LOGIKA MATEMATIKA. MATEMATiKA DISKRET S1-SISTEM INFORMATIKA STMIK AMIKOM. proposisi conjungsi tautologi inferensi

LOGIKA LOGIKA

MATEMATIKA MATEMATIKA

S1-SISTEM INFORMATIKA MATEMATiKA DISKRET

STMIK AMIKOM

♦ ♦ ♦

♦

^Definisi

Proposisi adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah dan tidak

keduanya

≈≈≈≈

♦ ♦ ♦

♦ Proposisi

♦

♦ ♦

♦ Kalimat Deklaratif

Proposisi ≈≈≈≈ Kalimat Deklaratif

1. SI adalah jurusan favorit di AMIKOM

contoh

2. 2 adalah satu-2nya bilangan prime yang genap

3. Teknologi Informasi di Indonesia sudah sangat maju

Propisisi ≈≈≈≈ Deklaratif

sudah sangat maju

4. Kejujuran adalah faktor yang menen-

tukan dalam meraih kesuksesan

1. 2x + 3y = 7

contoh

2. Bilangan prime mencintai bilangan riil 3. Andhika lebih cerdas daripada Anjas

4. Dimanakah lokasi SI AMIKOM ? 5. Siapakah nama kamu?

Bukan Propisisi

6. 5 adalah adik dari 11

5. Siapakah nama kamu?

NOTASI NOTASINOTASI

NOTASI ARTIARTIARTIARTI BENTUKBENTUKBENTUKBENTUK

∼∼∼∼ tidak / not / negasitidak / not / negasitidak / not / negasitidak / not / negasi tidak ….tidak ….tidak ….tidak ….

∧∧∧∧ dan / and / konjungsidan / and / konjungsidan / and / konjungsidan / and / konjungsi ….. dan …….….. dan …….….. dan …….….. dan …….

∨∨∨∨ atau / or / disjungsiatau / or / disjungsiatau / or / disjungsiatau / or / disjungsi ….. atau …….….. atau …….….. atau …….….. atau …….

⇒

⇒

⇒

⇒ implikasiimplikasiimplikasiimplikasi jika …. maka ……jika …. maka ……jika …. maka ……jika …. maka ……

⇔

⇔

⇔

⇔ bibi----implikasibibi implikasiimplikasiimplikasi ... ... jika... ... jikajikajika dandandan hanyadan hanyahanya jikahanya jikajikajika …………

contoh Implikasi

1. Jika saya sukses maka saya akan membalas budi orang telah berjasa kepadaku

2. Jika saya malas belajar maka nilai

matematika diskret saya akan mengecewakan 3. Jika harga komputer murah maka 6 x 7 = 42

contoh Implikasi

1. tetapi, bukan, walaupun ≈≈≈≈ dan

kesimpulan

2. Jika …maka… ≈≈≈≈ bermakna janji

3. Jika …maka… ≈≈≈≈ bermakna sebab akibat 4. Jika …maka… ≈≈≈≈ tidak bermakna

Propisisi ≈≈≈≈ Deklaratif

Logika menekankan SINTAKS bukan

menekankan makna/arti

Tabel kebenaran

p q ~p p∧q p∨q p⇒q p⇔q

T T F T T T T

T F F F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

2. p∨q bernilai benar jika salahsatu benar

deskripsi

1. p∧q bernilai benar jika keduanya benar 2. p∨q bernilai benar jika salahsatu benar

3. p⇒q salah jika p benar dan q salah 4. p⇔q benar jika ke2nya bernilai sama

Hukum Hukum Hukum Hukum----2 2 2 2

No No No

No Hukum Hukum Hukum Hukum Ekuivalensi Ekuivalensi Ekuivalensi Ekuivalensi 1

1 1

1 komutatif komutatif komutatif komutatif pvq pvq pvq pvq ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ qvp qvp qvp qvp p p p p ∧∧∧∧ q q q q ≈≈≈≈ q q q q ∧∧∧∧ p p p p 2

