kuliah3_Analisis Kombinatorik

 Analisis

Tujuan

Tujuan

menghitung

menghitung jumlah

jumlah titik

titik sampel

sampel dalam

dalam Ruang

Ruang

Sampel n(S), dan event tertentu, mis n(A).

Sampel n(S), dan event tertentu, mis n(A).

Perhatikan :

Perhatikan :

11.. U

Urruuttaann



diperhatikan atau tidak

diperhatikan atau tidak

2.Pemulihan

2.Pemulihan



ada atau tanpa

ada atau tanpa

27/02/2018

27/02/2018 2

Hukum Penggandaan

Teorema: [Hukum penggandaan]

Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan

n

1

cara

dan setiap cara dapat dilanjutkan dengan operasi

kedua yang dapat dilakukan dengan

n

2

cara, dan

seterusnya sampai sederetan

k

 _{buah operasi, maka}

operasi tersebut dapat dikerjakan secara

bersama-sama dengan

n

1

x

n2

x

n3 x … x nk

cara

Operasi-1 …

n ₁ cara n ₂ cara n _kcara

n ₁ x n ₂ x n ₃ x … x n _k cara

Operasi-2 Operasi-k  

27/02/2018

Contoh

1.

Misalkan dalam suatu ujian disediakan 5 soal tipe

Benar Salah. Ada berapa cara kelima soal tersebut

dapat dijawab.

2.

Disediakan empat angka, yaitu 3, 4, 5 dan 6.

Tentukan berapa banyak bilangan puluhan yang

dapat dibentuk, jika setiap angka hanya boleh

digunakan satu kali.

3.

Nomer telepon extension IT Telkom terdiri dari 4

angka. Berapa peluang kita mendapatkan nomer

telpon yang keempat angkanya sama

1.

How many different positive three-digit whole

numbers can be formed from the four digits 2, 6,

7, and 9, if any digit can be repeated

2.

How many different positive whole numbers less

than 1000 can be formed from 2, 6, 7, and 9 if

any digit can be repeated

3.

How many different positive whole numbers less

than 680 can be formed from 2, 6, 7, and 9 if any

digit can be repeated

27/02/2018

4

. Answer question 1, 2, and 3 again for the

case where the digits 2, 6, 7, and 9 can not

 be repeated

Permutasi

Suatu penyusunan obyek-obyek yang berbeda.

Satu permutasi berbeda dari permutasi lainnya jika :

1. Urutan susunannya berbeda, atau

2. Anggotanya berbeda.

 AB

BA



urutan berbeda

 AC

AB



anggota berbeda

 

Gambaran Permutasi

9

cara

1 cara

1) x

2) x ? x 2 x 1 cara

1 cara

Tempat-1

Permutasi

Banyaknya permutasi dari

n

 _{benda yang berbeda, jika}

diambil

r

 _{benda sekaligus adalah}

 

n ! = n . (n-1) . (n-2) . … 3.2.1 0! = 1! = 1

Contoh Permutasi

1. Terdapat 3 buah buku matematika, 4 buah buku fisika dan 5 buah  buku kimia. Buku-buku tersebut akan disusun memanjang dalam

suatu rak buku. Tentukan banyak cara yang mungkin: a. jika semua buku dibedakan.

 b. jika semua buku harus dikelompokkan dan dibedakan.

c. jika semua buku harus dikelompokkan dan dibedakan, tetapi kelompok buku matematika harus diletakkan paling awal.

d. Jika buku yang sama tidak dibedakan (buku matematika dan fisika semua berbeda, sedangkan buku kimia terdiri dari 3 buku kimia I dan dua buku kimia II).

2. Empat orang siswa akan membentuk suatu grup musik dengan alat musik: gitar, piano, drum dan keyboard. Ada berapa formasi grup musik yang dapat dibentuk:

a. jika setiap siswa dapat memainkan keempat alat musik tersebut.  b. Jika siswa A hanya dapat bermain piano atau gitar, sedangkan ketiga temannya dapat memainkan semua alat musik.

Kombinasi



Definisi:

Kombinasi adalah kelompok yang dapat dibentuk

dari sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau

seluruhnya.

Catatan: urutan tidak diperhatikan dalam

kombinasi

 AB = BA



1 item

 AC



AB



anggota berbeda

Kombinasi

Teorema:

Banyaknya kombinasi dari

n

 _{benda yang berbeda}

 jika dipilih sebanyak

r

 _{benda sekaligus adalah :}

( , )

!

( , )

!

!

(

)!

n

_P

_n

_r

_n

C n r 

r 

r

r

n

r

 

 

 

 









Contoh

1. Dalam ujian Matematika, mahasiswa diharuskan

menjawab dan memilih 10 dari 12 soal yang

diberikan. Tentukan:

a. banyaknya pilihan berbeda yang mungkin.

 b. banyaknya pilihan berbeda yang mungkin jika 3 soal pertama harus dijawab.

c. banyaknya pilihan berbeda yang mungkin jika paling sedikit 3 dari 5 soal pertama harus dijawab.

