h maks = tinggi maksimum X maks = Jauh maksimum

GERAK PELURU

Teori Singkat :

Y Vy = 0

Vy = Vo sin α

Vo h

maks

α

Vx = Vo cos α

X X

maks

Gerak parabola terdiri dari dua komponen gerak yaitu :

A. Gerak horisontal berupa GLB B. Gerak vertikal berupa GLBB

A.Gerak horisontal (searah sumbu-x) berupa GLB

B.Gerak vertikal (searah sumbu-y) berupa GLBB

• Tanda positif jika gerakan benda menuju ke bawah

• Tanda negatif jika gerakan benda menuju ke atas

Catatan :

1. Kecepatan dititik tertinggi :

• Vy = 0

• Vx = Vo cos α (tetap) Secara umum :

V V V =

_x²

+

_y²

Vy = 0

Y

V = Vx = Vo cos α

Vy V Vx

Vx Vy V

X

- g + g 2. Dari perumusan :

Vty

²

= Vo

²

sin

²

α – 2 g h, di titik tertinggi kita dapatkan Vty = 0, maka diperoleh : h = h

_maks

h

_maks

= tinggi maksimum 3. Dari perumusan :

Vty = Vo sin α – g t, di titik tertinggi Vy = 0, maka didapat :

padahal t

_xmaks

= 2 t

_hmaks

, sehingga :

Jika nilai txmaks ini dimasukkan ke dalam nilai t pada X = Vo cos α t, maka akan diperoleh :

X

_maks

= Jauh maksimum

4. Energi kinetik pada titik tertinggi : Ek = ½ m Vx

²

= ½ m ( Vo cos α )

²

5. Energi potensial pada titik tertinggi :

Ep = mgh

_maks

= m g

g 2

sin Vo

^{2 2}

α

6. Perbandingan antara X

maks

dan h

maks

adalah :

α

α α

ctg 4 g

2 sin Vo

g 2 sin Vo h

X

2 2 2

maks

maks

= =

X = Vx t → X = Vo cos α t dengan Vx = Vo cos α

Vty = Vo sin α ± g t Vty

²

= Vo

²

sin

²

α ± 2 g h h = Vo sin α t ± ½ g t

²

Ep = Eko sin

²

α Ek = Eko cos

²

α t

_hmaks

=

g α sin

Vo =

g h 2

_maks

t

xmaks

= g

sin α Vo

2 = 2

g h 2

_maks

X

_maks

= g

α 2 sin Vo

²

ctg α h 4

X

maks maks

=

g h

_maks

V

^o

2 sin

²

2

α

=

7. Dua benda yang menjalani lintasan parabola akan jatuh tepat berimpit pada jarak terjauh yang sama jika jumlah sudut elevasi keduanya 90

⁰

. Pada gambar di bawah α + β

= 90

⁰

Y

α berimpit β

X

=====O0O=====

GERAK MELINGKAR

Teori Singkat :

Gerak melingkar dibagi menjadi 2 : 1. GMB

2. GMBB

Sebelum membahas lebih jauh perumusan gerak melingkar, perlu diingat terdapat konversi awal hubungan antara gerak lurus (linear) dengan gerak melingkar (rotasi)

Keterangan :

ω = Kecepatan sudut / anguler (rad/det) α = Percepatan sudut (rad/s

²

)

θ = Jarak lintasan sudut (rad) 1. GMB

(Gerak Melingkar Beraturan)

Perumusan GMB mirip GLB, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :

1. Dari GLB → S = V t, maka : θ R = ω R t, diperoleh :

2. Dari GLB → V = tetap, maka : ω R = tetap, diperoleh :

3. Dari GLB → a = 0, maka α R = 0 diperoleh :

Catatan :

1. Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak yang lintasannya berupa lingkaran dengan kelajuan konstan ( v = konstan ⁾

