KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

(1)

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM

LINEAR WAKTU DISKRIT

Oleh:

APRILLIANTIWI NRP. 1207100064

Dosen Pembimbing:

1. Soleha, S.Si, M.Si

2. Dian Winda S., S.Si, M.Si

(2)

L ATAR B ELAKANG

Matriks dan similar jika ada matriks nonsingular P sehingga P ^-1AP=B

Multiplisitas geometri matriks

= n

A dapat

didiagonalkandengan kata lain ada matriks D

yang similar dengan A sehingga A=PDP ^-1

Multiplisitas geometri

matriks ≠ n

Tidak dapat

didiagonalkan ^tetapi

?

dapat diperoleh

matriks Jordan yang similar dengan A,

A=PJP ^-1

(3)

Rumusan masalah dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Bagaimana bentuk matriks Jordan dan sifat matriks Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai real?

☼ Bagaimana mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi dan sifat-sifat apa saja yang berlaku pada vektor- eigen tergeneralisasi?

☼ Bagaimana mengaplikasikan matriks Jordan pada sistem linear waktu diskrit?

R UMUSAN M ASALAH

Batasan masalah dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Matriks yang digunakan adalah matriks bernilai real dengan nilai-eigen real.

☼ Sistem linear yang digunakan adalah sistem linear waktu diskrit.

B ATASAN M ASALAH

(4)

Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Mendapatkan bentuk matriks Jordan dan sifat matriks Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai real.

☼ Mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi dan mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada vektor- eigen tergeneralisasi.

☼ Mengaplikasikan matriks Jordan pada sistem linear waktu diskrit.

T UJUAN

Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Memudahkan dalam memperoleh sifat-sifat matriks setelah diperoleh matriks Jordannya.

☼ Menambah pengetahuan terkait dengan nilai-eigen dan vektor-eigen (tergeneralisasi).

M ANFAAT

(5)

N ILAI - EIGEN , V EKTOR - EIGEN ,

DAN S IMILARITAS

Definisi 2.1 [2] Jika , maka vektor tak-nol x pada disebut suatu vektor-eigen dari A jika

Ax = λx (2.1) untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai-eigen dari A, dan x disebut suatu vektor-eigen dari A yang bersesuaian dengan λ .

 Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu matriks , adalah sebagai berikut.

Ax = λx (2.2) (A- λ I)x = 0

Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika

det(A- λ I) = 0 (2.3)

Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa diperoleh dengan cara memasukkan nilai λ

ke persamaan (A- λ I)x = 0

(6)

NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS

Teorema 2.1 [2] Multiplisitas geometri masing-masing nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.

 Jika λⁱ adalah nilai-eigen dari suatu matriks A maka multiplisitas aljabar λⁱadalah banyaknya λⁱ sebagai akar dari persamaan polinomial A.

Sedangkan multiplisitas geometri λⁱ adalah dimensi ruang-eigen yang bersesuaian dengan λⁱ [2].

 Berikut diberikan teorema yang

menghubungkan besarnya nilai dari

multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri.

 Pandang persamaan (2.3). det(A-λI) disebut polinomial karakteristik dari . Berikut ini diberikan sifat yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu matriks A.

Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan p^A(t) adalah polinomial karakteristik dari . Maka

p^A(A) = 0

(7)

Lema 2.1 [2] Jika adalah matriks segitiga

(segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai- eigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A.

 Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan dalam pembahasan yaitu:

1. Matriks Diagonal

Suatu matriks D = [d^ij] dikatakan diagonal jika d^ij = 0, j ≠ i.

2. Matriks Segitiga

Suatu matriks T = [tîj] dikatakan matriks segitiga atas jika tîj = 0, j < i. Jika tîj = 0, j ≤ i, maka T

dikatakan matriks strictly segitiga atas. T dikatakan matriks segitiga bawah jika t^ij = 0, j > i.

Kita dapat langsung mengetahui nilai-eigen dari dua

matriks yang disebutkan di atas, seperti yang tertera pada lema berikut.

3. Matriks Blok Diagonal

Suatu matriks dalam bentuk

(8)

Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana akan diberikan pada lema di bawah ini.

dengan dan ,

dikatakan matriks blok diagonal. Matriks di atas dapat

ditulis sebagai . Persamaan

ini disebut jumlahan langsung dari matriks

Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks.

Definisi 2.2 [4] Sebuah matriks dikatakan similar dengan matriks jika terdapat sebuah matriks nonsingular sedemikian hingga

B=S^-1AS

Relasi “B similar A” dinotasikan dengan B ~ A.

Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah sebuah relasi ekivalen pada ; dengan kata lain, relasi similaritas memenuhi sifat-sifat berikut ini

Refleksif : A ~ A

Simetris : B ~ A maka A ~ B

Transitif : C ~ B dan B ~ A maka C ~ A

(9)

Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada teorema berikut ini.

Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks yang similar dengan matriks diagonal seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3 [2] Suatu matriks dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai invers sedemikian sehingga P^-1AP adalah suatu matriks diagonal.

Teorema 2.3 [5] Misal

i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah multiplisitas geometri nilai-eigennya n.

ii. Jika multiplisitas geometri dari masing-masing nilai- eigen A sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka A dapat didiagonalkan.

iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masing-masing multiplisitas aljabarnya adalah 1), maka A dapat didiagonalkan.

(10)

Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas matriks blok diagonal

Teorema 2.4 [4] Misalkan , mempunyai nilai- eigen dengan multiplisitas , dan

berbeda. Maka A similar terhadap matriks dengan bentuk

dengan adalah matriks segitiga atas dengan semua elemen diagonalnya sama dengan

(11)

Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari matriks blok Jordan. Sebuah matriks Jordan yang similar dengan matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jordan.

Setelah tahu bentuk kanonik Jordan, semua informasi aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat diketahui dengan mudah.

B ENTUK K ANONIK J ORDAN

Definisi 2.4 [4] Sebuah blok Jordan J_k(λ) adalah matriks segitiga atas k×k dengan bentuk

ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal; λ muncul k kali pada diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan

J₁(λ)=[λ]. Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut

dengan mungkin sama dan nilai tidak perlu berbeda.

(12)

S IFAT -S IFAT M ATRIKS J ORDAN

T ERHADAP S IMILARITAS

(13)

SIFAT-SIFATMATRIKSJORDANTERHADAPSIMILARITAS

(14)

(15)

(16)

Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat- Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi

Suatu matriks A, dengan jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen-nilai-eigen tidak sama dengan n, maka A tidak similar dengan matriks diagonal karena jumlah vektor- eigennya tidak sama dengan n. Tetapi matriks tersebut similar dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan n vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Berikut ini diberikan definisi dari vektor- eigen tergeneralisasi.

Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen

tergeneralisasi dengan tingkat k dari A yang berpadanan dengan λ jika dan hanya jika

Dan

Perhatikan jika k = 1, definisi ini menjadi

dan , di mana ini merupakan definisi vektor- eigen.

(17)

Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi

(18)

Teorema 4.3 [3] Jika merupakan

vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang k maka adalah bebas linear.

(19)

Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari A dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear.

(20)

Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks

memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari

serta . Maka ada matriks

Jordan

Dan

dengan adalah vektor-eigen

tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen

sedemikian hingga

(21)

Lema 4.2 [3] Diberikan ruang null dari , maka

,

(22)

,

(23)

,

Teorema 4.6 Jika matriks sebarang berukuran maka terdapat J dan S dimana kolom-kolom S merupakan vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan

sedemikian hingga

A=SJS^-1

(24)

Keteramatan

,

Lema 4.3.2. [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan pada persamaan (4.18) adalah

(25)

Keteramatan ,

(26)

Keterkontrolan

,

Lema 4.4.2. [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keterkontrolan adalah

(27)

Keterkontrolan ,

(28)

K ^ESIMPULAN

Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan yaitu :

☼ Matriks strictly segitiga atas similar dengan matriks Jordan J(0).

☼ Sebarang matriks real similar dengan matriks Jordan J(λ).

☼ Jika x¹,x²,…,x^k merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang k maka x¹,x²,…,x^k adalah bebas linear.

☼ Vektor-eigen tergeneralisasi dari A dengan vektor- eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear.

☼ Untuk sebarang terdapat S yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-eigen (tergeneralisasi) dan matriks Jordan sehingga

☼ Matriks S^-1F S adalah matriks Jordan, sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian

dengan nilai-eigen yang sama,

b. Kolom CS yang bersesuaian dengan baris pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua,

(29)

c. Elemen dari masing-masing kolom CS yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.

☼ Matriks S^-1FS adalah matriks Jordan, syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika

a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,

b. Baris S^-1G yang bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol, c. Elemen dari masing-masing baris S^-1G yang

bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.

KESIMPULAN

S ARAN

Saran yang dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya adalah :

1. Matriks yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah matriks bernilai real dengan nilai-eigen real oleh karena itu untuk selanjutnya dapat menggunakann matriks komplek.

2. Untuk selanjutnya dapat digunakan sistem linear yang waktu kontinu.

(30)

D AFTAR P USTAKA

1.

Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.

2.

Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.

3.

Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory and Design. CBS College Publishing.

4.

Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990.

Matrix Analysis. Cambridge University Press.

5.

Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H.

Freeman and Company.

6.

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT