STABILISASI GRAF PADA PERMAINAN COOPERATIVE MATCHING

STABILISASI GRAF PADA PERMAINAN COOPERATIVE MATCHING

TESIS

Oleh

REVI LESTARI PASARIBU 167021010/MT

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

STABILISASI GRAF PADA PERMAINAN COOPERATIVE MATCHING

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

REVI LESTARI PASARIBU 167021010/MT

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Telah diuji pada

Tanggal : 16 April 2018

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Dr. Mardiningsih, M.Si

Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 2. Prof. Dr. Marwan Ramli, M.Si 3. Dr. Syahril Efendi, M.IT

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERNYATAAN ORISINALITAS

STABILISASI GRAF PADA PERMAINAN COOPERATIVE MATCHING

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sum- bernya

Medan, Penulis,

Revi Lestari Pasaribu

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Revi Lestari Pasaribu

NIM : 167021010

Program Studi : Matematika Jenis Karya Ilmiah: Tesis

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Right) atas tesis saya yang berjudul:

Stabilisasi Graf Pada Permainan Cooperative Matching.

Beserta perangkat yang ada. Dengan Hak Bebas Royalti NonEksklusif ini, Universitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat mengelola dalam bentuk data-base, merawat dan mem- publikasikan Tesis saya tanpa meminta izin dari saya selama mencan- tumkan nama saya sebagai pemegang dan atau sebagai penulis dan sebagai pemilik hak cipta.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan sebenarnya.

Medan, Penulis,

Revi Lestari Pasaribu

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

STABILISASI GRAF PADA PERMAINAN COOPERATIVE MATCHING

ABSTRAK

Salah-satu teori permainan yang banyak diminati untuk dibahas adalah permainan cooperative matching karena permainan ini berkai- tan dengan permainan network bargaining. Namun, tidak selalu men- jamin bahwa network yang diteliti menghasilkan outcome yang sta- bil. Untuk mengatasi masalah ini, dilakukan sebuah proses modifikasi yang disebut stabilisasi yang akan menghasilkan network dengan out- come yang stabil. Oleh karena itu, masalah ini diselesaikan ke da- lam masalah optimisasi kombinatorial dalam sebuah graf. Baru-baru ini stabilisasi dengan pemindahan edge telah terbukti berupa masalah non-polinomial sulit. Dalam penelitian ini akan ditunjukkan cara sta- bilisasi lainya, yaitu penambahan edge dan pemindahan vertex yang dapat diselesaikan dalam waktu polinomial.

Kata kunci: Cooperative Matching, Dekomposisi Gallai-Edmonds , Fractional Matching, Graf Stabil, Network Bargaining, Program Linier.

i

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

GRAPH STABILIZATION OF COOPERATIVE MATCHING GAMES

ABSTRACT

One of the game theories that are in great demand to discuss is the game of cooperative matching because the game is related to the game of network bargaining. However, it does not always ensure that the network under study produces stable outcomes. To overcome this problem, we consider a modification process called stabilization which results in a stable outcome network. Therefore, this problem is solved into the problem of combinatorial optimization in a graph.

Recent stabilization with edge transfer has proven to be a difficult non-polynomial problem. In this research will be shown other ways of stabilization, namely the addition of edges and vertex removal that can be solved by polynomial-time.

Keyword: Cooperative Matching, Gallai-Edmonds Decomposition, Fractional Matching, Stable Graph, Network Bargaining, Linear Programming.

ii

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkah dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

Tesis dengan judul: STABILISASI GRAF PADA PERMAINAN COOPERATIVE MATCHING adalah merupakan syarat untuk menye- lesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Ma- tematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

Prof. Dr. Runtung, S.H., M.Hum selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Program Studi Magis- ter Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing II penulis yang telah banyak memberi arahan, bimbingan dalam bentuk kritik dan saran, dan juga motivasi kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini.

Dr. Sawaluddin, M.IT selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma- tematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universi- tas Sumatera Utara.

Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing I penulis yang telah banyak memberi arahan, saran dan kritik, dukungan yang luar biasa kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini.

Prof. Dr Marwan Ramli, M.Si selaku pembanding I penulis yang telah banyak memberi arahan, bimbingan dalam bentuk kritik dan saran, dan juga motivasi kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini.

iii

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Dr. Syahril Efendi, M.IT selaku pembanding II penulis yang telah banyak memberi arahan, bimbingan dalam bentuk kritik dan saran, dan juga motivasi kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini.

iv

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Seluruh Staf Pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama masa perkuliahan.

Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan peng- hargaan setinggi-tingginya kepada Ayahanda Efendi Pasaribu dan Ibun- da Tince Br. Pakpahan, sosok orang tua yang mencurahkan seluruh kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Terimakasih kepada kakak Meslina Br. Pasaribu SST.Par, adik Joel Pasaribu S.Pd, adik Mar- lon Suriadi Pasaribu dan Rotua Rapidos Sihombing S.TP yang telah memberikan motivasi kepada penulis selama penulisan tesis ini.

Seluruh rekan-rekan Mahasiswa angkatan 2016 Ganjil Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara. Semoga tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia Ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak. Semoga Allah Yang Maha Kuasa senantiasa memberi rahmat dan hidayahNya kepada kita semua. Amin.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, un- tuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.

Medan, 16 April 2018 Penulis,

v

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Revi Lestari Pasaribu

vi

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

RIWAYAT HIDUP

Revi Lestari Pasaribu dilahirkan di Siak pada tanggal 22 Juni 1992 dari pasangan Bapak Efendi Pasaribu dan Ibu Tince Br. Pakpahan.

Penulis menamatkan pendidikan di TK Anjelir PTP. Nusantara V Ke- bun Sei Buatan pada tahun 1999, setelah itu melanjutkan pendidikan ke SD Negeri 014 Sawit Permai dan lulus tahun 2005 kemudian melan- jutkan pendidikan ke SMP Negeri 1 Dayun dan lulus tahun 2008 ke- mudian melanjutkan pendidikan ke SMA Negeri 9 Pekanbaru dan lu- lus tahun 2011 kemudian ditahun 2011 penulis memasuki Perguruan Tinggi Universitas Riau Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi Matematika dan lulus Strata Satu (S-1) tahun 2015. Pada tahun 2016 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.

v

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

KATA PENGANTAR iii

RIWAYAT HIDUP v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 4

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Manfaat Penelitian 5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6

2.1 Matching Pada Graf 6

2.2 Matching Pada Graf Bipartit 11

2.3 Vertex-Cover 12

2.4 Fractional Relaxation 13

2.5 Hubungan Permainan Cooperative Pada Program Li-

nier 17

2.6 Hubungan Permainan Cooperative Pada Network Bar-

gaining 18

BAB 3 GRAF STABIL DAN DEKOMPOSISI GALLAI-EDMONDS 21

3.1 Matching Number dan Graf Stabil 21

vi

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

3.2 Dekomposisi Gallai-Edmonds 25 BAB 4 STALISASI GRAF DENGAN PENAMBAHAN EDGE

DAN PEMINDAHAN VERTEX 32

4.1 Penambahan Edge 32

4.2 Pemindahan Vertex 38

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 43

5.1 Kesimpulan 43

5.2 Saran 43

DAFTAR PUSTAKA 45

vii

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 Contoh graf G dan salah-satu matching graf G 7

2.2 Contoh simpul M -unsaturated 7

2.3 Contoh M -augmenting dan M -alternating 8 2.4 Graf Bipartit dengan Matching Sempurna 12

2.5 Contoh vertex-cover 12

3.1 Contoh graf 24

3.2 Matching dan fractional matching graf G 24

3.3 Matching graf bipartit 25

4.1 Graf dengan matching maksimum 37

4.2 Contoh graf 38

viii

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori permainan adalah salah-satu pembahasan yang sangat menarik dalam matematika. Salah-satu teori permainan yang banyak dimi- nati untuk dibahas adalah permainan cooperative matching dan per- mainan network bargaining. Pada penelitian ini yang akan dibahas adalah permainan cooperative matching karena permainan ini berkai- tan dengan permainan network bargaining. Permainan cooperative matching adalah permainan dengan utilitas yang bisa dipindahtangan- kan dan permainan cooperative matching memiliki peran penting pada bidang ekonomi dan teori permainan. Namun, pada permainan coo- perative matching tidak selalu menjamin bahwa network yang diteliti menghasilkan outcome yang stabil. Untuk mengatasi masalah ini, di- lakukan sebuah proses modifikasi yang disebut stabilisasi yang akan menghasilkan network dengan outcome yang stabil. Oleh karena itu, masalah ini diselesaikan kedalam masalah optimisasi kombinatorial da- lam sebuah graf.

Eriksson dan Karlander (2001) memberikan contoh permainan yang dimodelkan sebagai permainan cooperative. Pada sirkuit tenis professional terdapat turnamen tunggal dan ganda yang parallel, mes- ki hadiah uang di nomor tunggal lebih mahal daripada diganda, tapi jumlah hadiah yang diperoleh oleh masing-masing pemain pada nomor ganda masih menarik. Pada permainan ganda para pemain bebas membentuk pasangan sendiri. Untuk membuat sebuah tim terbaik tidak harus terbentuk dari dua pemain terbaik; kekuatan pasangan adalah fungsi yang lebih kompleks dari kemampuan para pemain. Para pemain saling mengenal kekuatan dan kelemahan masing-masing dan dapat membuat perkiraan yang baik dari uang hadiah yang dihara-

1

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2

pkan untuk setiap konstelasi yang mungkin terjadi. Dalam proses pembentukan pasangan, para pemain menegosiasikan bagaimana cara mendistribusikan pendapatan yang diharapkan yang akan diperoleh oleh pasangan tersebut. Secara rasional inilah yang harus dilakukan petenis profesional. Tujuan masing-masing pemain dalam proses ini adalah memaksimalkan besar hadiah yang ingin diperoleh. Persoalan di atas merupakan model permainan cooperative matching. Dalam permainan matching, diberikan sebuah network (graf yang tidak be- rarah) dan untuk setiap vertex pada graf mewakili pemain pada per- mainan. Matching mewakili himpunan pasangan pemain sehingga se- tiap pemain terlibat paling banyak satu pasangan dan pasangan hanya bisa dibentuk jika terdapat edge diantara dua pemain, dimana edge mewakili hubungan timbal-balik diantara pemain. Nilai fungsi karak- teristik sebuah koalisi didefinisikan sebagai utilitas maksimum yang mungkin untuk matching oleh koalisi yang terjadi.

Permainan matching ini telah menarik perhatian para peneliti, seperti Biro et al., (2014) dan Kern dan Paulusma (2003). Konsep solusi untuk permainan matching telah dipelajari melalui sebuah al- goritma. Secara khusus, terdapat algoritma polynomial-time untuk menguji apakah permainan matching yang diberikan memiliki non- empty core yang telah dibahas oleh Deng (1999), dimana core dide- finisikan sebagai himpunan vektor payoff sehingga tidak ada koalisi yang memiliki nilai fungsi karakteristik yang lebih besar daripada to- tal payoff untuk pemain dari koalisi. Dengan demikian, payoff yang stabil ada dalam permainan dengan non-empty core.

Pada penelitian ini akan mempertimbangkan sebuah modifikasi struktural dari sebuah network, agar network tersebut menjadi lebih baik lagi, sehingga menghasilkan network yang memiliki outcome yang stabil. Hal tersebut akan dijelaskan pada pembahasan penelitian ini.

Modifikasi yang dilakukan harus sekecil mungkin agar permainan asli tidak jauh berbeda dengan yang telah dimodifikasi. Ada bebera-

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

3

pa kemungkinan cara memodifikasi, dalam penelitian ini mempertim- bangkan proses-proses berikut.

Penambahan edge : menambahkan satu himpunan edge ke network.

Dalam kasus ini, akan menambahkan beberapa edge yang mungkin.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

4

Pemindahan vertex : memindahkan satu himpunan vertex dari net- work. Ketika memindahkan sebuah vertex, maka sebuah edge yang mengarah ke vertex juga akan dilepaskan. Dalam kasus ini, akan me- mindahkan vertex yang mungkin.

Sejauh ini literatur yang ada hanya mempelajari modifikasi de- ngan pemindahan edge, yaitu, masalahnya adalah menemukan subset terkecil dari edges yang pemindahanya menghasilkan network dengan non-empty core. Biro et al., (2014) membuktikan bahwa masalah ini adalah berupa masalah NP-hard untuk kasus yang tidak memili- ki bobot (seperti yang diperkenalkan di atas). Baru-baru ini stabi- lisasi dengan pemindahan edge telah terbukti berupa masalah non- polinomial sulit (Ito, 2017). Dalam penelitian ini akan ditunjukkan cara stabilisasi lainya, yaitu penambahan edge dan pemindahan ver- tex yang dapat diselesaikan dalam waktu polinomial.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan pada permainan cooperative matching dapat disajikan dalam graf. Namun, tidak selalu menjamin bahwa network yang diteliti menghasilkan outcome yang stabil. Untuk mengatasi masalah ini, dipertimbangkan sebuah proses modifikasi yang disebut stabilisasi yang akan menghasilkan network dengan outcome yang stabil. Oleh karena itu, masalah ini diselesaikan kedalam masalah optimisasi kombinato- rial dalam sebuah graf. Namun, tidak semua graf adalah stabil, maka dipertimbangkan suatu proses stabilisasi graf yang akan menghasilkan outcome yang stabil. Dalam penelitian ini akan mempertimbangkan proses modifikasi graf dengan penambahan edge dan pemindahan ver- tex.

1.3 Tujuan Penelitian

Membahas graf stabil untuk permainan cooperative matching dan me-

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

5

lakukan dua varian memodifikasi pada permainan cooperative match- ing, yaitu modifikasi dengan penambahan edge dan pemindahan ver- tex yang bertujuan untuk menentukan edge-addition stabilizer dan vertex-removal stabilizer, sehingga diperoleh outcome yang stabil.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil-hasil penelitian ini berperan penting dalam menentukan out- come yang stabil pada permainan cooperative matching sehingga tidak ada koalisi yang menyimpang pada permainan. Pada penelitian ini juga akan mempertimbangkan sebuah modifikasi struktural dari se- buah network, agar network tersebut menjadi lebih baik lagi, sehingga menghasilkan network yang memiliki outcome yang stabil. Modifikasi yang dilakukan harus sekecil mungkin agar permainan asli tidak jauh berbeda dengan yang telah dimodifikasi.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Istilah-istilah baku pada graf yang digunakan dalam penelitian ini bersumber pada Ito et al., (2017).

2.1 Matching Pada Graf

Misalkan G = (V, E) adalah graf sederhana dan bukan graf kosong.

Setiap vertex yang berada di himpunan V direpresentasikan dengan menggunakan titik atau lingkaran kecil. Setiap edge e = u, v yang berada di himpunan E direpresentasikan sebagai sebuah garis yang menghubungkan titik u dengan titik v. Dua buah titik u dan v pada sebuah graf G dikatakan ajasen atau bertetangga bila terdapat sebuah edge pada graf G dengan titik ujung u dan v dan titik u dan v dikatakan insiden dengan sisi e dan sebaliknya sisi e dikatakan bertemu dengan titik u dan v. Matching M didefinisikan sebagai himpunan bagian yang tidak kosong dari edge E(G) sedemikian hingga tidak ada edge dari M yang saling ajasen di G. Graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki edge yang parallel dan tidak memiliki loop, sedangkan graf tidak kosong dari edge adalah graf yang setidaknya memiliki satu edge. Berikut ini diberikan gambar sebuah graf G dengan V (G) = {v 1 , v 2 , . . . , v 6 } dan E(G) = {e 1 , e 2 , . . . , e 8 } . Salah-satu matching graf G tersebut adalah M = {e 1 , e 6 , e 7 } .

6

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

7

Gambar 2.1 Contoh graf G dan salah-satu matching graf G

Jika M adalah suatu matching, maka suatu vertex v i dikatakan saturated oleh matching M jika dan hanya jika ada sebuah edge dari matching M berada pada vertex v i tersebut. Sebaliknya jika tidak ada maka vertex v i disebut unsaturated M . Perhatikan Gambar 2.1 v 1

dan v 2 disebut saturated oleh M , sebaliknya Gambar 2.2, v 1 disebut unsaturated karena tidak ada matching M yang menempel pada v 1 .

Gambar 2.2 Contoh simpul M -unsaturated

Matching M disebut matching sempurna jika setiap vertex pada G saturated oleh matching M . Dari sebuah graf dapat diperoleh lebih dari satu matching M . Suatu matching M disebut matching maksi- mum jika untuk setiap matching pada graf tidak terdapat matching M dengan |M

⁰

| ≥ |M |. Sehingga setiap matching sempurna adalah matching maksimum. Namun sebaliknya, jika M adalah matching maksimum belum tentu M merupakan matching sempurna. Gam- bar 2.1 merupakan matching sempurna sekaligus matching maksimum

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

8

dan Gambar 2.2 merupakan contoh matching maksimum tetapi bukan matching sempurna (Berge, 1957).

Gambar 2.3 Contoh M -augmenting dan M -alternating

Misalkan M adalah matching dan P adalah lintasan pada graf G. Lintasan P disebut M-alternating jika edge-edge pada P terben- tang dalam M dan berada pada E(G) \ M , dengan kata lain edgenya bergantian antara M dan E(G) \ M . Selanjutnya lintasan P disebut M- augmenting jika lintasan M-alternating dan vertex awal serta vertex akhir dari lintasan P merupakan M-unsaturated.

Pada Gambar 2.3, yang merupakan contoh lintasan M-alternating yaitu {v 4 e 2 v 2 e 3 v 6 e 6 v 5 e 7 v 3 } , sedangkan {v 8 e 9 v 6 e 3 v 2 e 5 v 5 e 7 v 3 e 8 v 7 } merupakan contoh lintasan M-augmenting karena vertex awalnya yaitu v 8 dan vertex akhirnya v 7 merupakan vertex yang berada pada E(G) \ M dan unsaturated M.

Teorema 1 (Berge, 1957) Matching M pada graf G adalah matching maksimum jika dan hanya jika G tidak mengandung lintasan M- augmenting.

Bukti.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

9

1. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan M adalah match- ing maksimum pada graf G dan terdapat lintasan M - augmenting P . Dalam hal ini, P haruslah memiliki jumlah edge yang ganjil, karena agar suatu lintasan P merupakan lintasan M -augmenting, setiap satu edge yang merupakan matching M harus berajasen de- ngan dua rusuk lainnya yang bukan matching (E(G) \ M ). Untuk lebih jelasnya, misalkan lintasan M -augmenting P = {v 0 v 1 v 2 . . . v k−1

^vk

} . Perhatikan bahwa k jumlah edge berjumlah ganjil, karena v 0 dan v k unsaturated M , artinya v 0 v 1 dan v k − 1 ^v

^k

harus bukan anggota matching M . Selanjutnya definisikan himpunan edge M

⁰

⊆ (G) de- ngan M = (M − {v 1 v 2 , v 3 v 4 . . . v k−2

^vk−1

}) ∪ {v 0 v 1 , v 2 v 3 . . . v k − 1 ^v

^k

} , maka M merupakan matching pada graf G dengan nilai |M

⁰

| = |M | + 1.

Hal ini kontradiksi dengan M adalah matching maksimum. Oleh karena itu, jika M adalah matching maksimum pada graf G, maka G tidak mungkin memiliki lintasan M -augmenting.

2. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan M bukan match- ing maksimum dan M

⁰

adalah matching maksimum di G. Ak- ibatnya |M

⁰

| ≥ |M |. Definisikan, H = G(M ∆M

⁰

) dengan M ∆M

⁰

menunjukkan beda simetri di M dan M

⁰

. Setiap vertex di H berderajat 1 atau 2, karena setiap vertex di H berinsiden de- ngan paling banyak satu edge di M dan satu edge di M . Dengan demikian, komponen H adalah lintasan yang edge nya bergantian di M dan M

⁰

atau siklus dengan banyak edge nya adalah genap.

Karena M

⁰

dimisalkan sebagai matching maksimum, dari penje- lasan sebelumnya diperoleh |M

⁰

| ≥ |M |. Akibatnya, H mempun- yai lebih banyak edge M dibandingkan edge M . Sehingga lintasan P di H yang edge awal dan edge akhirnya adalah anggota dari M

⁰

. Dengan kata lain vertex awal serta vertex akhir dari lintasan P merupakan M -unsaturated. Maka lintasan P adalah lintasan M -augmenting. Kita peroleh pernyataan, jika M bukan match- ing maksimum di G maka mengandung lintasan M -augmenting.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

10

Pernyataan ini ekivalen dengan jika G tidak mengandung lintasan M -augmenting, maka M adalah matching maksimum di G. 

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

11

2.2 Matching Pada Graf Bipartit

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai matching pada graf bipar- tit, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai himpunan persekitaran.

Misalkan terdapat graf sebarang G(V, E) dengan V adalah himpunan vertex pada G dan S merupakan subset dari V (G), maka himpunan persekitaran dari S (himpunan tetangga dari S) adalah semua vertex yang berajasen dengan vertex di S. Himpunan persekitaran biasanya dinotasikan dengan N G (S).

