OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG)

WITH VARIANSI GAMMA(VG) Fitriani

Jurusan Matematika,

Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM scientistmuslimah@gmail.com

Info:

Jurnal MSA Vol. 2 No. 2 Edisi: Januari – Juni 2014 Artikel No.: 5

Halaman: 35 - 42 ISSN: 2355-083X

Prodi Matematika UINAM

ABSTRACT

Fourier transform Techniques have important role in Financial Mathematics. Fast Fourier Transformation (FFT) is a technique Fourier transform with high accuracy and more efficient by using characteristic function than density function itself. FFT is used to option valuation under Lévy processes.

This journal described Fourier transfor with its properties and Lévy processes. The section Lévy processes, we present a list of Lévy processes commonly used in financial applications together with their characteristic functions. FFT Algorithms is computed by using characteristic function of Variance Gamma (VG) with parameter 𝜎, 𝑣, 𝜃). At the end, we simulated computing Eropa call option value with FFT technique using VG by Carr and Madan’s approach^.

Key Word: Fourier transform, Lévy processes, fast Fourier transform, Characteristic function, Variance Gamma, European call option Carr and Madan’s approach

1. PENDAHULUAN

Model Black-Schole dan Merton merupakan model yang sering digunakan dalam perhitungan harga opsi pada suatu pergerakan harga saham.

Model tersebut menggunakan Geometric Brownian Motion dan dengan teorema limit pusat diperoleh bahwa model pergerakan harga saham berdistribusi lognormal. Namun, pada perkembangan dalam dunia keuangan, pada kenyataannya perubahan pergerakan harga saham yang tajam dan volatilitas return harga saham yang bersifat stokastik mengakibatkan model harga saham tidak selalu mengikuti distribusi lognormal. Dalam matematika keuangan, proses Lévy digunakan untuk memodelkan harga saham yang tidak mengikuti distribusi normal. Salah satu model harga saham yang berkembang saat ini adalah model eksponensial proses Lévy.

Metode transformasi Fourier banyak digunakan dalam mencari solusi permasalahan

matematika dan fisika. Metode transformasi Fourier juga digunakan dalam matematika keuangan untuk perhitungan harga opsi dengan pergerakan harga saham mengikuti proses Lévy.

Integral dari transformasi Fourier dapat dihitung dengan mudah dengan menggunakan fungsi karakterstik atau density function dari proses Lévy dibandingkan dengan density function dari transformasi Fourier.

Metode transformasi Fourier dalam penentuan harga opsi lebih efisien dengan menggunakan komputasi numeric algoritma fast Fourier transform (FFT). Pada jurnal ini akan dilakukan perhitungan harga opsi eropa dengan menggunakan algoritma FFT dengan fungsi karakteristik Variansi Gamma (VG).

2. Transformasi Fourier

Misal 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi real yang kontinu di (−∞, ∞) yang memenuhi:

∫ |𝑓𝑥|^∞ 𝑑𝑥 < ∞. (1)

Transformasi Fourier dari 𝑓(𝑥) didefinisakan:

Ƒ_𝑓(𝑢) = ∫ 𝑒_−∞^{∞ 𝑖𝑢𝑦} 𝑓(𝑦)𝑑𝑦. (2) Rumus invers Fourier diperoleh dengan mengikuti integral fungsi Dirac 𝛿(𝑦 − 𝑥), dimana

𝛿(𝑦 − 𝑥) =_2𝜋¹ ∫_−∞^∞ 𝑒^{𝑖𝑢(𝑦−𝑥)} 𝑑𝑢. (3) Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke dalam fungsi 𝑓(𝑥):

𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑦)𝛿(𝑦 − 𝑥)_−∞^∞ 𝑑𝑦 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑦) _−∞^∞ _2𝜋^{1 ∫}_−∞^{∞ 𝑒𝑖𝑢(𝑦−𝑥)} 𝑑𝑢𝑑𝑦 𝑓(𝑥) =_2𝜋¹ ∫_−∞^∞ 𝑒^𝑖𝑢𝑥 (∫ 𝑓(𝑦)𝑒_−∞^{∞ 𝑖𝑢𝑦} 𝑑𝑦)𝑑𝑢.

