Quantitative Primal - Dual
Dual Simplex
Analisis Sensitivitas Metode Cutting
Plane Metode Transportasi
North West
Corner Vogel Approximation
Tree Maximum Flow
TSP
Software
Metode Branch and Bound
Quantitative Primal - Dual
Dual Simplex
Analisis Sensitivitas Metode Cutting
Plane Metode Transportasi
North West
Corner Vogel Approximation
Tree Maximum Flow
TSP
Software
Metode Branch and Bound
Solusi Grafs
Solusi Optimal
Solusi Khusus
Analisis Sensitiftas
Pembatas
Luas daerah parkir 6 m
2. Luas rata-rata untuk
motor 1 m
2dan mobil 2 m
2. Daya tampung
maksimum hanya 4 kendaraan. Biaya parkir motor
$ 6/jam dan mobil besar $ 3/jam. Jika dalam satu
jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan
datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu
Memaksimumkan
Z
= 6
x
1+ 3
x
2dengan pembatas-pembatas:
x
1+
x
2
4
x
1+ 2
x
2
6
x
1≥ 0
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2) Z = 6x1 + 3x2
6(0) + 3(3) = 9
6(0) + 3(0) = 0
6(4) + 3(0) = 24
6(2) + 3(2)= 18
Latihan 3.a Mencari Solusi Optimal
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.a
Mencari Solusi Optimal
LATIHAN 3.a
Mencari Solusi Optimal
Memaksimumkan
Z
= 6
x
1+ 2
x
2MOTOR DAN SEPEDA
Luas daerah parkir 6 m2. Luas
rata-rata untuk motor 2 m2 dan sepeda 1
m2. Daya tampung maksimum
hanya 4 kendaraan. Biaya parkir motor $ 6/jam dan sepeda $ 2/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan
datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
6x1 + 3x2 = 18
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
Solusi optimal
Latihan 3.b Solusi Grafs
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.b
MOTOR DAN SEPEDA
Luas daerah parkir 6 m2. Luas
rata-rata untuk motor 2 m2 dan sepeda 1
m2. Daya tampung maksimum
hanya 4 kendaraan. Biaya parkir motor $ 6/jam dan sepeda $ 2/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan
datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....
Solusi Grafs
Solusi Optimal
Solusi Khusus
Analisis Sensitiftas
Pembatas
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
Solusi optimal
6(4) + 3(0) = 24
x
1(A) (B)
x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 5x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
x
1(A) (B)
x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
TIPE 3: SOLUSI TAK TERBATAS
x1 + x2 ≥ 4
x
2TIPE 4: SOLUSI TAK LAYAK
Latihan 3.c Menentukan Tipe Solusi
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.c
Dari 4 tipe soal di atas. Buat gambar dalam diagram kartesisus lalu tentukan soal tipe mana yang
Tipe 1: Solusi Unik
Solusi Grafs
Solusi Optimal
Solusi Khusus
Analisis Sensitiftas
Pembatas
PERUBAHAN DALAM SUMBER
Masalah sensitivitas 1 :
Berapa banyak suatu sumber dapat
ditingkatkan untuk
memperbaiki nilai
optimum
dari fungsi tujuan
Z
?
Berapa banyak suatu sumber dapat
diturunkan
tanpa menyebabkan
perubahan dalam solusi optimum
Pembatas binding dan nonbinding (1)
Pembatas
Binding
sumber daya yang langka
(
scarce resource
)
Nonbinding
sumber daya yang
Anda memilih Naik Angkot(nyaman)
atau naik motor(tidak nyaman)?
Kalau harga bensin 10.000?
Tapi kalau harga bensin 50.000?
Anda mau mudik?
Kalau punya uang 500 ribu, akan
menggunakan apa?
Tapi kalau uang hanya 100 ribu?
Tapi kalau punya uang 1 juta?
Tipe 1: Menurunkan constraint Sumber daya bagaimana? Scare resource/Langka
Tipe 1: Menaikkan constraint Sumber daya bagaimana? Abundant resource/ Berlimpah
Tipe 2: Mengubah fungsi tujuan Apa yang berubah?
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
Solusi optimal
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2Solusi optimal baru 6(5) + 3(0) = 30
x1 + x2 5
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
Setiap kenaikan kapasitas parkir Sebanyak 1 (4 menjadi 5), maka? Kebaikan solusi optimal
Sebanyak?
Latihan 3.d Analisis Sensitiftas (1)
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.d Analisis Sensitifitas 1
LATIHAN 3.d Analisis Sensitifitas 1
Memaksimumkan
Z
= 6
x
1+ 2
x
2MOTOR DAN SEPEDA
Luas daerah parkir 6 m2. Luas
rata-rata untuk motor 2 m2 dan sepeda 1
m2. Daya tampung maksimum
hanya 4 kendaraan. Biaya parkir motor $ 6/jam dan sepeda $ 2/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan
datang
Bila akan dilakukan penambahan luas daerah parkir Berapa kenaikan pemasukan dari biaya parkir?
