1.1 Latar Belakang
Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome (kemunculan) yang mungkin yakni ”sukses” dan ”gagal” yang masing-masing dino-tasikan dengan nilai n = 1 dan n = 0. Apabila nilai n = 1, berarti muncul suk-ses. memiliki peluang p sedangkan n = 0 berarti muncul gagal memiliki peluang
q = 1−p, (Evans, et al., 2000). Saat ini, banyak aplikasi percobaan Bernoulli dap-at ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya proses pencocokan barisan DNA (Clay, 2001), pemeriksaan kualitas produk dalam quality control (Ross, et al., 2012), banyaknya produk berkualitas baik dalam stok pasar, dan pengujian keacakan suatu sampel (Omey, et al., 2008). Apabila percobaan Bernoulli dilakukan berkali-kali kemudian masing-masing hasilnya dijumlahkan maka percobaan tersebut akan berdistribusi binomial.
Dalam teori peluang dan statistika, distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit yang menyatakan jumlah sukses dalam barisan n percobaan (suk-ses/gagal) yang independen. Andaikan bahwa setiap Xi bernilai {0,1} dan untuk
n ≥ 1, ambil Sn =
Pn
i=1Xi sebagai jumlah sukses dalam barisan (X1, X2, . . . , Xn).
JikaXi terdistribusi secara independen dan identik dengan P(Xi = 1) =pdan P(Xi
= 0) =q = 1−p, makaSntersebut diketahui berdistribusi binomialSn ∼BIN(n, p)
(Omey, et al., 2008). Namun, apabila suatu percobaan dilakukan berkali-kali sam-pai muncul sukses atau gagal, maka tidak lagi dikatakan berdistribusi binomial melainkan berdistribusi geometri. Jumlah n distribusi geometri akan menghasilkan suatu percobaan berdistribusi binomial negatif.
Kini, banyak distribusi peluang yang didefinisikan melalui pencampuran atau penggabungan dua distribusi peluang atau lebih. Salah satu untuk memperoleh su-atu distribusi diskrit baru adalah mendefinisikan perhitungan distribusi-distribusi yang berhubungan dengan rantai Markov. Omey, et al. (2008) melakukan peng-gabungan distribusi binomial dan rantai Markov yang disebut dengan distribusi Markov-binomial.
Distribusi Markov-binomial adalah suatu distribusi peluang diskrit dari keja-dian sukses atau gagal yang membentuk suatu rantai Markov. Ilustrasi yang da-pat menggambarkan distribusi ini yakni, dalam quality control diputuskan untuk memeriksa semua unit yang diproduksi. Alternatif yang muncul dari persoalan terse-but yaitu hanya memeriksa satu unit dan kemudian menerima atau menolak semua unit yang diproduksi. Namun, distribusi ini kurang cocok digunakan dalam situasi kegiatan yang memperhatikan muncul sukses atau gagal ke-k setelah melakukan r kali percobaan yang sering dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif yang juga membentuk suatu rantai Markov. Oleh karena itu, penelitian ini diajukan untuk mendefinisikan perhitu-ngan distribusi binomial negatif yang berhubungan dengan rantai Markov sehingga terbentuk suatu distribusi diskrit baru yang disebut distribusi Markov-binomial negatif.
Pada penelitian tentang Markov-binomial sebelumnya, Wang (1981) mengada-kan penelitian tentang limit distribusi Markov-binomial. Cemengada-kanavicius dan Roos (2007) menggunakan distribusi binomial untuk pendekatan distribusi Markov bi-nomial begitu juga dengan Xia dan Zhang (2009) yang menganalisis pendekatan-pendekatan pada distribusi Markov-binomial. Namun, penelitian yang paling men-dasari penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Omey, et al. (2008). Mereka melakukan penelitian tentang hal-hal yang berkaitan dengan distribusi bi-nomial dan membentuk rantai Markov yakni melakukan analisis pada Xi, i ≥ 1
yang dinyatakan sebagai barisan {0,1} dan membentuk suatu rantai Markov serta mempelajari jumlah sukses kejadian binomial Sn = X1 +X2 +· · ·+Xn. Dengan
ke-penelitian ini, akan ditunjukkan aplikasi distribusi Markov-binomial negatif dalam kalibrasi alat sistemquality control. Namun, pada hakikatnya aplikasi ini tidak hanya diharapkan dapat diterapkan dalam sistem quality control, tetapi dapat diterapkan dalam penyebaran penyakit bidang ilmu epidemik, pencocokan DNA, stok pasar, dan percobaan Bernoulli lainnya.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang diungkapkan pada bagian latar belakang, distribusi Markov-binomial ialah distribusi diskrit yang diperoleh melalui penggabungan an-tara distribusi binomial dan rantai Markov. Distribusi ini hanya dapat digunakan untuk persoalan yang memperhitungkan percobaan muncul sukses atau gagal tan-pa memperhatikan atan-pakah sukses atau gagal ke-s muncul pada percobaan ke-n yang dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif. Persoalan muncul, bagaimanakah model suatu distribusi diskrit dari percobaan-percobaan yang berdis-tribusi binomial negatif dengan mengaitkan bahwa setiap percobaan membentuk rantai Markov dan bagaimana pula model diagram kontrol sebagai terapan dalam quality control.
1.3 Tujuan Penelitian
Mengembangkan model distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial negatif menjadi suatu distribusi Markov-binomial negatif serta memodelkan ap-likasinya dalam sistem quality control.
1.4 Manfaat Penelitian
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpul-kan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakumengumpul-kan adalah sebagai berikut:
1. Menguraikan fungsi distribusi peluang geometri menjadi distribusi peluang bi-nomial negatif.
2. Mengidentifikasi kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan mem-bentuk rantai Markov.
3. Menentukan asumsi awal dan notasi terkait.
4. Mempartisi kejadian pada waktut dant+ 1 ke dalam 2 kemungkinan, Apabila pada waktu t+ 1 muncul 1 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1. Sebaliknya, apabila pada waktu t+ 1 muncul 0 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1 juga.
5. Menentukan fungsi massa peluang (fmp), fungsi rata-rata (ekspektasi), dan fungsi varians pada 2 kondisi tersebut.
6. Memodelkan diagram kontrol menggunakan fungsi varians sebagai terapan dalam sistemquality control.
Definisi perhitungan-perhitungan dalam distribusi Markov-binomial negatif di-lakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi teknik-teknik yang telah didi-lakukan Omey,et al. (2008). Pendekatan dilakukan dalam dua langkah besar sebagai berikut.
Definisi Sn
Modifikasi Distribusi Markov-Binomial
Setelah Sn telah didefinisikan pada proses di atas, langkah selanjutnya adalah
mo-difikasi distribusi Markov-binomial berikut.
Distribusi awal P(ξ0 = 1) =p0, P(ξ0 = 0) = 1−p0,p0 ∈[0,1] dan peluang transisi
P(ξi = 1|ξi−1 = 1) =p,P(ξi = 0|ξi−1 = 1) =q
P(ξi = 1|ξi−1 = 0) = q,¯ P(ξi = 0|ξi−1 = 0) = ¯p
p+q =¯q +¯p=1, p, q ∈(0,1), i∈N.
Distribusi Geometri p(k) =P{Z(r) =k}=qk
.p= (1−p)k
.p
Distribusi binomial negatif p(k)=P{Y(r) =k}=(k+r−1)!
(r−1)!k!p r
(1−p)k