Sehingga diperoleh dari rumus invers Fourier:

𝑓(𝑥) =_2𝜋¹ ∫ 𝑒_−∞^{∞ −𝑖𝑢𝑥} Ƒ_𝑓(𝑢)𝑑𝑢. (4) Suatu proses stokastik 𝑋_𝑡 dengan density function (df) adalah , maka transformasi Fourier dari 𝑝 adalah

Ƒ_𝑝(𝑢) =

∫ 𝑒_−∞^{∞ 𝑖𝑢𝑦} 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[𝑒^𝑖𝑢𝑋]. (5)

Persamaan (5) disebut sebagai fungsi karakteristik dari 𝑋_𝑡.

Berikut diberikan sifat-sifat matematika transformasi Fourier yang akan digunakan pada pembahasan jurnal ini adalah:

a. Diferensiasi

Ƒ_𝑓(𝑢) = −𝑖𝑢 Ƒ_𝑓(𝑢) b. Modulasi

Ƒ_𝑒𝜆𝑥𝑓(𝑢) = Ƒ_𝑓(𝑢 − 𝑖𝜆), 𝜆 ∈ ℝ . c. Konvolusi

Konvolusi antara dua fungsi yang integrabel 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dinitasikan dengan:

ℎ(𝑥) = 𝑓 ∗ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑦)𝑔(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦,_−∞^∞ maka

Ƒ_ℎ = Ƒ_𝑓 Ƒ_𝑔.

d. Relasi Parseval (Parseval relation)

Perkalian scalar atau perkalian dalam dari dua fungsi pada 𝐿²(ℝ) didefinisikan:

〈𝑓 ∙ 𝑔〉 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)^∞ ̅̅̅̅̅̅

−∞ 𝑑𝑥.

Transformasi Fourier dari fungsi 𝑓 dan 𝑔 berturut-turut adalah Ƒ_𝑓 dan Ƒ_𝑔 , maka

〈Ƒ_𝑓∙ Ƒ_𝑔〉 = ∫ Ƒ^∞ 𝑓 Ƒ̅̅̅_𝑔

−∞ 𝑑𝑥.

Untuk 𝑓(𝑥) =_2𝜋¹ ∫ 𝑒_−∞^{∞ −𝑖𝑢𝑥} Ƒ_𝑓(𝑢)𝑑𝑢 , diperoleh:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)^∞ ̅̅̅̅̅̅

−∞ 𝑑𝑥 =

∫_−∞^∞ _2𝜋¹ ∫ 𝑒_−∞^{∞ −𝑖𝑢𝑥} Ƒ_𝑓 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢𝑑𝑥 =

1

2𝜋∫ Ƒ_−∞^∞ _𝑓∫ 𝑒_−∞^{∞ −𝑖𝑢𝑥} 𝑔(𝑢) 𝑑𝑥𝑑𝑢 =_2𝜋¹ ∫ Ƒ^∞ _𝑓 Ƒ̅̅̅_𝑔

−∞ 𝑑𝑢.

Maka:

〈𝑓 ∙ 𝑔〉 =_2𝜋¹ 〈Ƒ_𝑓(𝑢) ∙ Ƒ_𝑔(𝑢)〉 .

Selanjutnya, kita akan menerapkan Parseval relation ke perhitungan harga opsi. Misal 𝑉 adalah harga opsi dengan payoff pada waktu T adalah 𝑉_𝑇(𝑥) dan 𝑝(𝑥) adalah df dari risk- neutral.

𝑉 = 𝑒^−𝑟𝑡∫ 𝑉_−∞^∞ 𝑇(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒^−𝑟𝑡 〈𝑉_𝑇(𝑥) ∙ 𝑝(𝑥)〉.