Teorema 2 (Hall, 1935) Misalkan G adalah graf bipartit dengan bi- partisi X, Y . Maka G mengandung sebuah matching yang saturated untuk setiap vertex di X jika dan hanya jika |S| ≤ N G (S) untuk setiap S ⊆ X.

Akibat 1. (Marriage Frobenius, 1917) Graf bipartit G dengan bipartisi {X, Y }, memiliki matching sempurna jika dan hanya jika |X| = |Y | dan

|S| ≤ |N G (S)| untuk setiap S ⊆ X atau Y .

Akibat 2. (K¨ onig, 1936) Jika G adalah graf bipartit k-reguler dengan k > 0, maka G memiliki sebuah matching sempurna.

Bukti. Misalkan G adalah graf bipartit k-reguler dengan bipartisi {X, Y }. Karena G adalah k-reguler, maka k|X| = k|Y |. Karena k > 0, maka |X| = |Y |. Misalkan S adalah subset dari X dengan E 1 adalah himpunan edge yang berinsiden dengan vertex di S dan E 2 adalah himpunan vertex yang berimsiden dengan vertex di N G (S). Maka ber- dasarkan definisi N G (S) diperoleh E 1 subset dari E 2 , oleh karena itu diperoleh k|N G (S)| ≥ |S|, maka berdasarkan Teorema Hall diperoleh pernyataan bahawa G memiliki matching M yang saturated terhadap setiap simpul di X dan karena |X| = |Y |, maka M adalah matching

sempurna. 

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

12

Gambar 2.4 Graf Bipartit dengan Matching Sempurna

2.3 Vertex-Cover

Vertex-cover dari sebuah graf sederhana adalah sebuah himpunan ver- tex dari graf, dimana semua sisi dari graf tersebut akan bersisian de- ngan paling tidak satu sudut yang berada dalam himpunan tersebut.

Gambar 2.5 Contoh vertex-cover

Pada Gambar 2.5 yang merupakan vertex-cover adalah {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } , maka banyak vertex-cover dari graf tersebut adalah 4. Sedangkan mi- nimum vertex-cover adalah vertex-cover yang memiliki jumlah sim- pul yang minimum. Vertex-cover diperoleh dari himpunan V C dari simpul vertex dalam suatu graf G = (E, V ) dimana pada setiap busur (u, v) ∈ E pada graf tersebut dapat dicakup oleh setidaknya satu simpul v ∈ V C. Ada dua masalah utama yang berkaitan dengan vertex-cover, yaitu pencarian minimum vertex-cover dari sebuah graf, dan menen- tukan apakah ada suatu vertex-cover dengan ukuran tertentu pada graf tersebut. Permasalahan ini termasuk permasalahan optimisasi yang sulit dalam ilmu computer (Ito et al., 2017).

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

13

Definisi 1 Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. Himpunan K ⊂ V adalah vertex-cover dari E jika setiap edge dari G insiden pada vertex di K. Vertex-cover number dari G dinotasikan τ (G), adalah ukuran minimum dari vertex-cover graf G.

2.4 Fractional Relaxation

Scheinerman dan Ullman (2008) menjelaskan bahwa banyak masalah kombinatorial yang sangat dekat dengan program linier. Salah-satu nya adalah masalah matching maksimum, yang merupakan masalah untuk mencari matching terbesar pada graf. Ukuran untuk besarnya matching pada graf G dinotasikan dengan v(G). Untuk mencari match- ing maksimum graf Pada program linier integer dapat diformulasikan sebagai berikut:

max X

e∈E

x e

kendala P

ev

x e ≤ 1 untuk semua v ∈ V

x e ∈ N untuk semua e ∈ E (2.1) Untuk setiap edge e, kendala pada salah satu ujung vertex menyatakan bahwa x e ≥ 1. Jadi kondisi x e ∈ N ekuivalen dengan kondisi x e ∈ 0, 1.

Selanjutnya pada masalah vertex-cover, yaitu masalah menemukan mi- nimum vertex-cover pada graf. Vertex-cover pada graf G = (V, E) adalah bagian dari vertex S ⊂ V sedemikian hingga setiap edge memi- liki hanya satu ujung vertex di S. Kardinal dari minimum vertex-cover dinotasikan dengan τ (G) dan y menjadi indikator vektor dari vertex- cover, (yaitu, y v = 1 jika ada dalam vertex-cover, y v = 0 untuk lainnya).

Masalah vertex-cover ini dapat mengikuti formulasi program linier in- tejer sebagai berikut:

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

14

min X

v∈V

y v

kendala

y u + y v ≥ 1 untuk semua uv ∈ E

y v ∈ N untuk semua v ∈ V (2.2) Telah diketahui bahwa vertex-cover adalah masalah NP-hard yang dapat diformulasikan pada program linier, hal ini sangat membantu.

Pertama dapat melakukan relaxation pada kondisi integralitas untuk mendapatkan program linier yang disebut dengan masalah fractional relaxation. Sebagai contoh fractional relaxation dari (2.1) mengikuti program linier:

max X

e∈E

x e

kendala: P

ev

x e ≤ 1 untuk semua v ∈ V

x e ≥ 0 untuk semua e ∈ E (2.3) Solusi layak untuk (2.3) disebut fractional matching, nilai maksimum pada fractional matching G disebut fractional matching number yang dinotasikan dengan v f (G), maka v f (G) ≥ v(G). Untuk menemukan ni- lai τ f (G) dapat diformulasikan sebagai program linier yang memiliki kendala berupa polinomial, sehingga dapat diselesaikan dengan ben- tuk waktu polinomial. Fractional relaxation dari (2.2) adalah

min X

v∈V

y v

kendala:

y u + y v ≥ 1 untuk semua uv ∈ E

y v ≥ 0 untuk semua v ∈ V (2.4) Solusi layak untuk (2.4) disebut fractional vertex-cover dan nilai mini- mum dari fractional cover G disebut fractional vertex-cover number yang denotasikan dengan τ f (G, maka τ f (G) = τ (G). Jika diamati bahwa

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

15

program linier (2.3) dan (2.4) adalah dual satu dengan yang lain, jadi oleh teorema dualitas, v f (G) = τ f (G), sehingga

v(G) ≤ v f (G = τ f (G) ≤ τ (G).

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

16

Oleh karena itu, relaksasi fraksional dan teorema dualitas mem- buktikan fakta sederhana bahwa dalam graf, ukuran maksimum match- ing lebih kecil dari ukuran minimum vertex-cover. Berikut Ini adalah kasus untuk maksimum matching pada graf bipartit.

Proposisi 2.1 Jika G adalah graf bipartit, maka (2.3) memiliki solusi integral optimal, dimana hal ini adalah solusi optimal dari (2.1). Jadi v(G) = v f (G).

Bukti. Misalkan x adalah solusi optimal dari (2.3). Maka v f (G = P

e∈E x e ). Jika x adalah integral, maka sudah selesai. Jika tidak, akan dijelaskan prosedur yang menghasilkan solusi optimal dengan koordi- nat yang benar-benar lebih integer daripada x, yang akan kemudian mencapai solusi optimal integral dengan banyak pengulangan prosedur ini.

