LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA MATEMATIKA Muhammad Hanif Hanafi Muhammad Hanif Hanafi Hanifhanafi93@gmail.com
Hanifhanafi93@gmail.com,, Program Studi Program Studi Pendidikan Matematika Program PascaPendidikan Matematika Program Pasca Sarjana, Universitas Terbuka Online
Sarjana, Universitas Terbuka Online ABSTRAK
ABSTRAK
Matematika membutuhkan dukungan penalaran dan cabang ilmu lain untuk Matematika membutuhkan dukungan penalaran dan cabang ilmu lain untuk menyempurnakan materinya. Oleh karenanya, matematika sangat dimungkinkan untuk menyempurnakan materinya. Oleh karenanya, matematika sangat dimungkinkan untuk berkembang
berkembang secara secara luas. luas. Begitupun Begitupun logika logika sebagai sebagai ilmu ilmu pemikiran/penalaran pemikiran/penalaran akan akan terusterus mengalami perkembangan. Logika klasik atau logika formal selama ini hanya berpaku pada mengalami perkembangan. Logika klasik atau logika formal selama ini hanya berpaku pada simbol saja. Maka perlu sebuah kajian untuk menyingkirkan kontradiksi antara teori dengan simbol saja. Maka perlu sebuah kajian untuk menyingkirkan kontradiksi antara teori dengan realitas. Apabila persoalan logika berubah karakternya dalam masalah-masalah kehidupan realitas. Apabila persoalan logika berubah karakternya dalam masalah-masalah kehidupan sehari-hari, dan berusaha mencapai sebuah pengertian yang lebih rumit maka dialektika-lah yang sehari-hari, dan berusaha mencapai sebuah pengertian yang lebih rumit maka dialektika-lah yang digunakan. Hingga diperoleh kesimpulan yang tepat dan sesuai karakter permasalahan. Adanya digunakan. Hingga diperoleh kesimpulan yang tepat dan sesuai karakter permasalahan. Adanya kritik atau pertentangan tersebut ditujukan untuk memperkaya materi berpikir tentang logika. kritik atau pertentangan tersebut ditujukan untuk memperkaya materi berpikir tentang logika. Kata kunci :
Kata kunci : Logika matematika Logika matematika
ABSTRACT ABSTRACT
Mathematics need another knowledge to be perfect for himself, therefore, enables Mathematics need another knowledge to be perfect for himself, therefore, enables mathematics to develop broadly. The presentation should be able to get rid of the contradiction mathematics to develop broadly. The presentation should be able to get rid of the contradiction between theory and reality. Likewise logic
between theory and reality. Likewise logic as the science of as the science of thinking / reasoning will continue tothinking / reasoning will continue to experience growth. Classical logic or formal logic have only spiked on a symbol. If the logic experience growth. Classical logic or formal logic have only spiked on a symbol. If the logic problem
problem changed changed its its character character in in the the problems problems of of everyday everyday life, life, and and trying trying to to achieve achieve a a moremore complex understanding of the dialectics run. Until it is concluded that the proper and appropriate complex understanding of the dialectics run. Until it is concluded that the proper and appropriate character issues. Criticism or disagreement is intended to enrich the material to think about the character issues. Criticism or disagreement is intended to enrich the material to think about the logic. Keywords: mathematical logic
logic. Keywords: mathematical logic Pendahuluan
Pendahuluan
