MATLAN_06_DERET PANGKAT & TAYLOR + FOURIER

(1)

4.2. DERET PANGKAT 4.2. DERET PANGKAT

Deret pangkat dari (x-m) merupakan deret tak Deret pangkat dari (x-m) merupakan deret tak hingga yang bentuk umumnya adalah :

hingga yang bentuk umumnya adalah :

( 4-1 ) ( 4-1 ) C

C₁₁, C, C₂₂,... ,... = = konstanta konstanta disebut disebut koefisien koefisien deretderet m

m = = konstanta konstanta disebut disebut titik titik pusatpusat ((centercenter) deret) deret

z

z = = VVaarriiaabbeell i

i = = BiBilalangngan an inintetegeger r poposisititipp Bila m = 0,

Bila m = 0, terbentuk deret pangkterbentuk deret pangkat khususat khusus ((particularparticular) dari z) dari z

( 4-2 ) ( 4-2 ) i i 22 i i 00 11 22 i i 00 C C ((z z mm) ) C C C C ((z z mm) ) C C ((z z mm) ) ... ∞ ∞ = =

− =

− = +

+

−

− +

+

−

− +

+

∑

i i 2 2 22 i i 00 11 22 33 i i 00 C C z z C C C C z z C C z z C C z z ... ∞ ∞ = =

=

= +

+ +

+

∑

(2)

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA- UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA 4.2.1. Konver

4.2.1. Konvergensi Dgensi Dereteret Teorema 1

Teorema 1

Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada titik

titik z = z = a, maka a, maka deret deret itu itu akan kakan konvergenonvergen untuk setiap z bila :

untuk setiap z bila :

Ini

Ini menunujukkan menunujukkan bahwa bahwa setiap setiap z z berada berada didi dalam lingkaran yang melewati z

dalam lingkaran yang melewati z_o_o di sekitar a.di sekitar a. Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen

Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen untuk z

untuk z_o_o, berlaku :, berlaku :

Bila diimplemantasikan untuk z =z

Bila diimplemantasikan untuk z =z_o_o, maka, maka deret jadi dibatasi, misal :

deret jadi dibatasi, misal :

Sehingga dapat dibentuk Sehingga dapat dibentuk

n n nn n n nn n n n n 00 0 0 00 zz--a a zz--aa C C ((zz--aa) ) = = C C ((z z --aa) ) < < MM z z --a a z z --aa

⎛

⎞⎞

⎜

⎟⎟

⎝

⎠⎠

C C_n_n(z(z_o_o – a)– a)nn

→

_{0 untuk n}_{0 untuk n}

→ ∞

|C

|C_n_n(z(z_o_o – a)– a)nn _{|< M}_{|< M untu}_{untuk se}_{k setiap}_{tiap n =}_{n = 0,1,}_{0,1, 2....}_2... |z-a| < |z

(3)

4.2.1. Konver

4.2.1. Konvergensi Dgensi Dereteret Teorema 1

Teorema 1

Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada titik

titik z = z = a, maka a, maka deret deret itu itu akan kakan konvergenonvergen untuk setiap z bila :

untuk setiap z bila :

Ini

Ini menunujukkan menunujukkan bahwa bahwa setiap setiap z z berada berada didi dalam lingkaran yang melewati z

dalam lingkaran yang melewati z_o_o di sekitar a.di sekitar a. Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen

Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen untuk z

untuk z_o_o, berlaku :, berlaku :

Bila diimplemantasikan untuk z =z

Bila diimplemantasikan untuk z =z_o_o, maka, maka deret jadi dibatasi, misal :

deret jadi dibatasi, misal :

Sehingga dapat dibentuk Sehingga dapat dibentuk

n n nn n n nn zz--a a zz--aa C C ((zz--aa) ) = = C C ((z z --aa) )

