QUASI-STABIL
CECEP A.H.F. SANTOSA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
©Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008
Hak Cipta dilindungi undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
QUASI-STABIL
CECEP A.H.F. SANTOSA
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Modifikasi
Metode Rele untuk Penduduk Quasi-Stabil adalah karya saya sendiri dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir thesis ini.
Bogor, Februari 2008
Cecep A.H.F. Santosa
NIM. G551050041
CECEP A.H.F. SANTOSA. Modification of Rele’s Method for Quasi-Stable
Population Model. Under the supervision from HADI SUMARNO and N.K. KUTHA
ARDANA.
Due to the difficulty to find a vital statistic in the most countries, especially in
underdeveloped countries, this study was developed to find a relationship between
fertility measure derived from census data such as Child-Woman Ratio (CWR) and
combination of vital statistic and census data (direct measure) such as Gross
Reproduction Rate (GRR). In 1967, Rele developed indirect measure of fertility
method to find GRR from CWR and expected life at birth using stable population
model.
The main objective of this paper is to modify of Rele method using
quasi-stable population model and compare the result of estimation GRR of each models.
This paper determine the ultimate age distribution of stable and quasi-stable
population models. Next, CWR from number of age distribution and model relation
between GRR and CWR was computed, this result is called original model.
Furthermore, the original model was developed to find the relation between GRR and
CWR and compare to the original model.
From the comparison between the models and the actual data, the quasi-stable
population model is better than the stable population model.
Keyword: vital statistic gross reproduction rate, stable population, quasi-stable
CECEP A.H.F. SANTOSA. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk
Quasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N.K. KUTHA ARDANA.
Didasari oleh kesulitan untuk memperoleh data vital statistic untuk penduduk
di hampir semua negara terutama di negara-negara berkembang, penelitian ini
dikembangkan untuk mencari hubungan antara ukuran fertilitas yang diturunkan dari
data sensus seperti Child-Woman Ratio (CWR) dan ukuran fertilitas yang
dikembangkan dari kombinasi vital statistic dan data sensus (ukuran langsung) seperti
Gross Reproduction Rate (GRR). Pada tahun 1967, Rele mengembangkan suatu
metode tidak langsung untuk mencari nilai GRR dari CWR dan angka harapan hidup
saat lahir (e
00) dengan menggunakan model populasi stabil. Intinya metode Rele
merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai GRR dari nilai CWR
dan nilai e
00. Dasar yang digunakan untuk menghitung CWR dalam metode Rele
adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur berdasarkan model
penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh dengan mencari tingkat
pertumbuhan penduduk (r) untuk model penduduk stabil, menentukan GRR dan nilai
e
00, dan nilai L
i(penduduk tengah tahun umur i) berdasarkan pada nilai e
00. Dari
sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai CWR.
Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan antara GRR dan CWR
Tujuan utama dari thesis ini adalah memodifikasi metode Rele dengan
menggunakan model penduduk quasi-stabil dan membandingkan hasil dugaan GRR
untuk masing-masing model. Pada model penduduk stabil, fertilitas dan mortalitas
diasumsikan konstan, sedangkan pada model penduduk quasi-stabil diasumsikan
fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti
diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari
naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan
penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju
tersebut maka dipakai notasi r
puntuk laju pertumbuhan penduduk dan r
buntuk laju
kelahiran bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan
nr
e
t
B
n
t
B
(
+
)
=
(
)
pada model penduduk stabil akan berubah menjadi
b nre
t
B
n
t
B
(
+
)
=
(
)
. Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t
dinotasikan r
p(t), sehingga total penduduk pada tahun t+n adalah:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = +
∫
+n t t p ds s r t P n t P( ) ( )exp ( )Ringkasnya, pada penduduk stabil
r
b=
r
p(
t
)
=
r
sedangkan pada penduduk
quasi-stabil
r
p(
t
)
>
r
buntuk semua t jika laju kematian sesaat
(
μ
x)
turun dan
r
p(
t
)
<
r
buntuk semua t jika laju kematian sesaat
(
μ
x)
naik.
Pada thesis ini dihitung sebaran umur untuk model penduduk stabil dan
quasi-stabil. Selanjutnya dihitung CWR dari jumlah sebaran umur dan dicari pula model
hubungan antara GRR dan CWR untuk kedua model penduduk tersebut, hasil dari
pengembangan.
Dalam kondisi penduduk stabil, hubungan antara Child Woman Ratio (CWR)
dengan Gross Reproduction Rate (GRR) adalah :
T r
e
G
K
X
=
* Δdengan X = CWR, G = GRR, K
*=K S
w(T) merupakan konstanta, r menyatakan laju
pertumbuhan penduduk stabil dan GRR akan linier terhadap CWR jika
ΔTmendekati nol.
Dengan menerapkan model di atas pada penduduk quasi-stabil, dengan laju
kematian sesaat menurun secara linier sebagai berikut:
kt
a
t
a
x x(
+
)
=
μ
(
)
−
μ
dan faktor perbaikan mortalitas yang dipilih k = 0.0002, maka diperoleh hubungan
antara GRR dengan CWR untuk masing-masing e
00. Hasil dari pendugaan nilai GRR
tersebut kemudian dibandingkan dengan data yang tersedia, ternyata dugaan GRR
dengan menggunakan model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan
dugaan ketika menggunakan model penduduk stabil.
Model GRR dengan menggunakan satu peubah, yaitu CWR untuk
masing-masing e
00yang telah diperoleh sebelumnya, kemudian dikembangkan sehingga
untuk menduga GRR cukup hanya dengan satu persamaan saja. Model GRR hasil
modifikasi tersebut ternyata tidak berbeda dengan model awal yang diperoleh, hal
tersebut dilihat dari nilai proportional error dan R
2terkoreksi untuk masing-masing
model. Sehingga model yang digunakan untuk menduga GRR cukup dengan satu
persamaan, yaitu:
0 0 0 0 0.0255 00643 . 0 55 . 5 217 . 0 CWR e CWRe GRR= + − −Untuk Indonesia, berdasarkan fakta bahwa pertumbuhan penduduk setiap
periode selalu mengalami perubahan, maka jelas bahwa Indonesia tidak tepat jika
didekati dengan model penduduk stabil, model yang paling mendekati keadaan di
Indonesia adalah model quasi-stabil dengan nilai faktor perbaikan mortalitas k dapat
diduga dengan persamaan
k = -0.163 + 0.000083 t, dimana t adalah tahun.
Kata kunci : vital statistic, gross reproduction rate, model penduduk stabil, model
NIM : G551050041
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota
Diketahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
Dekan Sekolah Pasca Sarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2007 ini adalah Modifikasi Metode Rele untuk Penduduk Quasi-Stabil.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir penulis sampaikan terima kasih kepada Ayah, Ibu, Istri, serta seluruh keluarga, atas do’a dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2008
Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 5 Januari 1981 dari ayah Drs. Maman Sholehuddin S.A. dan Ibu Yeyet Rohayati. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara.
Tahun 2000 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Subang Jawa Barat dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada program studi dan pada perguruan tinggi yang sama diperoleh pada tahun 2005.
Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta sejak Agustus 2006. Mata Kuliah yang diajarkan adalah Matematika Dasar dan Aljabar Linear.
Halaman DAFTAR TABEL ... ix DAFTAR GAMBAR ... x DAFTAR LAMPIRAN ... xi PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 3 ALUR PENELITIAN ... 4
MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN 3.1 Ukuran Fertilitas ... 5
3.2 Model Pertumbuhan Penduduk ... 7
3.2.1 Model Penduduk Stabil ... 7
3.2.2 Pendugaan GRR dengan Metode Rele ... 11
3.2.3 Modifikasi Metode Rele dengan Menggunakan Penduduk Quasi- Stabil ... 12
3.2.4 Laju Kelahiran Intrinsik Penduduk Quasi-Stabil ... 13
PEMBAHASAN ... 4.1 Tingkat Pertumbuhan Penduduk ... 15
4.2 Pembentukan Populasi Penduduk ... 15
4.3 Hubungan GRR dan CWR ... 17
4.4 Analisis Regresi ... 19
4.5 Kasus di Indonesia ... 29
KESIMPULAN DAN SARAN ... 33
DAFTAR PUSTAKA ... 35
Halaman
1. Rata-rata tingkat kelahiran menurut sebaran umur wanita (Rele 1967) ... 16 2. Nilai proportional error nilai dugaan terhadap nilai aktual untuk masing- masing model penduduk ... 23 3. Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR tanpa memperhatikan nilai e00 ... 24
4. Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00 ... 26
5. Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00 ... 27
6. Perbandingan nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk semua bentuk hubungan GRR = f(CWR, e00) ... 28
Halaman
1. Alur Penelitian ... 4
2. Alur Penelitan Metode Rele ... 11
3. Hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dan Gross Reproduction Rate GRR berdasarkan angka harapan hidup (e00) untuk penduduk stabil ... 20
4. Hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dan Gross Reproduction Rate GRR berdasarkan angka harapan hidup (e00) untuk penduduk quasi-stabil 20 5. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk e00=60 ... 21
6. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi stabil ... 22
7. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk e00=70 ... 22
8. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk e00=70 ... 23
9. Tebaran GRR=f(CWR, e00) untuk model penduduk stabil ... 25
10. Tebaran GRR=f(CWR, e00) untuk model penduduk quasi-stabil ... 25
11. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00 ... 27
12. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00 ... 28
13. Tingkat kelahiran kasar penduduk Indonesia ... 29
14. Tingkat kematian kasar penduduk Indonesia ... 30
15. Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia ... 30
Halaman
1. Pembentukan jumlah penduduk menurut sebaran umur stabil dan quasi-
stabil (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 37
2. Sebaran jumlah penduduk menurut umur model penduduk stabil berdasar- kan tingkat GRR dan angka harapan hidup ... 41
3. Proses perhitungan U dan V ... 47
4. Proses perhitungan Child-Woman Ratio (CWR) (mengguna- kan software Mathematica 5.0) ... 49
5. Nilai Child-Woman Ratio (CWR) untuk penduduk stabil ... 51
6. Nilai Child-Woman Ratio (CWR) untuk penduduk quasi-stabil ... 52
7. Koefisien regresi untuk pendugaan Gross Reproduction Rate (GRR) dan Child Woman Ratio (CWR) ... 53
8. Analisis Regresi (menggunakan software Minitab 14) ... 54
9. Perhitungan perbandingan nilai GRR terhadap nilai aktual (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 62
10. Perhitungan perbandingan nilai GRR terhadap nilai aktual (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 63
11. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk berdasarkan angka harapan hidup e00= 60 ... 64
12. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk berdasarkan angka harapan hidup e00= 70 ... 65
13. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk untuk bentuk regresi GRR = a+b CWR+ c e00 + d CWR e00 ... 66
14. Nilai Crude Birth Rate (CBR) negara Indonesia (PBB 2008)... 67
15. Nilai Crude Death Rate (CDR) negara Indonesia (PBB 2008) ... 68
16. Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia (PBB 2008) ... 69
17. Data Age-Specific Mortality Rate (ASMR) negara Indonesia (diolah dari data PBB 2008) ... 70
18. Proses Proses Perhitungan Nilai faktor perbaikan mortalitas k (mengguna- kan Software Mathematica 5.0) ... 71
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Hampir di semua negara berkembang sekarang ini, analisis kelahiran merupakan permasalahan kependudukan utama yang dihadapi. Hal ini disebabkan oleh keterbatasan data dasar yang diperoleh mengenai jumlah kelahiran. Padahal, pada saat yang sama, urgensi untuk menentukan pendugaan yang tepat mengenai tingkat kelahiran, atau ukuran pusat dari kelahiran merupakan sesuatu yang sangat penting di negara-negara berkembang seperti halnya di negara maju dalam rangka membantu perencanaan wilayah dan pengembangan ekonomi (Rele 1967).
Negara-negara berkembang dengan angka fertilitas yang relatif tinggi dan jumlah penduduk yang besar, seringkali mengalami kesulitan dalam melaksanakan registrasi kelahiran penduduk secara lengkap sehingga tidak mempunyai vital statistic yang dapat dijadikan acuan yang terpercaya. Vital statistic adalah data atau informasi yang dimiliki suatu negara tentang dinamika penduduknya. Tiga komponen utama vital statistic adalah fertilitas, mortalitas, dan migrasi atau perpindahan penduduk. Di samping tiga hal di atas, vital statistic juga dilengkapi dengan informasi atau catatan mengenai kejadian-kejadian demografi yang lainnya seperti usia perkawinan, jumlah perkawinan, dan data keluarga, maupun jumlah tenaga kerja. Di antara negara-negara berkembang yang ada, Indonesia termasuk dalam negara yang tidak mempunyai vital statistic yang lengkap.
Bogue dan Palmore (1964) mengemukakan bahwa prinsip ukuran fertilitas dapat dikelompokkan dalam dua macam, yaitu ukuran yang diperoleh dari kombinasi vital statistic dan data sensus (dinamakan direct measure) dan ukuran yang diturunkan hanya dari data sensus (dinamakan indirect measure). Ukuran fertilitas yang diturunkan dari kombinasi vital statistic dan data sensus (direct measure) antara lain:
a. Crude Birth Rate (CBR) = jumlah kelahiran dalam satu tahun per 1000 total populasi pada tengah tahun.
b. General Fertility Rate (GFR) = jumlah kelahiran dalam setahun per 1000 wanita yang dapat melahirkan anak (15 – 40 tahun) pada tengah tahun.
c. Age Specific Fertility Rates (ASFR) = jumlah kelahiran per tahun terhadap 1000 wanita pada umur tertentu.
d. Total Fertility Rate (TFR) = penjumlahan dari Age Specific Fertility Rates untuk semua umur antara 15 sampai 49 tahun. e. Gross Reproduction Rate (GRR) = penjumlahan dari ASFR, jika
hanya memperhatikan bayi wanita.
