Ukuran Sebaran (Keragaman) Data

Ukuran Sebaran (Keragaman) 

Data

Dr. Akhmad Rizali

Ukuran keragaman

•

Dari tiga ukuran pemusatan, belum dapat

memberikan deskripsi yang lengkap bagi suatu

data

•

Perlu juga diketahui seberapa jauh pengamatan‐

pengamatan tersebut menyebar dari rata‐ratanya

•

Ada kemungkinan diperoleh rata‐rata dan median 

yang sama, namun berbeda keragamannya

•

Beberapa ukuran keragaman yang sering kita

temui adalah range (rentang=kisaran=wilayah), 

simpangan (deviasi), varian (ragam), simpangan

baku (standar deviasi) dan koefisien keragaman

These are measurements of how spread the

data is around the center of the distribution

f

x

f

x

Measures of Dispersion and Variability

Difference between lowest and highest numbers

Place numbers in order of magnitude,

then range = X

_n

- X

₁

Range = 5 - 2

= 3

2

2

3

4

= X

₁

= X

₂

= X

₃

= X

₄

Problem - no information

about how clustered the

data is

You could express dispersion in terms of

deviation from the mean, however, a sum of

deviations from the mean will always = 0.

i.e.

 (X

_i

- X) = 0

So, take an absolute value to avoid this

Problem – the more numbers in the data set, the higher the SS

SIMPANGAN (deviation)

Contoh

• Misal, jumlah buku tulis yang dibawa 5 mahasiswa adalah 3, 5, 7, 7, 8.   Rerata (mean) data tersebut adalah 30/5 = 6.  Simpangan dihitung dengan mengurangi setiap nilai pengamatan dengan reratanya

No. Nilai observasi Simpangan (x ‐ x) Simpangan kuadrat (x ‐ x)2 1 3 3‐6 = ‐3 9 2 5 5‐6 = ‐1 1 3 7 7‐6 = 1 1 4 7 7‐6 = 1 1 5 8 8‐6 = 2 4 Jumlah 0 16

Agar nilainya tidak negatif, dapat di kuadratkan yang kemudian disebut simpangan kuadrat.

Sample mean deviation =



| X

_i

- X |

n

Essentially the average deviation from the mean

No. Nilai observasi Simpangan (x -x) 1 3 3-6 = -3 2 5 5-6 = -1 3 7 7-6 = 1 4 7 7-6 = 1 5 8 8-6 = 2 Jumlah 0 Simpangan rerata (x -x)/n (3-6)/5 = -3/5 (5-6)/5 = -1/5 (7-6)/5 = 1/5 (7-6)/5 = 1/5 (8-6)/5 = 2/5 0

Simpangan Rerata (Mean Deviation) 

Sample SS

=



(X

_i

- X)

2

₌

SS is much more common than mean deviation

Another way to get around the problem of zero sums is to square the deviations. Known as sum of squares or SS

Xi2_{‐ (Xi)}2_/n

Sum of Square

Example

2

2

3

4

5

= X

₁

= X

₂

= X

₃

= X

₄

= X

₅

X = 3.2

Sample SS =



(X

_i

- X)

2

SS = (2 - 3.2)

2

_{+ (2 - 3.2)}

2

₊

(3 - 3.2)

2

_{+ (4 - 3.2)}

2

_{+ (5 -3.2)}

2

= 1.44 + 1.44 + 0.04 + 0.64 + 3.24

= 6.8

Problem –the more numbers in the data set, the higher the SS

VARIAN (Ragam)

•

Dalam prakteknya, simpangan jarang digunakan

karena sulit dimanipulasi secara matematis

•

Sebagai gantinya diperlukan kuadrat semua

simpangan tersebut kemudian dibagi derajad bebas

n‐1, dan disebut dengan varian (ragam)  

•

Digunakan pembagi n‐1 agar menjadi penduga tak

bias

•

Ragam populasi dilambangkan dengan σ², sedang

ragam contoh dilambangkan dengan s

2

The mean SS is known as the

variance

Population Variance (



2

_):



2

₌

(X

i

-

 )

2

N

This is just SS

N

Problem - units end up squared

Our best estimate of 

2

_is

_{sample variance (s}

2

_):

S

2

=  (X

i

- X)

2

n - 1

_{Note : divide by n-1}

known as degrees of freedom

 Xi2_{‐ (Xi)}2_/n

n ‐ 1 =

Mengapa (n‐1) disebut derajad bebas (kebebasan)?

Perhatikan ilustrasi berikut:

•

Apabila seseorang hendak mengangkat 100 kg beras

dari lantai 1 ke lantai 3 dan ia harus mengangkat

maksimal sebanyak 5 kali, maka orang tersebut dapat

memilih menyelesaikannya dalam 2 kali angkat, 3 kali 

atau sampai (n‐1) kali

•

Sampai dengan 4 (n‐1) kali, orang tersebut bebas

memilih berapa kg yang diangkat ke lantai 3

•

Namun pada angkatan terakhir (1 kali), mau tidak mau, 

orang tersebut harus mengangkat semua beras yang 

tersisa.  Artinya kebebasan memilih jumlah yang 

diangkat hanya (n‐1) kali

Standar Deviasi

•

Penggunaan ragam untuk mengukur keragaman, 

diperoleh satuan kuadrat dari satuan semula

•

Apabila yang dihitung keragamannya adalah bobot

buah melon dengan satuan kg, maka ragamnya akan

mempunyai satuan kg²

•

Apabila yang diukur keragamannya adalah jumlah

petani dengan satuan orang, maka ragamnya akan

mempunyai satuan orang²??.   Tentu saja hal ini sangat

tidak logis

•

Agar diperoleh satuan yang sama dengan satuan

asalnya, maka varian tersebut diakarkan.  Akar dari

ragam disebut simpangan baku (s) atau dikenal dengan

standar deviasi

Standard Deviation

(Standar Deviasi)

=> square root of variance

 =

(X

_i

-

 )

2

N

For a population: For a sample:

s =

(X

_i

- X )

2

n - 1

 = 

2

s = s

2

Contoh

2

2

3

4

5

= X

₁

= X

₂

= X

₃

= X

₄

= X

₅

X =

3.2

s =

(X

_i

- X )

2

n - 1

= 1.304 s = (2 - 3.2)2 _{+ (2 - 3.2)}2₊ (3 - 3.2)2 _{+ (4 - 3.2)}2 _{+ (5 -3.2)}2 5 - 1 = 1.44 + 1.44 + 0.04 + 0.64 + 3.24 4

Hitung standar deviasi

Varian adalah kuadrat dari standar deviasi. Berapa nilainya??

CV

=s

X

Variance (s

2

_{) and standard deviation (s) have}

magnitudes that are

dependent on the

magnitudes

of the data.

The coefficient of variation is a relative measure, so variability of different sets of data may be compared (stdev relative to the mean)

Note that there are no

units – emphasizes that it

is a relative measure

X 100%

Coefficient of Variation (Koefisien Keragaman)

KK  (V or sometimes CV)

Example:

2

2

3

4

5

= X

₁

= X

₂

= X

₃

= X

₄

= X

₅

s = 1.304

g

CV

=s

X

X = 3.2

g

CV =

1.304 g

3.2 g

CV = 0.4075

or

CV =

40.75%

(X 100%)

Attention  there is not any UNIT, or %

There is an equation which describes the height of the normal curve in relation to its standard dev (



)

X



2



3





2



3



68.27% 95.44% 99.73%

f

The Normal Distribution (Distribusi Normal)

ƒ

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

μ

= 0

Normal distribution with σ = 1, with varying means

μ

= 1

_μ

_{= 2} 5 If you get difficulties to keep this term, read  statistics books

ƒ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 4 5

σ

= 1

σ

= 1.5

σ

= 2

Normal distribution with μ = 0, with varying standard deviations

Symmetry means that the population is equally distributed around the mean i.e. the curve to the right side of the mean is a mirror imageof the curve to the left side

ƒ

Mean, median and mode

Symmetry and Kurtosis

Data may be positively skewed(skewed to the right)

Symmetry

ƒ

ƒ

Or negatively skewed(skewed to the left)

So direction of skew refers to the direction of longer tail

Symmetry

ƒ

mode median mean

ƒ

Kurtosis refers to how flat or peakeda curve is (sometimes referred to as peakedness or tailedness)

The normal curve is known as mesokurtic

ƒ

A more peaked curve is known as leptokurtic A flatter curve is known as

Latihan

• Banyaknya buah pisang yang terserang hama dari 16 tanaman

adalah 4, 9, 0, 1, 3, 24, 12, 3, 30, 12, 7, 13, 18, 4, 5, dan 15.  Dengan menganggap data tersebut sebagai contoh, hitunglah varian,  simpangan baku dan koefisien keragamannya.  Statistik mana yang  paling tepat untuk menggambarkan keragaman data tersebut?

• To study how first‐grade students utilize their time when assigned  to a math task, researcher observes 24 students and records their  time off task out of 20 minutes.  Times off task (minutes) : 4, 0, 2, 2,  4, 1, 4, 6, 9, 7, 2, 7, 5, 4,13, 7, 7, 10, 10, 0, 5, 3, 9 and 8.  For this  data set, find :   Mean and standard deviation, median and range  Display the data in the histogram plot, dot diagram and also stem‐and‐ leaf diagram  Determine the intervalsx  ± s, x  ± 2s, x  ± 3s  Find the proportion of the measurements that lie in each of this  intervals.  Compare your finding with empirical guideline of bell‐shaped  distribution • The data below were obtained from the detailed record of  purchases over several month. The usage vegetables (in weeks) for  a household taken from consumer panel were (gram) :  84 58  62 65 75 76 56  87 68 77 87 55  65 66 76 78 74  81 83 78 75 74  60 50 86 80 81  78 74 87  Plot a histogram of the data!  Find the relative frequency of the usage time that did not exceed 80  Calculate the mean, variance and the standard deviation  Calculate the median and quartiles • The mean of corn weight is 278 g by ear and deviation standard is  9,64 g, and than we have 10 ears.  If they are gotten from ten  different fields, mean of plant height is Rp. 1200,‐ and its deviation  standard is Rp 90,‐, which one have more homogenous, the weight  of corn ear or the plant height? Explain your answer!  Verify your  results by direct calculation with the other data

• The employment’s salary at seed company, abbreviated, as  follows : 18, 15, 21, 19, 13, 15, 14, 23, 18 and 16 rupiah.  If  these abbreviation is real salary divide Rp. 100.000,‐, find  the mean, variance and deviation standard of them.   • Computer‐aided statistical calculations.  Calculation of the 

descriptive statistic such as x and s are increasingly 

tedious with large data sets.  Modern computers have  come a long way in alleviating the drudgery of hand  calculation.  Microsoft Exel, Minitab or SPSS are three of  computing packages those are easy accessible to student  because its commands are in simple English.  Find these  programs and install its at your computers.  Bellow main  and sub menu of Microsoft Excel, Minitab and SPSS  program.  Use these software to find x, s, s2_{, and coefisien}  of variation (CV) for data set in exercise b.  Histogram and  another illustration can also be created

•

Some properties of the standard deviation

 if a fixed number c is added to all measurements in a  data set, will the deviations (x_i ‐x) remain changed?   And consequently, will s² and s remain changed, too?  Take data sample.

 If all measurements in a data set are multiplied by a  fixed number d, the deviation (x_i ‐x) get multiplied  by d.  Is it right?  What about the s² and s? Take data  sample.

 Apply your computer software to explain your data  sample.  Verify your results by other data