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
Solusi optimal baru 6(6) + 3(0) = 36
x1 + x2 6
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
NAIK KAPASITAS PARKIR
x
1Daerah
solusi layak
(A) (B)x
2Solusi optimal bala (baru tapi lama) 6(6) + 3(0) = 36
x1 + x2 7
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
NAIK KAPASITAS PARKIR
Naik terus
TERNYATA SOLUSI OPTIMAL TIDAK BERUBAH! Batas kenaikan kapasitasnya adalah? 6
Apa artinya?
Menambah kapasits parkir menjadi lebih dari 6 adalah tidak berguna..
x
1Solusi optimal baru 6(1) + 3(0) = 6
x1 + x2 1
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
KAPASITAS PARKIR DITURUNKAN
Setiap penurunan kapasitas parkir Sebanyak 3 (4 menjadi 1), maka? Penurunan solusi optimal
Sebanyak?
x
1(A) (B)
x
2x1 + x2 4
x1 + 2x2 6
Max Z = 6x1 + 3x2
s/t
x1 + x2 4
x1 + 2x2 6 x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
i (0,3)
ii (0,0) iii (4,0)
iv (2,2)
Solusi optimal baru 6(0) + 3(0) = 0
x1 + x2 0
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
x
1Solusi optimal batas atas 6(6) + 3(0) = 36
x1 + x2 ?
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
NAIK TURUN KAPASITAS PARKIR
Naik lagi
Cari batas atas
Cari batas bawah
Kapasitas parkir 6 solusi optimal (6,0) Z=36
Kapasitas parkir 0 solusi optimal (0,0) Z=0
x1 + x2 6 x1 + x2 0
Solusi optimal batas bawah 6(0) + 3(0) = 0
Maka shadow price dari pembatas (A) adalah (36-24)/(6-4)=6, dan range
keberlakuan dari shadow price
tersebut adalah 0 ≤ X1 ≤ 6.
Latihan 3.e Analisis Sensitiftas (2)-Shadow Price
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.e Analisis Sensitifitas 2
Shadow Price
LATIHAN 3.e Analisis Sensitifitas 2
Shadow Price
MOTOR DAN SEPEDA
Luas daerah parkir 6 m2. Luas
rata-rata untuk motor 2 m2 dan sepeda 1
m2. Daya tampung maksimum
hanya 4 kendaraan. Biaya parkir motor $ 6/jam dan sepeda $ 2/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan
datang. Bila constraint luas diubah,Tentukan shadow
x
1Solusi optimal baru Tetap 6(5) + 3(0) = 30
x1 + 2x2 ?
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
UBAH LUAS AREA
-Cari batas atas Dinaikkan berapapun, solusi optimal tak berubah
Cari batas bawah
x1 + 2x2 4 (B)
x
1Solusi optimal baru Tetap 6(3) + 3(0) = 18
x1 + 2x2 ?
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 24
UBAH LUAS AREA
-Cari batas atas Dinaikkan berapapun, solusi optimal tak berubah
Cari batas bawah
x1 + 2x2 3 (B)
Saat batas diturunkan menjadi 4,solusi optimum masih sama Cari batas bawah
Saat batas diturunkan menjadi 3,solusi optimum berubah
x
1Solusi optimal baru Tetap 6(0) + 3(0) = 0
x1 + 2x2 ?
Solusi optimal Awal 6(4) + 3(0) = 20
UBAH LUAS AREA
-Cari batas atas Dinaikkan berapapun, solusi optimal tak berubah
Cari batas bawah
x1 + 2x2 0 (B)
Saat batas diturunkan menjadi 4,solusi optimum masih sama Cari batas bawah
Saat batas diturunkan menjadi 3,solusi optimum berubah
Tipe Pembata
Maka shadow price dari pembatas (B) adalah (24-0)/(4-0)=6, dan range
keberlakuan dari shadow price
tersebut adalah 0 ≤ X1 ≤ 4.
Batas constraint antara 0 sampai 4 Range Z=0 sampai 24
Analisisnya adalah:
Sumber daya
Jenis
Perubahan
maksimum
dalam sumber
Perubahan
maksimum dalam
fungsi tujuan
Shadow price
A
B
Langka
Berlimpah
6-0 = 6
4-0 = 0
36 – 0= 36
24 – 0 = 24
6
Latihan 3.f Analisis Sensitiftas (2)-Shadow Price
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.e Analisis Sensitifitas 2
Shadow Price
LATIHAN 3.e Analisis Sensitifitas 2
Shadow Price
MOTOR DAN SEPEDA
Luas daerah parkir 6 m2. Luas
rata-rata untuk motor 2 m2 dan sepeda 1
m2. Daya tampung maksimum
hanya 4 kendaraan. Biaya parkir motor $ 6/jam dan sepeda $ 2/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan
datang. Bila constraint daya
Solusi Grafs
Solusi Optimal
Solusi Khusus
Analisis Sensitiftas
Pembatas
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Solusi optimal
Fungsi Tujuan
x1 x2 Z
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Tetap Solusi optimal
UBAH FUNGSI TUJUAN C1 (Dinaikkan) Z = 3x1 + 3x2
Fungsi
Tujuan x1 x2 Z
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Solusi optimal baru
UBAH FUNGSI TUJUAN C1 (dinaikkan ) Z = 4x1 + 3x2
Fungsi Tujuan
x1 x2 Z
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
Max Z = 3x1 + 3x2 3 1 12
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Tetap Solusi optimal
UBAH FUNGSI TUJUAN C1 (Diturunkan) Z = 1x1 + 3x2
Fungsi Tujuan
x1 x2 Z
Max Z = 1x1 + 3x2 3 1 6
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
Max Z = 3x1 + 3x2 3 1 12
x
1 Solusi optimal BaruUBAH FUNGSI TUJUAN C1 (Diturunkan) Z = 0x
Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai koefisien fungsi tujuan c1 diubah dari 1 sampai 3, tidak terjadi perubahan titik optimal.