Misalkan H adalah subgraf G yang diinduksi oleh himpunan edge {e|x e ∈ {0, 1}}. Misalkan pertama H mengandung cycle C = (v / 1 , v, . . . , v k , v 1 ).

Karena G dan karenanya H adalah bipartit, C haruslah genap.

Misalkan ε = min

e∈E(C) min{x e , 1−x e } . Untuk menentukan x

⁰

dan x ^” mengiku- ti:

x

⁰

_e =

( x e − ε, jika e = v i v i+1 , 1 ≤ i ≤ k − 1 dan i adalah ganjil x e + ε, jika e = v i v i+1 , 1 ≤ i ≤ k dan i adalah genap

x e , jika e / ∈ E(C).

dan

x ^” _e =

( x e − ε, jika e = v i v i+1 , 1 ≤ i ≤ k − 1 dan i adalah ganjil x e + ε, jika e = v i v i+1 , 1 ≤ i ≤ k − 1 dan i adalah genap

x e , jika e / ∈ E(Q).

dimana indeks harus memerhatikan modulo k. Ini adalah dua solusi yang dapat diterima untuk (2.3), sehingga

X

e∈E

x e = 1 2

X

e∈E

x

⁰

_e + X

e∈E

x

⁰⁰

_e

! .

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

17

Jadi x

⁰

dan x ^” juga merupakan solusi optimal dan dengan pilihan ε , salah satu dari dua solusi ini memiliki koordinat bilangan bulat lebih banyak daripada x.

Selanjutnya, kita mungkin berasumsi bahwa H tidak memiliki cycle.

Perhatikan lintasan terpanjang P = (v 1 , v 2 , . . . , v k ) di H. Perhatikan jika e adalah sebuah edge e insiden ke v 1 (masing-masing v k ) dan perbedaan dari v 1 v 2 , (masing-masing v k−1 v k ), maka x e = 0, untuk yang lainya H akan berisi cycle atau lintasan yang lebih panjang.

Mendefinisikan ε = min

e∈E(P ) min{x e , 1 − x e } dan x

⁰

dan x ^” Sama seperti di atas, diperoleh dua solusi yang bisa masuk ke 2.3. Perhatikan bahwa jika P adalah ganjil, maka nilai dari x ^” lebih baik dari salah satu nilai x, dimana hal ini kontradiksi dari optimalitas x. Jika P genap, x

⁰

dan x ^” adalah solusi optimal dan dengan pilihan ε , salah satu dari dua solusi ini memiliki koordinat bilangan bulat lebih banyak daripada x.



2.5 Hubungan Permainan Cooperative Pada Program Linier

Diketahui bahwa teori program linier adalah kunci untuk mempelajari core non-empty dari permainan cooperative yang berasal dari graf dan kombinatorik. Untuk permainan cooperative matching, hal ini diartikan sebagai hubungan matching number dan fractional matching number pada graf.

Sebuah matching pada graf dapat diartikan sebagai penugasan nol atau satu ke setiap edge pada graf sehingga untuk setiap vertex dari graf, jumlah nilai yang diberikan pada edge insiden pada vertex pal- ing banyak adalah satu. Fractional matching pada graf didefinisikan sebagai penugasan bilangan asli non-negatif ke setiap edge pada graf sehingga untuk setiap vertex graf, jumlah nilai yang diberikan pada edge insiden pada vertex paling banyak adalah satu. Matching num- ber didefinisikan sebagai ukuran maksimum dari matching pada graf,

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

18

yang dapat dilihat sebagai jumlah maksimum nilai yang ditetapkan ke edge graf saat penugasan sesuai matching. Demikian pula Fractional matching number didefinisikan sebagai jumlah maksimum nilai yang ditetapkan ke edge pada graf dalam fractional matching. Komputasi matching number dapat diformulasikan sebagai program linier inte- jer 0/1, sedangkan fractional matching number dapat diformulasikan sebagai program linier tanpa kendala integralitas.

Dari definisi tersebut diperoleh bahwa fractional matching num- ber selalu minimal sebesar matching number. Deng et al., (1999) men- gatakan bahwa keduanya sama jika dan hanya jika permainan matching memiliki non-empty core, jika nilainya adalah non-empty core, maka ini adalah solusi optimal untuk dual program linier yang merumuskan perhitungan dari fractional matching number. Kasus khusus pada graf Bipartit sudah dibuktikan oleh Shapley dan Shubik (1971).

Dalam terminologi optimisasi, perbedaan fractional matching num- ber dengan matching number disebut integralitas gap, dimana hal ini relevan pada algoritma optimisasi, kedua nya eksak dan aproksimasi.

Hasil penelitian ini berkaitan dengan modifikasi terkecil untuk mema- sukkan graf sehingga integralitas gap menjadi nol, dan pandangan in- ilah yang digunakan untuk merancang algoritma pada penelitian ini.

2.6 Hubungan Permainan Cooperative Pada Network Bargaining Pada tahun 1950-an, John Nash memperkenalkan sebuah solusi untuk masalah khusus pada dua agen. Solusi ini dikenal sebagai solusi Nash bargaining yang didasarkan pada intuisi bahwa agen akan cenderung membagi keuntungan secara merata. Jika tidak sama, artinya ada agen yang memiliki pilihan diluar yang lebih baik daripada yang lain. Se- jak munculnya hasil yang diperkenalkaan Nash ini, berbagai ilmuwan seperti ilmuwan ekonomi dan komputer telah memperluas konsep so- lusi Nash pada pengaturan network dan telah menemukan konsep ke-

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

19

seimbangan. Dalam konsep tersebut, masing-masing agen memiliki kontrak potensial yang dipersentasikan dengan himpunan network.

Network bargaining adalah permainan yang dapat digambarkan kedalam sebuah graf G(V, E) tidak berarah dengan sebuah himpunan V dari n vertex dan himpunan E dari m edge, dimana vertex mewak- ili pemain dan edge sebagai kemungkinan hubungan timbal-balik di- antara pemain. Dari penelitian yang dilakukan oleh Kleinberg dan Terdos (2008) memberikan teori dan dasar matematika untuk masalah permainan network bargaining. Model mereka mengasumsikan bah- wa setiap vertex dari netwok mengartikan pemain, dan untuk setiap edge adalah nilai unit yang mungkin disepakati antara dua pemain dan masing-masing pemain dapat terlibat dalam satu kesepakatan dengan salah-satu tetangganya di network. Maka outcome terdiri dari match- ing network dan nilai yang diperoleh oleh masing-masing pemain. Jika pemain matched dengan pemain lain, maka unit payoff adalah pemba- gian nilai dua pemain sebagai milai mereka. Jika tidak matched maka nilainya nol. Misalkan diberikan sebuah outcome, akan mungkin un- tuk mempertimbangkan adanya penyimpangan pemain dari matching saat ini. yaitu, pemain A memiliki insetif/tambahan untuk menjadi matching dengan pemain lain B. Jika B adalah tetangga dari A di network dan nilai A lebih kecil dari nilai yang bisa di peroleh dari kesepakatan dengan B sementara nilai B tetap sama. Jika tidak ada pemain yang memiliki insentif seperti itu, maka hasilnya disebut sta- bil. Kleinberg dan Tardos (2008) menyatakan bahwa hasil yang stabil ada jika dan hanya jika ada hasil yang seimbang. Bateni et al., (2010) membuktikan hal ini setara dengan permainan matching pada network yang memiliki non-empty core.