VB

VA ≠ VB

R VA = VB θ
ω

S R

VA

Kecepatan pada GMB tidak sama di setiap lintasannya, sebab kecepatan adalah besaran vektor yang mensyaratkan adanya besar (magni- tude) dan arah. Namun lajunya tetap 2. Penyebab gerak melingkar adalah

percepatan sentripetal (asp) atau percepatan radial (ar) yang arahnya menuju ke pusat lingkaran

3. Gaya Sentripetal :

4. 1 putaran = 360

⁰

= 2 π radian

Keterangan :

V = Kecepatan linear (m/s) S = Jarak (m)

asp = Percepatan sentripetal / radial (m/s

²

)

a

T

= Percepatan tangensial(m/s

²

) a = Percepatan linear / total(m/s

²

) Fsp = Gaya sentripetal (N)

2. GMBB

(Gerak Melingkar Berubah Beraturan) Perumusan GMBB mirip dengan GLBB, dan dengan konversi sebagaimana yang terdahulu diperoleh persamaan sebagai berikut :

1. Vt = Vo ± a t, dikonversi menjadi : V = ω R

a = α R S = θ R

θ = ω t

ω = tetap

α = 0

a

sp

= a

r

= R R

V

²

= ω

₂

F

sp

= m R

R

m V

²

2

ω

=

ωt = ωo ± α t

2. Vt

²

= Vo

²

± 2 a S, dikonversi menjadi :

3. S = Vo t ± ½ a t

²

, dikonversi menjadi :

Catatan :

1. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak yang lintasannya berupa lingkaran dengan percepatan sudut konstan (α = konstan)

2. Percepatan linear total (a

t

) adalah merupakan resultan percepatan tangensial (a

_T

) dan percepatan sentripetal (a

_sp

)

R θ
ω a

asp

a

_T

Secara vektor :

Secara skalar :

a

_t

= a

_T²

+ a

_sp²

, karena a

sp

= ω

²

R _{dan a}

_T

= α R, maka a

t

= α

²

R

²

+ ω

⁴

R

²

=====O0O=====

Aplikasi Gerak Melingkar

1. (Benda diputar vertikal) 1

T mg T θ 3

T θ mg cos θ 2 mg

mg

 Ketentuan :

1. Gaya berat selalu berarah ke bawah 2. Gaya tegangan tali selalu menuju pusat

lingkaran

3. Dalam perumusan, arah gerak ke pusat lingkaran di beri tanda positif, sedang gaya yang menjauhi pusat negatif.

Dari persamaan : ∑F

_sp

= m ω

²

R

1. Kondisi di titik tertinggi :

2. Kondisi di titik terendah :

3. Kondisi di titik yang membentuk sudut θ terhadap vertikal

2. (Benda bergerak di luar bola)

N

1 2 N mg

θ

θ

mg cos θ mg

Catatan :

Persamaan untuk kondisi ini sesuai dengan persamaan untuk benda diputar vertikal dengan mengganti T dengan N (gaya normal)

Dari persamaan : ∑F

sp

= m ω

²

R T + W = m ω

²

R

T - W cos θ = m ω

²

R T - W = m ω

²

R ωt

²

= ωo

²

± 2 α θ

θ = ωo t ± ½ α t

²

a

_t

= R α

²

+ ω

⁴

a

asp

a a

T

r r

r = +

gR V =

• Kondisi pada nomor 1.

mg – N = m ω

²

R

• Kondisi pada nomor 2.

mg cos θ – N = m ω

²

R

3. (Benda bergerak di dalam bola) 1

N mg

N 2 N

mg cos θ

3 mg

Dari persamaan : ∑F

sp

= m ω

²

R

• Kondisi pada nomor 1.

mg + N = m ω

²

R

• Kondisi pada nomor 2.

N - mg cos θ = m ω

²

R

• Kondisi pada nomor 3.