⎛

_⎜

⎞⎞

_⎟⎟

< < MM C C_n_n(z(z_o_o – a)– a)nn

→

_{0 untuk n}_{0 untuk n}

→ ∞

|C

|C_n_n(z(z_o_o – a)– a)nn _{|< M}_{|< M untu}_{untuk se}_{k setiap}_{tiap n =}_{n = 0,1,}_{0,1, 2....}_2... |z-a| < |z

(4)

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA- UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA Karena itu :

Karena itu :

( 4-3 ) ( 4-3 ) Jika

Jika diasumsikan diasumsikan |z-a| |z-a| < < |z|z_o_o – a|, maka dapat– a|, maka dapat dibentuk pertidaksamaan (

dibentuk pertidaksamaan (inequalityinequality) :) :

Dengan pertidaksamaan di atas terbukti bahwa Dengan pertidaksamaan di atas terbukti bahwa deret (pers. 4-1 ) akan konvergen jika :

deret (pers. 4-1 ) akan konvergen jika :

Ruas kanan pers (4-3) adalah

Ruas kanan pers (4-3) adalah deret geometrisderet geometris yang konvergen.

yang konvergen.

Ruas kiri pers. (4-3) juga merupakan deret yang Ruas kiri pers. (4-3) juga merupakan deret yang konvergen. konvergen. n n nn n n n n n n == 00 nn == 00 0 0 nn == 00 00 z z - - a a z z - - aa C C ( ( z z - - a a ) ) = = M M = = MM z z - - a a z z - - aa ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞

∑

0 0 z z - - aa < < 11 z z - - aa |z-a| < |z

(5)

Dari teorema 1:

Untuk seluruh z di dalam lingkaran, dengan radius R dan pusat a, berlaku :

Deret akan konvergen bila

( 4-4 ) Deret akan divergen bila

Disebut Lingkaran Konvergensi bila R disebut Radius Konvergensi

A. B.

Gbr. 4.1. Lingkaran dan interval konvergensi

| z-a | < R a R x y | z-a | > R | z-a | = R a-R a+R x

(6)

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA Teorema 2 (Radius Konvergensi)

Bila terdapat urutan (squence) , n= 1, 2, ...

Akan kovergence dengan limit L dan radius R pun akan konvergen pula, jika :

( 4-5a ) Termasuk di dalamnya L = 0 ketika R =

∞

Bila sequencenya tidak konvergen tapi nilainya terbatas, berlaku rumus Cauchy - Hadamard

( 4-5b ) adalah titik limit terbesar dari sequence.

Bila sequence tak terbatas, maka R = 0 dan deret hanya akan konvergen pada z = a.

n n

c

1 R

L

=

1 R

=

 

(7)

Teorema 3 (Produk Cauchy dari Deret Pangkat) Produk Cauchy (Cauchy Product) dari 2 buah

deret pangkat merupakan konvergensi mutlak setiap z di dalam lingkaran konvergen dari

masing-masing deret konvergen.

Bila jumlah masing-masing deret tersebut g(z) dan h(z), maka Produk Cauchy berjumlah :

( 4-6 ) Contoh Soal :

1. Konvergensi pada sebuah pringan. Deret geometri

Konvergen mutlak ketika |z| < 1 dan divergen ketika |z| > 1.

2. Konvergensi pada seluruh bidang terbatas. Deret Pangkat m 2 3 m z 1 z z z ... ∞

= + + +

∑

s(z) = g(z)h(z) n 2 3

z

1 z

...

∞

= + + +

∑

(8)

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

Persamaan tersebut akan konvergen mutlak

untuk setiap bidang (terbatas) z ,

3. Konvergen hanya pada titik pusat

konvergen hanya pada titik z = 0, tetapi

divergen untuk setiap z

≠

0, karena :

z

≠

0 (fixed) 4. Produk Cauchy Deret geometris 1 + z + z2 _{+ z}3 _{+ ...} berjumlah 1/(1-z) ketika |z| < 1 = 1 + 2z + 3z2 _{+ ...=}

(

)

n 1 n n z z n 1 ! = 0 ; n n+1 z n ! + ∞ + → → ∞

∑

(

)(

)

2 k m 2 2 k 0 m 0 1 z z 1 z z .... 1 z z .... 1 z ∞ ∞ = =

⎛

⎞

=

= + +

+ +

⎜

₋

⎟

⎝

⎠

∑ ∑

n 1 n m (n 1)! . z (n 1) z ; n n ! . z + ∞

₊

= +

→ ∞

∑

n 2 3 n n !.z 1 z 2z 6z ... ∞

= + +

+

∑

(

)

n n 0 n 1 .z ; ( z 1) ∞ =

+

<

∑

(9)

4.2.2 REPRESENTASI FUNGSI DENGAN DERET PANGKAT

Misalkan adalah deret pangkat tak

tentu dengan radius R

≠

0, konvergen.

Jumlah fungsi ini merupakan fungsi z ; f(z)

( 4-7 )

Teorema 1 (Kontinyuitas)

Fungsi f(z) dengan R > 0 akan kontinyu pada z = 0

( 4-8 )

Teorema 2 (Teorema identitas deret pangkat)

Misalkan terdapat 2 buah deret :

dan n n n 0 c z ∞ =

∑

n n n 0

a . z

∞ →

∑

n 2 3 n 0 1 2 3 n 0

f(z)

c .z c c c z c z ... ( z R)

∞ =

=

∑

= + + + +

<

0 z 0

lim f(z) = f(0) = c

→ n n n 0 b . z ∞ →

∑

(10)

Bila kedua deret identik, maka :

a_n = b_n ( 4-9 ) untuk seluruh n = 0,1,2... a₀ + a₁z + a₂z2 _{+ ...= b} 0 + b1z + b2z2 + ... ( 4-10 ) Untuk |z| < R ( 4-11 )

Disebut sebagai deret pengembangan dari deret pangkat tersedia.

Teorema 3 (Differensiasi)

Deret pengembangan dari deret pangkat

memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret asli (original) nya.

n 1 2 n 1 2 3 n

n.c . z

c + 2 c z + 3 c z +...

∞ −

₌

∑

(11)

Teorema 4 (Integrasi)

Misalkan sebuah deret pangkat

Deret pangkat tersebut dibentuk oleh penginte-grasian deret c + c₁z + c₂z2 _{+ .... tahap demi}

tahap, memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originaknya.

Teorema 5 (Fungsi Analitis. Penurunan)

Deret pangkat dengan radius konvergensi R

≠

0 merepresentasikan fungsi analitis pada setiap titik di dalamnya hingga membentuk lingkaran konvergensi. Penurunan fungsi ini akan diben-tuk oleh diferensiasi deret original tahap demi tahap ; Seluruh deret yang dibentuk memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originalnya. ( 4-12a ) n n n 1 n

b

a

na

(b a)A

b a

−

= −

−

n 1 2 3 n 1 2 0 n 0

c

.z

c z

z

n

1

2

3

∞ + =

= + + +

+

∑

(12)

dan

( 4-12b ) ( 4-13 )

n-1 = koefisien terbesar 1, 2, 3 ..., n-1. n = jumlah tahapan (term).

Deret dalam pers. (4-13) berhubungan erat

dengan penurunan kedua deret yang memper-hitungkan titik pada R₀.

Penurunan ke m fungsi f(m)(z) direpresentasi-kan oleh : ( 4-14 ) n - 2 n - 3 n - 4 n - 2 n 2

A = b + 2 ab

+ 3 a b

+...+ (n-1) a

(m) n m n n m

f (z)

n( n-1 ) ...( n - m + 1 ) c z

∞ − =

=

∑

( )

n - 2 n 0 n 2 z c n n-1 R ∞ =

∆

∑

(13)

4.2.3. SOLUSI PD DENGAN DERET PANGKAT

Menyelesaikan PD dengan mencari harga-harga koefisien yang tak diketahui setelah fungsi PD berubah bentuk menjadi deret pangkat.

Langkah-langkah peneyelesaian PD :

1. Representasikan fungsi persamaan dalam bentuk deret pangkat x atau (x-m).

2. Diferensialkan (tingkat pertama) fungsi y di atas, sehingga berbentuk :

3. Diferensilkan kembali (tingkat kedua dst) fungsi y tersebut.

4. Samakan dengan nol (Nolkan) semua koefi-sien yang tak diketahui setelah dalam bentuk deret pangkat. Selesaikan PD.

2 3 m 0 1 2 3 m m 0 y c c x c x c x ... c x ∞ =

= + +

+

+ =

∑

2 m 1 1 2 3 m m 0

y' c 2c x 3c x ...

mc x

∞ − =

= + +

+ =

∑

m 2 2 3 m m 0

y '' 2c 6c x ...

m(m 1)c x

∞ − =

= + + =

∑

−

(14)

Contoh Soal dan Penyelesaian

1. Carilah solusi dari PD berikut ini : y’ – y = 0

Jawab :

Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat.

(c₁ + 2c₂x + 3c₃x2 _{+ ...) – (c}

0+ c1x + c2x2 +

c₃x3 _{+...) = 0}

(c₁-c₀) + (2c₂-c₁) x + (3c₃-c₂) x2 _{+ ... = 0}

Samakan koefisien-koefisien persamaan dengan nol c₁ - c₀ = 0 ; 2c₂ - c₁ = 0 ; 3c₃ - c₂ = 0 c₁ = c₀ ; c₂ = c₁/2 = c₀/2! ; c₃ = c₂/3 = c₀/3! 2 3 0 0 0 0

c

z

y c c x

x

x ...

2!

3!

= + +

+

2 3 z 0 0

1

1 y c (1 x

x

x ... x e

2!

3!

= + +

+ +

=

(15)

2. Carilah solusi dari PD berikut ini y” + y = 0

Jawab :

Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat. (2c₂ + 3.2c₃x + 4.3c₄x2 _{+ ...) + (c} 0+ c1x + c2x2 + c₃x3 _{+...) = 0} (2c₂ + c₀)+(3.2c₃ + c₁)x +(4.3c₄ + c₂)x2 _{+ ...= 0} 2c₂ + c₀ = 0 ; 3.2c₃ + c₁ = 0 ; 4.3c₄ + c₂= 0 c₂ = -( c₀ /2! ) ; c₃ = -(c₁/3!) c₄ = -[c₂/(4.3)] = -(c₀ /4!) 2 3 4 0 1 0 0 1 c c c y c c x x x x ... 2! 3! 4!

= + −

−

+

(16)

Solusi Umum : y = cos x + sin x

3. Carilah solusi dari PD berikut ini (x+1)y’ – (x+2)y = 0 Jawab :

Penyelesaian dng pendekatan deret pangkat. (x+1)(c₁ + 2c₂x + 3c₃x2 _{+…..) -(x+2)(c} 0 + c1x + c₂x2 _{+ ….. ) = 0} c₁ x + 2c₂x2 _{+ 3c} 3x3 + 4c4x4 + 5c5x5 +..+ mcmxm + c₁+ 2c₂x + 3c₃x2 _{+ 4c} 4x3+ 5c5x4 + 6c5x5 + (m+1)c_m+1xm _{+ ….c} 0 x - c1x2 - c2x3 - c3x4 - c4x5 – ... - c_m-1xm _{- …2c} 0 -2c1x - 2c2x2 - 2c3x3 -2c4x4 -...-2c_mxm _{-… = 0} 2 3 4 0 3 5 1 1 1 1 y c (1 x x x ... ....) 2! 3! 4! 1 1 c (x- x + x -...+...) 3! 5!

= −

+

− + +

(17)

c₁ - 2c₀=0 ; 2c₂ – c₁ – c₀=0 ………dst mc_m+ + (m+1)c_m+1 – c_m-1xm _{- 2c} m = 0 ( 4-15 ) c₁ = 2c₀ ; ( 4-16a ) ( 4-16b ) m = konstanta integer = 1,2………

[

]

m 1 0 m 1 m

1 c

c x

c

(2 m)c

m 1

+

= +

+

+ −

+

(18)

Rumus (4-16b) disebut Rumus Rekursi.

