MODEL SEIR PENYAKIT CAMPAK DENGAN VAKSINASI DAN MIGRASI
Identifikasi Masalah
Penyakit Campak merupakan salah satu penyakit endemik dinegara berkembang yang disebabkan oleh virus campak dari famili Paramyxoviridae, genus Morbilivirus. Model dasar tentang penyebarab penyakit pertama kali dirumuskan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Dalam modelnya McKendrick membagi populasi total menjadi tiga kelas yaitu Suseptible(S), Infected(I), Recovered(R). Dan periode laten yang terdapat pada kelas Exsposed(E). Penambahan kelas pada penyakit campak ini membentuk model SEIR.
Adapun asumsi model SEIR pada penyakit campak adalah :
a. Faktor kelahiran dan kematian diasumsikan sehat tetapi rentan terhadap penyakit
b. Dalam populasi terjadi proses migrasi. Imigrasi diasumsikan terjadi di kelas Susceptible (), dan imigran yang masuk ke populasi dipastikan individu yang tidak terinfeksi penyakit campak. Sedangkan emigrasi masuk ke tiap kelas (Susceptible, Exposed, Infected, Recovered). c. Penyakit dapat menyebabkan kematian(fatal).
Berdasarkan asumsi diatas, dapat didefinisikan parameter model sebagai berikut : S(t):populasi individu sehat yang rentan terkenainfeksi pada waktu t
E(t):populasiindividu yang terdeteksi virus pada waktu t
I(t):populasi individu yang terinfeksi virus dan dapat menularkan virus kepadaindividu yang sehat pada waktu t
R(t):populasi individu yang sudah sembuhdari penyakit b:menyatakan laju kelahiran pada kelas Susceptible(S) μ:menyatakan laju kematiana lami
β:menyatakan laju kontak
γ:menyatakanlaju kesembuhan pada kelas Infected
α:menyatakan laju kematian akibat penyakit campak pada kelas Infected p:menyatakan proporsi keberhasilan vaksinasi
m1:menyatakan laju imigrasi
m1:menyatakan laju emigrasi
Model seir penyakit campak dengan vaksinasi dan migrasi yaitu dS
Konstruksi dan Diskritisasi Model Matematika 1. Populasi individu yang rentan terinfeksi
dS
E(t+∆ t)−E(t)
Diskritisasi I(t+∆ t)−I(t)
∆ t ≈ δE(t)−γI(t)−μI(t)−αI(t)−m2I(t)
Karena ∆ t=h I(t+∆ t)−I(t)
h ≈ δE(t)−γI(t)−μI(t)−αI(t)−m2I(t)
I(t+∆ t)−I(t)≈ h(δE(t)−γI(t)−μI(t)−αI(t)−m2I(t))
I(t+∆ t)−I(t)≈ hδE(t)−hγI(t)−hμI(t)−hαI(t)−h m2I(t)
Ii+h−Ii≈ hδ Ei−hγ Ii−hμ Ii−hα Ii−hm2Ii Ii+h≈ Ii+hδ Ei−hγ Ii−hμ Ii−hα Ii−h m2Ii
4. Populasi individu yang sembuh dari penyakit Konstruksi
R(t+∆ t)≈ R(t)+bpN(t)∆t+γI(t)∆ t−m2R(t)∆ t−μR(t)∆ t
R(t+∆ t)−R(t)≈ ∆ t(bpN(t)+γI(t)−m2R(t)−μR(t))
bpN(t)+γI(t)−m2R(t)−μR(t) R(t+∆ t)−R(t)
∆ t ≈¿
Ambil lim
∆ t →0
S(t+∆ t)−S(t)
∆ t ≈ bpN(t)+γI(t)−m2R(t)−μR(t)
Sehingga diperoleh dR
dt =bpN+γI−m2R−μR
R(t+∆ t)−R(t)
Penskalaan Model Matematika
Model Dinamika Sel Tumor dengan Terapi Pengobatan menggunakan Virus
Kemudian substitusikan parameter ke dalam persamaan
Sehingga diperoleh persamaan yang lebih sederhana yaitu sebagai berikut dx
>
>
Perbandingan grafik diskrit dan grafik kontinue >
>
Mencari titik tetap atau titik equilibrium dS
dt=b(1−p)N+m1S−βSI−μS−m2S
dE dt =
βSI
N −δE−μE−m2E
dI
dt=δE−γI−μI−αI−m2I
dR
dt =bpN+γI−m2R−μR
Diketahui parameter titik equilibrium endemik penyakit adalah
dS
Kemudian disubstitusikan ke persamaan sehingga diperoleh 0=0.25−0.1S−0.8SI
0=0.8SI−0.4E 0=0.2E-0 .28I
Mencari I
0.25−0.1S−0.8SI=0 0.25−0.1(2.5)−0.8(2.5)I=0 0.25−0.25−0.125I=0 I=0
Mencari E 0.2E-0 .28I=0 0.2E-0 .28(0)=0 E=0
Mencari R
−0.2R+0.03I+0.25=0 −0.2R+0.03(0)+0.25=0
R=0.25 0.2 =1.25
Jadi diperoleh titik tetap pertama yaitu (2.5, 0,0, 1.25)
Titik tetap kedua Mencari S
0.8SI−0.4E=0 0.8SI−0.4E=0 0.2E-0 .28I=0 0.4E-0 .56I=0
0.8SI−0.56I=0
0.25−0.1S−0.8SI=0 0.25−0.1(0.7)−0.8(0.7)I=0 0.18=0.56I
I=0.321
Mencari E 0.2E-0 .28I=0 0.2E−0.28(0.321)=0 0.2E-0 .09=0
E=0.45
Mencari R
−0.2R+0.03I+0.25=0 −0.2R+0.03(0.321)+0.25=0 0.2R=1.15
R=1.29821
Jadi diperoleh titik tetap kedua yaitu (0.7, 0.321,0.45, 1.2981) Program mencari titik tetap
> > >
>
>
Sumber:
Muhammad S, Rahma S.(2012).” Model SEIR Penyakit Campak dengan Vaksinasi dan Migrasi”. Jurnal Sains, Industri dan Teknologi.Volume 9, No. 2.
