Bab 6. Migrasi Tipe I dan Tipe II. 6.1 Migrasi Tipe I

(1)

Migrasi Tipe I dan Tipe II

Orbit planet dapat bermigrasi menuju (atau dalam beberapa kasus menjauhi) bintang induknya sebagai akibat dari perpindahan momentum sudut antara cakram protoplanet dan planet. Migrasi planet terjadi saat sebuah planet atau satelit bintang lainnya berin-teraksi dengan sebuah cakram gas atau planetesimal, yang hasilnya adalah berubahnya parameter orbit satelit, terutama sumbu semimajornya.

Teori umum yang diterima mengenai pembentukan planet dari cakram akresi protobin-tang memprediksi bahwa planet raksasa tidak terbentuk sangat dekat dengan binprotobin-tangnya, karena tidak ada massa yang cukup pada radius yang begitu kecil dan temperatur yang terlalu tinggi untuk terbentuknya planetesimal yang berbatu atau mengandung es. Ini menjelaskan bahwa planet bermassa sekitar massa Bumi akan mengalami migrasi ke arah dalam jika planet tersebut terbentuk saat cakram gas masih ada. Ini akan mempengaruhi pembentukan inti dari planet-planet raksasa yang memiliki massa pada orde 10 kali massa Bumi, jika planet-planet tersebut terbentuk melalui mekanisme akresi inti.

Interaksi pasang surut dinamik dari protoplanet yang berkembang dengan cakram mengacu pada dua fenomena: Migrasi ke arah dalam dan pembentukan gap (celah). Untuk planet dengan massa yang rendah, interaksi pasang surut tersebut bersifat linier dan migrasi yang terjadi adalah migrasi tipe I. Sementara itu, planet dengan massa yang lebih besar mampu membuka sebuah celah dalam cakram, lalu mengalami migrasi ke arah dalam, yang biasa disebut dengan migrasi tipe II.

6.1 Migrasi Tipe I

Planet-planet yang berada dalam cakram gas dapat bermigrasi ke arah dalam skala waktu

∼105(_M_p_/M_⊕)−1 tahun. Proses ini disebut dengan migrasi tipe I. Jika migrasi tipe I pada 34

(2)

6.1. Migrasi Tipe I 35

cakram protobintang sama eﬁsiennya dengan perhitungan, protoplanet dapat bermigrasi ke arah permukaan bintang ketika massanya mencapai _M_p _> 1_M_⊕ karena skala waktu pertumbuhannya akan menjadi lebih panjang dari skala waktu migrasi.

Planet dengan massa sekitar massa Bumi mengendalikan gelombang kerapatan spi-ral dalam gas yang mengelilingi cakram planetesimal. Ketidakseimbangan terjadi dalam kekuatan interaksi dengan spiral di dalam dan di luar orbit planet. Pada kebanyakan kasus, gelombang bagian luar mendesak torsi yang besar pada planet daripada gelom-bang bagian dalam. Ini menyebabkan planet kehilangan momentum sudutnya dan planet tersebut bermigrasi ke arah dalam pada skala waktu yang singkat, relatif terhadap waktu hidup cakram yang jutaan tahun. Planet berakresi menuju pusat bintang. Migrasi dapat berhenti jika ada lubang di bagian dalam cakram, tapi planet pada jarak yang lebih besar lebih sulit dijelaskan.

Gambar 6.1: perturbasi kerapatan permukaan berhubungan dengan simpangan tipe I dari sebuah protoplanet relatif terhadap cakram gas dengan parameter konstan _α = 10−4. Gerakannya ke kiri; maksimum kerapatan memimpin planet dan kerapatan minimum mengikutinya (Ward 1997).

Kecepatan migrasi untuk planet bermassa rendah adalah:

dap

dt = 2fIaI

Γ

Lp

(6.1) di mana _L_p ≡_M_p(_GM_a_p)1/2 _{adalah momentum angular planet dan torsi total diberikan}

(3)

oleh: Γ = (1_.364 + 0_.541_αΣ,P) Mp M rpΩp Cs,P 2 Σ_p_r_p4Ω2_p (6.2) dengan _C_s adalah kecepatan suara dan _αΣ ≡ d_dlog Σ_log_r. Pada persamaan di atas subskrip P