Saat ini, para ahli demografi telah mengembangkan beberapa ukuran fertilitas yang berbeda, dengan kelebihan dan kekurangan masing-masing. Diantara ukuran tidak langsung adalah metode Rele untuk menghitung GRR, metode Palmore untuk menghitung TFR dan ASFR, metode Own-Children Method dan metode Last life birth. Pada umumnya ukuran tidak langsung diperoleh melalui sensus penduduk atau survei yang dilakukan sepuluh tahun sekali. Namun data yang diperoleh dari sensus sangat terbatas, hanya memberikan informasi jumlah penduduk yang hidup pada saat sensus diadakan. Sensus tidak mencatat jumlah bayi lahir hidup yang kemudian meninggal pada waktu sensus belum diadakan. Sehingga gambaran tentang fertilitas diperoleh secara tidak langsung melalui distribusi penduduk menurut umur yang tersedia dari data sensus.
Maksud dari penelitian ini adalah melakukan modifikasi metode pengukuran fertilitas tidak langsung yang dikembangkan oleh Rele dengan menggunakan basis data yang lebih sesuai untuk kondisi negara berkembang.
1.2 Tujuan
Tujuan utama dari penelitian ini adalah melakukan modifikasi metode Rele menggunakan model penduduk quasi-stabil. Secara spesifik, tujuan penelitian adalah :
1. Menentukan tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk penduduk stabil 2. Menyusun sebaran jumlah penduduk dengan model penduduk
3. Mencari bentuk hubungan antara Child-Woman Ratio (CWR) dengan Gross Reproduction Rate (GRR) menggunakan model penduduk quasi-stabil.
4. Membandingkan metode pengukuran GRR berdasarkan model penduduk quasi-stabil dengan model penduduk stabil yang dikembangkan oleh Rele.
BAB II
ALUR PENELITIAN
Pada penelitian ini akan ditentukan pendugaan bagi Gross Reproduction Rate (GRR) dengan menggunakan asumsi penduduk stabil dan quasi-stabil, yaitu dengan menguji hubungan yang terjadi antara Gross Reproduction Rate (GRR) dan Child-Woman Ratio (CWR).
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan Gross Reproduction Rate untuk masing-masing model penduduk (stabil dan quasi-stabil) adalah sebagai berikut:
1. Membangkitkan data hipotetik berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk berbagai nilai harapan hidup saat lahir (e00) dan GRR.
2. Menghitung nilai Child-Woman Ratio (CWR) berdasarkan data yang diperoleh dari langkah 1.
3. Mencari bentuk hubungan GRR dan CWR untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil.
4. Analisis bentuk hubungan GRR dan CWR untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil.
5. Membandingkan dugaan GRR untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil terhadap nilai aktual GRR yang tersedia.
Langkah-langkah tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 1 Alur penelitian.
r, GRR, e00, Li Penduduk stabil Child-Woman Ratio
Mencari bentuk hubungan
GRR dan CWR
Penduduk quasi-stabil
Membandingkan dugaan model penduduk
stabil dan quasi-stabil modifikasi
BAB III
MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN
3.1 Ukuran Fertilitas
Fertilitas merupakan performan reproduksi aktual dari seorang wanita atau sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita atau sekelompok wanita.
Berikut beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997) diantaranya adalah Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar, merupakan ukuran kelahiran yang sering digunakan. CBR dapat dihitung dengan cara: ) ( ) ( t P t B CBR=
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t.
Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan secara langsung dengan penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur reproduksi adalah umur dimana wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi.
) ( ) ( t P t B GFR= w
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan Pw(t) merupakan jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t.
Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978), CWR ini dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang
[ ]
c,d tahun terhadap wanita umur reproduksi selang[ ]
h,k tahun dinyatakan dalam rumus:[ ] [ ]hwk d c P P CWR , , =
dengan P[ ]c,d merupakan jumlah penduduk selang umur
[ ]
c,d tahun dan [ ]w k h P , merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi
[ ]
h,k tahun.Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Spesific Fertility Rate (ASFR) merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu bervariasi menurut umur ibu.
( )
( )
t P t B ASFR w x x x =dengan Bx
( )
t merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada waktu t dan Pw( )
tx merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu t, atau dapat
juga ditulis:
( )
( )
t P t B f w x x tx = dengan f adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t. xt
Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility Rate (TFR) dapat dinyatakan sebagai:
∑
= = k h x t x f TFRdengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita reproduksi. Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin bayi maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara langsung bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua ukuran reproduksi, yaitu Gross Reproduction Rate (GRR) dan Net Reproduction Rate (NRR). Gross Reproduction Rate (GRR) ini menyatakan tingkat reproduksi kasar yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR didefinisikan:
∑
= = k h x t w x f GRR , dengan wt xf , merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi wanita (w)
pada waktu t.
Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran reproduksi yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian sesaat
( )
μx sehinggareproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat peluang wanita meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya. Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:
( )
x S GRR NRR= w( )
x S f NRR k w h x t w x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =∑
= , dengan( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =∫
x y w x dy S 0exp μ merupakan peluang bayi wanita hidup sampai umur x.
3.2 Model Pertumbuhan Penduduk 3.2.1 Model Penduduk Stabil (Brown 1997)
Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu sangat pendek yaitu t ke t + dt, maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:
∫
= 1 0 ) ( dtt B B (1)Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t+n) merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n maka jumlah bayi pada waktu t+n dapat dituliskan :
b nr e t B n t B( + )= ( ) (2) Dimana rb adalah laju kelahiran bayi, rb ≠0, dan n > 0 adalah waktu.
Bukti: t t B r t B t t B( +Δ )= ()+ b ()Δ dt dB t B r t t B t B t t B r t t B t B t t B r b t b b ) ( 1 ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( 0 = Δ − Δ + = Δ − Δ + = → Δ
b b nr nr b b n t t n t t b n t t n t t b e t B n t B t B n t B e t B n t B t r n t r s B t r s dB s B dt r ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ln( ) ( ) ( | ) ( ln | ) ( ) ( 1 = + + = − + = − + = = + + + +
∫
∫
■
Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi rb.
Jika rb adalah laju kelahiran bayi per tahun maka laju pertumbuhan
penduduk rp pada penduduk stabil adalah sama dengan laju kelahiran bayi.
