2.1
Distribusi Survival
Meninggalnya seseorang merupakan sesuatu yang pasti terjadi namun kapan terjadinya tidak dapat diprediksi. Karena itu, ketahanan hidup (survival ) seseorang sampai ia meninggal dapat dianggap sebagai variabel acak. Distribusi dari variabel acak ini disebut distribusi survival. Distribusi survival dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi distribusi F (x) atau fungsi survival s(x).
2.1.1 Fungsi distribusi dan fungsi survival
Misalkan X menyatakan usia meninggal (berarti X ≥ 0). Fungsi distribusi atau CDF dari X adalah fungsi
F (x) = P (X ≤ x), (2.1)
dan fungsi survival atau SDF (survival distribution function) dari X adalah fungsi
s(x) = 1 − F (x) = P (X > x) (2.2)
Nilai F (x) dapat dibaca ”peluang seseorang meninggal paling tua pada usia x” dan s(x) dibaca ”peluang seseorang masih hidup di usia x”. Sifat di ketakhinggaan dari SDF adalah
lim
x→∞s(x) = 0.
Sifat ini diperoleh dari definisi SDF dan sifat di ketakhinggaan CDF, lim
x→∞s(x) = 1 − limx→∞F (x) = 1 − 1 = 0.
Pada persamaan (2.1) dan (2.2) diasumsikan bahwa F (0) = 0 dan s(0) = 1. Dengan demikian persamaan (2.1) dapat dipandang sebagai peluang meninggal untuk bayi
yang baru lahir sebab P (X ≤ x|X > 0) = P (X ≤ x, X > 0) P (X > 0) = P (0 < X ≤ x) P (X > 0) = F (x) − F (0) s(0) = F (x) − 0 1 = F (x) = P (X ≤ x).
Latihan. Apa artinya
a. s(20) b. P (X ≤ 70) c. s(100) d. F (25) e. P (X > 35) 2.1.2 Peluang meninggal
1) Peluang meninggal seseorang berusia x
Nilai CDF F (t) menyatakan peluang bayi yang baru lahir akan meninggal dalam waktu t tahun. Bagaimana jika yang menjadi perhatian kita bukan bayi yang baru lahir tetap sesorang yang berusia x. Jika seseorang yang berusia x disimbolkan dengan (x), maka peluang bahwa (x) akan meninggal paling tua pada usia z adalah
P (x < X ≤ z)|X > x) = 1 − s(z)
s(x) (2.3)
Bukti. Perhatikan bahwa
P (x < X ≤ z)|X > x)
dapat dibaca peluang seseorang berusia x akan meninggal paling tua pada usia z. Berdasarkan definisi peluang bersyarat,
P (x < X ≤ z)|X > x) = P (x < X ≤ z, X > x) P (X > x) = P (x < X ≤ z) P (X > x) = F (z) − F (x) 1 − F (x)
Tetapi F (x) = 1 − s(x) sehingga P (x < X ≤ z)|X > x) = (1 − s(z)) − (1 − s(x)) s(x) = s(x) − s(z) s(x) = 1 − s(z) s(x).
2) Peluang meninggal dan peluang hidup bagi seseorang berusia x Misal didefinisikan variabel acak
T (x) = X − x
yang menyatakan sisa hidup (x) atau seseorang berusia x. Selanjutnya, peluang P (T (x) ≤ t)
dapat dibaca peluang (x) akan meninggal dalam t tahun. Untuk bayi yang baru lahir atau (0), sisa hidupnya adalah T (0) = X, sehingga
P (T (0) ≤ t) = P (X ≤ t) = F (t).
Pada aktuaria, peluang hidup dan peluang meninggal untuk (x) masing-masing dinotasikan dengan
tpx : peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi tqx : peluang (x) akan meninggal dalam t tahun
Berdasarkan definisinya tpx dan tqx dapat ditulis sebagai
tqx = P (T (x) ≤ t) = P (x < X ≤ x + t|X > x),
dan
tpx = 1 − tqx = P (T (x) > t).
Untuk t = 1, notasi 1qx dan 1px cukup ditulis:
qx : peluang (x) akan meninggal dalam setahun
3) Hubungan antara peluang hidup dan fungsi survival
tpx =
s(x + t)
s(x) . (2.4)
Bukti. Berdasarkan definisi tqx dan persamaan (2.3) diperoleh
tqx= P (T (x) ≤ t) = P (x < X ≤ x + t|X > x) = 1 − s(x + t) s(x) . Akibatnya, tpx = 1 −tqx = s(x + t) s(x) .
Khususnya, untuk kasus bayi yang baru lahir atau (0),
xp0 = s(x). (2.5)
4) Peluang (x) akan meninggal antara usia x + t dan x + t + u
t|uqx = tpx− t+upx. (2.6)
Bukti. Berdasarkan definisinya,
t|uqx = P (t < T (x) ≤ t + u)
= F (t + u) − F (t)
= P (T (x) ≤ t + u) − P (T (x) ≤ t) = t+uqx− tqx
= tpx− t+upx
Untuk u = 1 cukup ditulis t|qx.
Rumus t|uqx juga dapat dinyatakan sebagai
t|uqx = tpx uqx+t. (2.7) Bukti. Karena tqx = 1 − s(x + t) s(x) dan tpx = s(x + t) s(x)
maka t|uqx = s(x + t) s(x) − s(x + t + u) s(x) = s(x + t) − s(x + t + u) s(x) = s(x + t) s(x) s(x + t) − s(x + t + u) s(x + t) = tpx 1 − s(x + t + u) s(x + t) = tpx uqx+t. Daftar lambang (x) : seseorang berusia x
X : variabel acak yang menyatakan usia meninggal T (x) : variabel acak yang menyatakan sisa hidup untuk (x) s(x) : peluang hidup sampai usia x
tpx : peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi (masih hidup di usia x + t) tqx : peluang (x) akan meninggal dalam t tahun
t|uqx : peluang (x) akan meninggal antara usia x + t dan x + t + u
Latihan
Apa arti dari simbol-simbol berikut: a. P (X ≤ 30) b. P (X > 30) c. s(40) d. F (50) e. 5p20 f. 5q20 g. 2|5q20
2.1.3 Curtate-Future-Lifetime (CFL)
CFL untuk (x) adalah variabel acak yang menyatakan bilangan bulat terbesar pada variabel acak T (x). Dengan kata lain jika K(x) CFL untuk (x) maka
K(x) = ⌊T (x)⌋ (2.8)
dengan K(x) = 0, 1, 2, . . . Contoh
Misal T (x)= 25 tahun 4 bulan 2 hari. Maka K(x) = 25 tahun. Misal T (x)= 20 tahun 11 bulan 26 hari. Maka K(x) = 20 tahun Distribusi dari CFL PMF dari K(x) adalah P (K(x) = k) = P (k ≤ T (x) < k + 1) = P (k < T (x) ≤ k + 1) = kpx− k+1px = k|qx dan CDF-nya FK(x)(y) = y X k=0 k|qx = y+1qx. 2.1.4 Laju Kematian
Laju kematian (laju mortalitas) untuk (x) didefinisikan sebagai µ(x) = lim
△x→0
P (x < X ≤ x + △x|X > x)
△x (2.9)
Laju kematian µ(x) juga dapat diartikan peluang (x) akan meninggal sesaat lagi (dalam waktu yang sangat singkat). Pada analisis survival laju kematian disebut juga fungsi laju kegagalan atau hazard rate function (HRF).
Berikut akan ditunjukkan bahwa hubungan antara laju kematian, PDF, CDF, dan fungsi survival adalah
µ(x) = fX(x) 1 − FX(x) = fX(x) s(x) = −s′(x) s(x) (2.10)
Bukti. Dari definisi peluang bersyarat
P (x < X ≤ x + △x|X > x) = P (x < X ≤ x + △x) P (X > x) = FX(x + △x) − FX(x) 1 − FX(x) = FX(x + △x) − FX(x) s(x)
Dari definisi turunan lim △x→0 FX(x + △x) − FX(x) △x = F ′ X(x)
Tetapi, dari definisi fungsi densitas, FX′ (x) = fX(x). Akibatnya, laju kematian
µ(x) = lim △x→0 P (x < X ≤ x + △x|X > x) △x 1 s(x) = lim △x→0 FX(x + △x) − FX(x) △x 1 s(x) = fX(x) s(x) Karena s(x) = 1 − FX(x) dan s′(x) = −FX′ (x) = −fX(x) maka fX(x) = −s′(x), sehingga µ(x) = fX(x) 1 − FX(x) = fX(x) s(x) = −s′(x) s(x) .
Hubungan antara peluang hidup dengan laju kematian
npx = e− Rn
Bukti. Dari definisi laju kematian µ(y) = −s ′(y) s(y) = − d dy ln s(y) atau −µ(y)dy = d ln s(y)
Dengan mengintegralkan kedua ruas dari x sampai x + n diperoleh − Z x+n x µ(y)dy = ln s(y)|x+nx = lns(x + n) s(x) = ln npx
Misal s = y − x maka ds = dy. Jika y = x maka s = 0 dan jika y = x + n maka s = n. Akibatnya
npx = e− Rn
0 µ(x+s)ds.
Untuk kasus bayi yang baru lahir, hubungan antara peluang hidup, fungsi survival, dan laju kematian adalah
xp0 = s(x) = e− Rx
0 µ(s)ds, x ≥ 0 (2.12)
PDF dari variabel acak sisa hidup T (x)
fT (x)(t) = tpxµ(x + t) (2.13)
Bukti. Karena T (x) variabel acak kontinu maka PDF-nya fT (x)(t) = d dtFT (x)(t) = d dtP (T (x) ≤ t) = d dttqx = d dt 1 −s(x + t) s(x)
= −s ′(x + t) s(x) = −s(x + t) s(x) s′(x + t) s(x + t)
= tpxµ(x + t), t ≥ 0 (dari persamaan (2.4) dan (2.10).
Selain itu, karena fT (x)(t) = dt td qx dan tqx = 1 − tpx maka
d dttqx = d dt(1 − tpx) = − d dt tpx = tpxµ(x + t)
2.2
Tabel Mortalitas (TM)
Tabel mortalitas adalah tabulasi nilai fungsi-fungsi dasar qx, ℓx, dx dan fungsi
tambahan lainnya yang didaftar berdasarkan usia x atau rentang usia (x, x + 1) dengan x = 0, 1, 2, . . . , ω dan ω batas usia yang mungkin (contoh lihat Bowers, et al., 1997, hal. 60-63 ).
Saat ini Indonesia sudah mempunyai tabel mortalitas sendiri yaitu TMI 2011 yang merupakan perbaikan dari TMI 1999. TMI 2011 disusun berdasarkan data mortalita dari 40 perusahaan di industri asuransi jiwa di Indonesia yang meliputi 23.511.563 satuan polis.
2.2.1 Hubungan TM dengan fungsi survival
Misalkan terdapat ℓ0 bayi yang baru lahir dan setiap bayi diindeks dengan j =
1, 2, . . . , ℓ0. Definisikan variabel indikator
Ij(x) =
(
1, jika bayi ke-j masih hidup di usia x 0, jika bayi ke-j meninggal sebelum usia x.
Ketika Ij(x) = 1, peluang bahwa bayi tersebut masih hidup di usia x, sama saja
dengan nilai fungsi survival s(x), sehingga
P (Ij(x) = 1) = s(x) dan P (Ij(x) = 0) = 1 − s(x).
Akibatnya,
Jika Lx menyatakan jumlah bayi yang bertahan hidup sampai usia x, maka Lx = ℓ0 X j=1 Ij(x)
Karena E[Ij(x)] = s(x) maka
E[Lx] = ℓ0
X
j=1
E[Ij(x)] = ℓ0s(x).
Selanjutnya, E[Lx] disimbolkan dengan ℓx. Dengan kata lain ℓx menyatakan
banyaknya bayi yang diharapkan masih hidup sampai usia x dan
ℓx = ℓ0s(x). (2.14)
Misalkan nDx menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x dan x + n,
dan ndx menyatakan ekspektasinya. Maka
ndx = E[nDx] = ℓ0s(x) − ℓ0s(x + n) = ℓ0[s(x) − s(x + n)]
= ℓx− ℓx+n.
Ketika n = 1, 1dx cukup ditulis dx.
Penulisan tpx, tqx dan µ(x) sebagai fungsi dari ℓx:
tpx = ℓx+t ℓx , tqx = ℓx− ℓx+t ℓx , µ(x) = −ℓ ′ x ℓx Bukti tpx= s(x + t) s(x) = ℓ0s(x + t) ℓ0s(x) = ℓx+t ℓx tqx= 1 − ℓx+t ℓx = ℓx− ℓx+t ℓx µx= − s′(x) s(x) = ℓ0s′(x) ℓ0s(x) = −ℓ ′ x ℓx Akibatnya
px = ℓx+1 ℓx qx = ℓx− ℓx+1 ℓx = dx ℓx Daftar lambang
K(x) : bilangan bulat terbesar dari sisa hidup T (x) px : peluang (x) hidup setahun lagi
qx : peluang (x) meninggal dalam setahun
k|qx : peluang (x) meninggal antara usia x dan x + 1
µ(x) atau µx : peluang (x) akan meninggal dalam waktu yang sangat singkat
Lx : jumlah bayi baru lahir yang masih hidup di usia x
ℓx : jumlah bayi baru lahir yang diharapkan masih hidup di usia x nDx : banyaknya (x) yang meninggal dalam n tahun
ndx : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam n tahun
dx : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam setahun
ω : usia tertua pada tabel mortalitas
Beberapa Hukum Mortalitas 1. Hukum De Moivre (1729)
µx =
1
ω − x, dengan 0 ≤ x ≤ ω
dengan ω menyatakan usia tertua dimana seseorang masih hidup. 2. Gompertz (1825) µx = Bcx, B > 0, c > 1, x ≥ 0 3. Makeham (1860) µx = A + Bcx dengan B > 0, A ≥ −B, c > 1, x ≥ 0 4. Weibull (1939) µx = kxn dengan k > 0, n > 0, x ≥ 0
Latihan
1. Untuk soal berikut, gunakan rumus-rumus yang menyatakan hubungan laju kematian dengan FX(x), fX(x), dan s(x).
(a) Tentukan FX(x) dan fX(x) jika s(x) = e−x, x ≥ 0.
(b) Tentukan s(x) dan fX(x) jika F (x) = 1 −
1
1 + x, x ≥ 0.
2. Diberikan s(x) = 1 − x/100, untuk 0 ≤ x ≤ 100. Tentukan µ(x), FX(x), fX(x),
dan P (10 < X < 40).
3. Diberikan s(x) = (9000 − 10x − x2)/9000, untuk 0 < x ≤ 90. Tentukan q
50− µ50.
4. Diberikan s(x) =p1 − (x/100), untuk 0 ≤ x ≤ 100. Tentukan: (a). 17p19, (b). 13q36, (c). 15|13q36, (d). µ(36), (e). E[T (36)].
5. Misal µ(x) = kx, untuk x > 0 dan 10p35= 0, 81. Tentukan nilai 20p40.
6. Misal µ(x) = 0, 0001, untuk 20 < x < 25. Tentukan 2|2q20.
7. Misal variabel acak T mempunyai PDF fT(t) = ce−ct, t ≥ 0, c > 0. Tentukan
E[T ], Var(T ), median(T ), modus(T ). 8. Misal variabel acak T (x) mempunyai PDF
fT (x)(t) =
(
t
100−x, 0 ≤ t < 100 − x
1, t ≥ 100 − x Tentukan ˚ex= E[T (x)], Var[T (x)], median(T (x)).
9. Diberikan tabel mortalitas berikut:
x px ℓx dx 0 0,9 10000 . . . . 1 0,8 2 0,6 3 0,3 4 0
(a) Tentukan nilai s(x) untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 (b) Isi kolom ℓx dan dx.
10. Berdasarkan tabel pada soal sebelumnya, tentukan (a). 3d0, (b). 2q1, (c). 3p1, (d). 3q2.
11. Diberikan µx = 2 x + 1 + 2 100 − x, 0 ≤ x < 100
Tentukan banyaknya yang meninggal untuk usia antara 1 dan 4 tahun, jika ℓ0 =
10000.
12. Misal µx = k + e2x untuk x ≥ 0 dan 40p0 = 0, 5. Tentukan nilai k.
13. Diberikan
ℓx = 2500(64 − 0, 8x)1/3, 0 ≤ x ≤ 80.
Tentukan PDF, mean, dan variansi dari X.
14. Misal1|qx+1 = 0, 95,2|qx+1 = 0, 171, dan qx+3 = 0, 2. Tentukan qx+1+ qx+2.
Tugas
Buat tabel mortalitas dengan kolom-kolom x, ℓx, dx, 1000qx, yang didasarkan pada
hukum Makeham
1000µ(x) = 0, 7 + 0, 05(100,04)x.
Gunakan radix ℓ0 = 100.000 dan usia tertua ω = 100. Software yang digunakan
bebas, tetapi akan mendapatkan nilai tambah jika dikerjakan menggunakan pemro-graman macro pada MS Excel.