N – mg = m ω

²

R 4. (Hubungan roda-roda)

1. Roda A dan roda B sesumbu :

ω

_A

 ω

_B

2. Roda A dan roda B bersinggungan : ω

B

ω

A

R

A

R

B

3. Roda A dan roda B dihubungkan tali

ω

_B

ω

_A

R

_A

R

_B

4. (Kecepatan di sepanjang Lingkaran)

B

R

A

Keterangan :

•) V

_A

= Kecepatan minimum agar benda dapat bergerak satu kali lingkaran penuh

•)V

B

= Kecepatan di titik tertinggi sedemikian sehingga gaya normal / gaya tegang tali nol

•) Bukti V

_B

= g R Σ Fsp = m V

²

/R

W – N = m V

²

/R → mg = m V

²

/R

•) Bukti V

_A

= 5 g R , dapat diperoleh sebagai berikut :

Dari hukum kekekalan energi : Ep

_A

+ Ek

_A

= Ep

_B

+ Ek

_B

2 B 2

A

= m g h + 1/2 m V V

m 1/2 + 0

Dengan mengingat hB = 2 R, maka : R

g 5 R g (2R) g 2

V

_A²

= + =

5. (Benda di putar horizontal / ayunan konis)

θ θ

T T cos θ l

T sin θ

R Fsf R = l sin θ W = mg

•) Gaya pada arah sumbu –x :

R

m V θ = sin T

2

...(1) ω

_A

= ω

_B

B B A A

R

= V R V

V

_A

= V

_B

ω

_A

R

A

= ω

B

R

B

V

A

= V

B

ω

A

R

A

= ω

B

R

B

R g

= V

_B

R g 5

= V

_A

R g 5 V_A =

•) Gaya pada arah sumbu –y : g

m θ = cos

T ...(2)

•) Persamaan (1) jika dibagi persamaan (2) :

g R

tg V

2

θ = _→

6. (GMB pada bidang datar kasar)

Fsp m Fges

•) Fges = gaya gesekan, berfungsi sebagai gaya sentrifugal (menjauhi pusat)

R V F m

2

sp

= , dan Fges = µ N = µ mg

Dari skema diperoleh F

_sp

= F

_ges

, maka diperoleh hubungan :

R V

m

²

= µ mg →

=====O0O=====

Contoh Soal dan Pembahasan : 1. Terhadap koordinat x horisontal dan y

vertikal, sebuah benda yang bergerak mengikuti gerak peluru mempunyai komponen-komponen kecepatan yang : A. Besarnya tetap pada arah x dan berubah-

ubah pada arah y

B. Besarnya tetap pada arah y dan berubah- ubah pada arah x

C. Besarnya tetap baik pada arah x maupun pada arah y

D. Besarnya berubah-ubah baik pada arah x maupun pada arah y

E. Besar dan arahnya terus-menerus berubah-ubah terhadap waktu

Jawaban : A

Vx = Vo cos α (tetap)

Vy = Vo sin α – g t (berubah-ubah tergantung waktu)

2. Bila besar sudut antara horisontal dan arah tembak suatu peluru 45

⁰

, maka perbandingan antara jarak tembak dalam

arah datar dan tinggi maksimum peluru adalah :

A. 8 D. 0,25

B. 4 E. 0,125

C. 1

Jawaban : B

(Lihat catatan no.6) 4

= 45 ctg 4 hmaks =

Xmaks

₀

3. Peluru A dan B ditembakkan dari senapan yang sama dengan sudut elevasi yang berbeda. Peluru A dengan sudut 30

⁰

dan peluru B dengan sudut 60

⁰

. Perbandingan antara tinggi maksimum yang dicapai peluru A dan B adalah :

A. 1 : 2 D. 1 : √3 B. 1 : 3 E. √3 : 1 C. 2 : 1

Jawaban : B

3 1 60 sin

30 sin hmaks.B hmaks.A

2 2

=

=

4. Sebuah peluru bergerak mengikuti lintasan parabolik seperti tergambar. Sumbu tegak h menyatakan tinggi sedangkan sumbu mendatar s jarak yang ditempuh peluru dalam arah horisontal. Pada kedudukan A dan B masing-masing :

(1) Energi potensial peluru sama besar (2) Laju peluru sama besar

(3) Energi total peluru sama besar (4) Besar momentum peluru sama Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja B. 1 dan 3 E. Semuanya C. 2 dan 4

h

A B

α // h // h S

Jawaban : (semua benar) → E

Dua titik dengan lintasan parabolik pada posisi yang berbeda, namun memiliki ketinggian sama, akan mempunyai nilai yang sama untuk :

- Energi potensial - Laju - Energi total - momentum 6. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah

horisontal dengan kecepatan V pada ketinggian h dari permukaan tanah. Jika R

υ g

= V

tg θ

R

g

V =

gesekan udara diabaikan, jarak horisontal yang ditempuh peluru tergantung pada :

Vo h

x 1. Kecepatan awal V 2. Ketinggian h

3. Percepatan gravitasi 4. Massa peluru

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja B. 1 dan 3 E. Semuanya C. 2 dan 4

Jawaban : (1, 2, dan 3 benar) → A (Lihat catatan no. 3)

Jarak horisontal yang dapat ditempuh peluru pada posisi hmaks adalah :

X = V t → X = V g h 2

_maks

6. Setiap benda yang bergerak secara beraturan dalam suatu lintasan bentuk lingkaran ...

A. vektor kecepatannya tetap B. vektor percepatannya tetap C. gaya radialnya tetap D. momentum linearnya tetap E. semua jawaban diatas salah Jawaban : E

Pilihan A,B,C dan D merupakan besaran vektor, sedang besaran vektor mensyaratkan adanya besar (magnitude) dan arah. Pada pilihan A,B,C,D besar/magnitude nya tetap, namun arah pada gerak melingkar berubah- ubah sehingga pilihan tersebut semua salah.

7. Suatu benda bergerak melingkar beraturan, maka :

1. Benda mendapat gaya yang besarnya sebanding dengan lajunya

2. Kecepatan benda tetap

3. Benda mempunyai percepatan radial yang besarnya sebanding dengan lajunya

4. Benda mempunyai percepatan radial menuju pusat lingkaran

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja B. 1 dan 3 E. Semuanya C. 2 dan 4

Jawaban : (4 saja benar) → D Analisa :

1. (salah, lihat perumusan GMB) Gaya sebanding kuadrat lajunya

Σ Fsp = m V

²

/R

1. (salah, lihat catatan 3) kecepatan tidak tetap, karena besaran vektor yang arahnya berubah-ubah

2. (salah, lihat perumusan GMB) besar percepatan radial sebanding dengan kuadrat lajunya asp = V

²

/R

3. (benar. lihat catatan 1) percepatan sentripetal arahnya selalu menuju ke pusat lingkaran

8. Sebuah benda bermassa 5 kg bergerak secara beraturan dalam lintasan yang melingkar dengan kelajuan 2 m/s. Bila jari- jari lingkaran itu 0,5 m, maka :

1. Waktu putarnya adalah 0,5 π detik 2. Percepatan sentripetalnya 8 m/s

²

3. Gaya sentripetalnya 40 Newton 4. Vektor kecepatannya tidak tetap Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja B. 1 dan 3 E. Semuanya C. 2 dan 4

Jawaban : (1,2,3,4 benar) → E

(Lihat teori singkat soal no.51, perumusan GMB)

Analisa :

1. (benar) Rumus kecepatan :

V = 2 π R / T → = 0 , 5 π s 2

(0,5) π

= 2 T

2. (benar) rumus percepatan :

asp = V

²

/R → asp = (2)

²

/0,5 = 8 m/s

²

3. (benar) Rumus gaya sentripetal :

Σ Fsp = m asp → Σ Fsp = (5) (8) = 40 N 4. (benar) vektor kecepatannya tak tetap,

karena arahnya berubah-ubah

9. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan garak rotasi dengan percepatan sudut 15 rad/s

²

. Titik A berada pada benda tersebut, berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tepat setelah benda berotasi selama 0,4 sekon, A mengalami percepatan total (dalam m/s

²

) sebesar :

A. 1,5 D. 3,9

B. 2,1 E. 5,1

C. 3,6 Jawaban : D

•) α = 15 rad/s

²

, t = 0,4 dt, ωo = 0 (diam)

•) ωt = ωo + α t → ωt = α t → ωt = 6 rad/s

•) asp = ω

²

R → asp = 3,6 m/s

²

•) a

T

= α R → a

T

= 1,5 m/s

²

•) a

_total

= ( a

_T

)

²

+ ( a

_sp

)

²

•) a

_total

= ( 1,5 )

²

+ ( 3,6 )

²

m/s

²

= 3,9 m/s

²

10. Sebuah batu dengan massa 2 kg diikat

dengan tali dan diputa, sehingga lintasannya berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari 0,5 m. Jika kecepatan sudut batu 6 rad/s dan g = 10 m/s

²

, maka tegangan tali pada saat batu di titik tertinggi adalah :

A. 36 N D. 124 N

B. 144 N E. 56 N

C. 16 N Jawaban : C

Pada kondisi di titik tertinggi : T = m ω

²

R – mg

T = (2) (6)

²

(0,5) –(2) (10) N = 16 N

=====O0O=====

Soal-soal :

1. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat terbang yang sedang melaju horisontal 720 km/jam pada ketinggian 490 m. Benda itu akan jatuh pada jarak horisontal sejauh ...meter (diketahui g = 9,8 m/s

²

)

A. 1000 D. 2900

B. 2000 E. 4000

C. 2450

2. Pada tendangan bebas suatu permaian sepakbola, lintasan mencapai titik tertinggi 45 m di atas tanah. Berapa lama harus ditunggu sejak bola ditendang sampai bola kembali di tanah. Abaikan gesekan udara dan ambil g = 10 m/s

²

A. 3 detik D. 9 detik B. 4,5 detik E. 10 detik C. 6 detik

3. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal tertentu, maka jarak tembak yang sama akan dihasilkan oleh pasangan sudut :

A. 30

⁰

dan 45

⁰

D. 53

⁰

dan 37

⁰

B. 45

⁰

dan 60

⁰

E. 60

⁰

dan 35

⁰

C. 75

⁰

dan 25

⁰

4. E (Joule)

⁴⁰⁰

Ek

₃₀₀

Ep t detik Grafik hubungan antara energi terhadap

waktu dari gerak parabola seperti pada

gambar. Dari grafik tersebut dapat disimpulkan bahwa sudut elevasi penembakan adalah :

A. 30

⁰

D. 90

⁰

B. 45

⁰

E. 60

⁰

C. 75

⁰

5. Agar suatu lemparan sebuah bola dapat mencapai jarak terjauh, maka besar sudut lemparan terhadap bidang horisontal sebesar ...

A. 30

⁰

D. 90

⁰

B. 45

⁰

E. 60

⁰

C. 75

⁰

6. Tentukan besar tan α bila benda tiba di B setelah 2 detik

Vo = 50 m/s

A

α B

A. 0,2 D. 0,5

B. 0,3 E. 0,6

C. 0,4

7. Pada tendangan bebas suatu permainan sepakbola, bola ditendang melayang di udara selama 4 detik. Jika gesekan udara diabaikan dan g = 10 m/s

²

, maka bola mencapai tinggi sebesar ...

A. 12 m D. 30 m

B. 16 m E. 48 m

C. 20 m

8. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 20 m/s dengan sudut elevasi 30

⁰

. Jika g = 10 m/s

²

jarak mendatar terjauh yang dicapai bola adalah ...

A. 20 √3 m D. 10 m

B. 20 m E. 5 m

C. 10 √3 m

9. Sebuah peluru ditembakkan sedemikian rupa sehingga jarak tembakannya sama dengan tiga kali tinggi maksimum. Jika sudut elevasi α, maka besar tan α adalah ...

