Espacios
α-sg-T
i
,
i
= 0
,
1
,
2
,
3
Spaces
α
-
sg
-
T
i,
i
= 0,
1,
2,
3
Ennis Rosas (
[email protected]
)
Carlos Carpintero Departamento de Matem´aticas Universidad de Oriente, N´ucleo de Sucre
Jorge Vielma
Departamento de Matem´aticas Universidad de los Andes
M´erida, Venezuela
Resumen
En un espacio topol´ogico (X, τ), sobre el cual se tiene un operador mon´otonoα :P(X) → P(X) asociado a la topolog´ıaτ, decimos que un subconjunto A ⊆X esα-semi cerrado generalizado (abreviado α
-sg-cerrado) si para todo subconjuntoα-semi abiertoU tal queA⊆U
se tiene queα-sCl(A)⊆U, dondeα-sCl(A) denota laα-semi clausura deA. El complemento de un conjuntoα-sg-cerrado se denominaα-semi abierto generalizado ( abreviadoα-sg-abierto). En este trabajo usamos los conjuntosα-sg-abiertos para introducir algunas propiedades de se-paraci´onα-semi generalizadosα-sg-Ti parai= 0,1,2,3 y estudiamos adem´as las caracter´ısticas de los espaciosα-sg-Tiobtenidos.
Palabras y frases clave:αSemi Kernel,αSemi clausura generalizada,
αSemi interior generalizado,αsg-regular.
Abstract
Let (X,τ) be a topological space and α be a monotone operator associated withτ. A subsetA ofX is said to be a generalizedαsemi closed (denoted byα-sg-closed) if for each generalizedαsemi open set
U of X such that A ⊆U, then α−sCl(A) ⊂ U, where α−sCl(A) denote theα-semi closure ofA. The complement of aα-sg-closed set is called generalizedα-semi open set (denoted by α-sg-open). In this work, we use the notions ofα-sg-open sets in order to introduce some
properties of separationαsemi generalizedα−sg−Tifor i=0, 1, 2, 3, and study some characterizations of the spacesα−sg−Ti.
Key words and phrases:αSemi Kernel, generalizedαSemi closure, generalizedαSemi interior,αsg-regular.
1
Introducci´
on
En [1] y [2] se introducen, respectivamente, en el contexto de un espacio to-pol´ogico (X, τ) las nociones de conjuntos semiabierto (A⊆X es semiabierto si y s´olo siA⊆Cl[Int(A)]) y conjunto semicerrado (A⊆X es semicerrado si y s´olo si X\A es semiabierto). Usando tales conjuntos y de manera natural en [4] se definen y estudian nuevos axiomas de separaci´on, denominados axio-mas de semi separaci´on. En [6] se presentan nociones m´as generales que las citadas anteriormente tales como la de operador asociado a una topolog´ıa τ
sobre un conjuntoX (α:P(X)→P(X) un operador asociado aτ si y s´olo si ∀U ∈τ;U ⊆α(U)), conjuntoα-semiabierto (A⊆X esα-semiabierto si y s´olo si existe U ∈τ;U ⊆ A ⊆α(U) ), conjuntoα-semicerrado (A ⊆X es
α-semicerrado si y s´olo siX\Aesα-semiabierto), y laα-semiclausura de un conjunto(resp.α-semiinterior) como la intersecci´on (resp.uni´on) de todos los superconjuntos (resp.subconjuntos )α-semicerrados (resp.α-semi abiertos) de dicho conjunto, en caso que αsea un operador mon´otono (i.e. α(A)⊆α(B) si A ⊆ B ⊆ X), entre otras. En [7] se definen espacios α-semi Ti para
i= 0,1/2,1,2; haciendo uso de un operador αy los conjuntosα- semiabier-tos, obteni´endose as´ı una clase de espacios que engloban a los mencionados en [4], adem´as la noci´on de conjunto α-semicerrado generalizado, abreviado
α-sg-cerrado (A ⊆ X es sg-cerrado si y s´olo si α-sCl(A) ⊆ U siempre que
2
Preliminares
En esta secci´on estudiaremos ciertas nociones b´asicas que se emplear´an a lo largo de todo este trabajo.Comenzaremos con la siguiente proposici´on.
Lema 2.1. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico y α un operador mon´otono asociado a τ . Entonces:
(a) α−sInt(A)⊆α−sInt(B) si A⊆B;
(b) α−sCl(A)⊆α−sCl(B) si A⊆B;
(c) A es α−abierto ⇔ A=α−sInt(A);
(d) B es α−cerrado ⇔ B=α−sCl(B);
(e) x∈α−sInt(A) si y s´olo si existe un subconjuntoG α−abierto tal que x∈G⊆A;
(f ) x∈α−sCl(B) si y s´olo si para todo subconjuntoG α−abierto tal que x∈G, G∩B 6=∅;
(g) X\(α−sCl(A)) =α−sInt(X\A) y
X\(α−sInt(A)) =α−sCl(X\A).
Demostraci´on
Sigue directamente de las definiciones deα-semiclausura yα-semiinterior.
Definici´on 2.1. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico yα, βoperadores asociados aτ. Denotemosα≺β siα(U)⊆β(U)para todo abierto U ∈τ.
Observe que la definici´on anterior determina una relaci´on de orden, indu-cida por la inclusi´on, sobre la clase de todos los operadores asociados a una topolog´ıa τ sobreX.
Lema 2.2. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico, α, β operadores mon´otonos asociados a τ tales queα≺β. Entonces
(a) α−SO(X, τ)⊆β−SO(X, τ);
(b) α−SC(X, τ)⊆β−SC(X, τ);
(c) α−sInt(A)⊆β−sInt(A), para todo A⊆X;
(d) β−sCl(A)⊆α−sCl(A) para todo A⊆X.
Observemos que para cualquier operador α asociado a una topolog´ıa τ
de un espacio topol´ogico (X, τ) se cumple que iX ≺α, donde iX denota el
operador identidad sobre X, pues para cada abiertoU ∈ τ, iX(U) =U ⊆
α(U), en consecuencia tendremos queInt(A)⊆α−sInt(A) yα−sCl(A)⊆
Lema 2.3. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico y αun operador mon´otono aso-ciado a τ. Entonces para cada x∈ X se tiene α−sInt[α−sCl({x})] = ∅ ´
ox∈α−sInt[α−sCl({x})].
Demostraci´on
Supongamos que α-sInt[α−sCl({x})] 6= ∅, seg´un esto existe un y ∈ α−
sInt[α−sCl({x})], por el Lema 2.1 parte (e) existe un conjunto S ∈ α−
SO(X, τ) tal que y ∈ S ⊆α−sCl({x}), ahora S ∈ α−SO(X, τ), y ∈ S
y y ∈ α−sCl({x}) implican que, por el Lema 2.1 parte (f), S∩ {x} 6= ∅, as´ıx∈S⊆α−sCl({x}) lo cual nos dice quex∈α−sInt[α−sCl({x})].
Supongamos ahora quex /∈α−sInt[α−sCl({x})], entoncesα−sInt[α−
sCl({x})] =∅; porque si laα−sInt[α−sCl({x})]6=∅, existir´ıany∈X, S ∈
α−SO(X, τ) tal quey∈S⊆α−sCl({x}), luegoS∩ {x}∈ ∅/ y tendr´ıamos quex∈S⊆α−sCl({x}), as´ıx∈α−sInt[α−sCl({x})], lo cual contradice a los supuesto.
Recordemos que en un espacio topol´ogico (X, τ) un subconjuntoA ⊆X
se dice nunca denso si Int[cl(A)] = ∅, y A se dice preabierto si ocurre que
A⊆Int[cl(A)]. Seg´un esto si consideramos α=iX entonces el lema anterior
nos dice que en cualquier espacio (X, τ) todo subconjunto unitario de X es nunca denso o preabierto.