Dengan Parseval relation diperoleh:

𝑉 =^{𝑒−𝑟𝑡}_2𝜋〈Ƒ_𝑝(𝑢) ∙ Ƒ_𝑉𝑇(𝑢)〉. (6)

3. Transformasi Fourier Diskrit

Diberikan suatu barisan {𝑥_𝑘}, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑁 − 1 dan transformasi Fourier diskrit dari {𝑥_𝑘} adalah {𝑦_𝑗}, 𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1, dengan

𝑦_𝑗 = ∑^𝑁−1_𝑘=1𝑒^{2𝜋𝑖𝑗𝑘𝑁} 𝑥_𝑘, 𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1. (7) Jika 𝑥 dan 𝑦 ditulis sebagai suatu vector yang berdimensi – N

𝒙 = (𝑥_𝑜, 𝑥₁, … , 𝑥_𝑁−1 )^𝑇 dan 𝒚 = (𝑦_𝑜, 𝑦, … , 𝑦_𝑁−1 )^𝑇,

dan 𝐹^𝑁 adalah matriks 𝑁 × 𝑁 yang anggotanya adalah (𝑗, 𝑘),

𝐹_𝑗,𝑘^𝑁 = 𝑒^{2𝜋𝑖𝑗𝑘𝑁} , 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑁, maka 𝑥 dan 𝑦 direlasikan oleh:

𝑦 = 𝐹^𝑁 𝑥. (8)

Untuk memperoleh 𝑦 diperlukan 𝑁² langkah.

Jika dipilih 𝑁 = 2^𝐿, Perhitungan dengan menggunakan teknik FFT hanya memerlukan

1

2𝑁𝐿 =^𝑁₂ 𝑙𝑜𝑔₂𝑁 langkah.Ide dari algoritma FFT adalah dengan memanfaatkan sifat-sifat periodic dari kesatuan akar ke- 𝑁. Misal 𝑀 =^𝑁₂, dan membagi vector x kedalam dua vector yang berukuran setengahnya.

𝒙^′= (𝑥_𝑜, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁−2 )^𝑇 dan 𝒙^′′ = (𝑥₁, 𝑥₃, … , 𝑦_𝑁−1 )^𝑇.

Selanjutnya kita bentuk suatu vektor berdimensi – M.

𝑦^′= 𝐹^𝑀 𝑥^′ dan 𝑦^′′ = 𝐹^𝑀 𝑥^′′,

dengan 𝐹^𝑀 adalah matriks 𝑀 × 𝑀 yang anggotanya adalah (𝑗, 𝑘),

𝐹_𝑗,𝑘^𝑀 = 𝑒^{2𝜋𝑖𝑗𝑘𝑀} , 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑀,

Kompen M yang pertama dan terakhir dari y adalah

𝑦_𝑗 = 𝑦_𝑗^′+ 𝑒^{2𝜋𝑖𝑗𝑁} 𝑦^′′ , 𝑗 = 0, 1, … , 𝑀 − 1, 𝑦_𝑗+𝑀 = 𝑦_𝑗^′− 𝑒^{2𝜋𝑖𝑗𝑁} 𝑦^′′ , 𝑗 = 0, 1, … , 𝑀 − 1. (9)

Dari perkalioan vector matriks 𝐹^𝑁 𝑥 kita dapat mereduksi jumlah operasi dengan perkalian dua vector matriks 𝐹^𝑀 𝑥^′ dan 𝐹^𝑀 𝑥^′′. Jumlah operasi direduksi dari 𝑁² ke 2(^𝑁₂)² =^𝑁2₂. Prosedur yang sama untuk mereduksi panjang barisan menjadi setengah dapat dilakukan berulang-ulang.

Melalui algoritma FFT, jumlah total operasi direduksi dari Ο(𝑁²) ke Ο(𝑁 𝑙𝑜𝑔₂ 𝑁).

4. Proses Lévy

Suatu proses stokastik 𝑋_𝑡 dengan 𝑋₀ = 0 disebut proses Lévy jika memenuhi sifat-sifat berikut:

a. Independent Increments. Untuk setiap barisan naik pada waktu 𝑡₀, 𝑡₁, … , 𝑡_𝑛 dengan peubah acak 𝑋_𝑡0, 𝑋_𝑡1− 𝑋_𝑡0, … , 𝑋_𝑡𝑛− 𝑋_𝑡𝑛−1 yang saling bebas.2.

b. Time-homogeneus. Distribusi dari {𝑋_𝑡+𝑠− 𝑋_𝑠; 𝑡 ≥ 0} tidak bergantung pada 𝑠.

c. Continuous Stochastically. Untuk setiap 𝜀 > 0, 𝑃[|𝑋_𝑡+ℎ− 𝑋_𝑡| ≥ 𝜀] → 0, ℎ → 0.

d. Cadlag Process. Kontinu denganlimit kiri sebagai fungsi dari 𝑡.