Dengan rumus ini dapat dihitung c2, c3, …dst., dapat pula menggunakan tabel di bawah ini :

m _C m-1 (2-m)Cm Jumlah S+1 C_m+1 sebagai fungsi C₀ 1 _C 0 C1 C0+C1 2 C₁= 2 C₀ 2 _C 1 0 C1 3 3 _C 2 -C3 C2-C3 4 … …. ………… ………… …… ………… ………… S 1 Jumlah C S 1 + = + 0 1 C C 2 + 2 C ₂ 3 C₀ 2 = 1 C 3 3 0 2 C C 3 = 4 0 5 C C 24 = 3 2 C C 4 − 4

(19)

Solusi umum, lihat persamaan umum soal no. 1 dan tabel rekursi

atau

y= c₀ ( 1 + x ) ex

SOAL-SOAL LATIHAN (DERET PANGKAT) Carilah solusi PD di bawah ini dengan pendekatan deret pangkat

1. y’ = 3y 6. ( 1-x2 _{) y’= y}

2. y’ + 2y = 0 7. y”- y = 0 3. y’ – 2xy = 0 8. y”- y’ = 0 4. y’ – xy = 0 9. y”+ 9y = 0

5. (1-x)y’=y 10. y”+ 2y’= 0

2 3 4 0

3

2

5 y c (1 2x

x

x ....)

2

3

2 = + +

+ +

+

(20)

4.3.1 Konsep Dasar

Bila f(z) berada di dalam domain D dan z = a pada setiap titik di dalam lingkatran C, dan

sebuah lingkaran denan pusat a, maka menurut Cauchy:

(4.3-1)

Z = sembarang titik di dalam lingkaran C Z* = variabel kompleksintegrasi c 1 f (z*) f (z) d(z) 2 i z * z

=

π

∫

−

z z* a C x y

•

(21)

Jika pada pers.(4.3-1) dikembangkan 1/(z*-z) sebagai fungsi z-a, maka didapatkan :

(4.3-2) Selanjutnya diasumasikan z* pada lignkaran

dan z di dalam lingkaran C.

Sehingga (4.3-3)

Dari persamaan deret geometris

; q

≠

1

Sehingga dapat dibuat hubungan

n 1 n

1 q

1 q ... q

1 q

+

= + +

+ +

−

n 1 2 n

1 q

1 q q ... q

1 q

+

−

+ + + + =

−

(

)

1 1 1 z a z * z z * a (z a) z * a 1 z * a

=

−

− − −

₋

⎛

₋

⎞

⎜

₋

⎟

⎝

⎠

z

a

1 z * a

−

<

−

(22)

Jika didefinisikan q =(z-a)/(z*-a), maka :

Substitusikan ke dalam pers.(4.3-1) dan

keluarkan (z-a) dari tanda integral, sehingga :

(4.3-4) Bagian akhir dari funsi di atas adalah :

(4.3-5)

(

)

(

)

(

)

2 C C n n n 1 C 1 f (z*) z a f (z*) f (z) dz * dz * .... 2 i z * a 2 i _{z * a} z a _{f (z*)} dz * R (z) 2 i _{z * a} +

−

=

+

π

−

π

₋

−

+

π

₋

∫

( ) ( )

n 1 n _{n 1} C (z a) f (z*) R (z) dz* 2 i _{z a} _{z* z} + +

−

=

π

∫

₋

[

]

[

]

(

)

2 n n 1 1 1 (z a) /(z * a) z a z a z a 1 ... z * a z * a z * a (z a) /(z * a) z * z / ( z * a ) +

=

−

_⎛

−

_⎞

_⎛

−

_⎞

+

_⎜

_⎟

+

_⎜

_⎟

+

−

_⎝

−

_⎠

_⎝

−

_⎠

−

(23)

Dengan penurunan dan analitis, maka fungsi di atas berkembang menjadi :

( 4.3-6) Persamaan (4.3-6) adalah rumus Taylor atau

Deret Taylor dengan pusat a.

