DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK matematika

dy/analisis_numerik/april2007 diferensiasi dan integrasi numerik

DIFERENSIASI

 

DAN

 

INTEGRASI

 

NUMERIK

Diferensiasi Numerik

(Forward, Central atau Centered, & Backward Difference; Turunan Pertama &

Kedua)

Integrasi Numerik

(Trapezoidal Rule & Simpson’s Rule; Lebar Inkremen Tetap & Berubah)

by: siti diyar kholisoh

DIFERENSIASI NUMERIK

Misalnya: y = f(x), dan ingin dicari harga pada x = x₀ dx

dy

Berdasarkan definisi matematika:

x ) x ( f ) x x ( f 0 x lim dx dy

Δ Δ

Δ → + −

=

Pada diferensiasi numerik yang sederhana, harga Δx →0 didekati dengan sebuah bilangan kecil ε, sehingga akan diperoleh:

Menurut teori:

♦pendekatan dengan centralmerupakan yang terbaik.

♦makin kecil ε, hasil makin baik

ε ε) f(x) x

( f dx

dy + −

≈

ε ε

ε 2

) x ( f ) x ( f dx

dy_≈ + − −

ε ε ) x ( f ) x ( f dx

dy − −

≈

Cara forward:

Cara backward:

Cara central ataucentered:

Visualisasi Grafik

Keterangan:

3: Centered

difference approx. 2: Backward

difference approx. 1: Forward

difference approx.

4: True derivative

x

y

y = f (x)

1

3

2

4

i

i-1

i+1

h

h

2h

?

...

x

d

y

d

i x

=

Nilai turunan y = f (x) pada

x = x

_idapat dievaluasi dengan memanfaatkan nilai-nilai x di sekitar

x

_iÆdalam hal ini:

x

_i-1dan

x

_i+1

Contoh Ilustratif:

Pada gerak lurus suatu benda, posisi (jarak dari titik tertentu) benda tersebut pada berbagai waktu dapat dinyatakan dengan

persamaan: ₃

t

2

x

=

dengan x dalam meter dan t dalam detik Posisi benda pada berbagai waktu dapat dicari:

128 4

54 3

16 2

2 1

0 0

x (m)

t (detik) Kecepatan rata-rata:

Yang ditunjukkan oleh speedometer:

waktu

jarak

v

=

Misal, ingin dicari kecepatan sesaat pada saat t = 1 Hal ini dapat didekati dengan kecepatan rata-rata antara t = 1 dan t = 1,1:

Untuk kecepatan tetap:

62

006 , 6 001

, 001 , 1 ( 2 1 001 , 001 , 1 t 001 ,

kecepatan sesaat

Jika Δt yang dipakai lebih kecil:

Δt = 0,01:

Δt = 0,001:

Jika menggunakan

Jika menggunakan Δt yang makin kecil, maka nilai kecepatan rata-rata akan mendekati kecepatan sesaat.

'

lim

v

t t t

=

=

Bandingkan dengan diferensiasi secara analitik:

3

Kecepatan sesaat:

Kesimpulan:

PENJABARAN

FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:

...

Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:

h

(formula first forward finite-divided difference

2 titik) dengan: h ≡step size

…(*)

PENJABARAN

FIRST BACKWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan backward:

...

Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:

h

(formula first backward finite-divided difference

2 titik)

PENJABARAN

FIRST CENTERED FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Pendekatan centeredmenggabungkan kedua pendekatan sebelumnya:

...

sehingga:

h

(formula first centered finite-divided difference 2 titik)

(**)

Kurangkan (**) dari (*), maka:

...

PENJABARAN

FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

3 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (x_i) untuk pendekatan forward:

...

(formula first forward finite-divided difference 3 titik)

(*)

Kalikan (*) dengan 4, selanjutnya kurangkan ke (***), maka:

...

sehingga:

PENJABARAN

SECOND FORWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

3 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:

...

(formula second forward finite-divided difference 3 titik) (*)

Kalikan (*) dengan 2, selanjutnya kurangkan dari (***), sehingga:

...

sehingga:

SECARA UMUM

Secara umum, proses penjabaran diferensiasi numerik untuk kasus:

„ Turunan yang melibatkan jumlah titik data lebih banyak, atau

„ Turunan yang lebih tinggi

dapat dilakukan dengan mengekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) dan mengikuti langkah-langkah manipulasi aljabar yang sama atau analog dengan beberapa penjabaran di atas.

Secara umum, berlaku:

• h (step size)semakin kecil, atau

• menggunakan jumlah titik data semakin banyak 1. Hasil pendekatan turunan akan semakin baik jika:

Forward finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Ο(h2₎

(4 titik)

Ο(h)

(3 titik)

Error

Turunan kedua:

Ο(h2₎

(3 titik)

Ο(h)

(2 titik)

Error

Turunan pertama:

h

Backward finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Ο(h2₎

(4 titik)

Ο(h)

(3 titik)

Error

Turunan kedua:

Ο(h2₎

(3 titik)

Ο(h)

(2 titik)

Error

Turunan pertama:

h

Centered finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Ο(h4₎

(5 titik)

Ο(h2₎

(3 titik)

Error

Turunan kedua:

Ο(h4₎

(4 titik)

Ο(h2₎

(2 titik)

Error

Turunan pertama:

h

CONTOH SOAL:

Gunakan

finite divided difference approximation

(

forward

,

backward,

dan

centered

) untuk

menentukan nilai turunan pertama dari fungsi:

2

Ulangi perhitungan dengan menggunakan h = 0,25

dan h = 0,1.

CONTOH APLIKASI:

2,6350 3,3834 4,3443 5,5783 7,1626

C

45 40 35 30 25 t

0,7549 0,9694 1,2447 1,5982 2,0521

C

70 65 60 55 50 t

9,1970 11,8092 15,1633 19,4700 25,0000

C

20 15 10 5 0 t

0,2163 0,2777 0,3566 0,4579 0,5879

C

95 90 85 80 75 t

0,0620 120

0,0796 115

0,1022 110

0,1312 105

0,1684 100

C t Berikut ini adalah data kinetika sebuah reaksi homogen-searah dalam reaktor sistem batch isotermal (t [=] menit, C [=] mol.m-3_):

Tentukan nilai-nilai kecepatan reaksi:

pada setiap titik data, dgn menggunakan finite-divided difference

cara: (a) forward, (b) backward, dan (c) centeredatau central. Bandingkan ketiganya dan bandingkan juga dengan penurunan

secara analitik (yakni dengan melalui proses curve-fitting) t

d C d r=−

DERIVATIVES OF UNEQUALLY SPACED DATA

Untuk sekumpulan data-data yang melibatkan interval x yang tidak sama (misal: data yang diperoleh dari eksperimen), nilai

turunannya dapat diperkirakan melalui pendekatan interpolasi polinomial Lagrange orde dua.

) x x )( x x (

x x x 2 ) x ( f ) x ( ' f

1 i 1 i i 1 i

1 i i 1

i

+ − −

+ − ₋ − − ₋

=

Dengan menggunakan 3 titik data yang berdekatan:

Melalui penurunan secara analitik, diperoleh:

) x x )( x x (

x x x 2 ) x ( f

1 i i 1 i i

1 i 1 i i

+ −

+ −

− − − − +

) x x )( x x (

x x x 2 ) x ( f

i 1 i 1 i 1 i

i 1 i 1

i ₋ − − ₋

+

+ − +

− +

(x merupakan nilai yang ingin dievaluasi turunannya)

(xi-1, f (xi-1)), (xi, f (xi)), dan (xi+1, f (xi+1))

CONTOH APLIKASI:

Reaksi isomerisasi searah fase cair: A ÆB

berlangsung dalam sebuah reaktor batch, dan menghasilkan data konsentrasi A tersisa (C_A) vs waktu (t) sbb.:

n A A

A kC

t d

C d

r =− =

−

Jika persamaan laju reaksi dinyatakan dalam bentuk:

maka besarnya orde reaksi (n) dan laju reaksi spesifik (k) dapat ditentukan.

0,06 0,25 0,65 1,0 1,45 2,25 4,0 CA(mol/L)

17,5 15 12 10 8 5 0 t (menit)

Gunakan diferensiasi numerik untuk menentukan:

t

d

C

d

_A

INTEGRASI NUMERIK

Persoalan integrasi numerik:

∫

b

a

dx

)

x

(

f

1. Fungsi (persamaan) tunggal dengan variabel tunggal

2. Bentuk persamaan diferensial (PD), baik tunggal maupun simultan

(Trapezoidal rule; Simpson’s Rule)

(Metode: Euler, Heun,ModifiedEuler; Runge-Kutta)

yang akan dipelajari pada bagian ini

Misal: Penyelesaian integral berbentuk:

Misal: Penyelesaian PD berbentuk: ) x ( Q y . ) x ( P x d

y d

=

+

f

(

x

,

y

,

z

)

x

d

y

d

=

) z , y , x ( f x d

z d

=

(tunggal)

FORMULA NEWTON-COTES

Formula integrasi Newton-Cotes merupakan basis penyelesaian integrasi numerikuntuk kasus persamaan dengan variabel tunggal.

dx

)

x

(

f

I

b

a

∫

=

Ide dasar:

Menggantikan bentuk fungsi atau persamaan yang kompleks dengan data-data dalam bentuk tabel. Selanjutnya, dilakukan proses curve-fittingterhadap data-data tersebut, sehingga diperoleh fungsi atau persamaan yang mudah diintegralkan. Integral fungsi f (x) dari x = a

hingga x = bdapat dituliskan sbb.:

dengan:

m m 1 m 1 m 2

2 1

0

a

x

a

x

...

a

x

a

x

a

)

x

(

f

=

+

+

+

+

₋ −

+

f (x) ≡fungsi polinomial berorder m

Ingat kembali bahwa:Untuk membentuk polinomial berorder m, maka dibutuhkan sekurang-kurangnya (m+1) titik data.

TRAPEZOIDAL RULE

dx

)

x

(

f

I

b

a

∫

=

x y

y = f (x)

a b

f (a) f (b)

Integral (I) Merupakan bentuk integrasi Newton-Cotes yang paling sederhana

Æmenggunakan pendekatan polinomial orde satu (linier)

)

a

x

(

)

a

(

f

)

x

(

f

=

+

f(b_b)₋−_af(a)

−

Integral f (x) antara x = a dan x = b:

dengan:

orde satu

TRAPEZOIDAL RULE

dx ) a x ( a b

) a ( f ) b ( f ) a ( f I

b

a∫ ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜⎝

⎛ ₋

− − + =

2 ) a b ( 2 1 a b

) a ( f ) b ( f ) a b ).( a ( f

I −

− − + − =

2 ) a ( f ) b ( f ) a b ( ) a ( f ). a b (

I= − + − −

Maka:

2 ) b ( f ) a ( f ). a b (

I = − + (formula trapezoidal rule)

Secara geometri:

Luas trapesium = lebar x rerata panjang sisi sejajar

2 ) b ( f ) a ( f ). a b (

I = − +

Luas daerah yang diarsir:

I bermakna luas daerah di bawah kurvay = f (x)

MULTIPLE-APPLICATION TRAPEZOIDAL RULE

= Composite Trapezoidal Rule

n

x

x

n

a

b

h

=

−

=

n

−

0

x y = f (x)

a b

f (a) f (b)

I

…

= x0 = xn

Interval dari x = x0= a dan x = x_n= b dibagi menjadi

bagian-bagian kecil (inkremen atau segmen) yang masing-masing selebar h, berjumlah n buah.

Batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2, …, n shg:

x

i

=

x

0

+

i

.

h

Dengan demikian, jika tersedia data-data berikut:

maka:

2

Jika jumlah n semakin besar, maka hasil integrasi akan semakin baik.

(formula composite trapezoidal rule)

CONTOH SOAL:

Perkirakan integral:

dari a = 0 hingga b = 0,8

dengan menggunakan metode

trapezoidal:

(a) 1 segmen,

(b) 2 segmen,

(c) 4 segmen, dan

(d) 20 segmen

5 4

3

2

₆₇₅

_x

₉₀₀

_x

₄₀₀

_x

x

200

x

(Sebagai perbandingan, penyelesaian secara analitik

untuk integral ini adalah 1,640533)

Bandingkan hasil-hasilnya…!

SIMPSON’S RULE

dx

Æmenggunakan pendekatan polinomial orde dua (kuadrat)

Integral f (x) antara x = x₀dan x = x₂: dengan:

orde dua Jika tersedia 3 titik data:

)

(Persamaan f (x) yang melalui ketiga titik data tsb. di atas dapat didekati dengan interpolasi polinomial Lagrange orde dua)

∫

(formula Simpson’s 1/3 rule)

Setelah melalui proses integrasi dan manipulasi aljabar, diperoleh: Dengan demikian:

dengan:

MULTIPLE-APPLICATION SIMPSON’S 1/3 RULE

= Composite Simpson’s 1/3 Rule

))

Identik dengan penurunan formula composite trapezoidal rule,

metode ini dapat dijabarkan sbb.:

∫ +∫ + + ∫

atau:

⎥

(formula composite Simpson’s 1/3 rule)

dengan:

n x x

h= n− 0 dan n berupabilangan genap

CONTOH SOAL:

Perkirakan integral:

dari a = 0 hingga b = 0,8

dengan menggunakan metode

Simpson 1/3:

(a) 2 segmen,

(b) 4 segmen, dan

(c) 20 segmen

5 4

3 2

x

400

x

900

x

675

x

200

x

(Penyelesaian secara analitik untuk integral ini: 1,640533)

Bandingkan hasil-hasilnya…!

Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh dengan

metode

trapezoidal

…!

INTEGRASI DGN LEBAR SEGMEN TAK SAMA

∫ = ∫

Pada kebanyakan situasi, kasus integrasi dengan lebar segmen (atau inkremen) sama seringkali justru tidak banyak dijumpai. Misalnya, data-data yang diperoleh melalui eksperimen di laboratorium.

Untuk kasus seperti ini, metode composite trapezoidal ruledapat diterapkan, dengan cara yang sangat identik dengan kasus lebar segmen yang sama.

dengan:

h

_i

≡

lebar

segmen

ke

−

i

(i = 1, 2, …, n)

CONTOH APLIKASI:

Sebuah reaksi homogen fase gas: A Æ3 R mempunyai laju reaksi pada 215o_{C sebesar:}

) ik det . liter / mol ( C 10

r_A= −2 _A1/2

−

Campuran reaksi yang berupa 50%-mol A dan 50%-mol inert diumpankan ke dalam sebuah reaktor alir pipa yang beroperasi pada 215o_{C dan 5 atm. C}

A0= 0,0625 mol/liter. Tentukan space-time yang dibutuhkan agar tercapai konversi A 80%.

Keterangan:

Persamaan kinerja reaktor alir pipa:

Penyelesaian:

Metode yang bisa ditempuh:

1. Integrasi secara grafik 2. Integrasi secara analitik 3. Integrasi numerik

Penyelesaian secara analitik:

328 , 1 X

1 X sin arc X d X 1

X 1 X

d X 1

X

1 0,8

0 2 A A

A 8

, 0

0 _A2 A A

2 / 1 8

, 0

0 A

A _{= − − =}

∫ − + = ∫ _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− +

Coba Anda ulangi kembali melalui

penyelesaian secara

numerik

! (Silakan pilih sendiri metode yang akan Anda

gunakan…)

Integral ≈luas daerah

di bawah kurva

CONTOH APLIKASI

KANDUNGAN AIR dalam PADATAN BASAH

R r

dr

Misal suatu padatan bentuk bola berjari-jari R, mengandung air dengan kadar tidak seragam:

dengan r = jarak ke pusat bola. Ingin dicari jumlah air yang ada dalam padatan (m) dan kadar air rata-ratanya (Cav)

Analisis:

2 o

3 2

R r 1 C cm

O H g C

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

Misal:

Ditinjau elemen volume dengan tebal dr (≈0) Jumlah air pada elemen volume = dm Karena dr sangat kecil, maka kadar air pada bagian tersebut praktis dapat dianggap seragam, sehingga:

dm = 4.π.r2_.dr.C

(massa H2O = volume x kadar) Dengan integrasi diperoleh:

Jika diambil: C0= 0,3 g/cm3; R = 5 cm Dengan integrasi numerik, diperoleh:

m = …….. g Kadar air rata-rata:

∫

∫

=₌

=

= =

R r

0 r

2 m

m

0 m

dr . C . r . . 4

dm π

∫

=

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

R r

0 r

2 2

o .dr

R r 1 . r . C . . 4

m π

3 3

av

cm g ... R 3 4

m volume

massa

C = = =

π

Latihan Soal #:

Tentukan nilai turunan pertama fungsi-fungsi berikut dengan pendekatan forward difference(2 titik (Ο(h))dan 3 titik (Ο(h2_{))), backward difference(2 titik (}Ο_{(h))dan 3}

titik (Ο(h2_{))), serta central/centered difference(2 titik}

(Ο(h2_{))dan 4 titik (}Ο_(h4_))):

(a)

pada x = 0, dengan lebar langkah h = 0,5, h = 0,2, dan h = 0,1

(b)

pada x = 1, dengan lebar langkah h = 0,25, h = 0,1, dan h = 0,05

Bandingkan dan berikan analisis terhadap hasil perhitungan yang Anda peroleh! Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh melalui perhitungan secara analitik!

15 x 4 x

y= 3+ −

x

e

Latihan Soal #:

Data berikut ini dikumpulkan pada saat pengisian

tangki bahan bakar minyak:

1,30

1,14

1,03

0,88

0,73

0,65

0,5

V, 10

6

_barrel

120

90

60

45

30

15

0

t, menit

Hitunglah

laju alir minyak

yang terkumpul

pada

setiap waktu pengamatan

(Q = dV/dt).

Latihan Soal #3:

Pada suhu tetap, sebuah proses termodinamika mengukur

perubahan tekanan terhadap perubahan volume sistem,

dan diperoleh data berikut:

∫

=

P

dV

W

11 10 8 6 4 3 2 0,5 Volume, V (m3₎

207 242 312 316 326 333 368 420 Tekanan, P (kPa)

Hitunglah kerja (W) yang terlibat selama proses tersebut,

dengan integrasi secara numerik.

Diketahui:

Latihan Soal #4:

Kapasitas panas air (H

₂

O(l)) sebagai fungsi suhu dapat

dinyatakan dalam persamaan:

2 6 3

_T

₀

_,

₁₈

_.

₁₀

_T

10

.

25

,

1

712

,

8

R

Cp

_{− −}

−

+

=

∫

=

Cp

dT

Q

Panas sensibel per mol:

(T dalam Kelvin)

R = tetapan gas universal.

Hitunglah besarnya panas sensibel (Q) yang dibutuhkan untuk

memanaskan 1 mol air dari T = 25

o

_{C hingga T = 85}

o

_C.

Gunakan integrasi secara numerik dengan metode (a)