27/02/2018

 Ada berapa carakah suatu panitia yang terdiri atas 3 orang dapat dibentuk dari 4 pasang suami istri, bila :

a. Semua orang dapat dipilih

 b. Panitia terdiri dari 2 pria dan 1 wanita c. Panitia terdiri dari paling sedikit 1 pria

Seorang mahasiswa hanya bisa menjawab 8 pertanyaan dari 10 pertanyaan yang diberikan. Berapa banyak cara mahasiswa tersebut memilih pertanyaan yang bisa dia  jawab, apabila :

a. Bebas memilih soal

 b. 3 pertanyaan pertama harus dijawab 15

contoh

2. Ada 3 guru dan 12 siswa yang akan pergi bertamasya

dengan menggunakan 3 mobil. Mobil pertama, kedua dan ketiga masing-masing berkapasitas 4, 6 dan 5 orang.

a. Tentukan banyaknya cara untuk mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil.? ??

 b. Tentukan banyaknya cara untuk mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil, jika di setiap mobil harus ada guru

c. Tentukan banyaknya cara untuk mengalokasikan ke 15 orang tersebut ke dalam mobil, jika siswa A dan B harus berada dalam satu mobil.

27/02/2018

contoh

3. Tiga buah kelereng akan disebar ke dua kotak.

a. Tentukan banyaknya penyebaran yang mungkin.

 b. Tentukan banyaknya penyebaran yang mungkin, jika setiap kotak harus terisi paling sedikit 1 kelereng.

4. Empat orang guru akan ditempatkan pada 2 sekolah. a. Tentukan ada berapa cara penempatan.

 b. Tentukan ada berapa cara penempatan, jika setiap sekolah minimal mendapat 1 guru.

c. Tentukan ada berapa cara penempatan, jika masing-masing sekolah mendapat 2 guru

SOAL-SOAL

5. Di suatu toko elektronik dijual 8 lemari es, 6 mesin cuci, 5 televisi, dan 10 oven microwave. Apabila seseorang akan membeli 4 barang dari toko tersebut, tentukan peluang bahwa dia akan membeli :

a) 2 oven microwave

 b) Minimal 1 televisi

6. Suatu delegasi yang beranggotakan 4 (empat) orang dipilih dari 7 orang perempuan dan 4 orang laki-laki. Dari sebelas orang tersebut, di

dalamnya termasuk Pak Sastro dan Bu Sastro. Delegasi yang

beranggotakan 4 orang tersebut, harus terdiri dari 2 orang perempuan dan 2 orang laki-laki. Berapa peluangnya untuk memilih delegasi

tersebut, dengan syarat Bu Sastro dan Pak Sastro tidak boleh terpilih bersamaa menjadi anggota delegasi tersebut.

27/02/2018

SOAL-SOAL

7. Dewan penasehat sekolah terdiri atas tiga orang. Jika tiga orang tersebut dipilih dari empat pasang suami istri,  berapa peluangnya bahwa tidak ada sepasang suami istri  yang terpilih menjadi Dewan Penasehat Sekolah ?

8. Calon Dewan Penasehat Sekolah, terdiri atas 4 pasang suami istri, 3 orang Jejaka lulusan S₂, dan 4 orang Gadis lulusan S₂ bidang pendidikan. Apabila Dewan Penasehat Sekolah terdiri dari tiga orang, berapa peluangnya ketiga orang tersebut mewakili semua unsur Calon Dewan

Penasehat Sekolah ?

SOAL-SOAL

9. Tujuh orang sarjana melamar pekerjaan untuk mengisi posisi sebagai supervisor di sebuah perusahaan. Ketujuh orang pelamar terdiri dari 4 (empat) orang sarjana teknik, sedangkan sisanya sarjana non teknik. Melalui proses

penyeleksian, dari tujuh orang tersebut akan dipilih 2 (dua) orang untuk diterima sebagai supervisor. Berapa peluang  bahwa :

 Paling sedikit 1 (satu) orang sarjana teknik yang akan diterima.  Keduanya adalah sarjana teknik atau sarjana non teknik.

10. Peluang suatu komite dengan anggota 4 orang yang

dipilih dari 6 dosen pria, 7 dosen wanita, dan 5 mahasiswa, apabila komite tersebut harus beranggotakan 1 dosen

 wanita adalah

27/02/2018

11. Dari 20 orang mahasiswa STT Telkom yang terdiri

dari 8 orang mahasiswa Teknik Elektro (TE), 6

orang mahasiswa Teknik Komputer (TK), dan 6

orang mahasiswa Teknik Informatika (IF), akan

dipilih 6 orang secara acak. Berapa peluang

terpilihnya 4 orang mahasiswa TE, atau 2 orang

mahasiswa TK, atau 4 orang mahasiswa IF ?

12. Dua angka dipilih secara acak dan tanpa

pemulihan dari angka-angka antara 1 sampai

dengan 9. Jika jumlahnya bernilai genap, maka

13. Sebuah kotak berisi 10 kapasitor 0,01 µF, 5 kapasitor

0,1 µF, dan 15 kapasitor 1,0 µF. Tiga kapasitor diambil berurutan secara acak. Hitunglah peluang ketiga

kapasitor yang terambil tersebut mempunyai ukuran kapasitas yang sama, apabila pengambilan dilakukan :

a. Dengan pemulihan

b. Tanpa pemulihan

14. Senat Mahasiswa IT Telkom bermaksud untuk mengadakan Roadshow untuk memperkenalkan IT Telkom ke SMA-SMA di Bandung. Untuk itu perlu dibentuk panitia yang mewakili 3

departemen di IT Telkom. Panitia tersebut beranggotakan 15 orang, yaitu 5 orang dari masing-masing departemen. Pemilihan anggota panitia dilakukan secara acak dari calon-calon tiap departemen :

 –Departemen Teknik Industri ada 10 mahasiswa dengan 4 orang

laki-laki dan sisanya wanita

 –Departemen Teknik Elektro ada 12 mahasiswa dengan 7 orang

laki-laki dan sisanya wanita

 –Departemen Teknik Informatika ada 8 mahasiswa dengan 4 orang