Bukti:
Misalkan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan (2) maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:
x rb e t B x t B( − )= () − (3) dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B(t−x)S(x), dengan S(x) adalah peluang bayi hidup sampai umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu t ke t + dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan peluang bayi hidup sampai umur x, dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:
dx x S x t B dx t Fx( ) = ( − ) ( ) (4)
Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah
∫
∞ = 0 ) ( ) (t F t dx P x∫
∫
∫
∞ − ∞ ∞ = − = − = 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e t B dx x S x t B dx x S x t B x rb (5)dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:
∫
∞ − + = + 0 ) ( ) ( ) (t n B t ne S x dx P rbx (6)S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan dari persamaan (2) B(t+n)=B(t)erbn , maka diperoleh
∫
∞ − = + 0 ) ( ) ( ) (t n B t e e S x dx P rbn rbx n r x r n r b b b e t P dx x S e t B e ) ( ) ( ) ( 0 = = ∞∫
− (7)Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk rp
merupakan laju kelahiran bayi rb itu sendiri, dan dari persamaan (2) dan (7)
terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t)
Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam model penduduk stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:
nr e t B n t B( + )= () (8)
Jumlah penduduk pada suatu selang umur berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.
Bukti:
Dari persamaan (4) dimana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x sampai x + dx pada waktu t adalah Fx(t) dx, dan total penduduk pada waktu t
adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x + dx pada waktu t adalah:
∫
∞ − − = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e t B dx x S e t B t P dx t F rx rx x (9)Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi:
∫
∞ − − = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e x S e t P dx t F rx rx x (10)Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah merupakan fungsi dari t, sehingga terbukti proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.
Jika B(0) adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t = 0, maka jumlah penduduk umur 0, 1, 2, ..., x pada waktu t = 0 dapat dituliskan dalam tabel berikut: Umur Waktu t = 0 Bayi B(0) 0 B(0)S(0) 1 B(0) e-r S(1) 2 B(0) e-2r S(2) M M x B(0) e-xr S(x)
Tabel di atas menunjukkan bahwa jumlah penduduk untuk waktu t = 0 dipengaruhi oleh laju pertumbuhan penduduk r, jumlah kelahiran B(0), dan mortalitas yaitu S(x).
Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari persamaan 3 dan 4 diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan sebagai populasi wanita) yang hidup pada umur x saat waktu t:
Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang dituliskan sebagai , sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan sebagai:
Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat waktu t menghasilkan:
(11) dengan membagi B(t) diperoleh:
1 (12)
Jika dan adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif, sehingga 0 untuk x < α atau x > β, maka persamaan (12) dapat dituliskan sebagai berikut:
1 (13)
3.2.2 Pendugaan GRR dengan Metode Rele
Metode Rele merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai Gross Reproduction Rate (GRR) dari nilai Child-Woman Ratio (CWR) dan nilai harapan hidup saat lahir (e00). Dasar yang digunakan untuk menghitung CWR
dalam metode Rele adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur berdasarkan model penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh dengan mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk model penduduk stabil, menentukan Gross Reproduction Rate (GRR) dan nilai harapan hidup saat lahir (e00), dan nilai Li (penduduk tengah tahun umur i) berdasarkan pada nilai e00.
Dari sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai Child-Woman Ratio. Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan antara GRR dan CWR. Metode Rele tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2 Alur Metode Rele
r, GRR, e00, Li Penduduk stabil Child-Woman Ratio
Mencari bentuk hubungan GRR dan
3.2.3 Modifikasi Metode Rele dengan Menggunakan Penduduk Quasi-Stabil
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model yang digunakan dalam metode Rele adalah model penduduk stabil. Dalam penelitian ini akan dilakukan modifikasi dengan menggunakan penduduk quasi-stabil. Pada model penduduk stabil, fertilitas dan mortalitas diasumsikan konstan, sedangkan pada model penduduk quasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju tersebut maka dipakai notasi rp untuk laju pertumbuhan penduduk dan rb untuk laju kelahiran bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan
nr e t B n t
B( + )= () pada model penduduk stabil akan berubah menjadi b nr e t B n t
B( + )= () . Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan rp(t), sehingga total penduduk pada tahun t+n adalah:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = +
∫
+n t t p s ds r t P n t P( ) ()exp ( ) (14) Ringkasnya, pada penduduk stabil rb =rp(t)=r sedangkan pada penduduk quasi-stabil rp(t)>rb untuk semua t jika laju kematian sesaat ( )x
μ turun dan
b p t r
r ( )< untuk semua t jika laju kematian sesaat (μx)naik.
Misalkan )μx(a dan )μx(a+t menyatakan laju kematian sesaat dari seseorang pada usia x, yang lahir pada waktu a dan a+t dan misalkan:
kt a t a x x( + )=μ ( )− μ untuk semua μ, k > 0 (15) Untuk penduduk quasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu laju pertumbuhan bayi r , mortalitas awal b (a)
x
μ , dan faktor perbaikan mortalitas k, k > 0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk pada waktu t dapat diperoleh. Maka penduduk pada waktu t, P(t) :
dx du x t e t B dx x S x t B t P x u x r x t b
∫
∫
∫
∞ − ∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = 0 0 0 ) ( exp ) ( ) ( ) ( ) ( μ∫
∫
∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = 0 0 ) ( exp ) (t e a t x a du dx B x u x rb μ∫
∫
∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 0 0 )] ( ) ( [ exp ) (t e a k t x a du dx B x u x rb μ∫
∫
∞ − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 ) ( 0 ) ( exp ) (t e a du e dx B x k t x ax u x rb μ∫
∞ − − − = 0 ) ( ) ( ) (t e S x e dx B k t x ax a x rb (16)3.2.4 Laju Kelahiran Intrinsik Model Penduduk Quasi-Stabil
Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t, maka diperoleh:
∫
∫
∞ − − − ∞ − − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 ) ( 0 ) ( ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( e dx dt d x S e t B dx e x S e t B dt d t P dt d k t x a x a x r x a x t k a x rb b∫
∫
∫
∞ − − ∞ − − − ∞ − − − + = + = 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S xe t kB t P r dx e x S xe t kB dx e x S e t B r x a x t k a x r b x a x t k a x r x a x t k x r b b b b (17) ) (trp diperoleh dengan membagi persamaan (17) dengan persamaan (16):
) ( ) ( ) ( t P t P dt d t rp =
∫
∫
∞ − − − ∞ − − + = 0 ) ( 0 ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S e t B dx e x S xe t kB t P r t r x a x t k a x r x a x t k a x r b p b b =rb+kx(t) (18)Dengan x(t)adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk quasi-stabil pada waktu t. Persamaan (18) menunjukkan perbedaan antara penduduk stabil dengan penduduk quasi-stabil pada pertumbuhan penduduknya, dimana pada pertumbuhan penduduk quasi-stabil mengandung k, k > 0 yaitu faktor perbaikan mortalitas.