2 2

2 asosiatif asosiatif asosiatif asosiatif ((((pvq pvq pvq pvq))))vr vr vr vr ≈≈≈≈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ pv pv pv

pv((((qvr qvr qvr)))) qvr

Ekuivalensi Logika Hukum

pv pv pv

pv((((qvr qvr qvr)))) qvr 3

3 3

3 identitas identitas identitas identitas p p p p ∧∧∧∧ T T T T ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ p p p p p vF p vF p vF p vF ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ p p p p

deskripsi

p q ~p p∧q ~p∨q p⇒q p⇔q

T T F T T T T

T F F F F F F

F T T F T T F

F F T F T T T

deskripsi

♦

♦ ♦

♦ p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q ≈ ~p ∨∨∨∨ q

♦

♦

♦

♦ (p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ p) ≈ p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ q

♦

♦ ♦

♦ p ∧∧∧∧ (q v r) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⁽

p ∧∧∧∧ q) v (p ∧∧∧∧ r)

Contoh Contoh Contoh Contoh

•••• Misal diberikan statemen

p = Saya serius kuliah Mat_Disk q = saya rajin kuliah Mat_Disk r = Saya dapat nilai memuaskan Tentukan makna

Tentukan makna

i. (p ∧∧∧∧ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r ii. (p ∨∨∨∨ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r iii. (~p ∨∨∨∨ ~q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ~r iv. ~(p ∨∨∨∨ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r

v. ~ [(p ∨∨∨∨ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r]

Solusi Solusi Solusi Solusi

i. (p ∧∧∧∧ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ jika saya serius dan rajin kuliah Mat_Disk maka saya dapat nilai memuaskan

ii. (pvq) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ jika saya serius

atau rajin kuliah Mat_Disk maka

saya dapat nilai memuaskan

Solusi Solusi Solusi Solusi

iii.(~pv~q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ~r ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ jika saya tidak serius atau tidak rajin kuliah Mat_Disk maka saya tidak dapat nilai memuaskan

iv. ~(p ∨∨∨∨ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ~r ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ jika saya tidak,

iv. ~(p ∨∨∨∨ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ~r ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ jika saya tidak,

baik serius ataupun rajin kuliah

Mat_Disk maka saya tidak dapat

nilai memuaskaniii.

Solusi Solusi Solusi Solusi

v. ~[(pvq) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r] ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ TIDAK BENAR (jika saya serius atau rajin kuliah Mat_Disk maka saya dapat nilai memuaskan)

v. ~[(p ∨∨∨∨ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r] ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ~ [~(pvq) v r]

⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔ (~ ~(pvq)) ∧∧∧∧ ~r

⇔ ⇔

⇔ (~ ~(pvq)) ∧∧∧∧ ~r

⇔

⇔ ⇔

⇔ (pvq) ∧∧∧∧ ~r

⇔ ⇔ ⇔

⇔ Saya serius ATAU rajin kuliah Mat_Disk dan saya TIDAK dapat

nilai baik

No No

No No Hukum Hukum Hukum Hukum Ekuivalensi Ekuivalensi Ekuivalensi Ekuivalensi 4

4 4

4 Negasi Negasi Negasi Negasi pv pv pv pv ∼∼∼∼ p p p p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ T T T T p p p p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ p p p p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ F F F F 5 5 5

5 Idempoten Idempoten Idempoten Idempoten p p p p ∧∧∧∧ p p p p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ p p p p p p p p v v v v p p p p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ p p p p 6

6 6

6 DeMorgan DeMorgan DeMorgan DeMorgan ∼∼∼∼ (p (p (p (p ∧∧∧∧ q) q) q) q) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∼∼∼∼ p v p v p v p v ∼∼∼∼ q q q q

∼∼∼∼ (p (p (p (p ∧∧∧∧ q) q) q) q) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∼∼∼∼ p v p v p v p v ∼∼∼∼ q q q q

Hukum Hukum Hukum Hukum----2 2 2 2

Ekuivalensi Logika

∼∼∼∼ (p (p (p (p ∧∧∧∧ q) q) q) q) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∼∼∼∼ p v p v p v p v ∼∼∼∼ q q q q 7 7 7

7 Absorbsi Absorbsi Absorbsi Absorbsi p v (p p v (p p v (p p v (p ∧∧∧∧ q) q) q) q) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ p p p p p

p p

p ∧∧∧∧ (p v q) (p v q) (p v q) (p v q) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ p p p p

definisi definisi definisi definisi

•••• Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai

benar

•••• Kontradiksi adalah suatu bentuk

Tautologi & Kontradiksi

kalimat yang selalu bernilai

salah

contoh

1. (p ∧∧∧∧ q) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q 2. q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (p v q)

