TUGAS AKHIR MODUL 2 edit.docx

(1)

TUGAS AKHIR MODUL 2 TUGAS AKHIR MODUL 2

NAMA

NAMA : : PUTU PUTU CHRISTINA CHRISTINA DHARMA DHARMA ASTUTI ASTUTI PUCANGANPUCANGAN NO

NO PESERTA PESERTA : : 1922011801041192201180104199

Soal Soal

1.

1. a. Menggunakan algoritma pembagian, tentukan FPB (1488,868).a. Menggunakan algoritma pembagian, tentukan FPB (1488,868). b. Tentukan nilai m dan n sehing

b. Tentukan nilai m dan n sehingga FPB (1488,868)= ga FPB (1488,868)= 1488 x m + 868 x n 1488 x m + 868 x n .. c. Tentukan KPK [1488,868]. c. Tentukan KPK [1488,868]. 2. 2. Diketahui SPLDiketahui SPL

x  2y

x  2y =

= 00

33x + y

x + y = 0

= 0

a.

a. Tunjukkan bahwa untuk setiap nilai a, maka SPL tersebut selalu konsisten.Tunjukkan bahwa untuk setiap nilai a, maka SPL tersebut selalu konsisten. b.

b. Tentukan nilai a agar SPL tersebut hanya mempunyai solusi trivial.Tentukan nilai a agar SPL tersebut hanya mempunyai solusi trivial. c.

c. Tentukan nilai a agar SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak solusi.Tentukan nilai a agar SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak solusi. 3.

3. Buktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyaiBuktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama.

banyak vektor yang sama. 4.

4. Buktikan bahwa masalah program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidakBuktikan bahwa masalah program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas. terbatas.



::



= 3 = 3



− 4− 4



_{+ 3}_{+ 3}



− −



+ +



+ +



≤ −≤ −33 h.m h.m −−22



− 3− 3



+ 4 + 4



≤ −≤ −55 − −33



+ 2 + 2



−−



≤ −≤ −33



,y,,y,



≥≥00 5.

5. Buktikan bahwa jika G grup komutatif dengan elemen identitas e, makaBuktikan bahwa jika G grup komutatif dengan elemen identitas e, maka H = {x

(2)

Penyelesaian Penyelesaian

1.

1. a. a. Berdasarkan Teorema 2.1.6 Berdasarkan Teorema 2.1.6 (Algoritma Pembagian (Algoritma Pembagian Bilangan Bulat)Bilangan Bulat) 1488 = 868.1 + 620 1488 = 868.1 + 620 868 = 620.1 + 248 868 = 620.1 + 248 620 = 248.2 + 124 620 = 248.2 + 124 248 = 124.2 + 0 248 = 124.2 + 0

Sehingga didapat FPB (1488,868) adalah 124 Sehingga didapat FPB (1488,868) adalah 124

b. Berdasarkan Teorema 2.1.9 b. Berdasarkan Teorema 2.1.9 124 = 620 124 = 620 – – _248.2_248.2 124 = 620 124 = 620 – – ₍₈₆₈₍₈₆₈ – – _{620). 2}_{620). 2} 124 = 620. 3 124 = 620. 3 – – _{868. 2}_{868. 2} 124 = (1488 124 = (1488 – – _868.1).3_868.1).3 – – _868.2_868.2 124 = 1488.3 124 = 1488.3 – – _868.5_868.5

Sehingga berdasarkan teorema diatas, Sehingga berdasarkan teorema diatas,

FPB

FPB (1488,868) (1488,868) = = 124 124 >>>> >>>> 124 124 = = 1488.31488.3 – – 868.5 868.5 Didapat m = 3 dan n =

Didapat m = 3 dan n = – – 55

c.

c. Berdasarkan Teorema 2.1.14Berdasarkan Teorema 2.1.14

KPK

KPK [[1488,868

1488,868]] == 1488 x 868

_{FPB 1488,868}

1488 x 868

KPK

KPK [[1488,868

1488,868]] == 1488 x 868

1488 x 868

₁₂₄

KPK

KPK [[1488,868

1488,868]] =10416

=10416

2.

2. a. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap nilaia. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap nilai aa, maka SPL tersebut selalu konsisten., maka SPL tersebut selalu konsisten.