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Tingkat Pertumbuhan Penduduk
Sebagai titik awal dari analisis ini, nilai dari tingkat pertumbuhan penduduk stabil (r) diturunkan dari persamaan (13) sebagai berikut:
1
Persamaan tersebut merupakan persamaan kontinu. Dengan α = 15 dan β = 44, S(x)=Li/l0, , maka secara diskrit bisa dituliskan:
∑ . 1 1 ) ( 05 . 2 1 0 ) 5 . 2 ( =
∑
∗ ∈ + − ASFR i l L e Z i i i r ; 15,20,25, … ,40 Nilai Li merupakan penduduk tengah tahun yang diperoleh dari life tableCoale dan Demeny (1983) berdasarkan pada nilai harapan hidup saat lahir (e00)
yang dipilih. Nilai l0 adalah radix penduduk dengan nilai l0 = 100 000 dan ASFR(i) merupakan ASFR pada umur i diperoleh dari nilai GRR yang ditetapkan. Dengan demikian maka nilai r dapat diperoleh. Dalam hal ini diasumsikan rasio jenis kelamin bayi (sex-ratio at birth) sama dengan 1.05 dimana terdiri dari 105 laki-laki dan 100 wanita.
4.2 Pembentukan Populasi Penduduk
Jumlah sebaran populasi menurut umur berdasarkan pada model penduduk stabil dan quasi-stabil dibentuk berdasarkan enam tingkat fertilitas berbeda (GRR), dan enam tingkat mortalitas yang berbeda (e00). Tingkat GRR yang
dijadikan pembentuk model adalah 4.0, 3.0, 2.5, 2.0, 1.5, dan 1 dengan angka harapan hidup saat lahir (e00) yang dipilih adalah 20, 30, 40, 50, 60, dan 70 tahun.
Sedangkan tingkat proporsi GRR yang digunakan adalah 1:7:7:6:4:1, untuk sebaran umur produktif dari umur 15 sampai 44. Rasio tersebut diturunkan dari 52 negara dengan tingkat fertilitas yang berbeda (Rele 1967), yang diperoleh dari rata-rata pola ASFR untuk wanita (Tabel 1).
Rasio 1:7:7:6:4:1, diturunkan dari rata-rata tingkat fertilitas untuk 52 negara, walaupun tidak tepat proporsional.
Tabel 1. Rata-rata Tingkat Kelahiran menurut Sebaran Umur Wanita (Rele 1967)
Umur Wanita
Rata-rata Tingkat Kelahiran Rataan
Deviasi dari 52 negara 52 Negara Rasio Negara dengan tingkat fertilitas tinggi Negara dengan tingkat fertilitas rendah Total, 15-44
100.0 rasio 100 rasio 100 rasio
15-19 6.3 1.6 9.3 2.2 5.1 1.3 ±2.7 20-24 25.3 6.3 25.1 6.0 25.4 6.4 ±3.5 25-29 27.6 6.9 25.5 6.1 28.5 7.1 ±2.1 30-34 21.1 5.3 19.6 4.7 21.7 5.4 ±2.1 35-39 13.4 3.4 13.7 3.3 13.2 3.3 ±2.1 40-44 6.3 1.6 6.9 1.6 6.0 1.5 ±2.2
Sebaran umur jumlah penduduk stabil berdasarkan integral berikut:
∫
∞ − = 0 ) ( ) ( ) (t B t e S x dx P rxJika P(0) adalah jumlah penduduk pada waktu t = 0, maka jumlah penduduk umur 0,1,2,…x adalah:
0 0
Secara diskrit bisa dituliskan sebagai berikut:
0 ∑ .
maka jumlah penduduk dari umur i sampai i+5 diperoleh dengan mengalikan Li
dengan e –r(i+2.5).
Sedangkan jumlah penduduk quasi-stabil berdasarkan kelompok umur i sampai i+5 dapat diperoleh dari integral berikut (persamaan 16):
∫
∞ − − − = 0 ) ( ) ( ) ( ) (t B t e S x e dx P kt x ax a rxDengan cara yang sama, maka dapat ditentukan jumlah penduduk quasi-stabil berdasarkan kelompok umur i sampai i+5 diperoleh dengan mengalikan Li dengan
Dengan demikian diperoleh sebaran penduduk stabil dan quasi-stabil menurut umur yang diperlukan untuk menentukan Child-Woman Ratio (CWR). Proses perhitungan jumlah sebaran penduduk stabil dan quasi-stabil dapat dilihat pada Lampiran 1 dan hasil perhitungannya pada Lampiran 2.
4.3 Hubungan GRR dan CWR
Pendugaan Gross Reproduction Rate (GRR) ini dilakukan dengan menentukan hubungan antara peubah takbebas GRR dengan peubah bebas CWR. Berikut ini notasi yang digunakan:
X : CWR
r : laju pertumbuhan penduduk
Sw(x) : peluang hidup penduduk wanita (w) sampai umur x Sl(x) : peluang hidup laki-laki (l) sampai umur x
c, d : batas bawah dan batas atas dari selang umur bayi yang digunakan sebagai pembilang pada CWR
h, k : batas bawah dan batas atas dari selang umur wanita reproduktif yang digunakan sebagai penyebut pada CWR
CWR seperti telah dinyatakan pada BAB III, merupakan perbandingan jumlah sebaran penduduk selang umur
[ ]
c,d tahun (bayi wanita dan bayi laki-laki) terhadap jumlah sebaran penduduk wanita selang umur[ ]
h,k tahun, sehingga rasio CWR (X) dapat dituliskan sebagai:
( )
( )
( )
∫
∫
∫
− − − + = k h w rx d c d c w rx l rx dx x S e dx x S e dx x S e X 05 . 1( )
∫
∫
∫
− − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = k h w ru d c d c w l rv dx x S e dx x S dx x S e 1.05 ( ) ( ) (19)dengan:
( )
( )
∫
∫
− − = k h w k h w rx ru dx x S dx x S e e dan( )
( )
( )
∫
∫
∫
∫
+ + = − − − d c d c w l d c d c w rx l rx rv dx x S dx x S dx x S e dx x S e e 05 . 1 ) ( 05 . 1 sehingga( )
( )
∫
∫
= k h w k h w dx x S dx x xS U dan( )
( )
( )
( )
∫
∫
∫
∫
+ + = d c d c w l d c d c w l dx x S dx x S dx x xS x xS V 05 . 1 05 . 1(bukti terdapat di Lampiran 3).
U adalah rata-rata umur wanita reproduktif yaitu berada pada selang umur
[ ]
h,k , dan V adalah rata-rata umur bayi yaitu berada pada selang umur[ ]
c,d . Jika T adalah rata-rata panjang generasi (mean length of generation) maka,U−V =T+ΔT
Untuk memperoleh T yang sama dengan U-V maka ∆T ini berkaitan dengan selang umur bayi dan wanita reproduktif yang digunakan pada CWR.
Dengan U−V =T+ΔT maka persamaan (19) menjadi:
( )
( )
(
)
( )
(T T) r k h w d c w l e dx x S dx x S x S X +Δ∫
∫
+ = 05 . 1 = K R erΔT 0 (20) dengan:∫
∫
+ = k h w d c w l dx x S dx x S x S K ) ( )) ( ) ( ( 05 . 1adalah rasio CWR pada Life Table, dan R =erT =NRR
Nilai erΔT akan mendekati satu, karena r ≠ 0 (penduduk stabil), sedangkan
∆t → 0.
Nilai NRR (R0) dapat dinyatakan sebagai berikut:
R =GSw
( )
T0 (21)
Dengan persamaan (20) maka
X =K* GerΔT (22)
dimana K* =K Sw
( )
T konstan untuk sembarang mortalitas. Dari persamaan (22) hubungan CWR (X) dan GRR (G) mendekati linier untuk tingkat mortalitas (e00)yang sudah ditentukan.
Analisis di atas menyatakan bahwa hubungan GRR dan CWR akan linier bila ∆T mendekati nol.
Sedangkan nilai CWR diperoleh dengan membagi jumlah penduduk laki-laki dan wanita pada umur 0-4 tahun terhadap penduduk wanita umur 15-49 tahun, yang dirumuskan sebagai berikut:
[ ] [ ]hwk d c P P CWR , , =
(proses dan hasil perhitungan CWR untuk masing-masing model penduduk terdapat pada Lampiran 4, 5, dan 6).
4.4 Analisis Regresi
Setelah diperoleh nilai CWR (Lampiran 5 dan 6), kemudian dilakukan analisis regresi. Berdasarkan hasil selang umur untuk CWR tersebut yaitu selang umur wanita reproduksi 15-49 tahun untuk bayi 0-4 tahun maka berikut ini akan dibuat analisis persamaan regresi linier yaitu analisis yang menelaah hubungan antara peubah takbebas dengan satu atau lebih peubah bebas, terutama pola hubungan yang modelnya belum diketahui (Drapper & Smith 1998). Dalam hal ini akan dicoba untuk data GRR sebagai peubah takbebas dan data selang umur CWR(0-4)/(15-49) sebagai peubah bebas. Analisis regresi yang akan dilakukan; pertama analisis regresi untuk masing-masing angka harapan hidup saat lahir (e00), kedua analisis regresi tanpa memperhitungkan nilai e00 , ketiga dengan
m m G G s ( C G menambah menambah a Berik Gambar 3 H R P Berd GRR untuk stabil. Nilai (Lampiran 7 Dem CWR dapat d Gambar 4 H R P Gross R e pr odu cti on Rat e Gross R e pro duc tio n Rat e peubah adanya intera kut analisis r Hubungan an Rate (GRR) Penduduk St dasarkan Ga masing-ma hubungan 7). mikian juga u dilihat pada Hubungan an Rate (GRR) Penduduk Q 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 Gross R e pr odu cti on Rat e 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 Gross R e pro duc tio n Rat e ke persama aksi antar pe regresi untuk ntara Child berdasarkan tabil. ambar 3 di a sing angka linier yang untuk mode Gambar 4 b ntara Child berdasarka Quasi-Stabil. 0.2 Child W 0.2 0 Child W aan regresi, eubah dan k masing-ma Woman Rati n Angka Ha atas, terdapa harapan hid diperoleh u el penduduk berikut: Woman Rat an Angka Ha 0.4 Woman Ratio: C 0.4 0.6 oman Ratio: C keempat an n CWR. asing nilai io (CWR) da arapan Hidup at hubungan dup saat lah untuk masing quasi-stabi tio (CWR) da arapan Hidup 0.6 C(0‐4)/W(15‐4 0.8 C(0‐4)/W(15‐49 20 30 4 20 30 40 nalisis regre : an Gross Rep p saat lahir linier antara hir ( pad g-masing l, hubungan an Gross Rep up saat lahir 0.8 1 9) 1 1.2 9) 0 50 60 70 0 50 60 70 esi dengan production ( untuk a CWR dan da populasi terlampir n GRR dan eproduction ( untuk 1 2
Hasil dari regresi untuk hubungan nilai GRR dan CWR pada model penduduk stabil dan quasi-stabil berdasarkan nilai dapat dilihat pada Lampiran 7 dan 8.
Berikut akan dibandingkan nilai GRR aktual (Rele 1967) dengan nilai dugaan berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil (Lampiran 11 dan 12). Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR aktual untuk nilai = 60 ditampilkan pada gambar berikut: (proses perhitungan dapat dilihat pada Lampiran 9).
Gambar 5 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR Aktual untuk e = 60. 0
Nilai dugaan GRR untuk model penduduk quasi-stabil e = 60 secara 0 umum lebih baik dibandingkan dengan nilai dugaan menggunakan model penduduk stabil (Gambar 5). Untuk lebih jelas, berikut ditampilkan nilai mutlak untuk selisih antara dugaan dengan data aktual seperti pada pada Gambar 6 berikut: 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Gr o ss R e pr odu cti on Rat e dugaan Q‐S dugaan stabil Actual
Gambar 6 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk e00=60.
Berdasarkan Gambar 6, selisih antara dugaan dengan nilai aktual sebanyak 13 dari 14 negara model penduduk quasi-stabil mempunyai galat yang lebih kecil dibandingkan dengan galat untuk model penduduk stabil, kecuali untuk negara Perancis.
Sedangkan nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan rataan GRR aktual untuk nilai = 70 ditampilkan pada gambar berikut: (proses perhitungan dapat dilihat pada Lampiran 9).
Gambar 7 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR Aktual masing-masing model penduduk untuk e = 70. 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Selis ih [A ktu al ‐du gaan] error Q‐S error Stabil 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ca na d a51 Ca na d a56 Ca na d a61 US 50 US 60 Is rae l Japan6 0 Czech De n m ar k4 5 De n m ar k5 0 Finland6 0 Hunga ry Nether land Nor w ay4 6 Nor w ay5 0 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Swi tz 50 Engl and Scotl an d NewZ eala n d Gross Rep rod uct ion Ra te
Gambar 8 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual masing-masing model untuk e00=70.
Untuk nilai = 70, nilai dugaan untuk model penduduk quasi-stabil secara umum lebih baik dibandingkan dengan model penduduk stabil, namun ada beberapa negara yaitu Swedia dan Inggris yang mempunyai nilai dugaan penduduk stabil lebih baik dibandingkan untuk penduduk quasi-stabil (Gambar 7 dan 8).
Untuk lebih jelas, dihitung nilai proportional error sebagai berikut:
Proportional error = ∑ ∑| | , (i)=dugaan, g(i)=aktual , i = 1,2,...n Nilai proportional error dinilai baik jika < 10% (Bloom 1982).
Tabel 2 Nilai proportional error nilai dugaan terhadap nilai aktual untuk masing-masing model penduduk
Quasi-stabil stabil Proportional error =60 5.85% 26.07% Proportional error =70 4.42% 23.14%
Tabel 2 di atas menunjukkan bahwa dugaan dengan menggunakan model penduduk quasi-stabil lebih baik jika dibandingkan dengan dugaan berdasarkan model penduduk stabil.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 C anada5 1 C anada5 6 C anada6 1 US 50 US 60 Isr ae l Japan6 0 Czech De n m ar k4 5 De n m ar k5 0 Finland6 0 Hunga ry Nether land Nor w ay 4 6 Nor w ay 5 0 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Swi tz 50 Engl and Scotl an d NewZ eala n d Selisih [A kt u al ‐du gaan] error Q‐S error Stabil
Namun persamaan regresi di atas bisa dikatakan tidak praktis karena untuk setiap nilai yang berbeda mempunyai persamaan regresi yang berbeda dan tidak berlaku umum untuk setiap , walaupun diperoleh R2 yang sangat besar (Lampiran 8).
Oleh karena itu akan dicari suatu persamaan regresi yang berlaku umum untuk setiap nilai . Dengan GRR sebagai peubah takbebas dan CWR sebagai peubah bebas maka hubungan linier diantara keduanya dapat dinyatakan sebagai:
X = K* G er ∆t (persamaan 22)
Dengan X = CWR, K* suatu konstanta, G= GRR, dan ∆t 0 , maka dapat dituliskan:
CWR = K* GRR GRR = b CWR , b =1/K*
karena untuk nilai CWR = 0, masih dimungkinkan nilai GRR ≠ 0, maka dapat dituliskan hubungan sebagai berikut:
GRR=a+bCWR (23) Untuk penduduk stabil nilai a = 0.290 dan b = 4.490 (Lampiran 8), sehingga persamaan (23) menjadi:
CWR
GRR=0.290+4.490 (24)
Sedangkan untuk penduduk quasi-stabil nilai a = 0.205 dan b = 3.840 (Lampiran 8), sehingga persamaan (23) menjadi:
CWR
GRR=0.205+3.840 (25)
Tabel 3 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR tanpa memperhatikan nilai e00
Koefisien regresi Proportional Error R2 Terkoreksi
Stabil Quasi‐ stabil Stabil Quasi‐ stabil Stabil Quasi‐ stabil GRR = a + b CWR a = 0.290 b = 4.490 a = 0.205 b = 3.840 47.46% 23.03% 86.8% 86.9%
m i u b p p Tabel memperhatik itu dicoba de Gamb Gambar 1 Berd untuk mode bidang dala pebuah tak persamaan 2 3 menunjuk kan nilai e00 engan menam bar 9 Tebara 10 Tebaran dasarkan pad el penduduk am tiga dim bebas GRR 23 berubah m G kkan bahwa b 0 menghasilk mbahkan nil an GRR = f(C GRR = f(CW da Gambar 9 k stabil dan mensi, yang dengan peu menjadi: bC a GRR= + bentuk hubu kan nilai prop
lai peubah e0 CWR, ) un WR, ) untu 9 dan 10, t n model pe menandakan ubah bebas 0 0 e c CWR+ ungan antara oportional er 00 ke bentuk ntuk model p uk model pen tebaran GRR enduduk qu n terdapat h CWR dan a GRR dan C rror yang be persamaan r penduduk st nduduk quas R, e00, dan C asi-stabil, m hubungan lin . Dengan CWR tanpa esar. Untuk regresi. abil. si-stabil. CWR baik membentuk nier antara n demikian (26)
Dari hasi pendugaan persamaan regresi diperoleh nilai sebagai koefisien a, b dan c untuk penduduk stabil yaitu a = 0.934, b = 5.020, dan c = -0.0198 (Lampiran 8) sehingga persamaan (26) menjadi:
0 0 0198 . 0 020 . 5 934 . 0 CWR e GRR= + − (27)
Sementara itu, untuk penduduk quasi-stabil diperoleh nilai koefisien a, b dan c yaitu a = 0.839, b = 4.300, dan c = -0.0198 (Lampiran 8), sehingga persamaan (26) menjadi: 0 0 0198 . 0 300 . 4 839 . 0 CWR e GRR= + − (28)
Tabel 4 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk
regresi GRR = a + b CWR + c e00.
Koefisien regresi Proportional
Error
R2 Terkoreksi
Stabil Quasi‐stabil Stabil Quasi‐
stabil Stabil Quasi‐ stabil GRR = a + b CWR + ce00 a = 0.934 b = 5.020 c = ‐0.0198 a = 0.839 b = 4.300 c = ‐0.0198 16.45% 14.71% 97.5% 97.7%
Dengan penambahan peubah e00 ternyata nilai R2 terkoreksi lebih baik
dibandingkan dengan tanpa penambahan peubah e00, namun nilai dari proportional error masih besar yaitu di atas 10 % baik untuk penduduk stabil maupun quasi-stabil.
Untuk itu, akan dicoba dengan menambahkan adanya interaksi antara peubah CWR dan e00, sehingga persamaan (26) menjadi:
0 0 0 0 dCWRe e c bCWR a GRR= + + + (29) Dengan cara yang sama diperoleh nilai koefisien a, b, c dan d untuk penduduk stabil, yaitu a = 0.304, b = 6.570, c = -0.00630, dan d = -0.0314 (Lampiran 8), sehingga persamaan (29) menjadi:
0 0 0 0 0.0314 00630 . 0 570 . 6 304 . 0 CWR e CWRe GRR= + − − (30)
Untuk penduduk quasi-stabil nilai koefisien a, b, c dan d yaitu a = 0.217, b = 5.550, c = -0.00643, dan d = -0.0255 (Lampiran 8), sehingga persamaan (29) menjadi: 0 0 0 0 0.0255 00643 . 0 550 . 5 217 . 0 CWR e CWRe GRR = + − − (31)
Tabel 5 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk
regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00
Koefisien regresi Proportional Error R2 Terkoreksi
Stabil Quasi‐stabil Stabil Quasi‐
stabil Stabil Quasi‐ stabil GRR = a + b CWR + ce00 + d CWR e0 0 a = 0.304b = 6.570 c = ‐0.0063 d = ‐0.0314 a = 0.217 b = 5.550 c = ‐0.00643 d = ‐0.02550 19.58% 8.54% 98.6% 98.7%
Penambahan interaksi peubah CWR dan e00 selain menaikkan R2
terkoreksi, juga memperkecil nilai proportional error untuk model penduduk quasi-stabil menjadi 8.54% (Tabel 5). Berdasarkan hal itu, maka model ini dipakai sebagai model terakhir untuk menduga nilai Gross Reproduction Rate.
Berikut akan dibandingkan nilai GRR aktual (Rele 1967) dengan nilai dugaan berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil (Lampiran 13). Hasil dari regresi ditampilkan pada Gambar 11 dan 12 berikut: (proses perhitungan dapat dilihat pada Lampiran 10).