Proses Lévy adalah kombinasi linear drift, gerak Brown, dan lompatan (jump). Ketika proses Lévy 𝑋_𝑡, lompatan, besarnya lompatan tidak nol. Suatu ukuran Lévy 𝑤 dari 𝑋_𝑡 didefinisikan di ℝ \ {0}

menyatakan bagaimana proses lompatan terjadi.

Pada model finite-activity kita mempunyai

∫_ℝ𝑤(𝑑𝑥) < ∞ sedangkan pada model infinite- activity kita mempunyai ∫_ℝ𝑤(𝑑𝑥) = ∞ dan intensitas Poisson tidak didefinisikan. Ukuran Lévy 𝑤(𝑑𝑥) memberikan tingkat (rate) kedatangan dari lompatan berukuran (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥). Fungsi karakteristik dari proses Lévy menggunakan rumus Lévy-Kinchine.

𝜙𝑋(𝑢) = 𝐸[𝑒^{𝑖𝑢𝑋𝑡}]

= exp (𝑎𝑖𝑡𝑢 −^𝜎2₂𝑡𝑢²+ 𝑡∫_ℝ\{0}(𝑒^𝑖𝑢𝑥 − 1 − 𝑖𝑢𝑥𝟏 )𝑤(𝑑(𝑥))

= exp(𝑡𝜓𝑋(𝑢)), (10)

Dimana ∫_ℝmin(1, 𝑥²) 𝑤(𝑑𝑥) < ∞, 𝑎 ∈ ℝ, 𝜎² ≥ 0. 𝑎 merupakan rate drift, 𝜎 adalah volatilitas proses difusi dan 1 fungsi indikator.

𝜓𝑋(𝑢) merupakan karakteristik eksponen dari 𝑋_𝑡, X tX₁

d

t . Semua momen dari 𝑋_𝑡 dapat diperoleh dari fungsi karakteristik pada saat fungsi pembangkit momen ke domain kompleks.

Jadi, proses Lévy 𝑋_𝑡 sepenuhnya ditentukan oleh fungsi karakteristik 𝜙𝑋. Beberapa proses Lévy yang secara umum digunakan dalam aplikasi keuangan beserta fungsi karakteristik masing- masing adalah

a. Model Finite-activity

1. Gerak Brown Geometrik, memiliki fungsi karakteristik

exp (𝑖𝑢𝜇𝑡 −¹₂𝜎²𝑡𝑢²)

2. Difusi lompatan Lognormal, memiliki fungsi karakteristik

exp (𝑖𝑢𝜇𝑡 −¹₂𝜎²𝑡𝑢²+ 𝜆𝑡 (𝑒^{𝑖𝑢𝜇𝐽−12𝜎𝐽2 𝑢2}− 1) 3. Difusi lompatan eksponensial ganda,

memiliki fungsi karakteristik

exp (𝑖𝑢𝜇𝑡 −¹₂𝜎²𝑡𝑢²+ 𝜆𝑡 (_1+𝑢2𝜂2^1−𝜂2 𝑒^𝑖𝑢𝑘− 1) )

b. Model Infinite-activity

1. Variansi Gamma, memiliki fungsi karakteristik

exp (𝑖𝑢𝜇𝑡)(1 − 𝑖𝑢𝑣𝜃 +¹₂𝜎²𝑣𝑢²)^𝑣𝑡 2. Normal Invers Gaussian, memiliki fungsi

karakteristik

exp (𝑖𝑢𝜇𝑡 + 𝛿𝑡√𝛼²− 𝛽²

− √𝛼²− (𝛽 + 𝑖𝑢)²) 3. Generalized Hyperbolic, memiliki fungsi

karakteristik

2 2

2 2

2 2 2 2

( ( ) )

exp( ) ,

( ) (

t t

v K iu

iu t

iu K





  

 

     

 



  

 

 

 

   

   

) sin(

) ( ) ( ) 2

( 



 v

z I z z I

K  ^v  ^v ,



^

   



 





0 2

) 1 (

!

) 4 ( ) 2

(

k v k

v k v k

z z z

I

4. Finite-momen stabil, memiliki fungsi karakteristik

exp (𝑖𝑢𝜇𝑡 − 𝑡(𝑖𝑢𝜎)^𝛼𝑠𝑒𝑐^𝜋𝛼₂) 5. CGMY, memiliki fungsi karakteristik

exp(𝐶Γ(−𝑌)) [(𝑀 − 𝑖𝑢)^𝑌− 𝑀^𝑌+ (𝐺 + 𝑖𝑢)^𝑌− 𝐺^𝑌],

dengan 𝐶, 𝐺, 𝑀 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑌 > 2 5. FFT pada Perhitungan Harga Opsi Eropa

Berdasarkan ukuran risk-neutral 𝑄, misal harga pokok saham pada waktu 𝑡 adalah

𝑆_𝑡 = 𝑆₀𝑒^{(−𝑟𝑡+𝑋𝑡)}, 𝑡 > 0, (11) dimana 𝑋_𝑡 adalah proses Lévy dan 𝑟 adalah suku bunga (interest rate).

Misal 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔(𝑆₀) + 𝑟𝑇 dan ℱ_𝑉𝑇 adalah transformasi Fourier dari fungsi payoff 𝑉_𝑇(𝑥) dengan 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑆_𝑇. Dengan mensubstitusi ekspektasi discount ke persamaan (4), opsi Eropa dapat dinyatakan dengan rumus:

𝑉(𝑆_𝑡, 𝑡) = 𝑒^{−𝑟(𝑇−𝑡)}𝐸_𝑄[𝑉_𝑇(𝑥)]

=^{𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)}_2𝜋 𝐸_𝑄[∫_{𝑖𝜇−∞}^𝑖𝜇+∞𝑒^𝑖𝑧𝑥ℱ_𝑉𝑇(𝑧)𝑑𝑧]

=^{𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)}_2𝜋 ∫_{𝑖𝜇−∞}^𝑖𝜇+∞𝑒^𝑖𝑧𝑥𝜙𝑋_𝑇(−𝑧)ℱ_𝑉𝑇(𝑧)𝑑𝑧, (12)

dengan 𝜇 = 𝐼𝑚 𝑧 dan 𝜙𝑋_𝑇(𝑧) adalah fungsi karakteristik dari 𝑋_𝑇. Rumus pada persamaan (12) sesuai dengan persmaam (6) yang diperoleh dengan menggunakan relasi Parseval (Parseval relation).

Jika harga saham pada saat 𝑡 = 0 adalah sebesar 𝑆₀, maka pada saat 𝑇 harga opsi call Eropa dengan payoff sebesar (𝑆_𝑇− 𝐾⁺) adalah 𝐶(𝑆₀, 𝑇; 𝐾) = −^𝐾𝑒_2𝜋^−𝑟𝑇∫ 𝑒−𝑖𝑧𝑘𝜙𝑋𝑡(−𝑧)

𝑧2−𝑖𝑧 𝑖𝜇+∞

𝑖𝜇−∞ 𝑑𝑧

= −^𝐾𝑒_2𝜋^−𝑟𝑇

[

∫ 𝑒−𝑖𝑧𝑘𝜙𝑋𝑡(−𝑧)𝑖 𝑧 𝑖𝜇+∞

𝑖𝜇−∞ 𝑑𝑧

− ∫ 𝑒−𝑖𝑧𝑘𝜙𝑋𝑡(−𝑧) 𝑖 𝑧−𝑖 𝑖𝜇+∞

𝑖𝜇−∞ 𝑑𝑧

]

= 𝑆₀[¹₂+¹_𝜋∫ 𝑅𝑒(𝑒−𝑖𝑢 log 𝑘𝜙𝑋𝑡(𝑢−𝑖) 𝑖𝑢𝜙𝑋𝑡(−𝑖) )𝑑𝑢

∞

0 ]

− 𝐾𝑒^−𝑟𝑇[¹₂

+_𝜋¹∫ 𝑅𝑒 (^{𝑒−𝑖𝑢 log 𝑘}_{𝑖𝑢𝜙𝑋}^{𝜙𝑋𝑡(𝑢)}

𝑡(𝑖𝑢) ) 𝑑𝑢

∞ 0

] ,

(13)

dengan 𝑘 = 𝑙𝑜𝑔_𝑲^𝑺+ 𝑟𝑇. Rumus harga opsi pada persamaan (13) menyerupai rumus Black- Scholes. Adanya sifat singular pada 𝑢 = 0 pada integral fungsi mengakibatkan FFT tidak dapat digunakan untuk menghitung integral. Jika integral diperluas dengan ekspansi deret Taylor di 𝑢, maka leading term pada ekspansi untuk kedua integral adalah 𝜊(_𝑢¹) yang divergen ketika terjadi kenaikan dari fungsi payoff yang diskontinu di 𝑆_𝑇 = 𝐾. Akibatnya, transformasi Fourier dari fungsi payoff memiliki frekuensi yang tinggi. Untuk memperkecil frekuensi dapat dilakukan dengan mengalikan payoff dengan suatu fungsi eksponensial decay.

Rumus Carr-Madan merupakan rumus alternative dalam perhitungan harga opsi Eropa dengan menggunakan fungsi karakteristik dari pergerakan harga saham. Carr and Madan (1999), mengasumsikan transformasi Fourier dari harga Call Eropa kemudian menghitung invers Fourier agar harga Call dapat dihitung dengan FFT.

Misal 𝑘 = log 𝐾 dan transformasi Fourier dari harga call 𝐶(𝑘) ada jika memenuhi fungsi

kuadrat-integrabel. Pengatur (dampening factor) harga call 𝑐(𝑘).

𝑐(𝑘) = 𝑒^𝛼𝑘𝐶(𝑘), (14) untuk 𝛼 > 0. Nilai positif dari 𝛼 dilihat dari meningktnya integrabilitas dari modifikasi nilai call di atas sumbu-k negative. Syarat cukup untuk kuadrat-integrabel fungsi 𝑐(𝑘) diberikan

𝐸_𝑄[𝑆_𝑇^𝛼+1] < ∞.

Tulis 𝜓_𝑇(𝑢) sebagai transformasi Fourier dari 𝑐(𝑘), 𝑃_𝑇(𝑠) sebagai fungsi kepadatan (df) dari pergerakan harga saham, dimana 𝑠 = log 𝑆_𝑇 dan 𝜙_𝑇(𝑢) adalah fungsi karakteristik transformasi Fourier dari 𝑃_𝑇(𝑠), maka

𝜓_𝑇(𝑢) = ∫ 𝑒_−∞^{∞ 𝑖𝑢𝑘}𝑐(𝑘)𝑑𝑘

= ∫ 𝑒_−∞^{∞ 𝑖𝑢𝑘}𝑃_𝑇(𝑠) ∫ [𝑒_−∞^{𝑠 𝑠+𝛼𝑘} − 𝑒^(1+𝛼)𝑘] 𝑒^𝑖𝑢𝑘𝑑𝑘 𝑑𝑠

=_𝛼^𝑒₂^−𝑟𝑡_{−𝛼−𝑢}^{𝜙𝑇(𝑢−(𝛼+1)𝑖)}_{2+𝑖(2𝛼+1)𝑢}. (15)

6. Algoritma Fast Fourier Transform (FFT) Harga call 𝐶(𝑘) dapat dihitung dengan menggunakan invers transformasi Fourier, dimana

𝐶(𝑘) =^{𝑒−𝛼𝑘}_2𝜋 ∫ 𝑒_−∞^{∞ −𝑖𝑢𝑘}𝜓_𝑇(𝑢)𝑑𝑢

=^{𝑒−𝛼𝑘}_𝜋 ∫ 𝑒₀^{∞ −𝑖𝑢𝑘}𝜓_𝑇(𝑢)𝑑𝑢. (16)

Dengan menggunakan aturan trapezoid untuk mengintegralkan persamaan (16) diperoleh:

𝐶(𝑘) ≈^{𝑒−𝛼𝑘}_𝜋 ∑^𝑁_𝑗=1𝑒^{−𝑖𝑢𝑗𝑘}𝜓_𝑇(𝑢_𝑗)∆𝑢, (17) dengan 𝑢_𝑗 = (𝑗 − 1)∆𝑢, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑁, dan 𝑁 = 2^𝐿.

Semi-infinite integral dengan domain [0, ∞]

pada persamaan (15) diaproksimasi melalui integrasi domain berhingga, dimana batas atas dari 𝑢 pada integrasi numeriknya adalah 𝑁 ∆𝑢.

FFT merupakan algoritma numeric yang efisien dalam menghitung transformasi Fourier diskrit. Pada FFT kita menghitung

𝑦(𝑘) = ∑^𝑁_𝑗=1𝑒^{−𝑖 2𝜋}𝑁 (𝑗−1)(𝑘−1)𝑥(𝑗), 𝑘 = 1,2, … , 𝑁. (17)

Misal batas integrasi limit adalah 𝑎, dimana 𝑎 = 𝑁 ∆𝑢. Selanjutnya akan dilakukan perhitungan harga opsi call dengan pengambilan 𝑘 bernilai diskrit.

𝑘𝑚= −𝑏 + (𝑚 − 1)∆𝑘, 𝑚 = 1,2, … , 𝑁, (18) dengan 𝑏 adalah range level log strike dari – 𝑏 𝑘𝑒 𝑏 dimana 𝑏 =¹₂𝑁∆𝑘. Dengan mensubstitusi persamaan (18) ke persamaan (17), diperoleh

𝐶(𝑘𝑚) ≈

𝑒−𝛼𝑘𝑚

𝜋 ∑^𝑁_𝑗=1𝑒−𝑖(𝑗−1)∆𝑢 (−𝑏+(𝑚−1)∆𝑘)𝜓𝑇(𝑢𝑗)∆𝑢.

≈^{𝑒−𝛼𝑘𝑚}_𝜋 ∑^𝑁_𝑗=1𝑒−𝑖∆𝑢∆𝑘(𝑗−1)(𝑚−1) 𝑒^{𝑖𝑏𝑢𝑗}𝜓_𝑇(𝑢_𝑗)∆𝑢. (19) Ingat bahwa dan ∆𝑢∆𝑘 =^2𝜋_𝑁 , dengan menggunakan transformasi Fourier dan aturan Simpson dan batas ∆𝑢∆𝑘 =^2𝜋_𝑁 diperoleh harga opsi call

𝐶(𝑘_𝑚) =

𝑒−𝛼𝑘𝑚

𝜋 ∑^𝑁_𝑗=1𝑒^{−𝑖2𝜋𝑁(𝑗−1)(𝑚−1)}𝑒^{𝑖𝑏𝑢𝑗}𝜓_𝑇(𝑢_𝑗)^𝑛₃ [3 + (−1)^𝑗𝛿_𝑗−1], (20)

Dengan 𝛿_𝑛 adalah fungsi Konocker’s delta dimana



 

 lainnya

n

n 0,

0 ,

 1 .

7. FFT dengan Variansi Gamma (VG) pada Perhitungan Harga Opsi Call Eropa

Pada jurnal ini dilakukan metode FFT dalam menghitung harga opsi call Eropa dengan fungsi karaktersitik Variansi Gamma (VG).

Madan, Carr, Chang (1998) memodelkan perhitungan harga opsi dengan VG. Proses VG

diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik dengan drift 𝜃 dan volatilitas 𝜎 pada waktu acak yang diberikan oleh proses gamma dengan mean 1 dan variansi 𝑣. 𝑋_𝑡(𝜎, 𝜃, 𝑣) adalah proses lompatan (jump process) dua parameter 𝜃 dan 𝑣 yang mengikuti model Black-Scholes.

Perhitungan harga opsi call berdasarkan persamaan (16) dan (15) dan dengan fungsi karakteristik VG diperoleh harga opsi call Eropa:

𝐶(𝑘) ≈^{𝑒−𝛼𝑘}_𝜋 ∫ ^{𝑒−𝑖𝑣𝑘}

[𝛼2−𝛼−𝑣2+𝑖(2𝛼+1)𝑣](1−𝑖𝑢𝑣𝜃+1 2𝜎2𝑣𝑢2)𝑡

𝑣

∞ 𝑑𝑣

−∞ , (21)

dengan 𝑢 = 𝑣 − (𝛼 + 1)𝑖.

Proses risk-neutral untuk harga saham diberikan oleh:

𝑆𝑡= 𝑆0exp[𝑟𝑡 + 𝑋𝑡(𝜎, 𝜃, 𝑣) + 𝜔𝑡] , 𝑡 > 0, (22) dimana 𝜔 =¹_𝑣ln (1−𝜃𝑣−¹₂𝜎²𝑣) dan r adalah interest rate. Fungsi karakteristik untuk log 𝑆_𝑇 adalah 𝜙_𝑇(𝑢) = exp [ln(𝑆₀) + (𝑟 + 𝜔)𝑇](1 − 𝑖𝑢𝑣𝜃 +

1

2𝜎²𝑣𝑢²)^−𝑇𝑣 , (23)

𝜙_𝑇(−(𝛼 + 1)𝑖) = exp [ln(𝑆₀) + (𝑟 + 𝜔)𝑇](1 − (𝛼 + 1)𝑣𝜃 +¹₂𝜎²𝑣(𝛼+1)²)^−𝑇𝑣.

Untuk membatasi fungsi karakteristi nilai 𝛼 (damping factor) haruslah

𝛼 < √^𝜃2_𝜎4+ ²

𝜎2𝑣 −_𝜎2^𝜃 −1. (24) 8. Hasil Simulasi Perhitungan Harga Opsi

Call

Simulasi perhitungan harga opsi call dengan menggunakan 𝑁 = 2¹², 𝑆₀ = $ 100, 𝑟 = 5 %, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑 (𝑑) = 3 %, 𝑇 = 1, ∆𝑢 = 0.25, 𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 = 30 %, 𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡 (𝜃) = 5 %, 𝑣 = 0.05 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝛼 = 1.5. Hasil

perhitungan opsi call Eropa dengan beberapa beberapa nilai strike price (K) = 77, 78, dan 79 menggunakan software Matlab Matlab 7.13.0 diperoleh $ 1.8111e+001, $ 1.7380e+001, dan

$1.6648e+001 dengan elapsed time Elapsed time

= 0.084413 detik.

8. Kesimpulan

Jurnal ini membahas perhitungan harga call Eropa dengan menggunakan teknik Fast Fourier Transform (FFT). Fungsi karakteristik yang digunakan dalam FFT adalah fungsi karakteristik Variance Gamma (VG). Proses VG diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik dengan drift 𝜃 dan volatilitas 𝜎 pada waktu acak yang diberikan oleh proses gamma dengan mean 1 dan variansi 𝑣, 𝑋_𝑡(𝜎, 𝜃, 𝑣). Dari hasil pembahasan di atas dapat dilihat langkah- langkah matematika serta simulasi teknik FFT dengan fungsi karakteristik VG dalam memntukan nilai opsi call Eropa. Dari hasil simulasi terlihat bahwa dengan nilai N yaitu titik diskrit transformasi Fourier yang besar yaitu 2¹²

=4906 titik, waktu yang dibutuhkan untuk menghitung nilai opsi call sangat efisien yaitu hanya Elapsed time = 0.084413 detik. Namun, Teknik FFT dengan menggunakan VG hanya cocok untuk short-time maturity. Oleh karena itu kedepannya perlu dilakukan modifikasi time valued method.

9. Daftar Pustaka

[1] Schmelzle, martin. 2010. Option Pricing Using Fourier Transform: Theory and Aplication.

[2] Bu, Yongqiang. 2007. Option using Lévy Processes. Göteborg, Sweden:

Deaprtment of mathematical Statistics, Chalmers University of Technology.

[3] J. C. Duan et al. 2012. Handbook of Computational Finance. Berlin Heidelberg: Springer.

[4] Carr and Madan. 1999. Option Valuation using Fast Fourier Transformation.

Journal of Computational Finance, 2 61- 73.

[5] Carr, Madan and Chang. 1998. The Variance Gamma Process and Option Pricing.

European Finance Review 2:79-105.

Netherlands: Kluwer Academic Publishers.

[6] Raible, Sebastian. 2000. Lévy Processes in Finance: Theory, Numerics and Enpirical Fact. Freiburg: Institut für Mathematische Stochastik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg.