Agus Miftakus Surur1 , Yudi Ari Adi2 , dan Sugiyanto3

(1)

Penyelesaian Persamaan Telegraph Dan Simulasinya

Agus Miftakus Surur

1

_{, Yudi Ari Adi}

2

_{, dan Sugiyanto}

3

1,3_{Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda}

Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia

2_{Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Ahmad Dahlan, Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH}

Janturan Yogyakarta, Indonesia

Korespondensi; Sugiyanto, Email: [email protected]

Abstrak

Persamaan Telegraph adalah salah satu jenis dari persamaan gelombang. Pemecahan persamaan gelombang dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi Green dengan metode kondisi batas. Penelitian ini bertujuan untuk menunjukkan proses mendapatkan rumus matematika dari persamaan gelombang dan juga mengetahui bentuk solusi persamaan gelombang dengan menggunakan fungsi Green. Hasil analisis menunjukkan bahwa proses mendapatkan rumus matematis dari persamaan gelombang dari fungsi Green yang berlaku dalam persamaan yang berhubungan dengan persamaan gelombang, yang diterapkan pada persamaan Telegraph. Solusi dimulai dengan mencari bentuk publik dari fungsi Green, selanjutnya mencari penyelesaian persamaan gelombang dalam fungsi Green. Aplikasi dari persamaan gelombang digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan Telegraph. Hasil dari persamaan Telegraph yang telah diperoleh akan ditampilkan dalam bentuk gambar (Bisa diketahui dengan simulasi) sehingga bentuk dari persamaan Telegraph.

Kata Kunci:

Abstract

Equation Telegraph is one of type from wave equation. Solving of the wave equation obtainable by using Green's function with the method of boundary condition problem. This research aim to to show the process obtain;get the mathematical formula from wave equation and also know the form of solution of wave equation by using Green's function. Result of analysis indicate that the process get the mathematical formula from wave equation from applicable Green's function in equation which deal with the wave equation, that is applied in equation Telegraph. Solution started with searching public form from Green's function, hereinafter look for the solving of wave equation in Green's function. Application from the wave equation used to look for the solving of equation Telegraph. Result from equation Telegraph which have been obtained will be shown in the form of picture (knowable to simulasi) so that form of the the equation Telegraph.

Keywords

Pendahuluan

Fungsi Green merupakan suatu fungsi yang mempunyai kriteria khusus. Fungsi Green juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial: persamaan Gelombang dan persamaan Panas. Cabang dari persamaan Gelombang ada beberapa persamaan diantaranya persamaan Schrodinger dan persamaan Telegraph.

Persamaan Telegraph adalah persamaan yang diambil sebagai aplikasi dari persamaan Gelombang yang diselesaikan dengan fungsi Green dengan metode masalah syarat batas dari persamaan diferensial.

Persamaan Telegraph

(2)

𝑢𝑥𝑥 = 𝐶𝐿𝑢𝑡𝑡+ (𝑅𝐶 + 𝐶𝐿)𝑢𝑇+ 𝑅𝐺𝑢

Persamaan diferensial parsial di atas disebut dengan Persamaan Telegraph. Dimana 𝑅 adalah suatu daya, 𝐿 adalah suatu induksi, 𝐶 adalah suatu kapasitor, dan 𝐺 adalah suatu kebocoran, dari semua bagian tersebut diukur panjangnya (besarnya) dari suatu kabel. Suatu fungsi yang tidak diketahuin 𝑢(𝑥; 𝑡) bisa menggambarkan besarnya tegangan volt atau arus pada suatu waktu 𝑡, pada posisi 𝑥 dari suatu kabel tersebut dimana 𝑡 > 0, −∞ < 𝑥 < ∞.

Untuk memperoleh bentuk yang lebih sesuai dalam menguraikan ini, maka dengan memberikan permisalan

Dengan demikian hanya membutuhkan penyelesaian dari persamaan (1) dari nilai 𝛼 dan 𝛽 dengan ketentuan 𝛽2− 𝛼 ≥ 0. (1) diselesaikan dari nilai yang berubah-ubah pada 𝛼, 𝛽. Untuk lebih detailnya, dipunyai dua kasus:

Kasus I : 𝛽2 > 𝛼 Kasus II : 𝛽2 = 𝛼

Karena persamaan Telegraph merupakan orde dua, maka untuk dasar menetapkan dua kondisi awal:

𝑢(𝑥; 0) = 𝑓1(𝑥), 𝑢𝑡(𝑥; 0) = 𝑓2(𝑥)

Persamaan tersebut adalah linear dan homogen, maka pertama dapat menyelesaikannya dengan 𝑓1 = 0, kemudian menyelesaikan dengan 𝑓2 = 0, dan menjumlahkan hasil-hasilnya.

Sebagai pendahuluan penyederhanaan, didefinisikan 𝑢(𝑥; 𝑡) = 𝑢(𝑥; 𝑡)𝑒𝛽𝑡 transformasi dari persamaan telegraph untuk bentuk khusus dengan 𝛽 = 0, supaya persamaan menjadi 𝑢_𝑡𝑡 = 𝑐2𝑣_𝑥𝑥+ 𝑘2_𝑣_{, yang sesuai untuk kasus 1.}

1. Kasus I

Pada kasus 1 yaitu 𝛼 < 𝛽2, yang merupakan masalah nilai awal dari 𝑣_𝑡𝑡 − 𝑐2𝑣_𝑥𝑥 = 𝑘2𝑣 dengan 𝑣(𝑥; 0) = 𝑓1(𝑥), 𝑣𝑡(𝑥; 0) = 𝑓2(𝑥).

Untuk menghubungkan susunan tersebut pada persamaan gelombang, dimasukkan sebuah variabel baru yang bebas yaitu 𝑦 dan fungsi menjadi

(3)

Dengan 𝑤(𝑥; 𝑦; 0) = 𝑓₁(𝑥)𝑒( 𝑘𝑦

𝑐)_,𝑤(𝑥; 𝑦; 0) = 𝑓₂(𝑥)𝑒(𝑘𝑦𝑐)_.

Persamaan gelombang ini diselesaikan dengan formula

𝑤(𝑥; 𝑦; 𝑡) =_𝑑𝑡𝑑 (𝑡𝑀𝑐𝑡𝐹1) + 𝑡𝑀𝑐𝑡𝐹2

Dimana 𝐹₁(𝑥, 𝑦) = 𝑓₁𝑒(𝑘𝑦𝑐), 𝐹₂(𝑥, 𝑦) = 𝑓₂𝑒(𝑘𝑦𝑐).

Nilai operator rata-ratanya adalah dinyatakan dari:

𝑀𝑐𝑡𝐹1(𝑥, 𝑦) =_{2𝜋𝑐𝑡}1 ∬ 𝐹𝑖(𝑥+𝜉1,𝑦+𝜉2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2

(4)

(5)

= _{2𝜋𝑐𝑡 ∫ 𝑓}1 𝑖(𝑥 + 𝜉1)𝑑𝜉1 Untuk menemukan penyelesaian yang lebih umum, dibutuhkan mendiferensialkan integral tersebut terhadap 𝑡:

(6)

𝐹𝑘(𝜇) =_2𝜋1 ∫ 𝑒_−∞∞ −𝑖𝜇𝑥𝑓𝑖(𝑥)𝑑𝑥 𝑘 = 1,2 (8)

Dengan membalikkan formula, sehingga diperoleh

𝑓𝑘(𝑥) = ∫ 𝑒_−∞∞ 𝑖𝜇𝑥𝐹𝑖(𝜇)𝑑𝜇 𝑘 = 1,2 (9)

Gambaran Fourier yang diinginkan dari penyelesaian 𝑣 adalah

𝑣(𝑥; 𝑡) = ∫ 𝑉(𝜇, 𝑡)𝑒∞ 𝑖𝜇𝑥

−∞ 𝑑𝜇 (10)

Dimana 𝑉(𝜇, 𝑡) adalah fungsi yang akan ditentukan. Untuk melakukan ini, (10) disubsitusikan ke dalam persamaan gelombang (7)

0 = [ ∫ 𝑉(𝜇; 𝑡)

∞

−∞

+ 𝑐2_𝜇2_{𝑉(𝜇; 𝑡)] 𝑒}𝑖𝜇𝑥_𝑑𝜇

Ini diperlukan oleh untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa

𝑉𝑡𝑡+ 𝑐2𝜇2𝑉(𝜇; 𝑡) = 0

Sehingga

𝑉(𝜇; 𝑡) = 𝐴(𝜇) cos 𝜇𝑐𝑡 + 𝐵(𝜇) sin 𝜇𝑐𝑡 (11)

Untuk memperoleh 𝐴(𝜇) dan 𝐵(𝜇), diberikan 𝑡 = 0 pada (10) dan (11)

𝑣(𝑥; 0) = ∫ 𝐴(𝜇) 𝑒∞ 𝑖𝜇𝑥

−∞ 𝑑𝜇, 𝑣𝑡(𝑥; 0) = ∫ 𝜇𝑐𝐵(𝜇) 𝑒𝑖𝜇𝑥 ∞

−∞ 𝑑𝜇

Membandingkan dengan (9) dan kondisi awal dari (7), dipunyai

𝐹1(𝜇) = 𝐴(𝜇), 𝐹2(𝜇) = 𝜇𝑐𝐵(𝜇)

Disubtitusikan ke dalam (11) dan mengembalikan dari (10). Diperoleh gambaran Fourier

𝑣(𝑥; 𝑡) = ∫ [𝐹_−∞∞ 1(𝜇) cos 𝜇𝑐𝑡 + 𝐹2(𝜇)sin 𝜇𝑐𝑡_𝜇𝑐 ] 𝑒𝑖𝜇𝑥𝑑𝜇 (12)

Dengan menggunakan (12) didapatkan gambaran yang berhubungannya dengan fungsi-fungsi 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) yang telah diberikan. Ingat kembali bahwa

cos 𝜃 = 1₂(𝑒𝑖𝜃_{+ 𝑒}−𝑖𝜃₎ _{sin 𝜃 =} 1

2𝑖(𝑒𝑖𝜃− 𝑒−𝑖𝜃)

Maka

∫ 𝐹1(𝜇) cos 𝜇𝑐𝑡 𝑒𝑖𝜇𝑥 ∞

−∞

𝑑𝑢 = ∫ 𝐹1(𝜇)1_{2 (𝑒}𝑖𝜇𝑐𝑡+ 𝑒−𝑖𝜇𝑐𝑡) 𝑒𝑖𝜇𝑥 ∞

−∞

𝑑𝜇

= 1_{2 ∫ 𝐹}1(𝜇)(𝑒𝑖𝜇(𝑥+𝑐𝑡)+ 𝑒−𝑖𝜇(𝑥−𝑐𝑡)) ∞

−∞

(7)

=1

2[𝑓1(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡)] Dengan cara yang sama

∫ 𝐹2(𝜇)sin 𝜇𝑐𝑡_{𝜇𝑐 𝑒}𝑖𝜇𝑥

Dari hasil di atas jika keduanya dijumlahkan maka akan diperoleh:

𝑣(𝑥; 𝑡) = 1₂[𝑓1(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡)] +_2𝑐1 ∫_{𝑥−𝑐𝑡}𝑥+𝑐𝑡𝑓2(𝜉)𝑑𝜉 (13)

Inilah bentuk persamaan Telegraph pada saat kasus II.

Simulasi Persamaan Telegraph

Simulasi, pada penelitian ini adalah bentuk (gambar) dari persamaan telegraph setelah di-plot ke dalam salah satu software ternama yaitu Mathematica versi 6, sehingga diketahui bentuk dari persamaan Telegraph berdasar dari persamaan yang telah didapatkan di atas.

Sebagai langkah awal untuk mencari simulasi persamaan Telegraph ini, dimasukkan suatu nilai (angka) pada variabel.

𝑣(𝑥; 𝑡) =_2𝑐1 ∫ 𝑓_−𝑐𝑡𝑐𝑡 2(𝑥 + 𝜉)𝐼0[𝑘_𝑐√(𝑐𝑡)2− 𝜉2] 𝑑𝜉

+_2𝑐1 [𝑓1(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡)] +𝑘1₂ ∫ 𝑓_−𝑐𝑡𝑐𝑡 2(𝑥 + 𝜉)𝐼1[𝑘_𝑐√(𝑐𝑡)2− 𝜉2] 𝑑𝜉

(8)

Gambar 1 Output pada interval 𝑥 = {𝑥|3 ≤ 𝑥 ≤ 4}; 𝑡 = {𝑡|1 ≤ 𝑡 ≤ 2}.

Pada interval 𝑥 = {𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 5}; 𝑡 = {𝑡|1 ≤ 𝑡 ≤ 20}, simulasinya:

Pada interval 𝑥 = {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 10}; 𝑡 = {𝑡|0 ≤ 𝑡 ≤ 20}

(9)

Selanjutnya aka dicari simulasi pada kasus II. Langkah untuk mencari simulasi hampir sama seperti langkah pada kasus I, hanya saja persamaan yang digunakan berbeda, sehingga hasil yang diperoleh juga berbeda dengan kasus I.

Diawali dengan mengambl persamaan yang sudah diperoleh dari penjabaran:

𝑣(𝑥; 𝑡) =1₂[𝑓1(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡)] +_{2𝑐 ∫ 𝑓}1 2(𝜉) 𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

𝑑𝜉

Dengan nilai tiap variabelnya: 𝑐 = 1; interval 𝑥 = {𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 2}; 𝑡 = {𝑥|2 ≤ 𝑡 ≤ 20} dan 𝑓₁ = 𝑥, 𝑓2 = 𝑥2

Gambar 4 Output pada interval 𝑥 = {𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 2}.

(10)

Kesimpulan

1. Persamaan Telegraph mempunyi bentuk umum

𝑢𝑡𝑡+ 2𝛽𝑢𝑡+ 𝛼𝑢 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥 Dan mempunyai dua:

Kasus I : 𝛽2 > 𝛼 Kasus II : 𝛽2 = 𝛼

2. Kasus I memperoleh persamaan Telegraph

𝑣(𝑥; 𝑡) =_2𝑐1 ∫ 𝑓_−𝑐𝑡𝑐𝑡 2(𝑥 + 𝜉)𝐼0[𝑘_𝑐√(𝑐𝑡)2− 𝜉2] 𝑑𝜉

+_2𝑐1 [𝑓1(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡)] +𝑘1₂ ∫ 𝑓_−𝑐𝑡𝑐𝑡 2(𝑥 + 𝜉)𝐼1[𝑘_𝑐√(𝑐𝑡)2− 𝜉2] 𝑑𝜉

Dan simulasinya dengan nilai tiap-tiap variabelnya:

𝑘 = 1; 𝑐 = 1; 𝜉 = 1; interval 𝑥 = {𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 2}; 𝑡 = {𝑥|2 ≤ 𝑡 ≤ 20} dan 𝑓₁ = 𝑥, 𝑓₂ = 𝑥2,

3. Kasus II memperoleh persamaan Telegraph

𝑣(𝑥; 𝑡) =1₂[𝑓1(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡)] +_{2𝑐 ∫ 𝑓}1 2(𝜉) 𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

𝑑𝜉

Dan simulasinya dengan nilai tiap-tiap variabelnya:

(11)

Referensi

[1] Pinsky, Mark A. 1998. “Partial Differential Equations and Boundary-Value PRobles with Applications 3rd_edition.

McGraw-Hill International Editions.

[2] Purcell, Edwin J. Varberg, Dale and Rigdon, Steve E.. 2001. Kalkulus. Jakarta: Erlangga. [3] Anton, Howard. 1995, Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.

[4] Soedijono, Bambang, 2004. Kalkulus III, Jakarta: Universitas Terbuka.

[5] Bracewell, Ronald N.. 2000. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill Higher Education. [6] Suriasumantri, Jujun S.. 1987. Filsafat Ilmu Sebuah Pengantar Populer. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan. [7] Tan, Soo T.. 2010. Calculus, Belmon USA: Brooks/Cole.

[8] Darmawijaya, Prof. Dr. Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real, Jurusan Matematika Fakultas MIPA UGM.

[9] Astuti, Fani Dwi, Fungsi Green dan Penerapannya pada Persamaan Diferensial Biasa. Skripsi Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang, lulus tahun 2007.

[10] Larson, Ron, Bruce H, Edwards. 2010. Calculus 9th_edition._{USA: Brooks/Cole.}

[11] Thomas, 2005, Calculus 11th_{Including Second-Order Differential Equations,}_{Addison-Weslay.}

[12] Ayres, Frank, Jr., PhD, Elliott Mendelson, PhD. Schaum’'s Outline Series Calculus 5th_editions._{USA: The McGraw-Hill}

Companies.