y y ))

h h

asalkan limit ini ada. asalkan limit ini ada.

Turunan ini dinotasikan dengan Turunan ini dinotasikan dengan

D 

D ₂₂f  f  ((x x ,, y y ) =) = ∂ ∂ f  f   ∂ 

∂ y y ((x x ,,y y ) ) == f  f  y y ((x x ,, y y ))..

Contoh: Misalkan

Contoh: Misalkan f  f  ((x x ,, y y ) ) == x x 22y y 33. Maka. Maka ∂ 

∂ f  f  

∂ 

∂ x x ((x x ,, y y ) = ) = 22xy xy 

3

3 _dandan ∂ ∂ f  f  

∂ 

∂ y y ((x x ,,y y ) ) = = 33x x 

2 2_y y 22_..

Definisi turunan parsial

Definisi turunan parsial

Misalkan

Misalkan f  f  ((x x ,, y y ,, z z ) adalah fungsi tiga variabel yang didefinisikan) adalah fungsi tiga variabel yang didefinisikan pada himpunan buka

pada himpunan buka U U  didi RR33.. Turunan parsialTurunan parsial _f  f   terhadapterhadap _z z 

didefinisikan sebagai didefinisikan sebagai

D 

D ₃₃f  f  ((x x ,,y y ,,z z ) ) == ∂ ∂ f  f   ∂ 

∂ z z ((x x ,,y y ,,z z ) =) = f  f  z z ((x x ,,y y ,,z z ) =) = LimLimhh→→00

f  

f  ((x x ,,y y ,,z z ++ hh))

₋

₋

f  f  ((x x ,,y y ,,z z ))

h h

asalkan limit ini ada. asalkan limit ini ada. Contoh: Misalkan

Contoh: Misalkan f  f  ((x x ,,y y ,,z z ) =) = x x 22y siny sin((yz yz )).. MakaMaka

D 

D ₃₃f  f  ((x x ,,y y ,,z z ) =) = x x 22y y 22 cos cos ((yz yz )),,

D 

D ₂₂f  f  ((x x ,,y y ,,z z ) ) == x x 22 sinsin((yz yz ) +) + x x 22yz cos yz cos ((yz yz )),, dan

dan

D 

Soal

Soal

Carilah turunan parsial dari fungsi berikut: Carilah turunan parsial dari fungsi berikut: 1.

1. f  f  ((x x ,, y y ) ) == x x 33

₋

₋

x x 22y y ++ xy xy 22

₋

₋

y y 33

2.

2. f  f  ((x x ,, y y ) ) == x x 22sinx sinx 

3.

3. f  f  ((x x ,, y y ) =) = sinsin22((xy xy )) 4.

4. f  f  ((x x ,, y y ) ) == _x x 22xy xy _++y y 22

5.

5. f  f  ((x x ,, y y ) ) == y lnx y lnx 

6.

6. f  f  ((x x ,, y y ,, z z ) ) == x x 33

₋

₋

x x 22y y ++ z z 44

7.

Definisi gradien

Definisi gradien

Misalkan

Misalkan f  f  ((x x ,, y y ) adalah fungsi dua variabel.) adalah fungsi dua variabel. GradienGradien daridari f  f  , ditulis, ditulis grad

gradf  f   adalah vektoradalah vektor

grad

gradf  f  ((x x ,, y y ) ) = = ((∂ ∂ f  f   ∂  ∂ x x ,, ∂  ∂ f  f   ∂  ∂ y y )).. Jika

Jika f  f  ((x x ,, y y ,, z z ) adalah fungsi tiga variabel, maka) adalah fungsi tiga variabel, maka GradienGradien daridari f  f  

adalah vektor adalah vektor

grad

gradf  f  ((x x ,, y y ,, z z ) ) = = ((∂ ∂ f  f   ∂  ∂ x x ,, ∂  ∂ f  f   ∂  ∂ y y ,, ∂  ∂ f  f   ∂  ∂ z z )).. Contoh: Misalkan

Contoh: Misalkan f  f  ((x x ,, y y ,, z z ) =) = x x 22y siny sin((yz yz )).. MakaMaka grad

gradf  f  (1(1,, 11,, ππ) = (0) = (0,,

₋

₋

π,,π

₋

₋

1)..1) Catatan:

Teorema

Teorema

Soal: Tentukan gradien dari fungsi berikut di titik yang diberikan. Soal: Tentukan gradien dari fungsi berikut di titik yang diberikan. 1.

1. f  f  ((x x ,, y y ,, z z ) ) == e e −−22x x cos cos ((yz yz ) di (1) di (1, π , π, π , π))..

2.

2. f  f  ((x x ,, y y ,, z z ) ) == e e 33x x +y +y sinsin(5(5z z ) di (0) di (0,, 00,, π/π/6)6)..

Teorema

Teorema: Misalkan: Misalkan f  f   dandan g g  adalah fungsi yang didefinisikan padaadalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan buka

himpunan buka U U , dan asumsikan bahwa turunan parsialnya ada, dan asumsikan bahwa turunan parsialnya ada pada setiap titik di

pada setiap titik di U U . Maka. Maka grad

grad((f  f  ++ g g ) ) == gradgradf  f  ++ gradgradg g ,, grad

gradcf  cf  == c c  _gradgradf  f  ,, untuk suatu konstantauntuk suatu konstanta c c .. Bukti: