Batas bawah nilai eigen terkecil dari matriks simetrik real

ENDAH ARIYANTI

G05400028

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Supervised by FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR.

The growth of technology and sciences in daily life, it is found applications of eigenvalues and eigenvectors such as within the fields of mathematics itself, mechanics, dynamical system, etc. The eigenvalues of a matrix clearly depends on its entries. Therefore, the knowledge of lower bound of its smallest eigenvalues of a matrix with respect to the change of its entries becomes very important.

oleh FARIDA HANUM dan TONI BAKHTIAR.

Dalam perkembangan ilmu dan teknologi di kehidupan sehari-hari, banyak diterapkan penggunaan nilai eigen (eigenvalues) dan vektor eigen (eigenvectors) seperti dalam bidang ilmu matematika, mekanika, sistem dinamika, dan sebagainya. Nilai eigen dari suatu matriks sangat dipengaruhi oleh entri-entri matriksnya. Oleh karena itu, mengetahui batas bawah nilai eigen terkecil dari suatu matriks akibat perubahan entrinya menjadi sangat penting.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

ENDAH ARIYANTI

G05400028

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Menyetujui:

Pembimbing

I,

Pembimbing

II,

Dra. Farida Hanum, M.Si.

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.

NIP. 131 956 709

NIP. 132 158 750

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. Drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

Kupersembahkan karya ilmiah ini

untuk keluargaku

sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Sholawat serta salam tidak lupa penulis curahkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat dan keluarga, serta para pengikutnya sampai akhir jaman. Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis sangat membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari orang-orang yang secara langsung maupun tidak langsung berkontribusi besar dalam pembuatan karya ilmiah ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Kedua orang tua (ibu dan alm. bapak) yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, kasih sayang, kesabaran, dan segalanya, terutama ibu. Terima kasih ibu. Semoga Allah selalu melimpahkan rahmat dan kasih sayang-Nya kepada ibu dan bapak, dunia-akhirat. Amin. 2. Dra. Farida Hanum, M.Si. dan Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah

membantu, membimbing, mengarahkan, memberi kritik dan saran selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih atas bimbingannya yang penuh kesabaran dan ketekunan. Semoga Allah membalas kebaikan ibu dan bapak berlipat ganda. Amin.

3. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji. Terima kasih atas masukan-masukannya yang bermanfaat.

4. Drs. Agah D. Garnadi, Grad. Dipl. atas bantuannya mencari referensi bahan penunjang penulisan skripsi. Terima kasih spesial penulis persembahkan untuk bapak. Semoga Allah membalas kebaikan bapak berlipat ganda. Amin.

5. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. atas bimbingan dan masukannya. Penulis mohon maaf atas segala kesalahan selama ini.

6. Bude Mami, Pakde Peno dan Mbah Tuminah atas segala doa, perhatian, dukungan, nasihat dan semangatnya. Pak Kus dan Bulik Dwi atas doa, bantuan, dukungan dan kesabarannya karena sering direpotkan selama penulis mencari bahan-bahan penunjang penulisan karya ilmiah ini di Bandung. Hanya Allah yang mampu membalas semuanya.

7. Kakak-kakakku (Mas Agus dan Mbak Dwi serta Mbak Santi dan Mas Imam), Bude Er, Bulik Har, Lik Preh atas dukungan, doa dan semangatnya. Keponakan-keponakanku (Nasywa, Puput, Faiq, Rama dan Irsyad) atas canda tawa, tangis dan keceriaannya yang membuat kangen. Sepupu-sepupuku (Wiwin, Mas Yudha, Etty, Fredy, Latif, Ikhsan) dan seluruh keluarga yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, terima kasih atas semangat, dukungan dan doanya. 8. Ibu Susi, Ibu Ade, Mas Deni, Mas Yono, Mas Bono serta seluruh dosen dan staf Departemen

Matematika IPB atas informasi, bantuan administrasi, software, komputer, kebaikan, kelucuan dan kesabarannya.

9. Cecep, Marita, Cahyadi, Wahyu, Rudi, Dwi Ade, Echi, Adi, Choy, Nina, dan semua teman Matematika 37 atas bantuan, semangat, dukungan dan persahabatannya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Amin.

Bogor, Januari 2008

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1

Tujuan Penulisan ... 1

Metode Penulisan ... 1

Sistematika Penulisan ... 1

LANDASAN TEORI Matriks ... 1

Matriks yang Serupa Akibat Permutasi ... 3

Basis dan Rank Matriks ... 5

Hasil Kali Dalam dan Norma ... 8

Vektor dan Nilai Eigen ... 11

Hasil Kali Kronecker dan Hasil Kali Hadamard ... 14

BATAS BAWAH NILAI EIGEN TERKECIL DARI MATRIKS SIMETRIK REAL Nilai Ekstrem ... 15

Metode Faddeev-Leverrier ... 18

KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan ... 26

Saran ... 27

DAFTAR PUSTAKA ... 27

LAMPIRAN ... 28

1. Penjabaran S=

{

v₁,v₂,v₃

}

pada Ilustrasi 17 adalah himpunan ortonormal ... 29

2. Penjabaran penentuan invers dari matriks A pada Ilustrasi 19 ... 29

3. Penjabaran penentuan nilai dan vektor eigen dari Matriks A pada Ilustrasi 21 ... 30

4. Penggunaan Software Mathematica 5.0 ... 32

5. Penjabaran penentuan nilai k sehingga Persamaan (35) bernilai minimum ... 35

6. Bukti Teorema 3 ... 37

7. Penjabaran bahwa xTAx=eT

[

Ao

( )

xxT

]

e pada Teorema 6 ... 39

8. Penjabaran penentuan matriks B₂ dan teras B₂ pada bukti Teorema 6 ... 40

9. Penjabaran penentuan nilai eigen matriks A=J

(

k;a,b

)

pada bukti Teorema 6 ... 43

10. Penjabaran penentuan P−1 dan polinomial karakteristik A, Ilustrasi 26(3) ... 43

Nilai eigen (eigenvalues) dan vektor eigen (eigenvectors) memiliki peranan yang sangat penting dalam perkembangan ilmu dan teknologi dan banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam bidang ilmu matematika, masalah nilai eigen dan vektor eigen memperoleh pembahasan yang sangat intensif. Dalam ilmu mekanika, konsep sumbu inersia diperoleh dengan menghitung vektor eigen dari suatu matriks yang disebut tensor inersia, sedangkan nilai eigen dari matriks tersebut dikenal sebagai momen inersia. Mesin pencari Google juga memanfaatkan variasi dari permasalahan nilai eigen dan vektor eigen dalam menentukan tingkat popularitas website. Selain itu, beberapa kasus yang menggunakan analisis faktor seperti banyak dijumpai pada riset pemasaran juga bersinggungan dengan pencarian nilai eigen dan vektor eigen.