Matematika bukan pengetahuan yang menyendiri sehingga dapat sempurna karena Matematika bukan pengetahuan yang menyendiri sehingga dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi keberadaannya untuk membantu manusia dalam memahami dan dirinya sendiri, tetapi keberadaannya untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam (Morris Klein dalam Alan Woods dan Ted menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam (Morris Klein dalam Alan Woods dan Ted grant, 2010). Oleh karenanya, memungkinkan matematika untuk berkembang secara luas. grant, 2010). Oleh karenanya, memungkinkan matematika untuk berkembang secara luas. Matematika dapat dikonstruksi sendiri, sesuai keinginan, asalkan tidak kontradiksi dengan Matematika dapat dikonstruksi sendiri, sesuai keinginan, asalkan tidak kontradiksi dengan struktur matematika yang telah ada. Karena menurut Soedjadi (dalam Wahyu, 2012), struktur matematika yang telah ada. Karena menurut Soedjadi (dalam Wahyu, 2012), objek-objek matematika ha
objek matematika hanyalah “buatan otak manusia”. Matematika kini, mengalami pergeseran,nyalah “buatan otak manusia”. Matematika kini, mengalami pergeseran, setidaknya ia dipandang bukan lagi harga mati dari sebuah dasar penalaran yang berbasis antara setidaknya ia dipandang bukan lagi harga mati dari sebuah dasar penalaran yang berbasis antara lain pada diferensiasi makna atau definisi antara
lain pada diferensiasi makna atau definisi antara simbol praksis dan teoretis. Apalagi anggapansimbol praksis dan teoretis. Apalagi anggapan umum yang menyatakan matematika adalah dasar pengetahuan, landasan dari kapasitas nalar umum yang menyatakan matematika adalah dasar pengetahuan, landasan dari kapasitas nalar atau logika seseorang, untuk bisa memiliki kapabilitas menjelaskan apa pun deretan fakta atau atau logika seseorang, untuk bisa memiliki kapabilitas menjelaskan apa pun deretan fakta atau fenomena di sekeliling kita. Seolah penyajiannya tidak dapat menyingkirkan kontradiksi antara fenomena di sekeliling kita. Seolah penyajiannya tidak dapat menyingkirkan kontradiksi antara teori dengan realitas.
teori dengan realitas.
Teori dan
Teori dan PembahasanPembahasan
Logika Matematika Logika Matematika
Kalimat Pernyataan Kalimat Pernyataan
Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional dengan Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional dengan pentingny
pentingnya belajar logika secara panjang lebar da belajar logika secara panjang lebar disajikan dalam buku misajikan dalam buku materi pokok ateri pokok (modul) (modul) matamata kuliah
kuliah Pengantar Pengantar Dasar Dasar Matematika. Matematika. Khusus Khusus dalam dalam sajian sajian sekarang sekarang kita kita akan akan mengawalinymengawalinyaa dengan salah satu konsep dasar logika matematika yang disebut pernyataan atau proposisi dengan salah satu konsep dasar logika matematika yang disebut pernyataan atau proposisi (prepotitio).
(prepotitio).
Kalimat Pernyataan Kalimat Pernyataan
Dalam pelajaran logika matematika
Dalam pelajaran logika matematika kalimat pernyataankalimat pernyataan haruslah haruslah dibedakandibedakan dengan kalimat-kalimat biasa dalam bahasa sehari-hari. Kalimat pernyataan atau dengan kalimat-kalimat biasa dalam bahasa sehari-hari. Kalimat pernyataan atau disingkat dengan pernyataan tidak sama dengan kalimat biasa, sebab dalam
disingkat dengan pernyataan tidak sama dengan kalimat biasa, sebab dalam kalimatkalimat biasa
biasa sering sering dipilih dipilih kata-kata kata-kata yang pantas, yang pantas, yang yang mudah, mudah, kiasan kiasan atau atau ungkapan ungkapan yang yang kabur,kabur, dan kada
dan kadang-kadang ng-kadang dipakai dipakai kata-kakata-kata yang ta yang bermakna bermakna ganda. Seganda. Sebaliknya baliknya dalamdalam pernyataan tidak
pernyataan tidaklah demikian, lah demikian, tetapi kalimatnytetapi kalimatnya haruslah lenga haruslah lengkap, tidak kap, tidak kaburkabur dan jelas.
dan jelas.
Suatu ciri logi
Suatu ciri logis dalam pelajs dalam pelajaran matemaran matematika, bahwa yang dimatika, bahwa yang dimaksudkan aksudkan dengandengan pernyataan yaitu suatu kalimat yang hanya benar
pernyataan yaitu suatu kalimat yang hanya benar saja atau ssaja atau salah saja, tidak dua-duanya padaalah saja, tidak dua-duanya pada saat yang sama,
saat yang sama, artinya tidak sekaligus benar dan salah. artinya tidak sekaligus benar dan salah. SedangkanSedangkan kalimat yang benar tidak, salahpun tidak adalah
kalimat yang benar tidak, salahpun tidak adalah bukan pernyataanbukan pernyataan . . Untuk Untuk lebihlebih jelasnya kita perha
jelasnya kita perhatikan tiga kelotikan tiga kelompok conmpok contoh berikut toh berikut ini.ini. Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :
Contoh 1 (Pernyataan yang benar) : a. Jakarta
a. Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesiaadalah ibu kota negara Republik Indonesia b. Jika x =
b. Jika x = 3, maka 33, maka 3x = 9x = 9
c. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan c. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :
Contoh 2 (Pernyataan yang salah) : a. Udara adalah benda padat
a. Udara adalah benda padat b. x
b. x – – y = y y = y – – x; x; x x yy
c. Setiap bilangan prima adalah ganjil c. Setiap bilangan prima adalah ganjil Contoh 3 (Bukan pernyataan) : Contoh 3 (Bukan pernyataan) : a. x + 7 = 0 a. x + 7 = 0 b. x 2 b. x 2 + 2x+ 2x – – 15 = 0 15 = 0 c. a + b > 9 c. a + b > 9 Operasi-operasi Logika Operasi-operasi Logika Seperti
Seperti sudah sudah disebutkan sebelumnya, disebutkan sebelumnya, bahwa bahwa untuk membentuk untuk membentuk suatu suatu pernyataanpernyataan majemuk dari beberapa pernyataan tunggal diperlukan adanya kata
majemuk dari beberapa pernyataan tunggal diperlukan adanya kata perangkai.
sama dengan operasi-operasi dalam pelajaran matematika yang sudah Anda kenal, seperti operasi sama dengan operasi-operasi dalam pelajaran matematika yang sudah Anda kenal, seperti operasi penjumlahan,
penjumlahan, pengurangpengurangan, perkalian an, perkalian dan sebagainydan sebagainya.a. Kata
Kata perangkai ini perangkai ini disebut operasi-operasi disebut operasi-operasi logika matematika. logika matematika. Untuk Untuk selanjutnyselanjutnyaa Anda harus dapat menentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk. Hal ini akan Anda harus dapat menentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk. Hal ini akan dapat
dapat dilakukan, dilakukan, jika jika diketahui diketahui nilai nilai kebenaran kebenaran komponen-komponkomponen-komponennya, ennya, yaitu yaitu pernyataan pernyataan-- pernyataan
pernyataan yang yang digabungkandigabungkan. . Maka Maka sangatlah sangatlah penting penting untuk untuk memahami memahami sungguh-sungsungguh-sungguhguh apa
apa arti arti masing-masing masing-masing operasi operasi logika logika matematika matematika tersebut.tersebut. Operasi Negasi
Operasi Negasi Operasi
Operasi negasi negasi (negation) (negation) atau atau penyangpenyangkalan, kalan, atau atau ingkaran ingkaran adalah adalah operasi operasi yangyang dikenakan hanya pad
dikenakan hanya pada sebuah pernyataa sebuah pernyataan. Operasi nean. Operasi negasi dilambangkagasi dilambangkan n dengan dengan tanda tanda ““ ” atau “ –
” atau “ – “ y“ yang disebut tilde atau ang disebut tilde atau curl. Untuk curl. Untuk selanjutnselanjutnya akan ya akan dipakai simbol. dipakai simbol. SeandainyaSeandainya p
p sebuah pernysebuah pernyatan atan tunggal, mtunggal, maka aka “ “ p” dibacap” dibaca negasi pnegasi p atau atau tidak ptidak p , atau , atau bukan pbukan p , , adalah
adalah pernyataan pernyataan majemuk. majemuk. Mungkin Mungkin ada ada yang yang merasa merasa agak agak janggal janggal bahwa bahwa negasinegasi merupakan suatu
merupakan suatu operasi logika operasi logika matemtika, sehingga matemtika, sehingga suatu suatu pernyataan bernegasi pernyataan bernegasi atauatau penyang
penyangkalan kalan dari dari suatu suatu pernyataan pernyataan merupakan merupakan suatu suatu pernyataan pernyataan majemuk. majemuk. NamunNamun jelaslah
jelaslah bahwa bahwa dalam dalam pernyataan-pernypernyataan-pernyataan ataan negasi negasi itu itu pertama-tama pertama-tama terdapat terdapat suatusuatu pernyataan
pernyataan atau atau proposisi proposisi yang yang bersifat bersifat tunggal,tunggal, misalnya :
misalnya :
Harimau adalah binatang buas Harimau adalah binatang buas
Untuk menjadikan suatu pernyataan negasi, diperlukan pernyataan lain, yang Untuk menjadikan suatu pernyataan negasi, diperlukan pernyataan lain, yang menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar,
menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar, misalnya :misalnya :
Itu tidak benar Dengan demikian terdapatlah suatu proposisi negasi yang mejemuk : (Itu) Itu tidak benar Dengan demikian terdapatlah suatu proposisi negasi yang mejemuk : (Itu) tidak benar bahwa harimau adalah
tidak benar bahwa harimau adalah binatang buas.binatang buas. Operasi Konjungsi
Operasi Konjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
pernyataan tunggal tunggal dengan dengan memakai memakai kata kata perangkaiperangkai dandan disebutdisebut konjungsikonjungsi (conjunction)
(conjunction) . S. Sedangkan edangkan pernyataanpernyataan-pernyata-pernyataan tan tunggal unggal yang digayang digabungkannya bungkannya disebutdisebut konjung-konjung (komponen-komponen).