Bentuk umum Deret Taylor adalah sebagai berikut :

( 4.3-7)

Bila a = 0, maka deret (pers. 4.3-7) disebut dengan Deret Maclaurin.

(

)

(m) m m 0

f (a)

f(z)

z a

m!

∞ =

=

∑

−

(

)

(

)

2 n (n) z a z a

f (z) f (a) f '(a) f ''(a) ...

1! 2! z a f (a) n!

−

=

+

−

+

(24)

Dari persamaan-persamaan di atas diketahui bahwa pada Deret Taylor fungsi f(z) dapat di-turunkan berdasarkan variabel bebasnya sampai pada tingkat tak hingga.

Teorema Taylor

1. Bila f(z) terletak di dalam domain D dan z=a adalah sembarang titik di dalam

domain D tersebut, maka f(z)

sebenarnya merupaka bentuk deret

pangkat.

2. Setiap deret pangkat dengan radius

konvergen tidak nol (R_c = 0), maka

deret pangkat tersebut adalah deret

Taylor.

4.3.2. Fungsi-fungsi Elementer Deret Taylor

a. Deret Geometris ; |z|<1 (4.3-8) n 2 n 0 1 z 1 z z ... 1 z ∞ =

=

= + + +

−

∑

(25)

b. Fungsi Eksponensial

(4.3-9)

c. Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik

(4.3-10) (4.3-11) 2n 2 4 n = 0 z z z cosh z = 1 + + + ... (2n)! 2! 4! ∞

=

∑

2n+1 3 5 n n = 0 z z z sin z (-1) = z - + - + ... (2n+1)! 3! 5! ∞

=

∑

n 2 z n=0 z z e 1 z ... n! 2! ∞

=

∑

= + + +

2n 2 4 n n 0 z z z cos z (1) 1 ... (2n)! 2! 4! ∞ =

=

∑

= − + −

+

2n + 1 3 5 n=0 z z z sinh z = z + + + ... ( 2n + 1 ) ! 3! 5! ∞

=

∑

(26)

d. Fungsi Logaritmik

(4.3-12)

(4.3-13)

(4.3-14) Untuk seluruh persamaan di atas |z|< 1

2 3 n z z z ln(1 z) z .... + 2 3 n

+ = −

+

− +

2 3 n 1 z z z ln(1 z) ln = z ... 1 z 2 3 n

− − =

+ + + +

−

3 5 n (1 z) z z z ln 2 z ... (1 z) 3 5 n

⎛

⎞

+

=

_⎜

+ + + +

_⎟

−

_⎝

_⎠

(27)

Contoh Soal dan Penyelesaian

1. f(x) = ex _{, uraikan menurut deret Maclaurin}

pada titik x=0 Jawab :

f(x) = ex _{f(0) = 1}

f’(x) = ex _{f’(0) = 1}

f’’(x) = ex _{f’’(0) = 1}

2. f(x) = sin x, uraikan dengan deret Taylor pada x = (

π

/4) ! Jawab : f(x) = sin x f(

π

/4) = ½

√

2 f’(x) = cos x f’(

π

/4) = ½

√

2 f’’(x) = -sin x f’’(

π

/4) = -½

√

2 f’’’(x) = sin x f’’’(

π

/4) = -½

√

2 x f '(0) f ''(0) e = f(0) + x + ... 1! 2!

+

2 3 x x x e = 1 + x + + + ... 2! 3!

(28)

sin x = f(x -

π

/4)

SOAL-SOAL LATIHAN ( DERET TAYLOR )

Uraikan dengan deret Taylor atu Maclaurin 1. cos 2x , a = 1 7. ex _{, a=1}

2. sin x2 _{, a = 0} _{8. e}x _{, a=0}

3. cos x , a = -

π

/4 9. 1/(a-x) , a=1 4. sin x , a =

π

/2 10. 1/(a-x) , a = ½ 5. cos2 _{x , a = 0} _{11. 1/z} _{, a = - 1} 6. sin2 _{x , a = 0} _{12. e}x _{, a=}

π

2 f '( ) f "( ) 4 4 sin x = f( ) + (x- ) + (x- ) +.... 4 1! 4 2! 4

π

2 3 n 1 1 2 2 1 ₂ ₂ sin x = 2 + (x - ) - (x - ) -2 1! 4 2! 4 1 1 2 2 2 _{(x -} _{) + ...+}2 _{(x -} ₎ 3! 4 n! 4

π

(29)

4.4. DERET FOURIER

Bila terdefinisikan suatu fungsi (t) yang

periodik dengan harga real pada sumbu x dan periode T serta kontinyu pada interval :

( 0,T )

dan (-T/2, T/2)

Maka fungsi tersebut dapat dituliskan dengan :

(4.4-1) dengan : (4.4-2) (4.4-3) (4.4-4) n = 1, 2, 3, ... T n 0 0

2 B

f (t) sin n. t dt

T

=

∫

ω

[

n o n o

]

n 1

Ao

f (t)

A cos n. t B sin n. t

2

∞ =

=

+

∑

ω

+

ω

T o 0 2 A f (t) dt T

=

∫

T n 0 0 2 A f (t) cos n. t dt T

=

∫

ω

(30)

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA Contoh : Interval : Periode T ditentukan ; T = 8 T 0 0

2 A

f (t) dt

T

=

∫

( -4 , 4 )

8 ; 0 < t < 4

f (t) =

( 0 , 8 )

-8 ; -4 < t < 0

⎫

⎧

⎬

⎨

⎭

⎩

4 0 0 4 2 = 8 dt 8 dt T ₋

⎡

⎤

+ −

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

∫

⎦

[

]

4 0 0 4

2 = ( ) .8 (t) t

= 2 4 - ( 0+4 ) = 0

8

−

⎡

₋

⎤

⎣

⎦

8 -4 4 8 -8 0

(31)

[

n o n o

]

n 1

Ao

f (t)

A cos n. t B sin n. t

2

∞ =

=

+

∑

ω

+

ω

[

]

4 0 n 0 4

2

2 B

8 sin

n.t dt

8 sin

n.t dt

8

16 1 cos n

n

−

⎡

_π

⎤

=

_⎢

−

_⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

=

−

π

∫

4 0 n 0 4

2

2 A

8 cos n

t dt

8 cos n

t dt

0

8

₋

8 ⎡

_π

⎤

=

_⎢

−

_⎥

=

⎢

⎥

⎣

∫

⎦

n 1 16 f (t) (1 cos n. ) sin n t n. 4 16 2 3 2 5

2 sin t sin t sin t .... 4 3 4 5 4 ∞ =

π

⎡

⎤

=

_⎢

−

π

_⎥

π ⎣

⎦

π

⎡

⎤

=

_⎢

+

_⎥

π ⎣

⎦

∑

(32)

4.4.1. FUNGSI DENAP DAN FUNGSI GANJIL A. Fungsi Genap

Fungsi genap f(t) dalam Deret Fourier

merupakan fungsi cosinus, lihat pers. 4.4.-1

( 4.4-5 )

B. Fungsi Ganjil

Fungsi ganjil f(t) dalam Deret Fourier

merupakan fungsi sinus, lihat pers. 4.4.-1

( 4.4-6 )

4.4.2. DIFERENSIAL DAN INTEGRAL A. Diferensial Bila :

[

n o n o

]

n 1

Ao

f (t)

A cosn. t B sin n. t

2

∞ =

=

+

∑

ω

+

ω

[

n o n o

]

n 1

d

f '(t)

A cos n. t B sin n. t

dt

∞ =

=

∑

ω

+

ω

T n 0

2 Bn

f (t) sin n. t dt

T

=

∫

ω

T n n 0

2 A

f (t) cos n. t dt

T

=

∫

ω

( 4.4-7 )