Maka range perubahan nilai koefisien fungsi tujuan c1 yang tidak menyebabkan perubahan titik optimal adalah 1 ≤ c1 ≤ 3
Jika diperhatikan, batas bawah dari range ini adalah ketika nilai c1 diturunkan sampai beririsan dengan garis pembatas (1), batas atas dari range ini adalah ketika nilai c1 dinaikkan sampai beririsan dengan garis pembatas (2).
Latihan 3.g Analisis Sensitiftas Fungsi Tujuan C1
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.g Analisis Sensitifitas
Fungsi Tujuan C1
LATIHAN 3.g Analisis Sensitifitas
Fungsi Tujuan C1
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
s/t
3x1 + x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Solusi optimal
Fungsi
Tujuan x1 x2 Z
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Tetap Solusi optimal
UBAH FUNGSI TUJUAN C2 (Dinaikkan) Z = 2x1 + 4x2
Fungsi Tujuan
x1 x2 Z
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Tetap Solusi optimal
UBAH FUNGSI TUJUAN C2 (Dinaikkan) Z = 2x1 + 5x2
Fungsi
Tujuan x1 x2 Z
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
Max Z = 2x1 + 4x2 3 1 10
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Tetap Solusi optimal
UBAH FUNGSI TUJUAN C2 (Dinaikkan) Z = 2x1 + 6x2
Fungsi
Tujuan x1 x2 Z
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
Max Z = 2x1 + 4x2 3 1 10
Max Z = 2x1 + 5x2 3 1 11
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Solusi optimal Baru
UBAH FUNGSI TUJUAN C2 (Dinaikkan) Z = 2x1 + 7x2
Fungsi Tujuan
x1 x2 Z
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
Max Z = 2x1 + 4x2 3 1 10
Max Z = 2x1 + 5x2 3 1 11
Max Z = 2x1 + 6x2 3 1 12
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Tetap Solusi optimal
UBAH FUNGSI TUJUAN C2 (Diturunkan) Z = 2x1 + 2x2
Fungsi Tujuan
x1 x2 Z
Max Z = 2x1 + 2x2 3 1 8
Max Z = 2x1 + 3x2 3 1 9
Max Z = 2x1 + 4x2 3 1 10
Max Z = 2x1 + 5x2 3 1 11
Max Z = 2x1 + 6x2 3 1 12
x
1 Solusi optimal BaruUBAH FUNGSI TUJUAN C2 (Diturunkan)
Z = 2x1 + 2x2
Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai koefisien fungsi tujuan c2 diubah dari 2 sampai 6, tidak terjadi perubahan titik optimal.
Maka range perubahan nilai koefisien fungsi tujuan c1 yang tidak menyebabkan perubahan titik optimal adalah 2 ≤ c2 ≤ 6.
Jika diperhatikan, batas bawah dari range ini adalah ketika nilai c2
diturunkan sampai beririsan dengan garis pembatas (2), sedangkan batas atas dari range ini adalah ketika nilai c2 dinaikkan sampai beririsan dengan
garis pembatas (1).
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
x1 + 3x2 6
Max Z = 2x1 + 3x2
s/t
x1 + 3x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 Solusi optimal Baru
UBAH FUNGSI TUJUAN
Titik C tetap sebagai titik optimal sepanjang slope dari Z berubah antara
x
1(A) (B)
x
22x1 + 2x2 8
Rentang c
1untuk mempertahankan
solusi optimal pada titik C
Minimum dari
c
1
slope
Z
= slope
pembatas (A)
Maksimum dari
c
1
slope
Z
= slope
pembatas (B)
Rentang
c
1agar titik C
tetap sebagai titik optimal:
Rentang c
2untuk mempertahankan
solusi optimal pada titik C
Minimum dari
c
2
slope
Z
= slope
pembatas (2)
Maksimum dari
c
2
slope
Z
= slope
pembatas (1)
Rentang
c
2agar titik C
tetap sebagai titik optimal:
Latihan 3.h Analisis Sensitiftas Fungsi Tujuan Metode Gradien
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 3.g
Analisis Sensitifitas Fungsi Tujuan C1 dan C2 (Metofr
Gradien)
LATIHAN 3.g
Analisis Sensitifitas Fungsi Tujuan C1 dan C2 (Metofr
Gradien)
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
s/t
3x1 + x2 6 2x1 + 2x2 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