konjung-konjung (komponen-komponen). Dalam lo
Dalam logika gika matematika, matematika, operasi koperasi konjungsi onjungsi yaitu kyaitu kataata dandan yang yang berfungsi berfungsi sebagaisebagai penghubu
penghubung ng dua dua pernyataan pernyataan tunggal tunggal menjadi menjadi pernyataan pernyataan majemukmajemuk dinotasikan
dinotasikan dengan dengan tanda tanda “ “ “ “ atau atau ““ .. “ (dot), tetapi tepapi dalam modul ini yang akan“ (dot), tetapi tepapi dalam modul ini yang akan dipakai ada
dipakai adalah lah notasi notasi “ “ “.“.
Contoh 9 Contoh 9 Jika
Jika p p : : 77 – – 2 2 = = 5 5 dan dan q q : : 5 5 adalah adalah bilangan bilangan primaprima maka
Operasi Disjungsi Operasi Disjungsi
Pengertian disjungsi yaitu yang berkaitan dengan kata “atau“ mempun
Pengertian disjungsi yaitu yang berkaitan dengan kata “atau“ mempun yai duayai dua arti yang berbeda. Pertama “atau yang inclusive“ yang disebut juga “atau yang lemah” atau arti yang berbeda. Pertama “atau yang inclusive“ yang disebut juga “atau yang lemah” atau “atau
“atau mencakup” mencakup” yang yang dalam dalam bahasa bahasa Latin Latin ditunjukkaditunjukkan n dengan dengan kata kata ““ vel vel “, yaitu kata“, yaitu kata “atau
“atau yang yang diartikan diartikan “dan “dan atau” atau” maksudnymaksudnya menya menyatakan salah atakan salah satu satu atau atau keduakedua-duanya.-duanya. Dalam pengertian yang pertama ini kata “atau” dinotasikan
Dalam pengertian yang pertama ini kata “atau” dinotasikan
Kemungkinan Kesalahan Konsep dalam Pembelajaran Logika Matematika Kemungkinan Kesalahan Konsep dalam Pembelajaran Logika Matematika
Ada suatu c
Ada suatu catatan yang peratatan yang perlu kita ketalu kita ketahui sehubungan dengan khui sehubungan dengan kesalahan esalahan konsepkonsep dalam pembelajaran log
dalam pembelajaran logika matematika di sekoika matematika di sekolah. Hal ini penting lah. Hal ini penting untuk kita keuntuk kita ketahui tahui sebagaisebagai antisipasi
antisipasi sekaligus sekaligus sebagai sebagai pengelaman pengelaman yang yang berharga berharga bagi bagi setiap setiap calon calon guru guru maupun maupun guruguru matematika. Namun tentu saja
matematika. Namun tentu saja tidak semua kesalahan tidak semua kesalahan atau kemungkinan kesalahan konsep dapatatau kemungkinan kesalahan konsep dapat kita
kita diskusikan diskusikan di di sini. sini. Dalam Dalam hal hal ini ini hanyalah hanyalah suatu suatu contoh contoh kesalahan kesalahan konsep konsep yang yang bersifatbersifat mendasar,
mendasar, sehingga sehingga mengakibatkan mengakibatkan fatalnya fatalnya pembelajaran matematpembelajaran matematika yang ika yang bermakna.bermakna. Berdasa
Berdasarkan rkan temuan temuan penulis penulis mengkaji mengkaji buku-buku buku-buku matematimatematika ka sekolah ysekolah yang ang banyakbanyak beredar
beredar di di lapangan lapangan ada ada beberapa buku beberapa buku yang penulis yang penulis pandang telah pandang telah terjadi terjadi kesalahan kesalahan konsepkonsep yang
yang sangat sangat mengganggmengganggu u dan dan merugikan merugikan bagi bagi guru guru dan dan peserta peserta didik didik yang yang mempelajarimempelajari matemat
matematika, ika, khususnya khususnya untuk untuk konsep-konsep ykonsep-konsep yang ang sedang sedang kita kita diskusikan sekarang diskusikan sekarang ini ini (logika(logika matematika). Misalnya tentang konsep kalimat matematika tertutup (per nyataan/ preposisi) dan matematika). Misalnya tentang konsep kalimat matematika tertutup (per nyataan/ preposisi) dan kalimat matematika terbuka.
kalimat matematika terbuka. Ada
Ada beberapa beberapa buku buku yang yang mendefinisikan mendefinisikan kalimat kalimat terbuka terbuka (bukan (bukan preposisi)preposisi) adalah kalimat matematika yang memuat
adalah kalimat matematika yang memuat variabel.variabel. Contoh 37
Contoh 37 a. x + 2 = 5 a. x + 2 = 5 b. Ia adalah seo
b. Ia adalah seorang guru rang guru matematikamatematika c. y c. y 2 2 + y+ y – – 6 = 0 6 = 0 d. d. x x + + 2 2 55 Kesimpulan Kesimpulan
Berdasarkan penjelasan-penjelasan diatas, simpulan yang diperoleh penulis adalah Berdasarkan penjelasan-penjelasan diatas, simpulan yang diperoleh penulis adalah sebagai berikut. 1) Agar materi matematika tidak bersifat teoritik saja, salah satu bahasan, logika sebagai berikut. 1) Agar materi matematika tidak bersifat teoritik saja, salah satu bahasan, logika matematika yang selama ini kita pelajari harus mampu jabarkan pada realitas. 2) Logika matematika yang selama ini kita pelajari harus mampu jabarkan pada realitas. 2) Logika matematika dan dialektika menggunakan pendekatan yang sama yaitu filsafat. 3) Logika matematika dan dialektika menggunakan pendekatan yang sama yaitu filsafat. 3) Logika Matematika atau Logika Simbolis memiliki sifat yang sama dengan Logika Klasik untuk Matematika atau Logika Simbolis memiliki sifat yang sama dengan Logika Klasik untuk menyelesaikan suatu persoalan
menyelesaikan suatu persoalan
.
.
Pustaka Pustaka
http://www.britannica.com/AnIntroduction-to-Logic-and-theScientific-Method/dp/1931541914 http://www.britannica.com/AnIntroduction-to-Logic-and-theScientific-Method/dp/1931541914 Ensiklopedia britannica. (n.d). Formal Logic.
http://www.britannica.com/eb/arti cle-9110687/formal-logic. Gie, Liang. (1999). Filsafat http://www.britannica.com/eb/arti cle-9110687/formal-logic. Gie, Liang. (1999). Filsafat Matematika. PUBIB : Yogyakarta Keung Siu, Man. (n.d). Algorithmic Mathematic and Matematika. PUBIB : Yogyakarta Keung Siu, Man. (n.d). Algorithmic Mathematic and Dialectical mathematic. Journal of Department of Mathematic Education.
Dialectical mathematic. Journal of Department of Mathematic Education.
http://www. universityofhongkong.ch/dialectic a/algorithmic.htm Malaka, Tan. (1943). http://www. universityofhongkong.ch/dialectic a/algorithmic.htm Malaka, Tan. (1943). MADILOG. 6 Agustus 2014. http://www.scribd.com Natiello, Mario. (n.d). The Mathematical MADILOG. 6 Agustus 2014. http://www.scribd.com Natiello, Mario. (n.d). The Mathematical Manuscripts of Karl Marx. Centre for Mathematical Science.