Tautologi&Kontradiksi

3. (p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( ∼∼∼∼ q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∼∼∼∼ p)

definisi definisi definisi definisi

No Logika Notasi

1 implikasi p ⇒ q

2 konvers q ⇒ p

3 invers ∼ p ⇒ ∼ q

Tautologi & Kontradiksi

3 invers ∼ p ⇒ ∼ q

4 kontraposisi ∼ q ⇒ ∼ p

kesimpulan kesimpulan kesimpulan kesimpulan

•••• (p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( ∼∼∼∼ q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ _{∼∼∼∼ p)}

•••• implikasi ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ kontraposisi

•••• invers ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ konvers

ekuivalensi

•••• (q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ p) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( ∼∼∼∼ p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ _{∼∼∼∼ q)}

•••• invers ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ konvers

definisi definisi definisi definisi

•••• ^Argumen

•••• ^Hipotesa

•••• ^Kesimpulan

•••• Argumen Valid

•••• Argumen tdk Valid

Inferensi Logika

•••• Argumen tdk Valid

contoh contoh contoh contoh

•••• 1. p v (q v r)

∼∼∼∼ r

•••• 2. p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (q v ∼∼∼∼ r) q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ r) p v q

Valid & Tdk Valid

q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ r)

p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q

contoh contoh contoh contoh

•••• 1. p v (q v r)

∼∼∼∼ r

•••• 2. p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (q v ∼∼∼∼ r) q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ r) p v q

Valid & Tdk Valid

q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ r)

p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q

•••• 1. Modus Ponens 1. Modus Ponens 1. Modus Ponens 1. Modus Ponens

p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q (benar) p (benar)

Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi

∴

∴

∴

∴ q (benar)

•••• 2. Modus Tollens 2. Modus Tollens 2. Modus Tollens 2. Modus Tollens

p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q (benar)

∼∼∼∼ q (benar)

Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi

∴

∴

∴ ∴ ∼∼∼∼ p (benar)

•••• 3. Penambahan Disjungtif 3. Penambahan Disjungtif 3. Penambahan Disjungtif 3. Penambahan Disjungtif

∴

∴

∴

∴ pvq (benar) p (benar)

∴

∴

∴

∴ pvq (benar) q (benar)

Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi

∴

∴

∴

∴ pvq (benar) ∴ ∴ ∴ ∴ pvq (benar)

•••• 4. Penyerdehanaan Konjungtif 4. Penyerdehanaan Konjungtif 4. Penyerdehanaan Konjungtif 4. Penyerdehanaan Konjungtif

∴

∴

∴

∴ p (benar) p ∧∧∧∧ q (benar)

∴

∴ ∴

∴ q (benar) p ∧∧∧∧ q (benar)

Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi

∴

∴

∴

∴ p (benar) ∴ ∴ ∴ ∴ q (benar)

•••• 5. Silogisme Disjungtif 5. Silogisme Disjungtif 5. Silogisme Disjungtif 5. Silogisme Disjungtif

∴ ∴

∴ ∴

p v q (benar)

∴ ∴ ∴

∴

p v q (benar)

∼∼∼∼ p (benar) ∼∼∼∼ q (benar)

Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi

∴ ∴

∴ ∴ q (benar) ∴ ∴ ∴ ∴ p (benar)

•••• 6. Silogisme Hipotesis 6. Silogisme Hipotesis 6. Silogisme Hipotesis 6. Silogisme Hipotesis p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ q (benar) q ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r (benar)

Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi

p ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r (benar)

•••• 4. Penyerdehanaan Konjungtif 4. Penyerdehanaan Konjungtif 4. Penyerdehanaan Konjungtif 4. Penyerdehanaan Konjungtif

∴

∴

∴

∴ p (benar) p ∧∧∧∧ q (benar)

∴

∴ ∴

∴ q (benar) p ∧∧∧∧ q (benar)

Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi Metode Inferensi

∴

∴

∴

∴ p (benar) ∴ ∴ ∴ ∴ q (benar)