KARAKTERISTIK INTEGRAL KHINTCHINE

(1)

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Syarat Mencapai Gelar Sarjana S-1

Oleh :

DWI LIYANTI

0901060140

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

(2)

(3)

(4)

(5)

v

Persembahan

Dengan tulus ikhlas dan penuh kerendahan hati, skripsi yang penuh dengan tantangan ini akan ku persembahkan kepada :

 Bpk. Hartono dan Ibu Witing, kedua orang tuaku yang selalu mencurahkan segala bentuk kasih sayang kepadaku dan tak henti-hentinya memberikanku do’a, materi, motivasi dan inspirasi, terima kasih untuk semuanya. Kasih sayang yang tulus itu tak akan pernah tergantikan oleh apapun.

 Kakakku ( Akhman Liyanto) yang telah memberikan dukungan dan selalu memberikan keceriaan dalam hidupku, terima kasih atas do’a dan kasih sayangnya.

 Seluruh keluarga besarku yang menaruh harapan besar pula padaku. Harapan yang kalian berikan memberiku semangat yang lebih.

-

Dwi Liyanti -

(6)

vi

MOTTO

(١٦٢: الانعام)

صَ حْ تِى صَ عٰ حْا تِىبِّ صَ تِى عٰبِّ تِى تِىا صَ صَوصَ صَا صَ حْ صَو تِى نُ نُ صَ تِىاصَ صَ نَّ إِ

“

Sesungguhnya shalatku, ibadahku, hidupku, dan matiku hanya untuk Allah,

Tuhan seluruh alam.

”

(Q.S Al-

An’am : 162)

Selalu berusaha menjadi yang sederhana

Untuk menjadi yang terbaik tidak harus menjadi yg pertama, karena yang

pertama belum tentu bisa menjadi yg terbaik

(7)

vii

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji karakteristik integral-K. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode literatur. Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah dengan mendefinisikan konsep dari integral-K dan mengidentifikasi sifat – sifat yang berlaku pada integral-K. Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah (1) Jika 𝐹_𝑎𝑝′ ≥0 hampir dimana – mana pada 𝑎,𝑏 maka 𝐹 tak turun pada 𝑎,𝑏 . (2) Jika 𝐹_𝑎𝑝′ = 0 hampir

Kata kunci : Integral-K (Integral Khintchine)

(8)

viii

KATA PENGANTAR

ميح ّرلا نمح ّرلا الله مسب

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillahirobbil’aalamin, segala puji syukur peneliti panjatkan kehadirat Alloh SWT yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya serta kekuatan baik lahir maupun batin sehingga atas ridho-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.

Skripsi dengan judul “ Karakteristik Integral Khintchine ” disusun untuk memenuhi syarat dalam rangka menyelesaikan program studi strata 1 Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Dalam penyusunan skripsi ini peneliti mendapatkan banyak dukungan, bimbingan, serta bantuan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Maka dari itu peneliti menyampaikan ucapan terimakasih yang setulus – tulusnya kepada :

1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H, M.H. Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

2. Drs. Ahmad, M. Pd., Dekan FKIP Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 3. Erni Widiyastuti, S.Si, M.Si., Kaprodi Pendidikan Matematika Universitas

Muhammadiyah Purwokerto sekaligus Pembimbing II yang juga telah memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini 4. Eka Setyaningsih, S.Si, M.Si., Pembimbing I yang telah memberikan

bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini.

(9)

ix

5. Bapak dan Ibu dosen Prodi Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat bagi pribadi peneliti selama belajar di Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

6. Semua pihak yang telah membantu peneliti dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat peneliti sebutkan karena keterbatasan peneliti.

Tidak ada sesuatu yang dapat peneliti sampaikan sebagai balasan, hanya doa yang peneliti panjatkan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan senantiasa mendapat balasan dari Alloh SWT. Peneliti menyadari bahwa skripsi ini masih memiliki banyak kekurangan maka dari itu peneliti berharap semoga kekurangan dalam skripsi ini bisa menjadi bahan evaluasi bagi penelitian selanjutnya sehingga bisa lebih baik. Peneliti juga berharap skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi dunia pendidikan dan berbagai pihak yang membutuhkan.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Purwokerto, 16 Agustus 2013

Peneliti

(10)

x

BAB II LANDASAN TEORI ...4

A. Sistem Bilangan Real ...4

B. Sistem Bilangan Real diperluas ...12

C. Topologi Dalam Ruang Metrik ...13

1. Ruang Metrik...13

(11)

xi

2. Persekitaran, Titik Limit dan Titik Interior ...14

3. Himpunan Terbuka dan Himpunan Tertutup ...17

4. Ukuran Himpunan ...20

5. Himpunan Terukur ...22

D. Fungsi ...23

1. Fungsi Terbatas ...24

2. Limit Fungsi ...24

3. Fungsi Kontinu ...27

4. Diferensial ...29

5. Fungsi Naik dan Fungsi Turun ...31

6. Fungsi Terukur ...32

7. Pendekatan Derivatif ...33

8. Fungsi Kontinu Mutlak ...34

9. Sifat hampir dimana - mana ...35

E. Integral ...35

F. Integral Khintchine...36

BAB III METODOLOGI PENELITIAN...37

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ...39

A. Pengertian Integral Khintchine ...39

B. Karakteristik Integral Khintchine ...45

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...57

A. Kesimpulan ...57

B. Saran ...58

(12)

xii

DAFTAR PUSTAKA ... 59 LAMPIRAN ... 60

(13)

xiii

≤ Lebih kecil atau sama dengan

≥ Lebih besar atau sama dengan

∩ Irisan

𝑅∗ _{Sistem bilangan real diperluas}

𝑥 Harga mutlak x

(14)

xiv lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) Limit dari fungsi 𝑓 𝑥 dengan 𝑥 mendekati 𝑐

𝑋𝐸 Fungsi karakteristik dari himpunan 𝐸

(15)

xv

DAFTAR GAMBAR

Nomor Nama Gambar Halaman

1. Batas atas dan batas bawah 11 2. Persekitaran titik (2,2) dengan radius 𝑟 15 3. Persekitaran titik −5

2, 9

4 dengan radius 1

8 16

4. Fungsi 𝑓(𝑥) 23

5. Limit fungsi 𝑓 di titik 𝑐 25