8.1 Fungsi Invers
Misalkan denganf : Df Rf)
(x
f
y
x
v
u
f (u) f (v)Definisi 8.1 Fungsi
y
=f
(x
) disebut satu-satu jikaf
(u
)= f
(v
) makau = v
atau jika makax y
x y
fungsi y=-x satu-satu
2 x y
u v
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi 1 f f f
D
R
f
1:
y
f
x
y
1 Berlaku hubunganx
x
f
f
1(
(
))
y
y
f
f
(
1(
))
f f f fR
R
D
D
1
,
1
Df Rf f x y=f(x) R R 1 f ) ( 1 y f x
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers x x f ( ) x x f ( ) 2 ) (x x f u v f(x)=x R x x f '( ) 1 0, f selalu naik f(x)=-x R x x f '( ) 1 0, f selalu turun
0
,
0
0
,
0
2
)
(
'
x
x
x
x
f
f naik untuk x>0 turun untuk x <0 1 f 1 f 1 Contoh : Diketahui
f x
x
x
( )
1
2
a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab a. 2
)
2
(
)
1
.(
1
)
2
.(
1
)
(
'
x
x
x
x
f
x
Df
x
0
,
)
2
(
3
2Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers b. Misal
2
1
x
x
y
1
2
y
x
xy
1
1
2
1
2
y
y
x
y
x
y
x
1
1
2
)
(
1
1
2
)
(
1 1
x
x
x
f
y
y
y
f
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya. 2 ) (x x f u v 1 f tidak ada
R
x
Untuk 2)
(
x
x
f
Untuk x>0 ada 1 f 2)
(
x
x
f
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak
pada grafik f Titik (y,x) terletak pada grafik 1
f
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x Grafik f dan semetri terhadap garis y=x 1
f
f
1
Turunan fungsi invers
Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x)
dan
f
x
x
I
,
0
)
(
1 1 f)
(
1
)
(
)'
(
1x
f
y
f
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx
dy
dy
dx
/
1
Contoh Diketahui tentukan
f
(
x
)
x
5
2
x
1
( f 1)'(4)2
5
)
(
'
x
x
4
f
,y=4 jika hanya jika x=11
1
)
4
(
)'
(
f
1
Jawab :Soal Latihan f x x x x ( ) 1 , 0 f x( ) 3 2x 1 f x( ) 5 4x 2 f x x x ( ) , 5 1 0 2 f x x x ( ) 1 1 3 2 ) (x x f
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1. 2. 3. 4. 5. 6.
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
Secara umum, jika u = u(x) maka
ln
x
,
t
dt
x
x
1
0
1
x
dt
t
D
x
D
x x x1
1
ln
1
du
dt
D
u
D
x u x x1
1
ln
) (
.Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln :
1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)))
2
4
ln(sin(
)
(
x
x
f
))
2
4
(sin(
)
2
4
sin(
1
)
(
'
D
x
x
x
f
x)
2
4
cot(
4
x
0
,
|
|
ln
x
x
y
0 , ) ln( 0 , ln x x x xx
y
x
y
ln
'
1
x x y x y ln( ) ' 1 1 .
0
,
1
|)
|
(ln
x
x
x
dx
d
dx
ln
|
x
|
C
x
1
a
r
a
rln
ln
.
4
dx
x
x
4
0 3 22
dx
x
du
x
u
3
2
3
2 Contoh: Hitung jawab Misal 2 2 3 23
2
x
du
u
x
dx
x
x
u
du
3
ln
|
u
|
c
1
1
3
1
c
x
ln
|
2
|
3
1
3
0
4
|
2
|
ln
3
1
2
3 4 0 3 2
dx
x
x
x
.
33
ln
3
1
)
2
ln
66
(ln
3
1
sehinggaGrafik fungsi logaritma asli
0
,
ln
)
(
1
x
t
dt
x
x
f
x fD
x
x
x
f
'
(
)
1
0
f selalu monoton naik pada Df
f
D
x
x
x
f
'
'
(
)
1
2
0
Diketahui a. b. c.Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0
1
8.3 Fungsi Eksponen Asli
Karena maka fungsi logaritma asli
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut
fungsi eksponen asli,
notasi exp
. Jadi
berlaku hubungan
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang
bersifat ln e = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
ln
1
0
untuk
x
0
,
x
x
D
xy
x
x
y
exp(
)
ln
r
e
r
e
e
r
exp(ln
r)
exp
ln
exp
xe
x
)
(
x
e
y
dy
dx
dx
dy
/
1
x x xe
e
D
(
)
,
Jadi
y
x
e
y
x
ln
Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan
y
dy
dx
1
'
.
)
(
e
( )e
u
D
x u x
u Secara umum Sehingga
e
xdx
e
x
C
1 y=ln x y=exp (x)
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
1 Contoh
)
ln
3
(
.
)
(
e
3 lne
3 lnD
x
x
D
x x x
x x x
3 ln(
3
ln
3
).
x
e
x x.
3
1
3
1
3
1
3/ 2 / 3c
e
c
e
du
e
dx
x
e
x
u
u
x
Contoh Hitungdx
x
e
x
2 / 3 Jawab :du
dx
x
dx
x
du
x
u
3
1
1
3
3
2 2
Misalkan Sehingga) (
))
(
(
)
(
x
g
x
h xf
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui
))
(
ln(
)
(
))
(
ln(
f
x
h
x
g
x
)))
(
ln(
)
(
(
)))
(
(ln(
f
x
D
h
x
g
x
D
x
x)
(
'
)
(
)
(
))
(
ln(
)
(
'
)
(
)
(
'
x
g
x
g
x
h
x
g
x
h
x
f
x
f
)
(
)
(
'
)
(
)
(
))
(
ln(
)
(
'
)
(
'
g
x
f
x
x
g
x
h
x
g
x
h
x
f
?
)
(
'
,
f
x
Contoh
Tentukan turunan fungsi x
x
x
f
(
)
(sin
)
4))
ln(sin(
4
)
ln(sin
)
(
ln
f
x
x
4x
x
x
Jawab)))
ln(sin(
4
(
))
(
(ln
f
x
D
x
x
D
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
cot
4
))
ln(sin(
4
cos
sin
4
))
ln(sin(
4
)
(
)
(
'
xx
x
x
x
x
f
'
(
)
(
4
ln(sin(
))
4
cot
)(sin
)
4Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
?
)
(
lim
( )
x g a xf
x
b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
Untuk kasus
(i)
lim
(
)
0
,
lim
(
)
0
a
f
x
x ag
x
x(ii)
lim
(
)
,
lim
(
)
0
a
f
x
x ag
x
x(iii)
lim
f
(
x
)
1
,
lim
g
(
x
)
a x a
x
Penyelesaian :
Tulis
lim
(
(
)
( ))
lim
[exp
(
ln
(
)
g(x))]
a x x g a x
f
x
f
x
lim
xaexp
g
(
x
)
ln
f
(
x
)
Karena fungsi eksponen kontinu, maka
)
(
ln
)
(
lim
exp
)
(
(
ln
)
(
exp
lim
g
x
f
x
g
x
f
x
Contoh Hitung
lim
x
x
x
0
x xx
ln / 1 31
lim
x xx
1 01
lim
x
x
x
x x xln
lim
exp
)
(
lim
0 0
Jawab (bentuk )0
.
Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil L’hopital
/
1 0
ln
lim
exp
x
x
x 1 ) 0 exp( 1 1 lim exp 2 0 x x x a. b. c. a.)
1
ln(
.
1
.
exp
lim
)
)
1
(
(
lim
0 / 1 0x
xx
x
x x
x
x
x)
1
(
ln
lim
exp
0
b.
e
x
x
1
exp
1
1
lim
exp
0
x
xe
x
1 01
lim
Gunakan dalil L’hopital
sehingga c.
ln(
1
)
ln
1
lim
exp
1
lim
3
1/ln
3
x
xx
x
x xx
x
xln
)
1
ln(
lim
exp
3
.