Definici´on 2.2. ([7]) Sean (X, τ) un espacio topol´ogico y α un operador mon´otono asociado a τ. Un subconjunto A ⊆X se dice α−sg−cerrado si
α−sCl(A)⊆U para todoU ∈α−SO(X, τ)tal que A⊆U. El complemento de un conjunto α−sg−cerrado se dice un conjuntoα−sg−abierto.
Observe que si tomamos α= iX, la definici´on anterior es justamente la
definici´on de conjunto cerrado generalizado (=g−cerrado) dada en [3] por Le-vine. Si tomamosα= operador clausura la definici´on anterior es la definici´on de conjunto semicerrado generalizado dada en [5].
En general, todo cerrado esα-semicerrado y por lo tantoα−sg−cerrado, respectivamente todo abierto es α-semiabierto y todo α-semiabierto es α−
sg−abierto. Pero para un operadorαcualquiera, en general, no hay relaci´on entre los semiabiertos y losα-semiabiertos (resp. semicerrados yα- semicerra-dos). Pero si αes mon´otono ycl≺α, en virtud del lema 3.2 tendremos que todo semiabierto (resp. semicerrado)esα-semiabierto (resp.α-semicerrado) y obtenemos las siguientes relaciones:
abierto ⇒ semiabierto ⇒ α−semiabierto ⇒ α−sg−abierto
En la siguiente definici´on se generaliza la noci´on del Kernel de un conjunto, el cual es la intersecci´on de todos los abiertos que contienen a dicho conjunto.
Definici´on 2.3. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico,αun operador asociado a
τ. Para cadaA⊆X definimos elα-semi Kernel deA, denotadoα−sKer(A), como la intersecci´on de todos los conjuntosα-semiabiertos que contienen aA.
La noci´on de α-semi Kernel permite caracterizar los conjuntos α−sg−
cerrados, como se describe en la siguiente proposici´on.
Lema 2.4. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico,αun operador mon´otono aso-ciado a τ y A⊆X. Entonces A esα−sg−cerrado si y s´olo siα−sCl(A)⊆
α−sKer(A).
Demostraci´on
Suficiencia (⇒) Supongamos que A es α − sg−cerrado. Sea\ D ={S ⊆X/A⊆S y S ∈ α−SO(X, τ)} entonces α−sKer(A) =
S∈D
S. Si S ∈ D, entonces A ⊆ S y S ∈ α−SO(X, τ), como A es α−
sg−cerrado, tendremos queα−sCl(A)⊆S. Esto nos dice queα−sCl(A)⊆S
para todoS∈D y as´ıα−sCl(A)⊆ \
S∈D
S=α−sKer(A).
Necesidad(⇐) Supongamos ahora queα−sCl(A)⊆ \
S∈D
S=α−sKer(A).
SeaS∈α−SO(X, τ) tal queA⊆S, seg´un estoS∈Dy as´ı\
S∈D
S⊆S, luego
α−sCl(A)⊆α−sKer(A) = \
S∈D
S⊆S. Por tantoα−sCl(A)⊆S yA es
α−sg−abierto.
Lema 2.5. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico ycl:P(X)→P(X)el operador clausura. Siαes un operador mon´otono asociado aτ tal quecl≺α, entonces:
(a) \
i∈I
Ai es α−sg−cerrado, para toda colecci´on {Ai :i∈I} de
subcon-juntos α−sg−cerrados deX; (b) [
i∈I
Ai es α−sg−abierto, para toda colecci´on {Ai:i∈I} de
subcon-juntos α−sg−abiertos deX.
Demostraci´on
(a) Sea A = \
i∈I
cerrado, luego α−sCl(A) = A y por lo tanto α−sCl(A) ⊆ U para todo
U ∈α−SO(X, τ) tal queA⊆U y en este casoAesα−sg−cerrado. Si A 6= ∅, mostraremos que α−sCl(A)⊆ α−sKer(A). Dadox ∈α−
sCl(A), puede ocurrir que{x} sea nunca denso ´o{x}sea preabierto. Caso{x} nunca denso:
Si x /∈A existe un ´ındicej ∈ I tal que x /∈ Aj, esto es Aj ⊆ X− {x}.