Gambar 11 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing- masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR +
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Canada4 1 Canada5 1 Canada5 6 Canada6 1 Panama
US40 US50 US60 Chile Israe
l Japan Europe Belg iu m Cz ec h Denmar k35 Denmar k40 Denmar k45 Denmar k50 Fi n land4 0 Fi n land5 0 Fi n land6 0 Fra n ce Fra n ce Hungary Net h er land No rw ay 46 No rw ay 50 Por tuga l5 0 Sw eden35 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Sw itz4 1 Sw itz5 0 England Scotland New Zealand Gross R e prod u cti on Ra te
c e00 + d CWR e00
Gambar 12 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil.
Kedua gambar terakhir (Gambar 11 dan 12) menunjukkan bahwa dugaan model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan dugaan model stabil, terutama untuk negara-negara yang belum mencapai stabil, seperti Panama dan Chile. Untuk beberapa negara yang telah mencapai stabil seperti Amerika Serikat, Perancis, Swedia, Swiss, Inggris, dan Skotlandia, dugaan model penduduk stabil lebih baik dibandingkan dengan dugaan model penduduk quasi-stabil.
Tabel 6 Perbandingan nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk semua bentuk hubungan GRR = f(CWR,e00).
Koefisien regresi Proportional Error R2 Terkoreksi
Stabil Quasi‐stabil Stabil Quasi‐stabil Stabil Quasi‐stabil GRR=a + b CWR, e00=60 a = ‐0.028 b = 4.580 a = 0.220 b = 3.930 26.07% 5.85% 99.9% 99.9% GRR=a + b CWR, e00=70 a = ‐0.033 b = 4.390 a = ‐0.128 b = 3.770 23.14% 4.42% 99.9% 99.9% GRR = a + b CWR a = 0.290 b = 4.490 a = 0.205 b = 3.840 47.46% 23.03% 86.8% 86.9% GRR = a + b CWR + c e00 a = 0.934 b = 5.020 c = ‐0.0198 a = 0.839 b = 4.300 c = ‐0.0198 16.45% 14.71% 97.5% 97.7% 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C anada4 1 C anada5 1 C anada5 6 C anada6 1 Panama US 40 US 50 US 60 Chile Israe l Ja p an Europe Belgi u m Czech Denm ar k3 5 Denm ar k4 0 Denm ar k4 5 Denm ar k5 0 Finland4 0 Finland5 0 Finland6 0 Fr ance Fr ance Hu n ga ry Nether land Nor w ay 4 6 Nor w ay 5 0 Por tugal5 0 Sw eden35 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Sw it z41 Sw it z50 Engl and Scotl an d NewZ eala nd Selisih [aktual ‐dug aa n] error Q‐S error Stabil
GRR = a + b CWR + ce0 0 + d CWR e00 a = 0.304 b = 6.570 c = ‐0.0063 d = ‐0.0314 a = 0.217 b = 5.550 c = ‐0.00643 d = ‐0.02550 19.58% 8.54% 98.6% 98.7%
Tabel 6 di atas menunjukkan bahwa berdasarkan nilai proportional error dan R2 terkoreksi, model regresi GRR untuk model penduduk quasi-stabil dengan
adanya interaksi antara peubah GRR dan e00 (persamaan 31) tidak berbeda dengan
model awal untuk masing-masing harapan hidup (Lampiran 7). Jadi dengan menggunakan persamaan 31 dapat dicari GRR untuk sebarang nilai e00 dan CWR
yang diketahui.
4.5 Kasus di Indonesia
Tingkat kelahiran kasar di Indonesia berdasarkan data dari Perserikatan Bangsa-Bangsa (2008) menandakan adanya penurunan tingkat kelahiran mulai tahun 1955-1960 sampai dengan 2000-2005. Sedangkan pada tahun 1950-1955 sampai tahun 1955-1960 terjadi kenaikan tingkat kelahiran (Lampiran 14), seperti pada Gambar 13 berikut:
Gambar 13 Tingkat kelahiran kasar penduduk Indonesia (PBB 2008) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Crude Birth Rate
(birth per 1000 population)Gambar 14 Tingkat kematian kasar penduduk Indonesia (PBB 2008)
Untuk tingkat kematian kasar terlihat pada gambar 14 di atas, menandakan terjadi penurunan tingkat kematian dari mulai tahun 1955-1960 sampai dengan tahun 2005-2010 (Lampiran 15).
Gambar 15 Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia (PBB 2008)
Tingkat pertumbuhan penduduk di Indonesia mengalami perubahan dari tahun ke tahun (Lampiran 16), kenaikan terjadi dari tahun 1955-1960 sampai
0 5 10 15 20 25 30
Crude Death Rate
(death per 1000 population) 0 0.5 1 1.5 2 2.5Tingkat pertumbuhan penduduk
1965-1970, dan setelah tahun tersebut mengalami penurunan. Rata-rata laju pertumbuhan di Indonesia menurut Perserikatan Bangsa-Bangsa (2008), selama kurun waktu 1990 – 1995 sebesar 1.53%. Angka ini jauh lebih rendah bila dibandingkan dengan rata-rata laju pertumbuhan penduduk dua dekade sebelumnya yaitu (1980-1985) sebesar 2.04 dan (1985-1990) yang mencapai 1.77 % per tahun (PBB 2008). Dengan demikian, Indonesia jika dilihat dari aspek ini merupakan negara yang penduduknya belum mencapai penduduk stabil.
Untuk lebih jelas berikut dihitung nilai dugaan untuk laju kematian sesaat (μx) dan diperoleh dugaan untuk nilai k untuk negara Indonesia jika didekati
dengan model penduduk quasi-stabil.
Laju Kematian sesaat (μx)
Laju kematian sesaat didekati dengan ASMR (Age-Specific Mortality Rate), yang dirumuskan sebagai berikut: (data dapat dilihat di Lampiran 17 dan perhitungan nilai k di Lampiran 18).
dengan:
dx = jumlah kematian umur x sampai x + 1 tahun.
Lx = rata-rata jumlah penduduk yang hidup antara umur x dan x+1 tahun.
Sedangkan μx pada penduduk quasi-stabil diasumsikan sebagai berikut:
0 , ) ( ) (a+t = x a −kt k> x μ μ
Gambar 16 Nilai faktor perbaikan mortalitas k (diolah dari data PBB 2008). ‐0.002 ‐0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Faktor perbaikan mortalitas k
Berdasarkan Gambar 16, trend nilai k dari tahun ke tahun mengalami kenaikan. Jika dilakukan regresi linier terhadap nilai k (Lampiran 19), maka diperoleh nilai regresi k = -0.163 + 0.000083 t, dengan t menyatakan tahun. Nilai dugaan k untuk kurun waktu 2005 – 2010 berdasarkan persamaan regresi tersebut adalah k = 0.0036225, yang menandakan pada kurun waktu tersebut laju kematian penduduk Indonesia akan semakin menurun.