menyatakan banyaknya kuantitas pada lokasi planet. Pada regime tipe I perturbasi yang terinduksi oleh planet dalam cakram gas tetap kecil. Secara khusus, viskositas masuk hanya secara tidak langsung melalui pengaruhnya pada besar dan gradien radial dari kerapatan permukaan dan kecepatan suara. Secara umum, torsi memiliki kesebandingan dengan massa planet sebesar_T ∼_M_p2 sehingga skala waktu migrasi pada skala radius yang diberikan adalah _τ ∼_M_p−1. Migrasi tipe I menjadi penting saat massa planet bertambah. Gambar 6.1 menunjukkan perturbasi kerapatan permukaan untuk migrasi tipe I. Per-gerakannya ke arah kiri, sehingga kerapatan maksimumnya berada di depan protoplanet dan kerapatan minimumnya berada di belakangnya. Gangguan mengikuti planet saat planet bergeser. Apabila kita dapat mendeteksi fenomena ini dalam sebuah cakram sirkumstellar, maka hal ini merupakan suatu diagnostik dari protoplanet yang mengalami migrasi tipe I yang cepat.

Menurut hukum ketiga Newton, planet mengalami torsi yang berlawanan dengan torsi yang dia berikan pada cakram. Dalam kasus umum, torsi ini dapat dinyatakan sebagai variasi setengah sumbu panjang dan eksentrisitas orbit planet. Kekekalan momentum sudut memberikan: d dr(Mpr 2 pΩp) =−T(rin, rext) (6.3) yang berarti drp dt = 2_T(_r_in_{, r}_ext) Mprp2Ωp (6.4) Untuk suatu orbit eksentrik, variasi eksentrisitas diperoleh dengan menghubungkan variasi energi total dengan torsi yang diberikan. Waktu karakteristik migrasi orbital adalah:

τ1 = 1

rp

drp

dt (6.5)

Dalam suatu cakram non-turbulen dan tidak mengandung medan magnetik, torsi yang diberikan oleh planet pada cakram adalah positif, menyebabkan planet bermigrasi menuju

(4)

6.1. Migrasi Tipe I 37

interior cakram. Dalam kasus gangguan linier yang ditinjau di sini, keadaan kesetim-bangan cakram tidak dimodiﬁkasi oleh planet. Planet mengeksitasi gelombang kerapatan yang menjalar menuju eksterior, disuperposisikan dengan keadaan kesetimbangan tetapi tanpa interaksi dengan keadaan tersebut. Karena itu, planet bermigrasi terhadap gas yang dikandung dalam cakram.

Dalam cakram dengan parameter _α = 10−2 dan _M˙ = 10−7_M tahun−1 didapat

H/r 10−1 dan Σ 600 g cm−2 (Papaloizou & Terquem 1999), memberikan _τ1 ∼10−5

tahun untuk planet dengan massa 1_M_⊕ pada _r = 1_AU jika kita mengabaikan gradien temperatur. Dalam cakram yang sama, kita peroleh _τ ∼104 tahun untuk planet dengan massa 10 _M_⊕ pada _r = 5_AU (di mana Σ 300 g cm−2 dan _H/r 10−1). Waktu ini jelas jauh lebih singkat daripada kala hidup cakram atau waktu pembentukan planet. Namun perlu diingat bahwa hanya torsi Lindblad yang diperhitungkan dalam estimasi

τ1 tersebut. Waktu migrasi dapat dipersingkat dengan torsi korotasi. Umumnya, hal ini

bagaimana pun kurang penting dalam nilai mutlak dibandingkan dengan torsi Lindblad (Korycansky & Pollack 1993). Tanaka, Takeuchi & Ward (2002) telah menemukan bahwa net torque berkurang dengan faktor 2-3 seperti dibandingkan dengan model dua dimensi, tetapi migrasi tersebut tetap menuju ke dalam dan cepat.

Teori di atas memperkirakan bahwa planet kebumian bermigrasi menuju interior cak-ram sebelum cakcak-ram mengalami disipasi, dan inti planet raksasa juga menghilang dalam bagian internal sebelum gas dari amplop tidak lagi dapat diakresi. Solusi dari problem ini mungkin berasal dari kehadiran medan magnetik dalam cakram. Suatu cakram yang men-gandung medan magnetik subtermal terkait dengan ketidakstabilan magnetorotasional dan menjadi turbulen (Balbus & Hawley, 1991, 1998), yang membangkitkan ﬂuktuasi ke-rapatan yang menyebabkan migrasi tipe I stokastik (Nelson & Papaloizou 2004). Selama berlangsungnya simulasi numerik yang dilakukan saat itu, inti planet mengalami per-lakuan kebetulan dan migrasi menjadi tak menentu. Menurut simulasi tersebut, cakram tidak tampak seperti cakram laminar (non-turbulen) dengan kerapatan massa rata-rata terhadap mana ﬂuktuasi Gaussian bersuperposisi dengan waktu karakteristik sama de-ngan waktu orbital (Nelson 2005).

Migrasi juga dapat diperlambat, bahkan dibalik, oleh aksi medan magnetik global dalam cakram (Terquem 2003, Froman et al. 2005), oleh kehadiran deformasi global dari cakram akibat eksentrisitas tak nol (Papaloizou 2002) atau oleh transisi dalam rezim opasitas cakram (Menou & Goodman 2004).

(5)

Dalam rezim linier seperti yang kita bahas di sini, gangguan disuperposisikan dengan keadaan kesetimbangan cakram tetapi tidak berinteraksi dengannya, dan cakram tidak memberikan torsi ke planet. Pada waktu bersamaan, ketika planet bermigrasi memotong cakram, dia mendorong gas di depannya. Hal itu menyebabkan peningkatan kerapatan massa di depan planet, dan sebaliknya pengurangan kerapatan di belakang planet. Seba-liknya, torsi menghasilkan melalui proﬁl massa yang diganggu tersebut terhadap planet menentang pada geraknya.

Migrasi tipe I dihentikan ketika planet cukup massif untuk mengganggu secara sig-nifikan profil kerapatan dalam cakram, yaitu ketika gangguan menjadi non-linier sangat kuat (Ward 1997). Karena viskositas cenderung memperkecil gangguan profil kerapa-tan, maka dia memperkecil torsi yang diberikan oleh cakram terhadap planet. Akibatnya rezime linier tetap berlaku untuk massa planet yang cukup besar sehingga viskositas menjadi penting.

6.2 Migrasi Tipe II

Tipe Migrasi berubah dari tipe I ke tipe II saat planet menjadi cukup besar untuk mem-buka sebuah celah pada cakram. Ini terjadi saat radius Hills dari planet menjadi lebih besar dari skala kerapatan ketinggian ˜_H dari cakram. Planet dengan massa lebih dari 10 massa bumi menghilangkan celah dalam cakram, dan menyelesaikan migrasi tipe I. Tetapi, materi tetap terus memasuki celah pada skala waktu cakram akresi yang lebih besar, menggerakkan planet dan celah ke arah dalam pada skala waktu akresi cakram.

Ketika planet menjadi cukup masif, gangguan yang dia berikan dalam cakram tidak lagi dapat dianggap linier: struktur cakram di sekitar planet menjadi termodiﬁkasi, yang dinyatakan oleh torsi terhadap planet. Jika gelombang kerapatan yang dieksitasi oleh planet mengalami disipasi secara lokal dalam kejutan, momentum sudut yang ditransfer ditumpuk dalam cakram di sekitar planet, dan suatu celah (gap) terbentuk (Goldreich & Tremaine 1980; Lin & Papaloizou 1979, 1993). Sama seperti kasus linier, bagian cakram yang terletak pada _{r > r}_p memperoleh momentum sudut ketika mereka berinteraksi dengan planet, karena mereka memiliki kecepatan sudut lebih kecil, sedangkan bagian cakram yang terletak pada _{r < r}_p kehilangan momentum sudut. Karena momentum sudut dalam cakram Keplerian meningkat dengan jarak ke pusat, maka gas cenderung menjauh dari orbit planet.

(6)

6.2. Migrasi Tipe II 39

6.2.1 Pembentukan Celah: Kriteria Pertama

Untuk sebuah celah dengan lebar Δ_rdi sekitar planet dengan rasio massa_q=_M_p_/Mdan mengorbit pada jarak _r_p, torsi tipe I dapat membuka celah pada skala waktu (Takeuchi, Miyama & Lin 1996):

τopen ∼ 1 m2q2 Δ_r rp 2 Ω−_p1 (6.6)

Torsi Lindblad menjadi maksimum pada posisi resonansi Lindblad efektif pada _m ∼

r/H. Akibatnya, suatu celah terbentuk jika gelombang yang tereksitasi di tempat tersebut mengalami disipasi sebelum dapat menjalar secara signiﬁkan. Jika disipasi terjadi akibat ketidaklinieran gelombang, hal tersebut meminta (Lin & Papaloizou 1993; Korycansky & Papaloizou 1996; Ward 1997): Mp M ≥ H r 3 (6.7) untuk _M = 1_M dan _H/r ∼ 0_,1, _M_p ∼ 1_M_Jup. Kriteria ini dikonﬁrmasi oleh simulasi numerik oleh Papaloizou et al. (2004).

Pernyataan di atas ekivalen dengan _R_H _{> H}, di mana _R_H =_r[_M_p_/(3_M)]1/3 _adalah radius Hill planet tersebut. Maka lebar celah ditentukan oleh radius Hill daripada oleh H.

6.2.2 Mempertahankan Celah: Kriteria Kedua

Turbulensi dalam cakram, yang berkelakuan seperti suatu viskositas, cenderung mendi-fusikan gas pada interior celah. Agar hal ini dipertahankan, maka torsi yang diberikan oleh planet haruslah lebih besar daripada torsi ‘viskos’ dari cakram.

Gambar 6.2 mengilustrasikan hamburan dari suatu partikel dengan massa _m oleh planet dengan massa_M_p (Hamburan Rutherford). Kita asumsikan di sini bahwa interaksi bersifat lokal sehingga kita abaikan lintasan lengkung partikel. Kita bergerak dalam acuan yang berputar berpusat di planet, tetapi kita abaikan gaya inersia. Perhitungan yang lebih teliti dengan memasukkan gaya-gaya tersebut hanya menambahkan faktor korektif dalam orde satuan (Goldreich & Tremaine 1980, Lin & Papaloizou 1993). Kekekalan energi dan momentum sudut dalam acuan pusat massa mengakibatkan _b =_b dan _V0 =V0. Variasi

(7)

Gambar 6.2: Hamburan partikel dengan massa _moleh planet dengan massa_M_p. _badalah parameter impak dan V0 adalah kecepatan relatif awal. Ketika terjadi interaksi antara

keduanya, lintasan partikel dibelokkan dengan sudut sebesar _δ. Kecepatan relatif setelah interaksi adalah V₀. Variasi kecepatan menjadi ΔV =V₀−V0.

ΔV = +∞

−∞−

GMp

r2 urdt (6.8)

Karena |ΔV|= 2_V0sinδ/2, maka kita dapatkan:

2_V0sin δ 2 = +∞ −∞− GMp r2 cosθdt (6.9)

Berbagai kuantitas yang muncul dalam persamaan-persamaan ini diuraikan dalam gambar 6.2. Kekekalan momentum sudut dalam acuan dari pusat massa memberikan

r2 =_bV0/(dθ/dt). Jika kita tuliskan integral di atas dalam bentuk:

₍_π₊_δ₎_/₂ (π+δ)/2 GMp V0b cosθdt (6.10) maka didapat tan δ 2 = GMp V02b (6.11) Karena itu, seperti ditunjukkan pada gambar 6.3, partikel dan planet berputar me-ngitari bintang pusat. Transfer momentum sudut antara kedua benda bergantung pada

(8)

Gambar 6.3: Partikel dengan massa _m dan planet dengan massa _M_p berada dalam orbit mengelilingi bintang pusat.

komponen ortoradial dari ΔV (menurut u_ϕ, yaitu Δ_V_ϕ = Δ_V sin_δ/2). Jika _δ1, yaitu keberadaan celah dengan lebar ∼_R_H berakibat bahwa partikel-partikel yang berinteraksi dengan planet adalah cukup jauh sehingga lintasannya hanya sedikit terbelokkan, maka didapat: Δ_V_ϕ _V0δ 2 2 = 2_G2_M_p2 V03b2 (6.12) Dan variasi dari momentum sudut dari partikel dengan massa _m per satuan massa adalah, dalam kasus _b _r_p (karena _b _R_H), Δ_J = _r_pΔ_V_ϕ. Variasi momentum sudut planet adalah (per satuan massa partikel): Δ_J_p = −Δ_J. Maka kita lihat bahwa planet memberikan momentum sudut pada bagian eksternal cakram dan mengambilnya pada bagian internal: gas didorong ke satu bagian dan bagian lain dari orbitnya.

(9)

Kita asumsikan bahwa suatu proses disipatif dalam cakram (akibat turbulensi) mem-buat kembali partikel terhadap lintasan lingkaran setelah interaksi, memberikan per-tukaran momentum sudut antara partikel dan planet terjadi. Kecepatan relatifnya adalah:

V0 =rp|Ω(rp+b)−Ω(rp)| 3bΩ(rp)/2 (6.13) pada orde pertama tak nol. Selain itu, selang waktu antara kedua interaksi adalah:

T = 2π

|Ω(_r_p+_b)−Ω(_r)|

4_πr_p

3_bΩ(_r_p) (6.14) Dan variasi momentum sudut planet persatuan waktu dan per satuan massa partikel adalah Δ_J_p_/T. Maka, variasi total momentum sudut planet akibat interaksi dengan bagian eksternal cakram adalah:

dJp dt = ₊_∞ bmin Δ_J_p T 2πrpΣpdb=− 8_G2_M_p2_r_pΣ_p 27Ω2_p_b3_min (6.15) Kita memulai integrasi dimulai dari _b = _b_min karena kita asumsikan adanya celah di sekeliling orbit planet. Variasi momentum sudut akibat interaksi dengan bagian internal memberikan nilai mutlak yang sama tetapi berlawanan.

Celah hanya dapat dipertahankan jika|_dJ_p_/dt|_>|_dJ_visc_/dt|, di mana_dJ_visc = 3_πνΣ_p_r2_pΩ_p mewakili torsi viskos pada _r = _r_p dan _ν adalah viskositas kinematik. Jika _b_min ∼ _R_H (celah dengan lebar ∼2_R_H), syarat tersebut dapat ditulis:

Mp

M > 10_ν

r_p2Ω_p (6.16)

Kedua kriteria (6.7) dan (6.16) harus dipenuhi. Fakta bahwa syarat (6.16) memberikan nilai_M_pyang kecil dalam cakram dengan viskositas rendah tidak berarti bahwa planet de-ngan massa beberapa kali massa bumi dapat membuka celah. Bahkan jika gelombang yang dieksitasi oleh planet yang demikian mengalami disipasi dalam kejutan, disipasi tersebut tidaklah bersifat lokal, sehingga momentum sudut tidak ditransfer disekitar planet.

Telah kita asumsikan bahwa cakram memiliki viskositas_ν berjenis Navier-Stokes. Sim-ulasi numerik oleh Winter et al. (2003) serta Nelson & Papaloizou (2003), di mana sebuah planet raksasa berinteraksi dengan cakram turbulen, menunjukkan limit dari hipotesa tersebut. Simulasi tersebut memang menujukkan bahwa celah tidaklah kosong ketika torsi pasang surut lebih lemah daripada torsi yang cenderung mendifusikan materi ke interior, tetapi kesulitannya adalah mendeﬁnisikan torsi turbulen tersebut. Jika torsi tur-bulen dalam ketiadaan planet dapat dimodelkan oleh viskositas yang ekivalen dengan _ν

(10)

berjenis Navier-Stokes, maka viskositas tersebut jauh lebih lemah di sekitar celah ketika sebuah planet diperhitungkan. Karena itu sangatlah sulit diketahui dalam kondisi ini berapa nilai _ν yang harus digunakan untuk kriteria (6.16).

6.2.3 Peluruhan Orbit

Ketika kedua kriteria tersebut dipenuhi, transfer massa memotong celah berkurang, bahkan berhenti (Bryden et al. 1999, Kley 1999). Namun selalu terdapat transfer momentum sudut dari bagian internal cakram menuju planet dan dari planet menuju bagian eksternal cakram. Jika cakram bersifat turbulen, himpunan yang terdiri dari cakram dan planet ‘terkunci’ dalam celah, sehingga mengevolusikan suatu konser dalam proses difusi tur-bulen. Selama evolusi cakram, materi disorong ke tepi luar dari celah sehingga tepi dalam menjauh dari planet. Karena itu, torsi Lindblad menjadi lebih penting di tepi luar, dan planet berpindah menuju tepi dalam dengan cara mengembalikan kesetimbangan. Waktu karakteristik migrasi di sini adalah waktu viskos dari cakram:

τII(tahun) = 1 3_α r H 2 Ω−1 = 0_,051 α r H 2 _r AU 3/2 (6.17) Di mana turbulensi dimodelkan oleh viskositas jenis _α (Shakura & Sunyaev 1973). Migrasi ini disebut migrasi tipe II. Berbeda dengan kasus migrasi tipe I, planet bermigrasi bersama gas, dan bukan terhadap gas.

Pernyataan _τ_II terbebas dar _M_p dan Σ, tetapi secara implisit kita asumsikan bahwa massa gas di interior orbit planet adalah sekitar _M_p. Jika cakram kurang masif, tidak akan ada cukup gas di sekitar planet untuk menyerap momentum sudut planet dan migrasi akan diperlambat (Syer & Clarke 1995; Ivanov et al. 1999).

Sekali terbentuk, planet-planet yang bermigrasi ke arah dalam dengan tipe II dan sete-lah itu akan ditelan oleh bintangnya atau tetap mengorbit pada suatu radius menengah oleh dispersal cakram protoplanet. Lebih lagi, diprediksi bahwa migrasi ke arah luar dapat terjadi dalam cakram di mana kehilangan massa yang kuat mendorong kecepatan radial ke arah luar dalam region tempat terbentuknya planet raksasa.

Tidak ada mekanisme umum yang dapat menghentikan migrasi tipe II yang diusulkan sampai saat ini. Mungkin saja bahwa hanya massa gas yang masih dalam cakram setelah pembentukan planet raksasa yang menentukan apakah migrasi terjadi atau tidak.