Dengan kesetaraan ini, mengikuti Bock et al., (2015), proses mod- ifikasi untuk mengubah network yang diberikan menjadi satu dengan stabilisasi non-empty core, dan jika graf menghasilkan permainan yang sesuai dengan non-empty core, disebut graf stabil. Di sini ditekankan

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

20

bahwa modifikasi struktural lebih sesuai daripada proses modifikasi bila mempertimbangkan core atau biaya stabilitas. Modifikasi untuk dua yang terakhir tidak mempertahankan struktur fungsi karakteris- tik karena timbul dari permainan yang matching, dan karenanya tidak memberikan implikasi pada network bargaining.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 3

GRAF STABIL DAN DEKOMPOSISI GALLAI-EDMONDS

3.1 Matching Number dan Graf Stabil

Pada penelitian ini, diberikan graf G sederhana tidak berarah dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E, yaitu, G = (V, E). Untuk edge diantara sepasang vertex u, v di V dinotasikan dengan {u, v}. Un- tuk setiap subset X dari V didefinisikan E(X) := {{u, v} ∈ E|u, v ∈ X}.

Untuk setiap subset X dari V , subgraf G yang diinduksi oleh X dino- tasikan dengan G[X], yaitu G[X] = (X, E(X)). Untuk setiap vertex v di V adalah subset dari edge yang insiden ke v dinotasikan dengan δ(v) . Untuk setiap subset X dari V didefinisikan δ(X) := S

v∈X δ(v) \ E(X).

yaitu δ(X) mewakili himpunan edge yang keluar dari X. Untuk setiap subset X dari V , didefinisikan neighborhood N (X) sebagai himpunan vertex v di V \ X sehingga terdapat vertex u di X dengan {u, v} ∈ E.

Dinotasikan  v 2



keluarga dari subset X di V sedemikian hingga |X| = 2.

Untuk setiap subset F dari  v 2



\ E, akan ditunjukkan dengan G + F yaitu graf yang diperoleh dari G dengan menambahkan ujung-ujung F ke G, yaitu G+F = (V, E∪F ). Untuk setiap subset X dari V , dinotasikan oleh G − X yaitu graf yang diperoleh dari G dengan menghapus vertex di X dari G, yaitu G − X = (V \ X, E \ S

v∈X δ(v)). Untuk setiap edge e di  v

2



\ E (masing-masing vertex v di V ), didefinisikan G + e := G + {e}

(G − v := G − {v}). Sebuah subset M dari E disebut matching di G jika tidak ada dua edge di M yang memiliki verteks yang insiden yang sama dengan M . Matching number dari G, dinotasikan dengan v(G) adalah besar maksimum matching di G. Matching di G dikatakan sempurna jika |M | = |V |/2.

Menentukan besar maksimum dari matching di G dapat diformu-

21

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

22

lasikan dengan pemrograman linier intejer IP (G):

v(G) = max ( X

e∈E

x(e)     

P

e∈δ(v)

x(e) ≤ 1 (v ∈ V ), x ∈ {0, 1} ^E

) .

Perhatikan pemrograman linier relaksasi dari IP (G), yang dino- tasikan dengan LP (G):

v f (G) = max ( X

e∈E

x(e)     

P

e∈δ(v)

x(e) ≤ 1(v ∈ V ), x ∈ R ^E ₊

) ,

dimana R + adalah himpunan bilangan real non-negatif. Nilai optimal v f (G) dari LP (G) disebut fractional matching number dari G. Jika nilai optimal dari IP(G) dan LP(G) memenuhi formulasi v(G) dan v f (G) diatas maka berlaku v f (G) ≥ v(G). Dual DP (G) dari LP (G) adalah

τ f (G) := min ( X

v∈V

y(v)  

  y(u) + y(v) ≥ 1 ({u, v} ∈ E) , y ∈ R ^V ₊

) .

Dengan teorema dualitas dalam pemrograman linier, v f (G) = τ f (G).

Masalah DP (G) adalah relaksasi pemrograman linier dari masalah un- tuk menemukan vertex-cover yang minimum di G, dimana vertex cover adalah subset X dari V sedemikian sehingga setiap edge di G memiliki insiden vertex di X. Minimum vertex cover dinotasikan dengan τ (G).

Graf G disebut stabil jika network bargaining pada G memili- ki outcome yang stabil, secara ekuivalen, permainan yang memenuhi adalah graf G memiliki non-empty core. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, stabilitas graf G dapat dicirikan sebagai berikut.

Proposisi 3.1 Deng (1999). Graf G stabil jika dan hanya jika v f (G) = v(G).

Oleh karena itu, stabilisasi graf G dapat dilihat sebagai masalah mod- ifikasi G sehingga graf yang dihasilkan adalah graf G yang memiliki

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

23

v f (G

⁰

) = v(G

⁰

). Sebagai contoh, pada penambahan edge, bertujuan un- tuk menemukan subset minimum F dari

 v 2



\ E sehingga v f (G + F ) = v(G + F ).

Contoh 3.1 Berikut diberikan sebuah graf G yang memiliki 7 vertex, yaitu {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 v 6 , v 7 } seperti pada Gambar 3.1. Kemudian akan dilihat apakah graf tersebut merupakan graf stabil atau graf tidak sta- bil, untuk menentukan apakah graf tersebut stabil atau graf tidak sta- bil maka akan dicari besar matching maksimum dan fractional match- ing dari graf.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

24

Gambar 3.1 Contoh graf

Menentukan besar maksimum dari matching di G dapat diformu- lasikan dengan program linier

v(G) = max ( X

e∈E

x(e)     

P

e∈δ(v)

x(e) ≤ 1 (v ∈ V ), x ∈ {0, 1} ^E

) ,

sehingga diperoleh:

v(G) = max e 1 + e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 + e 7

dengan kendala

v 1 = e 1 + e 2 ≤ 1, v 2 = e 1 + e 3 ≤ 1, v 3 = e 2 + e 4 ≤ 1, v 4 = e 3 + e 5 ≤ 1, v 5 = e 4 + e 5 + e 6 ≤ 1, v 6 = e 6 + e 7 ≤ 1, v 7 = e 7 ≤ 1, e i = 0, 1, i = 1, 2, . . . , 7 Begitu juga untuk mencari fractional matching dari graf diatas dengan menggunakan program linier, bedanya untuk fractional matching, e i = R ₊ .

Gambar 3.2 Matching dan fractional matching graf G

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

25

Sehingga akan diperoleh matching maksimum dan fractional match- ing yang ditunjukkan pada Gambar 3.2. Dari Gambar 3.2 terlihat bahwa besar v(G) = 3 dan v f (G) = 3 ¹ ₂ , maka dapat disimpulkan bahwa graf tersebut bukan graf stabil karena matching maksimum pada graf tidak sama dengan fractional matching graf.