/
1
1
3
lim
exp
3 2x
x
x
x
Gunakan dalil L’hopital
1
3
lim
exp
3 3
x
x
x(
1
)
)
3
(
lim
exp
3 1 3 3 x xx
x
)
1
(
)
3
(
lim
exp
3 1 x x
exp
3
e
3.
INF228 Kalkulus Dasar 23 Soal latihan
'
y
x xe
e
y
sec
2
2sec xe
x
y
5 3ln xe
y
tan
A.Tentukan dari)
3
ln(
x
3y
e
y
1
3 2 2
xy
e
y
x
5
6
ln
2
x
x
y
x
y
ln
cos
3
y
x
x
ln
2
y
ln sin
x
))
1
2
sin(ln(
x
y
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.B. Selesaikan integral tak tentu berikut 4 2x 1 dx
4 2 5 2 x x x dx
2 2 x x dx ln
dx x x 3 ln2
dx x x) tan(ln x x dx 3 2 1
(x )ex xdx
3 2 6
e
x
e
xdx
sec
22
(cos )
x e
sin xdx
e
2 ln
x
dx
x
2e
2x3dx
dx
e
e
x x3
2
dx
e
e
x x 2 3 3)
2
1
(
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.C. Selesaikan integral tentu berikut 3 1 2 1 4
x dx
11
1 4 x x dx e e dx x x 3 4 3 ln ln
ex 3 4ex dx 0 5 ln e2x 3dx 0 1
dx
e
x
2 ln 0 3 e x dx x 3 2 1 2
2 0 4 2dx
xe
x
2 2)
(ln
e ex
x
dx
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.x x
x
1 1 1lim
x xx
1 01
sin
2
lim
lim cos x x x 2 2
x
x xe
ln 1 2 01
lim
x xx
ln 1 21
lim
x xx
1ln
lim
x x
x x 15
3
lim
lim
x xx
x
1
2
D. Hitung limit berikut :
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x R, didefinisikan Turunan dan integral
Jika u = u(x), maka
Dari sini diperoleh :
: x
a
x
f
(
)
a
x
e
x ln aa
a
a
e
e
D
a
D
x(
x)
x(
xlna)
xlnaln
xln
a
u
a
u
a
e
e
D
a
D
x(
u)
x(
ulna)
ulnaln
.
'
u'
ln
a
C
a
dx
a
x xln
1
Sifat–sifat fungsi eksponen umum
Untuk
a
> 0,b
> 0,x, y
bilangan riil berlakuy x y x
a
a
a
y x y xa
a
a
xy y xa
a
)
(
x x xb
a
b
a
1. 2. 3. 4.(
ab
)
x
a
xb
x 5.
4
x2.
xdx
C C du u x u
4 1 4 4 2 x xx
f
(
)
3
2 1
2
sin22
ln
2
.
2
3
ln
3
.
2
)
(
'
x
2x 1 sin2xf
Contoh1. Hitung turunan pertama dari
Jawab : 2. Hitung Jawab :
du
dx
xdx
du
x
u
2
2
21x Misal
4x2.xdxGrafik fungsi eksponen umum
0
,
)
(
x
a
a
f
x)
,
(
Df
a. b.f
'
(
x
)
a
xln
a
1 , 0 ln 1 0 , 0 ln a a a a a a x xf monoton naik jika a > 1
monoton turun jika 0 < a < 1
f x
D
x
a
a
x
f
''
(
)
(ln
)
2
0
c.Grafik f selalu cekung keatas d. f(0) = 1 Diketahui 1 , ) (x a a f x 1 0 , ) (x a a f x
8.6 Fungsi Logaritma Umum
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :
Dari hubungan ini, didapat
Sehingga
Jika u=u(x), maka
x
alog
ya
x
x
y
alog
a
x
x
a
x
y
a
y
a
x
y aln
ln
log
ln
ln
ln
ln
ln
a x a x D x Dx a x ln 1 ) ln ln ( ) log ( a
u
u
a
u
D
u
D
x a xln
'
)
ln
ln
(
)
log
(
Contoh Tentukan turunan pertama dari
)
1
log(
)
(
x
3x
2
f
)
1
1
log(
)
(
4
x
x
x
f
1. 2. Jawab : 1. 3 ln ) 1 ln( ) 1 log( ) ( 2 2 3 x x x f3
ln
1
1
2
)
(
'
2
x
x
x
f
2.4
ln
)
ln(
)
1
1
log(
)
(
1 1 4
x xx
x
x
f
)
1
1
(
1
4
ln
1
)
(
'
1 1
x
x
Dx
x
f
x x 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 4 ln 1 x x x x x2
1
Grafik fungsi logaritma umum
Untuk a > 1 1 , ) (x a a f x Untuk 0 < a < 1 1 0 , ) (x a a f xGrafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
y
3
2
x
4
x
4
9
log
2 10
x
y
x
2
x
dx
2
10
5x1dx
Soal Latihan A. Tentukan dariy
'
1. 2.2
)
log(
3
y
xy
x
3. B. Hitung 1. 2.8.7 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu- satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx , 2
x
2Karena pada f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau
sin
1(
)
x
2 2
x
Sehingga berlakuy
x
x
y
sin
1
sin
2 2 Turunan
Dari hubungan y sin1 x x siny
y dy dx dx dy cos 1 / 1 2 2 , 1 1 x y
dan rumus turunan fungsi invers diperoleh
1 | | , 1 1 sin 1 1 2 2 x x y 2 1 1 1 ) (sin x x Dx atau Jika u=u(x) 2 1 1 ' ) (sin u u u Dx
Dari rumus turunan diperoleh
C x x dx 1 2 sin 1b. Invers fungsi cosinus
Fungsi f(x) = cosx ,0 x
x x f ( ) cosmonoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers
Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau cos 1( )
x Berlaku hubungan
y
x
x
y
cos
1
cos
TurunanDari
y
cos
1x
x
cos
y
dy
1
1
1
x
1
,
0
y
,
1 | | , 1 1 x diperolehatau 2 1 1 1 ) (cos x x Dx 2 1 1 ' ) (cos u u u Dx Jika u= u(x)
Dari rumus turunan diatas diperoleh
C x x dx 1 2 sin 1 Contoh
))
(
(sin
1x
2D
x ( ) ) ( 1 1 2 2 2 D x x x 4 1 2 x x
))
(tan
(cos
1x
D
x (tan ) ) (tan 1 1 2 D x x x x x 2 2 tan 1 sec Contoh Hitung
dx
x
24
1
Jawab : Gunakan rumus
C u du u ) ( sin 1 1 1 2
dx x ) 4 1 ( 4 1 2
dx x2 4 1
dx x 2 ) 2 ( 1 ( 1 2 1 Misalu
x
du
dx
dx
2
du
2
2 1
dx x2 4 1
C
u
du
u
1 2sin
1
(
2
2
1
C
x
)
(
sin
1 2c. Invers fungsi tangen
Fungsi f(x) = tanx, 2 2
x
2 2 f(x)=tanxMonoton murni (selalu naik) sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, notasi arc tanx atau
tan
1(
x
)
Berlaku hubungan
y
x
x
y
tan
1
tan
y
x
x
y
tan
1
tan
y
dy
dx
dx
dy
2sec
1
/
1
Turunan Dari 2 2,
y
dan turunan fungsi invers diperoleh
2 2
1
1
tan
1
1
x
y
2 1 1 1 ) (tan x x Dx 2 1 1 ' ) (tan u u u Dx
C
x
x
dx
1 2tan
1
atau Jika u=u(x)d. Invers fungsi cotangen
Fungsi f(x)= cot x
,
0
x
f(x)=cotx
selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers
Definisi Invers dari fungsi cot x disebut Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot1 x
Berlaku hubungan
y
x
x
y
cot
1
cot
Turunany
dy
dx
dx
dy
2csc
1
/
1
2 21
1
cot
1
1
x
y
atau 2 1 1 1 ) (cot x x Dx
24
x
dx
C
x
x
dx
1 2cot
1
2 1 1 ' ) (cot u u u Dx Jika u=u(x) Contoh)
1
(
(tan
1x
2
D
x ( 1) ) 1 ( 1 1 2 2 2 Dx x x1
(
21
)
22
x
x
)
(sin
(cot
1x
D
x (sin ) ) (sin 1 1 2 Dx x x x x 2 sin 1 cos Contoh Hitung a. b.