  Untuk a = 0Untuk a = 0 SPL SPL

{{2=0

2=0

3  +  = 0

(0)

(0) x x – – 2 2 y y= = 0 0 , , sehinggasehingga y y = 0 = 0 3

3 x x+ + 0 0 = = 0 0 ,, ,, sehinggasehingga x x = 0 = 0 Ini b

Ini berarti SPL erarti SPL diatas diatas memiliki solusimemiliki solusi x x = 0 dan = 0 dan y y = 0 = 0

  UntukUntuk

 ≠≠ 00

SPL SPL

{{2=0

2=0

3  +  = 0

(3)

   2  = 0 ⇔  =



_

substitusi ke persamaan ke 2: substitusi ke persamaan ke 2:

3  +  = 0

33((2

2

_{ ) +  = 0}

) +  = 0

6

 ++



 == 00

66 ++ 

 == 00

 == 00

Ini b

Ini berarti SPL erarti SPL diatas diatas memiliki solusimemiliki solusi x x = 0 dan = 0 dan y y = 0 = 0 Karena untuk kedua kondisi, yaitu untuk

Karena untuk kedua kondisi, yaitu untuk a =a = 0 dan 0 dan aa

≠≠

0 SPL tersebut memiliki solusi, 0 SPL tersebut memiliki solusi, maka SPL tersebut selalu konsisten.

maka SPL tersebut selalu konsisten.

b.

b. Suatu Suatu SPL SPL mempunyai mempunyai solusi solusi trivial trivial apabila apabila minimal minimal mempunyai mempunyai penyelesaian penyelesaian nol.nol. Pada bagian a telah diperlihatkan untuk

Pada bagian a telah diperlihatkan untuk

 ≠≠ 00

, SPL, SPL

{{2=0

2=0

3  +  = 0

memiliki memiliki solusisolusi x x = 0 = 0 dan

dan y y = 0 = 0 Jadi SPL

Jadi SPL

{{2=0

2=0

_{3  +  = 0}

memiliki solumemiliki solusi trivial si trivial jikajika

 ≠≠ 00

c.

c. Suatu SPL mempunyai tak berhingga banyak solusi apabila determinan matriksSuatu SPL mempunyai tak berhingga banyak solusi apabila determinan matriks koefisiennya adalah 0. koefisiennya adalah 0. Det A = Det A =

|| 2

2

33 11 ||

0=6

=6

Jadi SPL Jadi SPL

{{2=0

2=0

3  +  = 0

akan mempunyai tak berhingga akan mempunyai tak berhingga banyak solusi jikabanyak solusi jika aa = =



66 3.

3. Akan dibuktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hinggaAkan dibuktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama.

mempunyai banyak vektor yang sama. Ambil sembarang vektor X, Y

Ambil sembarang vektor X, Y

∈∈ 

_

sedemikian sehingga X dan Y merupakan basis dari sedemikian sehingga X dan Y merupakan basis dari





(4)

X basis maka X bebas linear dan Y basis

X basis maka X bebas linear dan Y basis maka Y bebas linearmaka Y bebas linear X basis dan Y bebas linear maka

X basis dan Y bebas linear makamm nn...(i)...(i) Y basis dan X bebas linear maka

Y basis dan X bebas linear makann mm...(ii)...(ii) Dari (i) dan (ii) maka

Dari (i) dan (ii) maka m = n.m = n.

Karena banyak vector X =

Karena banyak vector X = mm sama dengan banyak vector Y = sama dengan banyak vector Y = nn, maka terbukti bahwa, maka terbukti bahwa

semua basis dari suatu ruang vector berdimensi hingga mempunyai banyak vector yang semua basis dari suatu ruang vector berdimensi hingga mempunyai banyak vector yang sama.

sama.

4.

4. Akan dibuktikan bahwa masalah program linear berikut ini merupakan kasusAkan dibuktikan bahwa masalah program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas.

penyelesaian tidak terbatas.



::



= 3 = 3



− 4− 4



_{+ 3}_{+ 3}



− −



₊₊



₊₊



≤ −≤ −₃₃ h.m h.m −−₂₂



− 3− 3



_{+ 4}_{+ 4}



≤ −≤ −₅₅ − −33



+ 2 + 2



−−



≤ −≤ −33



,y,,y,



≥≥00 

 Masukkan variable slackMasukkan variable slack Z Z – – 3 3 x x + 4 + 4 y y – – 3 3 z z + 0S + 0S11 + 0S + 0S22 + 0S + 0S33 = 0 = 0 – – x x + + y y++ z z+ S+ S11 + 0S + 0S22 + 0S + 0S33 = = – – 33 – – ₂₂_x_x – – ₃₃_y_y_{+ 4}_{+ 4}_z_z_{+ 0S}_{+ 0S}₁₁_{+ S}_{+ S}₂₂_{+ 0S}_{+ 0S}₃₃₌₌ – – ₅₅ – – ₃₃_x_x_{+ 2}_{+ 2}_y_y – – _z_z_{+ 0S}_{+ 0S}₁₁_{+ 0S}_{+ 0S}₂₂_{+ S}_{+ S}₃₃₌₌ – – ₃₃ 

 Membuat tabel simplexMembuat tabel simplex Variabel Variabel dasar dasar X X11 XX22 XX33 SS11 SS22 SS33 NK NK Z Z -3 -3 4 4 -3 -3 0 0 0 0 0 0 00 S S11 -1 -1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 -3-3 S S22 -2 -2 -3 -3 4 4 0 0 1 1 0 0 -5-5 S S33 -3 -3 2 2 -1 -1 0 0 0 0 1 1 -3-3 

 Menentukan kolom kunci. Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai koefisienMenentukan kolom kunci. Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan bernilai negatif terbesar

fungsi tujuan bernilai negatif terbesar Variabel Variabel dasar dasar X X11 XX22 XX33 SS11 SS22 SS33 NK NK Z Z -3 -3 4 4 -3 -3 0 0 0 0 0 0 00

(5)

S S11 -1 -1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 -3-3 S S22 -2 -2 -3 -3 4 4 0 0 1 1 0 0 -5-5 S S33 -3 -3 2 2 -1 -1 0 0 0 0 1 1 -3-3 

 Menentukan baris kunci. Baris kunci adalah nilai indeks yang terkecil.Menentukan baris kunci. Baris kunci adalah nilai indeks yang terkecil.

=

_{   }

  

Variabel Variabel dasar dasar X X11 XX22 XX33 SS11 SS22 SS33 NK NK IndeksIndeks Z Z -3 -3 4 4 -3 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 --S S11 -1 -1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 -3 -3 33 S S22 -2 -2 -3 -3 4 4 0 0 1 1 0 0 -5 -5 5/25/2 S S33 -3 -3 2 2 -1 -1 0 0 0 0 1 1 -3 -3 11 

 Nilai baris Nilai baris kunci baru didapat kunci baru didapat dengan membagi nilai dengan membagi nilai baris kunci labaris kunci lama dengan angkama dengan angka kunci. Sementara nilai baris yang lain = nilai baris lama

kunci. Sementara nilai baris yang lain = nilai baris lama – – _{(koefisien pada kolom}_{(koefisien pada kolom} kunci

kunci x x nilai baris baru kolom kunci) nilai baris baru kolom kunci)

Variabel Variabel dasar dasar X X11 XX22 XX33 SS11 SS22 SS33 NK NK Z Z 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1-1 S S11 0 0 1/3 1/3 4/3 4/3 1 1 0 0 -1/3 -1/3 8/38/3 S S22 0 0 -13/3 -13/3 14/3 14/3 0 0 1 1 -2/3 -2/3 11/611/6 X X33 1 1 -2/3 -2/3 1/3 1/3 0 0 0 0 -1/3 -1/3 11 

 Karena koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada yang negatif. Sehingga prosesKarena koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada yang negatif. Sehingga proses dihentikan.

dihentikan.

Terlihat program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas Terlihat program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas karena untuk X

karena untuk X11 dan X dan X22 belum dilakukan proses iterasi. belum dilakukan proses iterasi.

Angka Kunci Angka Kunci

(6)

5.

5. Akan dibuktikan bahwa jika G grup komutatif dengan elemen identitas e, makaAkan dibuktikan bahwa jika G grup komutatif dengan elemen identitas e, maka H = {