Contoh 3.2 Diberikan sebuah graf G yang merupakan sebuah graf bi- partit dengan 6 vertex dan bipartisi {X, Y } = {3, 3} sehingga |X| =

|Y |. Kemudian akan ditentukan maksimum matching dan fractional matching dari graf bipartit tersebut. Besar v(G) dan v f (G) dari graf ditunjukkan pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa v(G) = 3 dan v f (G) = 3, se- hingga diperoleh bahwa v(G) = v f (G). Maka graf stabil

Gambar 3.3 Matching graf bipartit

Pada Proposisi 2.3 menyatakan bahwa graf bipartit memiliki v(G) = v f (G), maka dapat disimpulkan bahwa setiap graf bipartit adalah graf stabil.

3.2 Dekomposisi Gallai-Edmonds

Untuk setiap subset M dari E, dinotasikan oleh ∂M adalah himpunan dari ujung vertex dari M , dengan ∂M = S

e∈M e. Vertex v adalah cov- ered dari M jika v ∈ ∂M , dan exposed oleh M jika v / ∈ ∂M . Sebuah vertex v di V dikatakan essential jika v adalah cover dari setiap matching maksimum di G, dan inessential untuk lainya, yaitu, jika beberapa matching maksimum di G bukan cover dari v.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

26

Definisi 2 (Gallai-Edmonds, 1935) mendefinisikan sebuah partisi (B, A, D) dari V yang mengikuti aturan sebagai berikut.

1. B adalah himpunan dari vertex inessential

2. A = N (B), yaitu, A adalah tetangga dari B

3. D = V \ (B ∪ A)

partisi (B, A, D) disebut dekomposisi Gallai-Edmonds dari G

Diketahui bahwa dekomposisi Gallai-Edmonds (B, A, D) dari G se- lalu ada dan dapat ditemukan berupa waktu polinomial (Lavas dan Plummer, 1986). Oleh definisi, setiap vertex di A ∪ B adalah cover dari M matching maksimum di G, dan vertex exposed oleh M hanya ada di B. Selanjutnya, formula Tutte-Berge yang terkenal dapat dit- ulis dalam bentuk dekomposisi Gallai-Edmonds.

Proposisi 3.2 (Tutte-Berge, 1947). Terdapat v(G) = 1

2 (|V | − comp(G[B]) + |A|)

dimana comp(G[B]) adalah komponen terhubung di G[B].

Bock et al., (2015) mengkarakterisasi perbedaan v f (G) − v(G) de- ngan menggunakan dekomposisi Gallai-Edmonds untuk membatasi be- sar dari edge-removal stabilizer. Pada bagian ini, akan diberikan so- lusi optimal eksplisit untuk LP (G) dan DP (G) dengan menggunakan dekomposisi Gallai-Edmond (Proposisi 3.5). Solusi optimal Ini akan digunakan untuk mendapatkan nilai minimum penstabil untuk varian lainnya. Pada kasus LP (G) telah dijelaskan oleh (Pulleyblank, 1987).

Untuk itu, pertama-tama akan jelaskan sifat dasar dekomposisi Gallai- Edmonds:

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

27

(a) Setiap H komponen terhubung di G[B] adalah factor critical. Di- mana graf G

⁰

adalah factor critical jika ada matching sempurna di G

⁰

− v untuk setiap vertex v dari G

⁰

. Sehingga H memiliki jumlah vertex ganjil.

(b) Untuk matching maksimum M , masing-masing H komponen ter- hubung di G[B] memenuhi (i) H memiliki satu vertex exposed oleh M dan tidak ada edge pada M yang keluar dari H, atau (ii) H tidak memiliki vertex exposed oleh M dan satu edge di M keluar dari H.

Misalkan B 1 adalah himpunan verteks dari komponen singleton di G[B]. Diberikan B 3 = B \ B 1 menjadi himpunan verteks oleh komponen terhubung non-trivial (yaitu, komponen terhubung dengan ukuran paling sedikit tiga) di G[B]. Dalam penelitian ini, akan mengguna- kan partisi (B 1 , B 3 , A, D) dari dekomposisi Gallai-Edmonds.

Untuk setiap matching maksimum M di G, M-alternating cy- cle C adalah cycle sedemikian sehingga edge dari M muncul secara bergantian di C (kecuali satu vertex jika panjangnya ganjil). Lintasan M-alternating didefinisikan sama. Dari struktur dekomposisi Gallai- Edmonds, diperoleh lemma berikut.

Lemma 3 Jika H komponen terhubung di G[B 3 ] memiliki vertex v ex- posed oleh M , maka H mengandung cycle M-alternating dengan pan- jang v adalah ganjil.

Misalkan G[B 1 , A] adalah diinduksi graf bipartit oleh edge antara B 1 dan A. Sebuah matching maksimum di G dikatakan B 1 -optimal, jika |∂M ∩ B 1 | = v(G[B1, A]), yaitu, jumlah edge M yang terhubung ke B 1 adalah maksimalkan. Dengan algoritma tipe-augmenting untuk menemukan matching maksimum, dapat menemukan matching B 1 - optimal berupa waktu polinomial.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

28

Proposisi 3.3 Sebuah matching B 1 -optimal di G selalu ada dan dapat ditentukan dalam waktu polinomial.

Bukti. Misalkan M ^∗ adalah matching maksimum pada graf bipar- tit G[B 1 , A], maka |∂M ^∗ ∩ B 1 | = v(G[B 1 , A]). Akan ditetapkan sebuah algoritma tipe Augmenting dengan inisial matching M ^∗ , ini adalah himpunan inisial M

⁰

:= M ^∗ dan berulang kali menentukan sebuah lin- tasan M

⁰

- Augmenting P dan menggantikan M

⁰

dengan perbedaan simetrik M

⁰

∆P . Jika tidak terdapat lintasan M

⁰

-Augmenting, maka M

⁰

memiliki besar yang maksimum. Karena ∂M

⁰

⊆ ∂(M

⁰

δP ) disetiap iterasi, persamaan |∂M

⁰

∩ B 1 | = v(G[B 1 , A]) dipertahankan selama pro- ses. Sedemikian hingga diperoleh maksimum matching cover B 1 ∩ ∂M ^∗ , dimana ini adalah B 1 -optimal. Lintasan M - Augmenting dapat diten- tukan pada waktu polinomial (Schrijver, 2003).

Dengan bantuan matching B 1 -optimal, dapat memberikan solusi optimal dari LP (G) dan DP (G).

Proposisi 3.4 Diasumsikan bahwa M adalah matching B1-optimal di G, dan v 1 , v 2 , . . . , v p adalah vertex exposed oleh M di G[B 3 ].

1. Misalkan C 1 , C 2 , . . . , C p adalah pasangan vertex-disjoint cycle M -alternating yang ganjil sedemikian sehingga C i memiliki v i untuk setiap i = 1, 2, . . . , p.

Maka, vektor x di R ^E ₊ didefinisikan oleh x(e) =

( 1 1/2

0

jika e ∈ M \ S p

i=1 EC i , jika e ∈ S p

i=1 EC i , lainnya

adalah solusi optimal untuk LP(G), dimana EC i adalah himpunan edge untuk C i untuk setiap i = 1, 2, . . . , p.

2. Misalkan Y adalah minimum vertex-cover di G[B 1 , A], maka vektor y di R ^V ₊ yang didefinisikan oleh

y(v) = ( 1

1/2 0

jika v ∈ A ∩ Y jika v ∈ B 1 \Y

lainnya

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

29

adalah solusi optimal untuk DP(G).

3. Nilai optimal dari LP(G) dan DP(G) sama dengan 1

2 (|V \ B 1 | + v(G[B 1 , A])) (3.1) Bukti. Akan ditunjukkan bahwa x dan y yang didefinisikan dalam pernyataan bahwa solusi layak untuk LP(G) dan DP(G), masing-masing, dengan nilai tujuan yang sama dengan (3.1).

Jelas bahwa x layak untuk LP(G) karena P

e∈δ(v) x(e) ∈ {0, 1} untuk setiap vertex v di V . Untuk P

e∈δ(v) x(e) = 0 jika dan hanya jika v ∈ B 1 \ ∂M , maka nilai objektif x adalah

X

e∈E

x(e) = 1 2

X

v∈V

X

e∈δ(v)

x(e) = 1

2 (|D| + |A| + |B 3 | + |B 1 ∩ ∂M |).

Karena |V | = |D| + |A| + |B 3 | + |B 1 | dan |B 1 ∩ ∂M | = v(G[B 1 , A]), maka akan diperoleh hasil P

e∈E x(e) yang sama dengan persamaan (3.1).

Di sisi lain, vektor y adalah layak untuk DP(G). Memenuhi, jika sebuah edge memiliki vertex akhir v ∈ B 1 \ Y dengan y(v) = 0, vertex ujung lainnya ada di A∩Y , karena Y adalah vertex-cover di G[B 1 , A] dan karenanya y(u) = 1. Sehingga, setiap edge {u, v} memenuhi y(u) + y(v) ≥ 1. Nilai obyektif y adalah

X

v∈V

y(v) = |D|

2 + |A \ Y |

2 + |A ∩ Y | + |B 1 ∩ Y |

2 + |B 3 | 2

= 1

2 (|D| + |A| + v(G[B 1 , A]) + |B 3 |),

dimana persamaan terakhirnya |A ∩ Y | + |B 1 ∩ Y | = |Y | = v(G[B 1 , A]).

Maka nilai obyektifnya sama dengan (3.1). Dengan demikian hal ini berarti bahwa LP (G) dan DP (G) optimal oleh teorema dualitas pem- rograman linier.

Keberadaan dari matching half-integral dari besar v f (G) telah dibuktikan oleh Bolinski (1965) dan digunakan oleh Biro (2012) un- tuk menentukan core dari permainan matching. Proposisi 3.5 me- nunjukkan bahwa dapat ditentukan matching half-integral dari v f (G)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

30

sedemikian hingga semua half-integral edge adalah terkandung da- lam komponen faktor-critical dari dekomposisi Gallai-Edmonds, hal ini dibuktikan oleh Pulleyblank (1987).

Menunjukkan perbedaan antara vf (G) dan v(G) dengan d(G) := v f (G) − v(G).

Kombinasi antara proposisi (3.2) dan (3.5), dapat menyatakan d(G) dengan menggunakan komposisi Gallai-Edmonds. 

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

31

Proposisi 3.5 Misalkan G adalah memenuhi (3.1) dan d(G) sehingga diperoleh persamaan berikut.

d(G) = 1

2 (comp(G[B 3 ]) − |A| + v(G[B 1 , A])). (3.2) Bock et al., (2015) menunjukkan bahwa 2d(G) sama dengan jum- lah komponen yang memiliki vertex pada G[B 3 ] untuk matching B 1 - optimal. Dengan Proposisi (3.6), sama dengan comp(G[B 3 ]) − |A| + V (G[B 1 , A]).

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BAB 4

STALISASI GRAF DENGAN PENAMBAHAN EDGE DAN PEMINDAHAN VERTEX

4.1 Penambahan Edge Sebuah subset F dari  v

2



\E disebut edge-addition stabilizer jika v(G+

F ) = v f (G + F ). Pada sesi ini akan dibahas masalah untuk menemukan apakah terdapat edge-addition stabilizer pada graf G dan jika ada akan ditentukan nilai minimum edge-addition stabilizer tersebut. Pertama- tama akan dijelaskan kondisi yang perlu agar G memiliki edge-addition stabilizer.

Teorema 4 Jika |V | adalah ganjil dan v(G[B 1 , A]) = |B 1 | , maka G tidak memiliki edge-addition stabilizer.

Bukti. Karena (G[B 1 , A]) = |B 1 | , nilai optimal (3.1) pada Proposisi (3.5) sama dengan ⁿ ₂ , dengan n = |V |. Oleh karena itu, untuk setiap subset F dari  v

2



\ E,

v f (G + F ) ≥ v f (G) = n 2 . Disisi lain, karena n ganjil,

v(G + F ) ≤ jn 2 k

= n − 1 2 . Untuk setiap subset F dari  v

2



\E maka G tidak memiliki edge-addition stabilizer.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa, jika G tidak memenuhi syarat dalam Teorema 4.1, yaitu |V | adalah ganjil dan v(G[B 1 , A]) = |B 1 | , maka nilai minimum edge-addition stabilizer ditentukan oleh d(G). 

Lemma 5 Untuk setiap edge e di  v 2



\ E,

32

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

33

d(G) − d(G + e) ≤ 1.

Bukti. Misalkan e di  v 2



\ E adalah satu edge yang ditambah, maka

v(G + e) ≤ v(G) + 1, (4.1)

Karena jika tidak, nilai matching maksimum di G + e akan meng- hasilkan besar matching yang setidaknya v(G + e) − 1 > v(G) di G. Di sisi lain, karena solusi layak x dari LP (G) adalah layak untuk LP (G + e) dengan menetapkan x(e) = 0, sehingga diperoleh

v f (G + e) ≥ v f (G), (4.2) Oleh karena itu, dengan mengikuti persamaan dari (3.1) dan (3.2) diperoleh bahwa

d(G) − d(G + e) = (v f (G) − v f (G + e)) − (v(G) − v(G + e)) ≤ 1. 

Teorema 6 Jika |V | adalah genap atau v(G[B 1 , A]) < |B 1 | , maka G memiliki edge-addition stabilizer dan nilai minimum dari edge-addition stabilizer sama dengan dd(G)e .

Bukti. Pertama mempertimbangkan untuk menambahkan satu edge pada graf, akan dibuktikan bahwa perlu menambahkan setidaknya dd(G)e edge. Misalkan F = e 1 , e 2 , . . . , e p adalah edge-addition stabilizer dengan besar p. Selanjutnya, didefinisikan F i := e 1 , e 2 , . . . , e i untuk se- tiap i = 1, 2, . . . , p, dan F 0 := ∅. Maka, dengan menerapkan lemma 3.3 berulang kali diperoleh,

d(G) − d(G + F ) = X p

i=1

(d(G + F i−1 ) − d(G + F i )) ≤ p.

Karena d(G + F ) = 0 dan p adalah bilangan bulat, perhatikan bahwa dd(G)e ≤ p. Dengan demikian, nilai minimum edge-addition stabiliz- er paling sedikit adalah dd(G)e . Misalkan M adalah matching B 1 - optimal pada G, maka G[B 3 ] memiliki vertex 2d(G) yang exposed oleh

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA