PROGRAM LINIER. Pembahasan: Jika: banyak sepatu jenis I = x banyak sepatu jenis II = y

(1)

y

b p

PROGRAM LINIER

A. Pengertian

Program linier adalah suatu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan yang berhubungan dengan optimalisi linier (nilai maksimal atau nilai minimal).

B. Model Matematika

Model matematika adalah sistem pertidaksamaan linier dua variabel yang dibentuk dari soal cerita.

Contoh:

Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup menampung 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I dibeli dengan harga Rp60.000,00 setiap pasang, sedangkan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal sebesar Rp3.000.000,00 untuk membeli sepatu jenis I dan jenis II, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah ….

A. 3x4y150, x y40, x0, y0 B. 3x4y150, x y40, x0, y0 C. 3x4y150, x y40, x0, y0 D. 6x8y300, x y40, x0, y0 E. 6x4y300, x y40, x0, y0 Pembahasan:

Jika: banyak sepatu jenis I = x banyak sepatu jenis II = y maka, model matematikanya:

tentang daya tampung : x y40... (1) hanya cukup 40 berarti 

tentang modal : 60.000x80.000y3.000.000karena uang modal berarti  disederhanakan menjadi 3x y4 150... (2)

syarat mutlak : x0... (3) karena banyak sepatu x tidak mungkin negatif : y0... (4) karena banyak sepatu y tidak mungkin negatif Jadi, yang benar pilihan C.

(2)

Contoh 1:

Gambarlah grafik x y3 3, x0, dan y0 ! Pembahasan: 3 3   y x x y ( x , y ) 0 1 ( 0 , 1 ) 3 0 ( 3 , 0 ) Titik uji (0,0): x3y  3 0 + 3 (0)  3 0  3 Benar

Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis x y3 3 Contoh 2:

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier              0 0 6 2 15 5 3 y x y x y x ditunjukkan pada

gambar di bawah ini dengan nomor daerah …. A. I B. II C. III D. IV E. V x y 3 1 x+3y=3 x y 3 6 3 I II III IV V 5

(3)

x y 3 6 3 I II III IV V 5 3x + 5y =15 6x + 3y =18 2x + y =6 x y 2 3 2 4 2x + 4y = 8 x + 2y = 4 3x + 2y = 6 Pembahasan:

Untuk menentukan  atau , kita lihat dari posisi daerah penyelesaiannya. Jika daerah penyelesaiannya di sebelah kiri atau bawah, maka . Sedangkan jika daerah penyelesaiannya di sebelah kanan atau atas, maka .

Berarti daerah yang memenuhi: 15

5

3x y , 2x y6, x0, dan y0 adalah daerah I

Contoh 3:

Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah ….

A. x2y4, 3x2y6, x0, y0 B. x2y4, 3x2y6, x0, y0 C. x2y4, 3x2y6, x0, y0 D. x2y4, 3x2y6, x0, y0 E. x2y4, 3x2y6, x0, y0 Pembahasan:

Karena daerah penyelesaiannya di bawah berarti sama-sama  . Jadi sistem pertidaksamaan atau model matematika yang benar adalah 0 , 0 , 6 2 3 , 4 2       y x y x y x (E) x y 2 3 2 4

(4)

5 3,5 7 x + y = 5 2x+y = 7 5 (2 , 3) x y

D. Nilai Optimal dari Fungsi Objektif

Nilai optimal terdiri atas nilai maksimal dan nilai minimal.

Fungsi objektif adalah fungsi sasaran untuk dapat menentukan nilai maksimal atau nilai minimal.

Contoh 1:

Nilai minimal dari f(x,y)4x5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x y7, 5   y x , x0, dan y0 adalah .... A. 14 B. 20 C. 23 D. 25 E. 35 Pembahasan:

Menentukan titik potong: 7 2x y x y5 x  2 Sehingga: 5   y x 5 ) 2 (  y 2 5   y 3  y

Maka titik potongnya (2 , 3) Titik Pojok (x , y) Fungsi objektif y x y x f( , )4 5 (5 , 0) f(5,0)4(5)5(0)20....Nilai minimal (0 , 7) f(0,7)4(0)5(7)35 (2 , 3) f(2,3)4(2)5(3)23 Contoh 2:

Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa barang seberat 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg dengan daya angkut maksimal bagasi adalah 1.000 kg. Harga tiket penumpang kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah ....

A. Rp45.000.000,00 B. Rp57.000.000,00 C. Rp68.000.000,00 D. Rp72.000.000,00 E. Rp80.000.000,00 Pembahasan:

Jika: banyak penumpang kelas bisnis = x banyak penumpang kelas ekonomi = y

(5)

90 500 6 100 x + y = 90 6x+5y = 500 90 _{(50 , 40)} x y

maka, model matematikanya:

tentang jumlah penumpang : x y90... (1) karena jumlah penumpang paling banyak 90 orang

tentang daya angkut bagasi : 12x10y1.000... (2) karena maksimal bagasi menampung 1.000 kg

disederhanakan menjadi 6x y5 500

syarat mutlak : x0... (3) karena banyak penumpang tidak mungkin negatif : y0... (4) karena banyak penumpang tidak mungkin negatif Grafik daerah penyelesaian:

Titik potong kedua garis: 90   y x | x5 → 5x y5 450 500 5 6x y | x 1 → 6x y5 500 x  = 50 x50 90   y x 90 ) 50 (  y 40  y

Sehingga titik potong kedua garis tersebut (50 , 40) Titik Pojok (x , y) Fungsi objektif y x y x f( , )800.000 700.000       0 , 6 500 667 . 666 . 66 ) 0 ( 000 . 700 6 500 000 . 800 0 , 6 500                f (0 , 90) f

_

0,90

_

800.000(0)700.000(90)63.000.000 (50 , 40) f



50,40



800.000(50)700.000(40)68.000.000.... Pendapatan maksimal Jadi, pendapatan maksimal Rp68.000.000,00 dengan 50 penumpang kelas bisnis dan 40 penumpang kelas ekonomi.

E. Latihan Soal

1. Tanah seluas 18.000 m akan dibangun rumah tipe anggrek dan2 tipe dahlia. Rumah tipe anggrek memerlukan tanah seluas 120 m , sedangkan tipe dahlia memerlukan 2 tanah seluas 160 m . Jumlah rumah yang akan dibangun paling sedikit 25 rumah. 2 Misalkan banyak tipe anggrek x rumah dan tipe dahlia y rumah, maka model matematika masalah tersebut adalah ....

a. 3x4y450 ;x y25;x0;y0 b. 3x4y450 ;x y25;x0;y0 c. 4x3y450 ;x y25;x0;y0

(6)

x y 10 3 2 9 I II III IV V

2. Daerah yang memenuhi sistem pertidaksaman linier 3x y9; 10 5   y x ; x 0; y0; x,yR adalah .... a. I b. II c. III d. IV e. V

3. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan …. a. 2x6y12, x y5, x0, y0 b. 2x6y12, x y5, x0, y0 c. 2x6y12, x y5, x0, y0 d. 2x6y12, x y5, x0, y0 e. 2x6y12, x y5, x0, y0

4. Nilai maksimal dari fungsi objektif f(x,y)2x3y dari daerah penyelesaian yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah ....

a. 16 b. 22 c. 26 d. 28 e. 36 x y 4 12 -8 8 x y (5,0) (6,0) (0,2) (0,5)

(7)

5. Seorang penjahit mempunyai persediaan kain putih 10 m dan kain berwarna 15 m. Ia ingin membuat dua model pakaian, yaitu pakaian model I dan model II. Untuk pakaian model I memerlukan 1 m kain putih dan 3 m kain berwana, sedangkan pakaian model II memerlukan 2 m kain putih dan 1 m kain berwarna. Sebuah pakaian model I dijual dengan harga Rp75.000,00, sedangkan sebuah pakaian model II dijual dengan harga Rp60.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut apabila semua pakaian yang dibuat terjual habis adalah …. a. Rp300.000,00 b. Rp375.000,00 c. Rp480.000,00 d. Rp750.000,00 e. Rp900.000,00

6. Suatu perusahan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Barang jenis I dijual seharga Rp250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp400.000,00 per unit. Agar penjualannya mencapai maksimum, banyak masing-masing barang yang harus dibuat adalah ....

a. 6 jenis I b. 12 jenis II

c. 6 jenis I dan 6 jenis II d. 3 jenis I dan 9 jenis II e. 9 jenis I dan 3 jenis II