2 4 2 x x dx
x dx x dx ) 4 1 ( 4 1 4 1 2 2 Jawab a.
dx x 2 ) 2 ( 1 1 4 1du
dx
dx
du
x
u
2
2
2 1
C
u
du
u
dx
x
1 2 2tan
2
1
1
2
4
1
4
1
C
x
)
2
(
tan
2
1
1 Gunakan rumus
C u du u tan ( ) 1 1 1 2b. Gunakan rumus
C u du u tan ( ) 1 1 1 2
x
x
dx
x
dx
3
)
1
(
1
4
2
2 2
dx
x
)
3
)
1
(
1
(
3
1
2
dx
x
23
)
1
(
1
1
3
1
du
dx
dx
du
x
u
3
3
1
3
1
Misal
C
u
du
u
x
x
dx
1 2 2tan
3
1
1
3
3
1
4
2
C
x
3
1
tan
3
1
1e. Invers fungsi secan
Diberikan f(x) = sec x 2,
0
,
x
x
2,
0
,
0
tan
sec
)
(
'
x
x
x
x
x
f
f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau 1 x sec Sehingga
y
x
x
y
sec
1
sec
Turunan
Dari
y
sec
1x
x
sec
y
x
y
1
cos
xy
cos
1 1
xx
1 1 1cos
sec
Sehingga
x x xx
D
D
(sec
1)
(cos
1 1 2 2 11
)
(
1
1
x
x
1
|
|
2 2
x
x
x
1 | | 1 2 x x Jika u = u(x) 1 | | ' ) (sec 2 1 u u u u Dx
c
x
dx
x
x
|
|
sec
1
1
1 2e. Invers fungsi cosecan
Diberikan f(x) = csc x,
,
0
2 2
x
x
0
,
,
0
cot
csc
)
(
'
x
x
x
2
x
2x
f
f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau 1 x csc Sehingga
y
x
x
y
csc
1
csc
Turunan
Dariy
csc
1x
x
csc
y
x
y
1
sin
xy
sin
1 1
xx
1 1 1sin
csc
Sehingga
x x xx
D
D
(csc
1)
(sin
1 1 2 2 11
)
(
1
1
x
x
1
|
|
2 2
x
x
x
1 | | 1 2 x x Jika u = u(x) 1 | | ' ) (sec 2 1 u u u u Dx
c
x
dx
x
x
|
|
csc
1
1
1 2Contoh
A. Hitung turunan pertama dari
)
(
sec
)
(
x
1x
2f
1
2
)
(
1
)
(
|
|
1
)
(
'
4 2 2 2 2 2
x
x
x
x
Dx
x
x
x
f
1
2
4
x
x
a. b. Jawab a.)
(tan
sec
)
(
x
1x
f
1
tan
|
tan
|
sec
)
(tan
1
)
(tan
|
tan
|
1
)
(
'
2 2 2 2 2
x
x
x
x
Dx
x
x
x
f
b.B. Hitung
dx
x
x
4
1
2
x dx x dx x x ) 1 4 ( 4 1 4 1 2 2
dx x x 1 2 1 2 1 2 Jawab Misalu
x
du
dx
dx
2
du
2
2 1
u u du du u u dx x x 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 2 2C
x
C
u
|
|
sec
1
|
|
sec
1
1 1Soal Latihan 2 1
)
(sin
x
y
)
(
tan
1e
xy
x
x
y
tan
1ln
te
t
f
(
)
sec1)
3
(
cot
1 2x
x
y
)
1
(
tan
1x
x
2y
A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin 1. 2. 3. 4. 5. 6.
B. Hitung
9
2
16
x
dx
16
4
x
x
2dx
25
2
x
dx
2 / 1 0 2 11
sin
dx
x
x
dx
e
e
x x1
2
dx
e
e
x x 4 21
[
4
(ln
)
2]
x
x
dx
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8.8 Fungsi Hiperbolik
Definisi
a. Fungsi kosinus hiperbolik :
2
cosh
)
(
x xe
e
x
x
f
b. Fungsi sinus hiperbolik :
2
sinh
)
(
x xe
e
x
x
f
c. Fungsi tangen hiperbolik : x x
x x e e e e x x x x f cosh sinh tanh ) ( x x x x e e e e x x x x f sinh cosh coth ) ( x x e e x x h x f 2 cosh 1 sec ) ( x x e e x x h x f 2 sinh 1 csc ) (
d. Fungsi cotangen hiperbolik : e. Fungsi secan hiperbolik : f. Fungsi cosecan hiperbolik :
1
sinh
cosh
2x
2x
x
h
x
2 2sec
tanh
1
x
h
x
2 2csc
1
coth
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik
x
e
x
x
sinh
cosh
1. 2. xe
x
x
sinh
cosh
3. 4. 5.Turunan
x
e
e
e
e
D
x
D
x x x x x xcosh
2
2
)
(sinh
x
e
e
e
e
D
x
D
x x x x x xsinh
2
2
)
(cosh
sinh
x
dx
cosh
x
C
cosh
x
dx
sinh
x
C
)
cosh
sinh
(
)
(tanh
x
x
D
x
D
x
xh
x
x
x
x
x
2 2 2 2 2sec
cosh
1
cosh
sinh
cosh
)
sinh
cosh
(
)
(coth
x
x
D
x
D
x
xx
x
x
x
x
x
2 2 2 2 2 2sinh
)
sinh
(cosh
sinh
cosh
sinh
x
h
x
2 2csc
sinh
1
)
cosh
1
(
)
(sec
x
D
hx
D
x
xhx
x
x
x
tanh
sec
cosh
sinh
2
) sinh 1 ( ) (csc x D hx Dx x hx x x x coth csc sinh cosh 2
R
x
e
e
x
x
f
x x
,
2
cosh
)
(
f(0)=1Grafik f(x) = coshx
0 , 0 ) ( ' 0 , 0 ) ( ' 2 ) ( ' x x f x x f e e x f x x (i) (ii)f monoton naik pada x > 0 monoton turun pada x < 0
(iii) f x e e x R x x 0, 2 ) ( ''
Grafik f selalu cekung keatas (iv)
1
R
x
e
e
x
x
f
x x
,
2
sinh
)
(
f(0)= 0Grafik f(x) = sinhx
0 2 ) ( ' x x e e x f (i) (ii)f selalu monoton naik (iii) 0 , 0 0 , 0 2 ) ( '' x x e e x f x x
Grafik f cekung keatas pada x>0 cekung kebawah pada x<0 (iv)
Contoh Tentukan dari
y
'
)
1
tanh(
2
x
y
)
1
(
h
sec
2
)
1
(
)
1
(
h
sec
'
2x
2
Dx
x
2
x
2x
2
y
1. Jawab 1.8
sinh
2 2
y
x
x
2. 2.Dx
(
x
2sinh
x
y
2)
Dx
(
8
)
0
'
2
cosh
sinh
2
x
x
x
2x
y
y
y
x
x
x
x
y
2
cosh
sinh
2
'
2
Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari
x
x
f
(
)
tanh
4
x
x
g
(
)
sinh
2x
x
x
g
cosh
1
cosh
1
)
(
21
coth
)
(
t
t
h
))
ln(sinh
)
(
t
t
g
2cosh
)
(
x
x
x
f
1. 2. 3. 4. 5. 6.B. Hitung integral berikut