Secara lebih khusus, dalam bidang sistem dinamika, keberadaan nilai eigen sangat penting dalam menentukan kestabilan sistem tersebut. Sistem dikatakan stabil jika semua nilai eigen dari matriks sistemnya bernilai negatif. Nilai eigen sangat dipengaruhi oleh entri dari matriks sistem. Perubahan pada entri matriks akan mengubah nilai eigen dan sangat mungkin akan mempengaruhi kestabilan sistem secara keseluruhan.

Teknik robust control diperkenalkan dengan tujuan salah satunya adalah mempertahankan kestabilan suatu sistem akibat terjadi perubahan pada entri matriks. Oleh karena itu, mengetahui batas bawah dan batas atas nilai eigen suatu matriks akibat

penting.

Tujuan Penulisan

Karya ilmiah ini bertujuan mempelajari penentuan batas bawah nilai eigen terkecil dari suatu matriks simetrik real yang entri-entrinya terletak di sebuah selang tertentu.

Metode Penulisan

Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur. Materi karya ilmiah ini diambil dari jurnal utama yang berjudul “Extremal Eigenvalues of Real Symmetric Matrices with Entries in an Interval“ [Zhan, 2006] dan buku-buku yang terkait dengan tulisan ini.

Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri atas empat bagian. Pada bagian pertama dijelaskan latar belakang masalah, tujuan penulisan, metode penulisan yang digunakan, dan sistematika penulisan karya ilmiah. Bagian kedua menyajikan landasan teori yang berupa definisi-definisi, ilustrasi-ilustrasi, serta beberapa teorema penting yang diperlukan dalam pembahasan karya ilmiah. Bagian ketiga menyajikan pembahasan mengenai batas bawah nilai eigen terkecil dari matriks simetrik real beserta ilustrasi-ilustrasinya. Bagian terakhir dari karya ilmiah ini menyajikan kesimpulan berdasarkan dari hasil pembahasan, serta saran yang terkait dengan penulisan karya ilmiah ini.

LANDASAN TEORI

Landasan teori ini menyajikan hal-hal

yang menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini dan diberikan dalam bentuk definisi-definisi, ilustrasi-ilustrasi, serta beberapa teorema penting.

Matriks

Berikut ini adalah definisi-definisi dan ilustrasi-ilustrasi yang berkaitan dengan matriks.

Definisi 1 [Leon, 2001]

Suatu persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk

b x a x

a x

a_{1 1}+ _{2 2}+L+ _{n n} =

dengan dan b adalah bilangan-bilangan real dan adalah peubah. Sistem persamaan linear dari m persamaan dengan n peubah merupakan suatu sistem berbentuk

n a a a1, 2,...,

1 1

2 12 1

11x a x a x b

a + +L+ n n =

) 1 ( 2

2 2

22 1

21x a x a x b

a + +L+ _{n n} =

m n mn m

m x a x a x b

a + +L+ =

M

2 2 1 1

dengan dan adalah bilangan-bilangan

real serta dan .

ij

a b_i

m

i=1,2,..., j=1,2,...,n

Sistem dengan bentuk seperti pada Persamaan (1) disebut sebagai sistem persamaan linear

, yang secara ringkas dapat ditulis sebagai

n m×

B AX = dengan

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

L M M

M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

’

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

n x x x X

M

2 1

dan .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

m b

b b

B M

2 1

Definisi 2 [Anton, 1997]

Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan pada sistem tersebut dengan memperhatikan posisi tanda +, x, dan =, yaitu

n m×

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

m mn m

m

n n

b a a

a

b a a

a

b a a

a

B A

L

M M M

M

L L

2 1

2 2 22

21

1 1 12

11

.

Definisi 3 [Anton, 1997]

Operasi baris elementer dari matriks A berukuran yang diperbesar merupakan operasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem-sistem persamaan linear, yaitu:

n m×

1. Kalikan sebuah baris ke-i dari matriks A dengan konstanta k yang tidak sama dengan nol. Operasi ini dinotasikan dengan E_i( )_k

( )

A .

2. Pertukarkan baris ke-i dengan baris ke-j dari matriks A, dengan i≠ j. Operasi ini dinotasikan dengan E_ij

( )

A .

3. Tambahkan perkalian dari baris ke-j dengan konstanta , pada baris ke-i dari matriks A. Operasi ini dinotasikan

dengan ,

0

≠ k

( )

( )

A E_ijk

dengan i,j=1,2,...,m dan k adalah bilangan real.

Ilustrasi 1

Misalkan diberikan sistem persamaan linear

1 3 4 2

9 2

= − +

= + +

z y x

z y x

0 5 6

3x+ y− z= .

Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear tersebut adalah

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − =

0 5 6 3

1 3 4 2

9 2 1 1

B

A .

Sistem persamaan linear tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar di atas, yaitu

( ) ( ) ( )

[ ]

.

3 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1

2 21 2 11 13 2 7 23

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

−

− E AB

E

E L

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah

1

=

x , y=2, dan z=3. Definisi 4 [Anton, 1997]

Matriks yang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi merupakan matriks yang mempunyai sifat-sifat:

1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah satu dan disebut sebagai satu utama.

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bagian bawah matriks.

3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka satu utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada satu utama dalam baris yang lebih tinggi.

4. Masing-masing kolom matriks yang mengandung satu utama mempunyai nol di tempat lain.

Ilustrasi 2

Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi yaitu

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, .

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

3 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1

Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris yaitu

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

0 0 0

0 1 0

0 1 1

, .

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

5 1 0 0

2 6 1 0

7 3 4 1

Definisi 5 [Anton, 1997] Misalkan diberikan matriks

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

L M M

M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

berukuran . Entri-entri

dikatakan berada pada diagonal utama dari matriks A.

n

n× a₁₁,a₂₂,...,a_nn

Definisi 6 [Anton, 1997]

Teras dari matriks A seperti pada Definisi 5 dinyatakan oleh

( )

A =a11+a22+L+ann

tr .

Definisi 7 [Anton, 1997]

Jika A adalah sembarang matriks berukuran , maka transpos

n

m× A dinyatakan oleh

T

A adalah matriks berukuran n×m yang kolom pertamanya merupakan baris pertama dari A, kolom keduanya merupakan baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga merupakan baris ketiga dari A, dan seterusnya.

Definisi 8 [Leon, 2001]

Suatu matriks A berukuran dikatakan simetrik jika

n n× T A A=

dan simetrik real jika A adalah matriks simetrik dan entrinya berupa bilangan real. Definisi 9[Anton, 1997]

Jika A adalah matriks berukuran n×n, maka A dikatakan dapat dibalik dan B dinamakan invers dari A jika dapat dicari matriks B sehingga

I BA AB= = .

Notasi invers B dapat dituliskan sebagai A−1.

Matriks yang Serupa Akibat Permutasi Berikut ini adalah definisi-definisi dan ilustrasi-ilustrasi yang berkaitan dengan matriks yang serupa akibat permutasi.

Definisi 10 [Anton, 1997]

Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat

{

1,2,...,n

}

adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Ilustrasi 3

Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat

{ }

1,2,3 .

Permutasi-permutasi tersebut adalah

(

1,2,3

)

(

1,3,2

)

(

2,1,3

)

(

2,3,1

)

(

3,1,2

)

(

3,2,1

)

.

Definisi 11 [Horn & Johnson, 1999]

Suatu matriks P berukuran disebut sebagai matriks permutasi jika terdapat tepat satu entri yang bernilai satu pada setiap baris dan kolom, dan semua entri yang lain bernilai nol.

n n×

Ilustrasi 4

Misalkan diberikan suatu matriks P berukuran

3

3× dengan

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

1 0 0

0 0 1

0 1 0

P .

Matriks P disebut sebagai matriks permutasi. Definisi 12 [Anton, 1997]

Jika A dan B merupakan matriks-matriks yang berukuran n×n, maka dikatakan bahwa A dan B serupa jika terdapat suatu matriks P yang dapat dibalik, sehingga

B AP P−1 = . Ilustrasi 5

Matriks-matriks A dan berikut adalah serupa, yaitu

B

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

3 0

1 2

A dan _⎥,

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡− − =

6 6

2 1 B

karena terdapat matriks _⎥ sehingga ⎦

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

2 3

3 5 P

B AP

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡− − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

6 6

2 1 2 3

3 5 3 0

1 2 5 3

3 2

.

Definisi 13 [Wikipedia, 2006]

Matriks A disebut serupa akibat permutasi (permutation similar) dengan B jika A dan B serupa dan P merupakan matriks permutasi. Definisi 14 [Lancaster & Tismenetsky, 1985] Diberikan suatu matriks A berukuran m×n dengan

[ ]

aij A =

serta dan . Jika satu atau beberapa baris atau kolom dari A dihapus, maka matriks baru yang diperoleh disebut sebagai suatu submatriks dari A.

m i≤ ≤

1 1≤ j≤n

Ada cara khusus membagi suatu matriks ke dalam submatriks-submatriks, yaitu dengan menyisipkan garis-garis pembagi antara baris dan kolom yang ditentukan. Pembagian seperti itu dikenal sebagai suatu sekatan dari matriks. Submatriks-submatriks dari suatu matriks sekatan dikenal sebagai entri-entri dari matriks blok. Jadi, matriks sekatan disebut juga sebagai matriks blok.

Ilustrasi 6

Diberikan suatu matriks

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − =

0 0 1 2

0 1 1 0

4 2 3 2

A .

Matriks A dapat disekat menjadi

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − =

0 0 1 2

0 1 1 0

4 2 3 2

A

atau

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − =

0 0 1 2

0 1 1 0

4 2 3 2

A

dan dengan beberapa cara lainnya. Pada kasus pertama, matriks disekat ke dalam submatriks-submatriks (atau blok-blok) sebagai berikut

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ =

22 21

12 11

A A

A A

A (2)

dengan

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

1 0

3 2 11

A , _⎥,

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− =

0 1

4 2 12 A

[

2 1

]

21= −

A dan A₂₂ =

[

0 0

]

. Submatriks-submatriks

11

A , A₁₂, A₂₁ dan A₂₂

dari Persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai entri-entri dari matriks blok A berukuran

2 2× .

Pada sekatan yang kedua, A dapat ditulis dalam bentuk

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ =

23 22 21

13 12 11

A A A

A A A

A (3)

dengan

[ ]

2 11=

A , A₁₂ =

[

3 −2

]

, A₁₃=

[ ]

4 , ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

2 0 21

A , _⎥ dan .

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =

0 1

1 1 22

A _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

0 0 23 A

Submatriks-submatriks

11

A , A₁₂, A₁₃, A₂₁, A₂₂, dan A₂₃ dari Persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai entri-entri dari matriks blok A berukuran

3 2× .

Perhatikan bahwa beberapa blok dapat berupa matriks berukuran 1×1, yaitu, skalar.

Definisi 15 [Anton, 1997]

Jika A adalah matriks berukuran , maka minor entri dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dihapus dari A dengan .

n n× ij

a M_ij

n j

i, =1,2,...,

Bilangan

( )

i j _ij

ij M

c := −1 +

dan dinamakan kofaktor entri aij. Definisi 16 [Anton, 1997]

Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama adalah suatu metode menghitung determinan dari matriks A berukuran n×n, dinotasikan det

( )

A , dengan cara mengalikan entri-entri pada baris pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasil kalinya sebagai berikut:

( )

A a11c11 a12c12 a1nc1n

det = + +L+ .

Definisi 17 [Anton, 1997]

Jika A adalah sembarang matriks berukuran n

n× dan merupakan kofaktor , maka matriks

ij

c a_ij

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ = =

nn n

n

n n ij

c c

c

c c

c

c c

c

c C

L M M

M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

dinamakan matriks kofaktor A dengan n

j

Transpos matriks tersebut dinamakan adjoin A dan dinotasikan dengan adj

( )

A .

Basis dan Rank Matriks

Berikut ini adalah definisi-definisi dan ilustrasi-ilustrasi yang berkaitan dengan basis dan rank matriks.

Definisi 18 [Leon, 2001]

Misalkan V adalah himpunan yang operasi-operasinya didefinisikan, yakni penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan real). Dengan ini diartikan bahwa untuk setiap pasang elemen x dan y di dalam V, dapat diasosiasikan dengan elemen x+y yang tunggal yang juga berada di dalam V, dan setiap elemen x di V dan setiap skalar α , dapat diasosiasikan dengan elemen αx yang tunggal di dalam V. Himpunan V bersama-sama dengan penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma dan sifat ketertutupan berikut dipenuhi. Aksioma-aksioma tersebut yaitu

A1. x+y=y+x untuk setiap x dan y di V. A2.

(

x+y

)

+z=x+

(

y+z

)

untuk setiap x, y,

dan z di V.

A3. Terdapat elemen vektor 0 di V sehingga untuk setiap

x x 0 0

x+ = + = x∈V .

A4. Untuk setiap x∈V terdapat elemen −x di V sehingga x+

( ) ( )

−x = −x +x=0. A5. α

(

x+y

)

=αx+αy untuk setiap skalar α

dan setiap x dan y di V.

A6.

(

α+β

)

x=αx+βx untuk setiap skalar α dan β dan setiap x∈V .

A7.

( )

αβ x=α

(

βx

)

untuk setiap skalar α dan

β dan setiap x∈V . A8. 1⋅x=x untuk setiap x∈V .

Terdapat sifat ketertutupan dari kedua operasi. Sifat-sifat tersebut yaitu

C1. Jika x∈V dan α adalah suatu skalar, maka αx∈V.

C2. Jika x dan y ∈V, maka x+y∈V. Elemen-elemen dari V disebut vektor dan biasanya dinyatakan oleh huruf-huruf pada bagian akhir abjad, yaitu u, v, w, x, y, dan z. Definisi 19 [Leon, 2001]

Jika S adalah subhimpunan takkosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat

(i) αx∈S jika x∈S dan α adalah suatu sembarang skalar,

(ii). x+y∈S jika x∈S dan y∈S,

maka S disebut subruang dari V. Ilustrasi 7

Misalkan di erikan b

(

)

{

}

3

2 1 3 2

1,x ,x x x R

x

S= T = ∈

serta

(

a a b

)

T ∈S = , ,

x dan y=

(

c,c,d

)

T ∈S. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa S adalah subruang dari R3.

(i) αx=α

(

a,a,b

)

T =

(

αa,αa,αb

)

T ⇒αx∈S dengan α suatu sembarang skalar. (ii) x+y=

(

a,a,b

) (

T + c,c,d

)

T

(

a+c a+c b+d

)

T ⇒ + ∈S = , , x y . Jadi, karena αx∈S dan maka S merupakan subruang dari .

S

∈ +y x

3 R

Definisi 20 [Anton, 1997] Misalkan diberikan matriks

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

L M M

M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

berukuran m×n. Vektor-vektor

(

)

(

n

)

n a a a

a a a

2 22 21

1 12 11

,..., ,

,..., ,

= =

2 1

r r

(

am1,am2,...,amn

)

=

m

r

M

terbentuk dari baris-baris A dan dinamakan vektor-vektor baris A, sedangkan vektor-vektor

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

1 21 11

m a a a

M 1

c , ,...,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

2 22 12

m a a a

M 2

c

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

mn n n

a a a

M 2 1

n

c

terbentuk dari kolom-kolom A dan dinamakan vektor-vektor kolom A. Subruang yang direntang oleh vektor-vektor baris dinamakan ruang baris A dan subruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom disebut sebagai ruang kolom A.

n R

m R

Ilustrasi 8

Misalkan diberikan matriks ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ =

0 1 0

0 0 1

A .

Ruang baris dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

(

1,0,0

) (

β 0,1,0

) (

α,β,0

)

dengan

(

α,β,0

)

∈R3.

Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

β α γ

β α

0 0

1 0

0 1

dengan _⎥∈R2. ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ β α

Definisi 21 [Anton, 1997]

Sebuah vektor w disebut kombinasi linear dari vektor-vektor jika vektor tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk

r 2

1 v v

v , ,...,

r 2

1 v v

v

w=k₁ +k₂ +L+k_r dengan k₁,k₂,...,k_r adalah skalar.

Ilustrasi 9

Misalkan diberikan vektor-vektor u=

(

1,2,−1

)

dan v=

(

6,4,2

)

pada .

)

)

3 R

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa vektor merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor u dan v.

(

9,2,7

= w

Agar w merupakan kombinasi linear dari u dan v, harus ada skalar k1 dan k2 sehingga

v u w=k₁ +k₂ .

Selanjutnya akan ditentukan nilai k1 dan k2.

(

)

(

)

(

)

(

9,2,7

) (

6 ,2 4 , 2 . 2

, 4 , 6 1 , 2 , 1 7 , 2 , 9

2 1 2 1 2 1

2 1

k k k k k k

k k

+ − + +

= ⇔

+ − =

Berdasarkan entri-entri yang letaknya saling bersesuaian, maka

( )

( )

5 2

4 2

4 9

6

2 1

2 1

= +

= +

k k

k k

( )

6 7

2 ₂

1+ =

−k k .

Dengan menggunakan metode eliminasi pada Persamaan (4) dan Persamaan (6), maka

9 6 ₂ 1+ k = k

16 8

7 2

2 2 1

= = +

− ₊

k k k

2 8 16

2 = =

⇒k .

Substitusikan nilai ke Persamaan (4) sehingga diperoleh

2 2 = k

( )

. 3 12 9 9

12

9 2 6 9

6

1 1

1 2

1

− = − = ⇔ = + ⇔

= + ⇔ = +

k k

k k

k

Jadi, karena ada skalar k₁=−3 dan k₂ =2

sehingga

v u w=−3 +2

maka vektor w adalah kombinasi linear dari vektor-vektor u dan v.

Definisi 22 [Anton, 1997]

Jika adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linear dari , maka dikatakan

bahwa merentang V.

r 2

1 v v

v , ,...,

r 2

1 v v

v , ,...,

r 2

1 v v

v , ,...,

Ilustrasi 10

Misalkan diberikan vektor-vektor i=

(

1,0,0

)

,

(

0,1,0

)

=

j , dan k=

(

0,0,1

)

pada R3.

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa setiap vektor

(

a,b,c

)

pada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i, j, dan k.

3 R

Agar

(

a,b,c

)

adalah kombinasi linear dari i, j, dan k, harus ada skalar , , dan sehingga

1

k k2 k3

(

a,b,c

)

=k₁i+k₂j+k₃k.

Selanjutnya akan ditentukan nilai , , dan .

1 k k₂

3 k

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

1 2 3

3 2

1

0 0 , 0 0

, 0 0 ,

,

1 , 0 , 0 0 , 1 , 0 0 , 0 , 1 ,

,

k k

k c b a

k k

k c b a

+ + + + + + = ⇔

+ +

=

)

(

a,b,c

) (

= k₁,k₂,k₃

)

⇔

.

Berdasarkan entri-entri yang letaknya saling bersesuaian, maka diperoleh

a

k₁= , k₂ =b, dan k₃=c.

Jadi, karena ada skalar k₁ =a, k₂ =b, dan c

k₃ = sehingga

(

a,b,c

)

=ai+bj+ck

maka vektor

(

a,b,c

)

dapat disebut sebagai kombinasi linear dari i, j, dan k dan dikatakan bahwa i, j, dan k merentang R3.

Definisi 23 [Anton, 1997]

Jika S=

{

v₁,v₂,...,v_r

}

merupakan himpunan vektor, maka persamaan vektor

0 v v

v₁+k ₂+ +k_{r r} =

k_{1 2} L

mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, yaitu

0 ,..., 0 ,

0 2

1= k = kr =

k .

Jika penyelesaian di atas adalah satu-satunya penyelesaian, maka S dinamakan himpunan bebas linear. Jika ada penyelesaian lain, maka S dinamakan himpunan takbebas linear.

Ilustrasi 11

Misalkan diberikan vektor-vektor i=

(

1,0,0

)

,

(

0,1,0

)

=

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa

{

i,j,k

}

= S

merupakan himpunan bebas linear.

Selanjutnya akan ditentukan penyelesaian dari persamaan vektor

0 k j i+ ₂ + ₃ =

1 k k

k .

(

)

(

)

(

) (

)

(

0 0,0 0,0 0

)

0,0,0 0 , 0 , 0 1 , 0 , 0 0 , 1 , 0 0 , 0 , 1

3 2

1

3 2

1

= + + + + + + ⇔

= +

+

k k

k

k k

k

(

)

(

₁, ₂, ₃

) (

= 0,0,0

)

⇔ k k k

.

Berdasarkan entri-entri yang letaknya saling bersesuaian, maka diperoleh

0 1=

k , k₂ =0, dan k₃ =0. Jadi, karena k1 =0, k2 =0, dan k3 =0

merupakan satu-satunya penyelesaian, maka adalah himpunan bebas linear.

{

i,j,k

=

S

}

Uraian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa vektor-vektor

(

1,0,...,0

)

=

1

e ,e₂ =

(

0,1,...,0

)

,...,

(

0,0,...,1

)

=

n

e

membentuk himpunan bebas linear pada Rn. Definisi 24 [Anton, 1997]

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan

{

v1,v2,...,vr

}

= S

merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika

(i) S bebas linear.

(ii) S merentang V. Ilustrasi 12

Misalkan diberikan

{

e1,e2,...,en

}

=

S

yang merupakan himpunan dari vektor-vektor pada Rn, dengan

(

1,0,...,0

)

=

1

e ,e2 =

(

0,1,...,0

)

,...,

(

0,0,...,1

)

=

n

e .

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa adalah basis untuk .

S n

R

Pada Ilustrasi 11 telah ditunjukkan bahwa

{

e1,e2,...,en

}

= S

merupakan himpunan bebas linear pada Rn. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa merentang , yaitu setiap vektor

S n

R

(

w1,w2,...,wn

)

=

w

pada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor .

n R

n 2

1 e e

e , ,...,

Agar merupakan kombinasi linear dari , harus ada skalar

sehingga w

n 2

1 e e

e , ,..., k₁,k₂,...,k_n

n 2

1 e e

e

w=k₁ +k₂ +L+k_n .

Selanjutnya akan ditentukan nilai dari skalar .

n k k k₁, ₂,...,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 2

) (

1 2 3

2 1

2 1

0 0 , 0 0

, 0 0 ,...,

,

1 ,..., 0 , 0 0

,..., 1 , 0 0 ,..., 0 , 1 ,...,

,

k k

k w w w

k k

k w w w

n

n n

+ + + + + + + + + = ⇔

+ + +

=

L L

L

L

)

⇔

(

w₁,w₂,...,w_n

) (

= k₁,k₂,...,k_n

)

.

Berdasarkan entri-entri yang letaknya saling bersesuaian, maka diperoleh

n

n w

k w k w

k₁= ₁, ₂ = ₂,..., = . Jadi, karena ada skalar

n

n w

k w k w

k₁ = ₁, ₂ = ₂,..., =

sehingga

n 2

1 e e

e

w=w₁ +w₂ +L+w_n

maka vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor

w

n 2

1 e e

e , ,...,

dan dikatakan bahwa

{

e1,e2,...,en

}

=

S

merentang Rn.

Jadi, karena S bebas linear dan S merentang maka S merupakan sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk .

n R

n R

Definisi 25 [Anton, 1997]

Sebuah ruang vektor taknol V dikatakan berdimensi berhingga jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor

yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dikatakan berdimensi takberhingga. Ruang vektor nol dianggap sebagai ruang vektor berdimensi berhingga walaupun ruang vektor tersebut tidak mempunyai himpunan bebas linear, sehingga basis pun tidak ada.

{

v1,v2,...,vn

}

Definisi 26 [Anton, 1997]

Definisi 27 [Anton, 1997]

Dimensi ruang baris atau ruang kolom dari matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank(A).

Untuk menentukan rank dari matriks A, matriks A tersebut dapat direduksi menjadi bentuk eselon baris. Jumlah baris taknol dari matriks eselon baris menyatakan dimensi ruang baris dari matriks A.

Ilustrasi 13

Misalkan diberikan matriks

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − =

0 5 6 3

1 3 4 2

9 2 1 1

A .

Berdasarkan Ilustrasi 1, dengan melakukan operasi baris elementer, matriks A dapat direduksi menjadi bentuk eselon baris yaitu

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

3 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1

.

Karena matriks eselon baris tersebut mempunyai tiga baris taknol, maka ruang baris dari matriks A berdimensi tiga sehingga rank(A)=3.

Hasil Kali Dalam dan Norma Berikut ini adalah definisi-definisi, ilustrasi-ilustrasi, dan beberapa teorema yang berkaitan dengan hasil kali dalam dan norma.

Definisi 28 [Leon, 2001]

Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor x dan y di dalam V sebuah bilangan real x,y yang memenuhi syarat-syarat berikut:

(i) x,x ≥0 dengan persamaan jika dan hanya jika x=0.

(ii) x,y = y,x untuk semua x dan y di dalam V.

(iii) αx+βy,z =α x,z +β y,z

untuk semua x, y, dan z di dalam V serta semua skalar α dan β .

Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam. Definisi 29 [Leon, 2001]

Himpunan semua matriks berukuran n×1 dari bilangan-bilangan real dinamakan ruang-n Euclid dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi 30 [Leon, 2001] Jika vektor

(

)

T

n x x₁,...,

= x dan vektor

(

)

T

n y y1,...,

=

y ,

maka

n n T

y x y

x y

x + + +

= _{1 1 2 2} L y

x .

Hasil kali disebut hasil kali skalar dari x dan y.

y xT

Definisi 31 [Leon, 2001]

Hasil kali dalam baku untuk atau hasil kali dalam Euclid adalah hasil kali skalar

n R

y x y

x, = T . Ilustrasi 14

Misalkan diberikan vektor-vektor

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =

1 2 3

x dan 3.

2 3 4

R ∈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y

Hasil kali dalam Euclid dari x dan y adalah

(

)

( ) (

3 4 2 3

) ( )

1 2 12

( )

6 2 8. 2

3 4

1 , 2 , 3 ,

= + − + = ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ − = =x y y

x T

Definisi 32 [Leon, 2001]

Jika x∈Rn, maka norma Euclid atau panjang Euclid dari vektor x didefinisikan dengan

( )

2 2

2 2 1 2 1

... _n

T _{= x +x + +x}

= x x

x .

Ilustrasi 15

Misalkan diberikan vektor pada . Norma Euclid dari vektor x yaitu

(

)

T 2 , 3 , 1 −

= x

3 R

( )

. 14 4 9 1

2 3

12 2 2

= + + =

− + + = = x x

x T

Definisi 33 [Anton, 1997]

Jarak Euclid antara vektor-vektor

(

u1,u2,...,un

)

=

u dan v=

(

v₁,v₂,...,v_n

)

pada Rn didefinisikan oleh

( )

(

) (

)

...

(

)

.

,

2 2

2 2 2 1

1 v u v un vn

u d

− + + − + − =

− = u v v

u

Jika diberikan vektor-vektor

(

1,3,−2,7

)

=

u dan v=

(

0,7,2,2

)

, maka jarak Euclid antara u dan v yaitu

( )

(

) (

) (

) (

)

( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2 2

2 2

5 4 4 1

2 7 2 2 7 3 0 1 ,

+ − + − + =

− + − − + − + − =

v u

d

58 25 16 16

1+ + + =

= .

Definisi 34 [Anton, 1997]

Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan ortogonal jika u,v =0. Selanjutnya, jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka dikatakan bahwa u ortogonal terhadap W.

Definisi 35 [Anton, 1997]

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma bernilai satu dinamakan ortonormal.

Ilustrasi 17

Misalkan diberikan vektor-vektor

(

)

T

0 , 1 , 0

=

1

v , v₂ =

(

1 2,0,1 2

)

T, dan

(

)

T

2 1 , 0 , 2

1 −

=

3

v

pada R3. Karena

{

v1,v2,v3

}

=

S

merupakan himpunan ortogonal dan

1

= = = _{2 3}

1 v v

v

(lihat Lampiran 1), maka S adalah himpunan ortonormal.

Teorema 1 [Anton, 1997] Jika

{

v1,v2,...,vn

}

=

S

adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sembarang vektor pada V, maka

n n 2

2 1

1 v uv v uv v

v u

u= , + , +L+ , .

Bukti

Karena merupakan basis,

maka S merentang V sehingga vektor u pada V dapat disebut sebagai kombinasi linear dari

, yaitu

{

v1,v2,...,vn

=

S

}

n 2

1 v v

v , ,...,

n 2

1 v v

v

u=k₁ +k₂ +L+k_n . (7) Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa

i

v u,

= i

k untuk i=1,2,...,n.

Untuk setiap vektor pada S dan dengan mensubstitusikan Persamaan (7), diperoleh

i

v

i n 2

1

i v v v v

v

u, = k₁ +k₂ +L+k_n , . Berdasarkan Syarat (iii) Definisi 28, maka

. , ,

,vi ₁ v1 vi vn vi

u =k +L+k_n (8) Karena S =

{

v₁,v₂,...,v_n

}

adalah himpunan ortonormal, maka diperoleh

1 , _i = _i 2 =

i v v

v dan vi,vj =0 jika j≠i sehingga Persamaan (8) dapat disederhanakan menjadi

i k =

i

v

u, . (9)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (9) ke Persamaan (7), maka diperoleh

n n 2

2 1

1 v u v v u v v

v u

u= , + , +L+ , .

Jadi, karena S =

{

v₁,v₂,...,v_n

}

adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sembarang vektor pada V, maka

n n 2

2 1

1 v u v v u v v

v u

u= , + , +L+ , . ■

Definisi 36 [Anton, 1997]

Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan

{

v1,v2,...,vn

}

adalah himpunan ortonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh vektor-vektor

, maka untuk setiap vektor u dalam V, proyeksi ortogonal u pada W, dinotasikan dengan , yaitu

n 2

1 v v

v , ,...,

u W proy

. , ,

,

proyWu= uv₁ v₁+ uv₂ v₂+L+ uv_n v_n

Komponen u yang ortogonal terhadap W, dinotasikan dengan u−proy_Wu, yaitu

. , ,

,

proy u u u v₁ v₁ uv₂ v₂ uv_n v_n

u− _W = − − −L−

Definisi 37 [Anton, 1997]

Misalkan V merupakan sembarang ruang hasil kali dalam berdimensi n taknol. Misalkan

{

u1,u2,...,un

}

=

S

adalah sembarang basis untuk V. Langkah-langkah berikut akan menghasilkan basis ortonormal

{

v1,v2,...,vn

}

untuk V, yaitu

1. Misalkan vektor v1=u1 u1 . Vektor

mempunyai norma bernilai satu.

1

v

2. Agar vektor ortogonal terhadap vektor dan mempunyai norma yang bernilai satu, maka

2

v

1

v

2 W 2

2 W 2

2

u u

u u

v

1 1

proy proy

− −

. , ,

1 1 2 2

1 1 2 2

v v u u

v v u u

− − =

3. Agar vektor ortogonal terhadap vektor maupun vektor dan mempunyai norma yang bernilai satu, maka

3

v

1

v v₂

. , ,

, ,

proy proy

2 2 3 1 1 3 3

2 2 3 1 1 3 3

3 W 3

3 W 3

3

v v u v v u u

v v u v v u u

u u

u u

v

2 2

− −

− −

= − − =

Dengan meneruskan cara ini, maka akan diperoleh himpunan ortonormal

{

v₁,v₂,...,v_n

}

.

Karena V berdimensi n dan setiap himpunan ortonormal bebas linear,

maka akan merupakan

basis ortonormal untuk V.

{

v₁,v₂,...,v_n

}

}

Pembentukan langkah demi langkah di atas untuk mengubah sembarang basis menjadi basis ortonormal dinamakan proses Gram-Schmidt.

Definisi 38 [Anton, 1997]

Jika adalah basis untuk

ruang vektor V yang berdimensi berhingga, dan

{

v1,v2,...,vn

= S

n 2

1 v v

v

v=c₁ +c₂ +L+c_n

merupakan pernyataan untuk vektor v dalam basis S, maka skalar

n c c c₁, ₂,...,

dinamakan koordinat v relatif terhadap basis S. Vektor koordinat dari v relatif terhadap S dinyatakan oleh dan merupakan vektor

yang didefinisikan oleh

( )

v s n

R

( ) (

v s = c1,c2,...,cn

)

.

Matriks koordinat dari v relatif terhadap S yang dinyatakan oleh dan merupakan matriks berukuran didefinisikan oleh

[ ]

v _s

1

× n

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

n c c c

M 2 1

s

v .

Ilustrasi 18 Jika

{

v1,v2,...,vn

}

=

S

adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam V, maka menurut Teorema 1, ungkapan untuk vektor u pada basis S adalah

n n 2

2 1

1 v u v v u v v

v u

u= , + , +L+ ,

yang berarti bahwa vektor koordinat dari v relatif terhadap S yaitu

( )

us =

(

u,v1 , u,v2 ,..., u,vn

)

dan matriks koordinat dari v relatif terhadap yaitu

S

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

n 2 1

s

v u

v u

v u u

, , ,

M .

Teorema 2 [Anton, 1997]

Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam berdimensi n dan jika

( ) (

u s = u1,u2,...,un

)

dan

( ) (

v s= v1,v2,...,vn

)

maka

(a) u = u₁2+u₂2+...+u_n2 .

(b) d

( ) (

u,v = u₁−v₁

)

2+...+

(

u_n−v_n

)

2. (c) u,v =u₁v₁+u₂v₂+L+u_nv_n. Bukti

Karena

( ) (

u s = u1,u2,...,un

)

dan

( ) (

v s= v1,v2,...,vn

)

adalah vektor-vektor koordinat dari u dan v yang relatif terhadap S, dan S merupakan basis untuk ruang hasil kali dalam, maka u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam.

(a) Berdasarkan definisi norma vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma dari vektor u didefinisikan sebagai

2 2

2 2

1 ...

, = u +u + +u_n

= u u

u .

(b) Berdasarkan definisi jarak antara dua vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara vektor u dan vektor v yang dinyatakan oleh didefinisikan oleh

( )

u,v

d

( )

(

)

...

(

)

. ,

,

2 2

1

1 v un vn

u d

− + + − =

− − = −

= u v u v u v v

u

(c) Karena S adalah basis ortonormal yang berdimensi n, maka S terdiri dari n vektor. Misalkan S adalah basis baku untuk . Karena S merupakan basis untuk ruang

hasil kali dalam, maka terdapat hasil kali dalam baku untuk Rn.

Berdasarkan Definisi 30 dan 31, hasil kali dalam baku untuk dari vektor-vektor u dan v di dalam adalah hasil kali dalam Euclid yaitu

n R

n R

T v u v

u, =

. 2

1v1 u v2 unvn

u + + +

= L ■

Vektor dan Nilai Eigen

Berikut ini adalah definisi-definisi, ilustrasi-ilustrasi, dan beberapa teorema yang berkaitan dengan vektor dan nilai eigen.

Definisi 39 [Anton, 1997]

Sebuah matriks A berukuran n×n yang mempunyai sifat

T A A−1= dinamakan matriks ortogonal. Ilustrasi 19

Misalkan diberikan matriks

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− =

0 2 1 2 1

1 0 0

0 2 1 2 1

A .

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa A adalah matriks ortogonal.

Transpos dari matriks A yaitu

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− =

0 1 0

2 1 0 2 1

2 1 0 2 1 T

A .

Selanjutnya akan ditentukan invers dari matriks A dengan cara menggabungkan matriks identitas I ke kanan A, dinotasikan dengan

[ ]

AI , dan melakukan operasi baris elementer pada kedua ruas sehingga diperoleh bentuk _⎢⎣⎡I A−1_⎥⎦⎤ (lihat Lampiran 2).

Jadi, invers dari matriks A yaitu

.

0 1 0

2 1 0 2 1

2 1 0 2 1 1

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− =

−

A

Karena

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− =

=

−

0 1 0

2 1 0 2 1

2 1 0 2 1 1 _AT

A ,

maka A merupakan matriks ortogonal.

Definisi 40 [Anton, 1997]

Matriks diagonal adalah matriks berukuran n

n× dengan semua entri takdiagonalnya bernilai nol.

Ilustrasi 20 Matriks-matriks

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

3 0

0 2

dan

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

1 0 0

0 3 0

0 0 1

merupakan matriks diagonal.

Definisi 41 [Kerami & Sitanggang, 2003] Vektor nol merupakan vektor yang semua entrinya bernilai nol dan panjangnya nol. Definisi 42 [Kerami & Sitanggang, 2003] Penyelesaian taktrivial merupakan suatu penyelesaian dari persamaan linear sehingga sekurang-kurangnya terdapat satu peubah penyelesaian yang tidak bernilai nol.

Definisi 43 [Leon, 2001]

Misalkan A adalah matriks berukuran n×n. Suatu skalar λ disebut sebagai nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat vektor taknol di dalam x Rn, sehingga

x x=λ

A . (10)

Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang bersesuaian dengan

x

λ. Persamaan (10) dapat dituliskan dalam bentuk

x

x I

A =λ ,

yang ekuivalen dengan

(

A−λI

)

x=0. (11) Jadi, λ merupakan nilai eigen dari A jika dan hanya jika Persamaan (11) memiliki suatu penyelesaian taktrivial.

Persamaan (11) akan mempunyai suatu penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika

(

A−λI

)

adalah singular, atau secara ekuivalen,

(

)

0

det A−λI = . (12) Persamaan (12) disebut sebagai persamaan karakteristik dari A dan

(

A−λI

)

det

dinamakan polinomial karakteristik dari A. Skalar yang memenuhi persamaan tersebut merupakan nilai eigen dari A.

Nilai-nilai eigen λ₁,λ₂,...,λ_n dari matriks A mempunyai dua sifat, yaitu:

1. Hasil kali nilai eigen dari matriks A akan menghasilkan determinan dari matriks A, yaitu

( )

A n det 2

1⋅λ ⋅ ⋅λ =

2. Jumlah nilai eigen dari matriks A akan menghasilkan teras dari matriks A, yaitu

( )

A tr n= + + +λ λ

λ_{1 2} L .

Definisi 44 [Anton, 1997]

Ruang eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ merupakan ruang penyelesaian dari persamaan

(

A−λI

)

x=0.

Definisi 45 [Anton, 1997]

Matriks A berukuran dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga

n n×

AP

P−1 diagonal.

Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Langkah-langkah untuk mendiagonalisasi matriks A berukuran n×n yaitu:

1. Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari matriks A.

n 2

1 p p

p , ,...,

2. Bentuklah matriks P yang mempunyai sebagai vektor-vektor kolomnya.

n 2

1 p p

p , ,...,

3. Matriks P−1AP akan diagonal dengan n

λ λ

λ₁, ₂,..., merupakan entri-entri diagonalnya yang berurutan, dengan

merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

i

p

i λ untuk i=1,2,...,n.

Definisi 46 [Anton, 1997]

Matriks A berukuran dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga

n n×

(

P AP

)

AP

P−1 = T diagonal.

Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Langkah-langkah untuk mendiagonalisasi matriks simetrik A secara ortogonal yaitu:

1. Carilah basis untuk masing-masing ruang eigen dari matriks A.

2. Terapkanlah proses Gram-Schmidt pada masing-masing basis tersebut untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

3. Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang dibangun pada langkah 2. Matriks ini akan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Ilustrasi 21

Misalkan diberikan matriks simetrik

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

4 2 2

2 4 2

2 2 4

A .

Berikut ini akan ditentukan matriks ortogonal P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal. Nilai-nilai eigen dari A adalah

2 ;

2 ;

8 2 3

1= λ = λ =

λ

(lihat Lampiran 3a), sehingga diperoleh dua ruang eigen dari A. Misalkan .

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

3 2 1

x x x x

Berdasarkan definisi vektor eigen, x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika x merupakan penyelesaian taktrivial dari

(

A−λI

)

x=0 yaitu

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

0 0 0

4 2 2

2 4

2

2 2 4

3 2 1

x x x

λ λ λ

. (13)

Jika λ=8, maka Persamaan (13) menjadi

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − − ⇔

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

0 0 0

4 2 2

2 4 2

2 2 4

0 0 0

8 4 2 2

2 8 4 2

2 2 8 4

3 2 1 3 2 1

x x x x x x

sehingga diperoleh vektor eigen

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

1 1 1

s s s s x

yang bersesuaian dengan nilai eigen λ=8

(lihat Lampiran 3b).

Misalkan

.

Vektor adalah vektor

bebas linear karena ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

1 1 1

1

u u₁

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇔ =

0 0 0

1 1 1

1

1 k

ku₁ 0

mempunyai satu-satunya penyelesaian yaitu

0 1 =

k

.

Oleh karena itu, akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan

1

u

8

Selanjutnya lakukan proses Gram-Schmidt terhadap sehingga diperoleh vektor eigen ortonormal

{ }

u1

. 3 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 1 1 1 u u v

Jika λ=2, maka Persamaan (13) menjadi

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 0 0 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 3 2 1 x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇔ 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 x x x

sehingga diperoleh vektor eigen

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 0 1 1 0 s s s

x dan

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 1 0 1 0 s s s x

yang bersesuaian dengan nilai eigen λ=2

(lihat Lampiran 3c). Misalkan ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 0 1 1 2

u dan .

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 1 0 1 3 u

Vektor-vektor dan merupakan vektor-vektor bebas linear karena

2

u u₃

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− ⇔ = + 0 0 0 1 0 1 0 1 1 3 2 3

2 k k k

k u2 u3 0

mempunyai satu-satunya penyelesaian yaitu dan

0 2 =

k k₃ =0

.

Oleh karena itu, dan akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan

2 u 3 u 2 = λ .

Selanjutnya lakukan proses Gram-Schmidt terhadap sehingga diperoleh vektor-vektor eigen ortonormal

{

u2,u3

( )

. 0 2 1 2 1 0 1 1 2 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = + + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = = 2 2 2 u u v ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = − = − 0 2 1 2 1 0 . 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 , proy_{W 3 3 3 2 2}

3 u u u v v

adalah matriks diagonal. Dengan menggunakan

Jadi, karena terdapat matriks P yang ortogonal sehingga

1

v , v₂

,

dan v₃

sebagai vektor-vektor kolom, maka diperoleh

(

)

AP P AP

P−1 = T diagonal,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− − − =

6 2 0 3 1

6 1

2 1

3 1

6 1

2 1

3 1

P .

maka matriks A dapat didiagonalisasi secara ortogonal.

Teorema 3 [Anton, 1997]

Jika A adalah matriks berukuran , maka pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain.

n n×

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa _{(a) A dapat didiagonalisasi secara} ortogonal.

(

P AP

)

AP

P−1 = T diagonal.

(b) A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen.

Dengan menggunakan Mathematica 5.0 maka diperoleh

(c) A merupakan matriks simetrik.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− − − =

−

3 2

6 1

6 1

0 2 1

2 1

3 1

3 1

3 1

1

P

Bukti : Lihat Lampiran 6. Teorema 4 [Zhang, 1999]

Misalkan A merupakan matriks kompleks berukuran m×n dengan rank r, maka A mempunyai paling banyak r nilai eigen taknol.

T P =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− − − =

6 2

6 1

6 1

0 2 1

2 1

3 1

3 1

3 1

Bukti : Lihat [Zhang, 1999].

Definisi 47 [Kerami & Sitanggang, 2003] Nilai eigen ekstremal adalah nilai eigen yang terbesar atau terkecil.