A. 4/3 D. 2

B. 3/4 E. 1/4

C. 1/2

10. Sebuah peluru bermassa 10 gram dan

kecepatan 100 m/s mengenai dan

menembus sebuah balok dengan massa 10

kg yang diam di atas bidang datar tanpa

gesekan. Ternyata kecepatan balok setelah

tumbukan 0,05 m/s dan jatuh sejauh Xb = 0,2 m dari titik 0. Berapa jauh peluru tiba di tanah ?.

0 Xb Xp

A.100 m D. 250 m

B. 200 m E. 275 m

C. 225 m

11. Sebuah benda dengan massa 5 kg diikat dengan tali berputar dalam satu bidang vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah satu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m. Jika kecepatan sudut tetap 2 rad/s, dan g = 10 m/s

²

, maka tegangan tali pada saat benda itu ada pada titik terendah adalah :

A. 30 N D. 70 N

B. 40 N E. 80 N

C. 50 N

12. Akibat rotasi bumi, keadaan Hasan yang bermassa a dan ada di Bandung, dan David yang bermassa a dan ada di London, akan sama dalam hal :

A. laju linearnya B. kecepatan linearnya C. gaya gravitasi buminya D. kecepatan angulernya E. percepatan sentripetalnya

13. Seorang anak duduk di atas kursi pada roda yang berputar vertikal. Jika g = 10 m/s

²

dan jari-jari roda 2,5 m, maka laju maksimum roda agar anak tidak terlepas dari tempat duduknya ...m/s

R

A. 8 D. 4

B. 6 E. 2

C. 5

14. Sebuah benda dengan massa 10 kg diikat dengan tali dan diputar sehingga lintasan berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari 1 meter. Gaya tegang maksimum yang dapat ditahan tali 350 N. Jika g = 10 m/s

²

, kecepatan benda maksimum ...m/s

A. 4,5 D. 6

B. 5 E. 6,5

C. 5,5

15. Pada gerak melingkar beraturan, bila ω = kecepatan sudut, f = frekuensi dan T = periode, maka hubungan antara ω, f dan T adalah …

A. f

dan 2 T

f 1 π

ω =

=

B. dan ω = 2 π T T

= 1

f

C. dan ω = 2 π f T

= 1 f

D. dan ω = 2 π T f

= 1 T

E. f

π

= 2 ω f dan

= 1 T

16. Sebuah benda yang melakukan gerak melingkar beraturan mempunyai …

A. Kecepatan yang konstan B. Percepatan yang konstan C. Sudut simpangan yang konstan D. Kelajuan yang konstan

E. Gaya sentripetal yang konstan

17. Sebuah benda bermassa m diikatkan di ujung seutas tali, lalu diayunkan di bidang vertikal. Agar benda dapat melakukan gerak melingkar penuh, maka di titik terendah gaya sentripetal maksimum haruslah :

A. 5 mg D. 2 mg

B. 4 mg E. 1 mg

C. 3 mg

18. Sebuah sepeda motor membelok pada tikungan berbentuk busur lingkaran dengan jari-jari 5 meter. Jika koefisien antara roda dan jalan 0,5 dan g = 10 m/s

²

, maka kecepatan motor terbesar yang diizinkan adalah :

A. 5 m/s D. 2,0 m/s

B. 3,0 m/s

E. 1,5 m/s C. 2,5 m/s

19. Sebuah batu massanya 1 kg diputar mendatar di atas kepala dengan seutas tali yang panjangnya 1 meter. Gaya tegang tali maksimum 500 N. Jika tinggi batu dari tanah 2 meter dan tiba-tiba tali putus (seperti pada gambar), maka jarak mendatar terjauh yang dapat ditempuh batu adalah :

h = 2m

X = ? X = ?

A. 20 m D. 21 m

B. 14 m E. 8,5 m

C. 15 m

20. Sebuah benda 100 gram diikat dengan tali sepanjang 50 cm digantung dan diputar pada suatu ayunan konis. Tentukan kelajuan ayunan tersebut jika sin θ = 0,6

A. 1,3 m/s D. 1,6 m/s

B. 1,4 m/s

E. 1,8 m/s C. 1,5 m/s

=====O0O=====