Como {x}es nunca denso entoncesInt[cl({x})] =∅y luego
cl[Int(X− {x})] =cl(X−cl({x})) =X−Int[cl({x})] =X ⊇X− {x}
as´ıX− {x}es semiabierto. De la hip´otesiscl≺αy por el Lema 2.2 parte (a), sigue queX− {x} esα−semiabierto y en consecuenciaα−sKer(Aj)⊆X−
{x}. Esto implica quex /∈α−sKer(Aj). De las inclusionesα−sCl(A)⊆α−
sCl(Aj)⊆α−sKer(Aj), concluimos quex /∈α−sCl(A), lo cual contradice a
la hip´otesis supuesta quex∈α−sCl(A). Esto nos demuestra que es imposible que x /∈ A, as´ıx∈ A y entonces como A ⊆ α−sKer(A) , tendremos que
x∈α−sKer(A). Caso{x} preabierto:
Supongamos que x /∈ α−sKer(A), en tal caso existe un subconjunto
S ∈α−SO(X, τ) tal que A⊆S yx /∈S. Como S⊆α−SO(X, τ) entonces
X−S∈α−SC(X, τ), adem´asA∩(X−S) =∅, puesA∩(X−S)⊆S∩(X−S) =
∅; y {x} ⊆ X −S ya que x /∈ S implica que x ∈ X −S. Observemos que
α−sCl({x})⊆Cl({x}). Mostremos que no es posible queα−sCl({x}) este contenido propiamente en Cl({x}), pues en tal caso existir´ıa un y ∈ X tal que y /∈ {x}, y ∈α−sCl({x}) y y /∈Cl({x}). Comoy /∈Cl({x}) existe un abierto V ∈ τ para el cual y ∈ V y V ∩ {x} = ∅, pero τ ⊆ α−SO(X, τ) lo que implicar´ıa que V ∈ α−SO(X, τ), y ∈V y V ∩ {x} =∅, seg´un esto
y /∈ α−sCl({x}) lo cual es imposible por las caracter´ısticas de y. De los anterior concluimos que α−sCl({x}) =Cl({x}) y seg´un esto tendremos
Int(Cl({x}))⊆Cl({x}) =α−sCl({x})⊆α−sCl(X−S) =X−S.
Si F = Int(Cl{x}) entonces: F ∈ α−SO(X, τ), pues F ∈ τ ⊆ α−
SO(X, τ), x ∈ F ya que {x} es preabierto y adem´as F ⊆ X −S. Como
x∈α−sCl(A) tendremos que F∩A6=∅, pero F ∩A ⊆(X−S)∩A=∅, lo cual es contradictorio pues F∩A 6=∅ y F∩A=∅. La contradicci´on an-terior nos dice que es imposible que x /∈ α−sKer(A), as´ı necesariamente
x∈α−sKer(A).
El siguiente ejemplo muestra la existencia de una gran cantidad de situa-ciones en las cuales puede aplicarse el lema anterior, de la cual la clausura es un caso particular.
Ejemplo 2.1. Sea (X, τ)un espacio topol´ogico. Entonces:
(a) α(A) =Cl(A)∪B, con B 6=∅, determina un operador asociado a τ
tal queCl≺α.
(b)α(A) =Ker[Cl(A)], define un operador asociado aτ tal quecl≺α. (c)α(A) =sKer[Cl(A)], es un operador tal que Cl≺α.
(d) Siβes cualquier operador asociado aτentoncesα(A) =β−sKer[Cl(A)]
tambi´en define un operador αtal queCl≺α. Note que si β=iX se tiene el
caso (b), y si β=Cl tendremos el caso (c).
El lema 3.4 hace posible definir de manera natural las nociones de α−
sg- clausura y α−sg−interior, de manera tal que estas tienen propiedades similares a las conocidas usualmente.
Definici´on 2.4. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico y αun operador mon´ oto-no asociado a la topolog´ıa τ tal que cl ≺α . Para cadaA ⊆X se define la
α−semiclausura generalizada deA, denotadaα−sgcl(A), como la intersecci´on de todos los superconjuntos α−sg−cerrados de A. El α-semi interior gene-ralizado de A, denotadoα−sgInt(A), es la uni´on de todos los subconjuntos
α−sg−abiertos deA.
Obviamenteα−sgcl(A) esα−sg−cerrado yα−sgInt(A) esα−sg−abierto, adem´as:
Int(A)⊆α−sInt(A)⊆sgInt(A)⊆A⊆α−sgcl(A)⊆α−sCl(A)⊆cl(A),
para todoA⊆X.
Lema 2.6. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico y α un operador mon´otono asociado a τ tal quecl≺α. Entonces:
(a) α−sgInt(A)⊆α−sgInt(B) si A⊆B;
(b) α−sgcl(A)⊆α−sgcl(B) si A⊆B;
(c) A es α−sg−abierto ⇔ A=α−sgInt(A);
(d) B es α−sg−cerrado ⇔ B=α−sgcl(B);
(e) x∈α−sgInt(A) si y s´olo si existe un subconjunto G α−sg−abierto tal que x∈G⊆A;
(f ) x∈α−sgcl(B) si y s´olo si para todo subconjuntoG α−sg−abierto tal que x∈G, G∩B6=∅;
(g) X\(α−sgcl(A)) =α−sgInt(X\A) y
Demostraci´on
Sigue directamente de las definiciones deα-sg-semiclausura yα-sg-semiinterior.
3
Espacios
α
−
sg
−
T
iEn esta secci´on introducimos los axiomas de separaci´onα−semigeneralizados, damos algunas caracterizaciones de ´estos, as´ı como tambi´en estudiamos las relaciones que existen entre ellos.
Definici´on 3.1. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico yαun operador mon´otono asociado a la topolog´ıa τ.X se dice un espacio α−sg−T0 si para cada par
de puntosx, y∈X, x6=y, existe un subconjuntoα−sg−abierto que contiene a uno de ellos, pero no al otro.
En el teorema siguiente caracterizamos los espaciosα−sg−T0
Teorema 3.1. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico y αun operador mon´otono asociado a la topolog´ıaτ tal quecl≺α. EntoncesX es un espacioα−sg−T0
si y s´olo si cualesquiera sean x, y ∈ X tales que x 6= y se tiene que α−
sgcl({x})6=α−sgCl({y}).
Demostraci´on
(Suficiencia) Supongamos que X es un espacio α−sg −T0 entonces para
cualquier par de puntos distintosx, y∈X existe un conjuntoα−sg−abierto,
U, tal quex∈U yy /∈U oy∈U yx /∈U. Seg´un esto, cualquiera sea el caso, tendremos α−sg−Cl({x})6=α−sg−Cl({y}).
(Necesidad) Supongamos quex, y∈X, x6=y, implican
α−sg−Cl({x})=6 α−sg−Cl({y}).
Seg´un esta hip´otesis dadosx6=y, existe un puntoz∈X tal quez∈α−sg−
Cl({y}) yz /∈α−sg−Cl({x}). De acuerdo con esto y /∈α−sg−Cl({x}), pues en caso contrario se tendr´ıa que y ∈ α−sg−Cl({x}), luego {y} ⊆
α−sg−Cl({x}) y as´ı ocurrir´ıa queα−sg−Cl({y})⊆α−sg−Cl({x}), lo cual es imposible.
Definici´on 3.2. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico yαun operador mon´otono asociado a la topolog´ıa τ.X se dice un espacio α−sg−T1 si para cada par
Caracterizamos ahora los espaciosα−sg−T1
Teorema 3.2. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico y αun operador mon´otono asociado a la topolog´ıa τ. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) X es un espacio α−sg−T1
(b) Cada unitario {x}, x∈X, es α−sg−cerrado
(c) Cada subconjunto de X es la intersecci´on de los superconjuntos
α−sg−abiertos de este.
Introducimos ahora los espaciosα−sg−T2
Definici´on 3.3. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico yαun operador mon´otono asociado a la topolog´ıaτ.X se dice un espacioα−sg−T2si para cada par de
De las definiciones anteriores concluimos las relaciones
α−sg−T2 ⇒ α−sg−T1 ⇒ α−sg−T0.
Adem´as
α−semiTi ⇒ α−sg−Ti, para i= 0,1,2,
y para cualquier operador mon´otonoαtal quecl≺α, se cumple:
semiTi ⇒α−semiTi ⇒ α−sg−Ti, para i= 0,1,2.
Finalment introduciremos los espacios α−sg−T3. En primer t´ermino
consideremos la siguiente definici´on.
Definici´on 3.4. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico yαun operador mon´otono asociado a τ.X se dice un espacioα−sg−regular si cualesquiera seanA α−
sg−cerrado enX yx /∈Aexisten conjuntosU, V disjuntos yα−sg−abiertos en X, tales quex∈U y A⊆V.
En la siguiente proposici´on caracterizamos los espaciosα−sg−regulares.
Teorema 3.3. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico y αun operador mon´otono asociado a τ tal quecl≺α. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a)X es un espacioα−sg−regular. (b) SiU esα−sg−abierto yx∈U, existe un conjuntoα−sg−abiertoV tal quex∈V yα−sgcl(V)⊆U. (c) Cadax∈X tiene una base local formada por conjuntos α−sg−cerrados.
Demostraci´on
Similar al caso usual de los espacios regulares.
Definici´on 3.5. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico yαun operador mon´otono asociado a τ. X se dice un espacio α−sg−T3 si X es α−sg−regular y α−sg−T0.
Observe que todo espacioα−sg−T3es un espacioα−sg−T2.
4
Invarianza en los Espacios
α
−
sg
−
T
iEn esta secci´on veremos que algunas de las propiedades de separaci´on α−
Definici´on 4.1. Sean(X, τ, α)y(Y, σ, β), conαyβ operadores mon´otonos. Una funci´on f : X → Y se dice αβ−sg−irresoluta si f−1(V) es α−sg−
cerrado en (X, τ)para cada subconjuntoV β−sg−cerrado en(Y, σ).
Observe que la definici´on anterior generaliza la noci´on de funci´on irresolu-ta dada en [1]. En el siguiente teorema veremos la relaci´on existente entre las funciones αβ−sg−irresolutas y algunas de las propiedades separaci´on intro-ducidas en la secci´on anterior, la prueba descansa en el hecho que dada una funci´onf :X →Y αβ−sg−irresoluta se tiene quef−1(B) esα−sg−abierto
enX para cada subconjuntoB β-sg-abierto enY.
Proposici´on 4.1. Sean(X, τ, α)y(Y, σ, β), conαyβ operadores mon´otonos y f :X →Y una funci´on inyectiva yαβ−sg−irresoluta. Si Y es un espacio
α−sg−Ti entonces X es un espacioα−sg−Ti parai= 0,1,2y3
Referencias
[1] N. Levine,Semiopen sets and semicontinuity in topological spaces,Amer. Math. Monthly, 70 (1963), 36–41.
[2] N. Biswas,On characterizations of semicontinuos functions, Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. CL. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 48 (1970), 399–402.
[3] N. Levine, Generalized closed sets in topology,Rend. Circ. Mat. Palermo, 19(2) (1970), 89–96.
[4] S. N. Maheshwari and R. Prasad, Some new separations axioms, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, Ser. I., 89 (1975), 395–402.
[5] P. Bhattacharya, B. K. Lahiri, Semigeneralized closed sets in topology,
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[6] C. Carpintero, E. Rosas, J. Vielma, Operadores asociados a una topolog´ıa
Γ sobre un conjunto X y nociones conexas, Divulgaciones matem´aticas, Vol 6,N0 2 (1998), 139–148.
[7] E. Rosas, J. Vielma, C. Carpintero, M. Salas, Espacios α−semiTi, para
i= 0,1/2,1,2,Pro-Mathematica.N0 27 (2000). 37–48.
