BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET

 Deret Aritmatika (Deret Hitung)

o Bentuk deret Aritmatika: a , ( a + b ) , ( a + 2b ) + ...+ ( a + ( n – 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku

o Suku ke-n : Un = a + (n-1)b o Jumlah n suku pertama : Sn =

2

n (2a+(n-1)b) Contoh :

Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah S_n n² 3n, beda deret tersebut adalah :

A. 6 B. 4 C. 2 D. –4 E. –6

Jawab : n n

S_n ² 3 U_n S_n S_{n 1} Cara cerdik : )

1 ( 3 ) 1

( ²

1 n n

S_n S_n n² 3n

3 3 1

2 2

n n

n 1

n Sn

U (Jumlah koefisien sama)

2 2 n

n U_n 2 n 3 1

1 n n

n S S

U = 2n + 2

) 2 (

) 3

(n² n n² n b = U₂ U₁ = 2

2 2 n

1

2 U

U b

= (2.2+2) – ( 2.1+2) = 2 Deret Geometri :

Bentuk umum : a , ar , ar², ………..ar^{n 1} a = suku pertama r = rasio/ pembanding

Jika U_n suku ke _n , U_t= suku tengah , dan S_n = jumlah n suku pertama, maka :

a. U_n ar^{n 1} b.

1 1 r a r S

n n

c. U_t aU _n d.

1 n

n

U

r U e. U_n S_n S_{n 1}

Deret geometri tak hingga a. Deret divergen

S_n = tak dapat ditentukan b. Deret Konvergen

S_n = r a

1 atau S = S_genap S_ganjil Syarat : 1 r 1

Contoh :

Jumlah tak hingga suku-suku deret geometri konvergen adalah 6, sedang jumlah suku-suku bernomor genap adalah 2. Maka rasio deret itu adalah ..

A.

2

1 B.

3

1 C.

4

1 D.

5

1 E.

6 1

Bab 9

Jawab : 6

~ 1

r

S a , a = 6 – 6r Cara cerdik :

Suku bernomor genap : U₂,U₄,U_6,... s_~ 6

ar,ar³,ar⁵,... S_{~ ganjil} 6 2 4

2 1 r²

S_genap ar , ar 2 2r²

2 1 4 2

~

~

ganjil genap

S S r (6 – 6r)r=2 –2r² , 1( )

2

1 r tm

r Jadi r = ₂¹

SOAL LATIHAN.

1. Suatu deret aritmatika mempunyai suku pertama 4 dan beda 2. Jika jumlah n suku pertama adalah 180, maka n = ...

a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18

2. sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika . Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan …

a. 8 b. 16 c. 20 d. 24 e. 32

3. Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah .

a.2382 b.2392 c.2402 d.2412 e.2422

4. Pada barisan bilangan 500,465,430,395,... Suku negatifnya yang pertama adalah ....

a. -5 b.-10 c.-15 d.-20 e.-25

5. Antara 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan. Bilangan ini bersama bilangan semula membentuk sebuah deret hitung. Jumlah deret hitung adalah ...

a.952 b.884 c.880 d.816 e.768

6. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + ... + 99

Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

a. 950 b.1480 c.1930 d.1980 e.2430

7. Deret Ukur tak berhingga : (x-1),(x-1),(x-1), dst.... konvergen untuk nilai dalam selang ....

a.-1<x<1 b.0<x<2 c.2<x<~ d.-~x<2 e.-~x<0

8. Syarat supaya deret geometri tak berhingga dengan suku pertama a konvergen dengan jumlah 2 adalah ...

a.-2<a<0 b.-4<a<0 c.0<a<22 d.0<a<4 e.-4<a<4 9. Diketahui deret sin x + cos x sinx + cosxsinx+cosxsinx + ...

Jika 0 < x < 360 maka jumlah deret itu sama dengan ...

a.sin x b.tg x c. d. e.cosx

10. Tiga bilangan berururtan yang jumlahnya 12 merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh suku-suku geometri.Hasil kali ketiga bilangan itu adalah ...

a.0 atau 24 b.0 atau 48 c.12 atau 36 d.24 atau 36 e.36 atau 48 11. Jumlah n suku pertama dari deret log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + ... adalah ...

a. n log 2 b.(n+1) log 2 c.(n-1)log2 d. (2+n)log2 e. n(n+1)log2

12. Jumlah n bilangan positip genap yang pertama adalah 306. Dari bilangan-bilangan genap tersebut jumlah 5 bilangan tersebut adalah ...

a. 180 b.170 c.160 d.150 e.140

13.Diketahui a+1 , a-2 , a+3 membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan aritmatika, maka suku ketiga harus ditambah dengan ...

a. 8 b.6 c.5 d.-6 e.-8

14.Tiga bilangan membentuk deret aritmatik, jumlah ketiga bilangan itu 75, sedang selisih kuadrat bilangan ketiga dan kuadrat bilangan pertama adalah 700, maka ketiga bilangan tersebut adalah ...

a.20,25,30 b.10,25,40 c.5,25,45 d.0,25,50 e.18,25,32

15.Jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 12 dan suku keduanya - 5, maka suku pertama salah satu deret itu adalah ...

a. 13 b.14 c.15 d.16 e.17

16. Diketahui suatu deret hitung 84 , 80 ½ , … Suku ke –n akan menjadi nol bila n =

…

a. 20 b. 24 c. 25 d. 100 e. ~

17. Jika k+1 , k-1 , k-5 mmbentuk deter geometri maka harga yang dapat diberikan pada k adalah …

a. -3 b. -2 c. 2 d. 3 e. 4

18. Agar deret geometri

²log( x 1) ²log ²(x 1) ²log ³(x 1) ...

konvergen , maka batas-batas nilai x adalah …

a.

2 x 1

b.

0 x 1

c.

1

2

1 x

d.

2 x 0

e.

3 x 0

19. Jumlah deret tak hingga :

1 tan²30⁰ tan⁴30⁰ tan⁶30⁰ ... ...

a.

2

1

b.

4

3

c.1 d.

2

3

e. 2

20. Jika suku pertama deret geometri adalah

³ m

dengan m > 0 sedang suku ke -5 adalah

m²

, maka suku ke-21 adalah …

a.

m⁸³ m²

b.

m⁶³ m²

c.

m⁴³ m²

d.

m²³ m²

e.

³ m²

Brighten The Corner Where You are

Barisan dan Deret Geometri

1. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = ⁿ/₂ ( 5n – 19 ).

Beda deret tersebut adalah ….

A. – 5 B. – 3 C. – 2 D.3 E.5

2. Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 14 dan 112. Suku ke-7 barisan tersebut ..

A. 384 B. 448 C. 480 D. 768 E. 896

3. Jika suku pertama deret geometri adalah dengan m>0, sedangkan suku ke-5 adalah m², maka suku ke-21 adalah...

A. B. C. D. E.

4. Dari suatu deret geometri diketahui suku pertama adalah 3 dan suku ke-4 adalah 24. Jumlah enam suku pertama deret itu adalah...

A.48 B.93 C.96 D.186 E.189

5. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm.

A. 378 B. 390 C. 570 D. 762 E.1.530

6. Jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah 511. Suku pertama dan rasionya masing-masing

256 dan , banyak suku barisan geometri tersebut adalah...

A.7 B.9 C.13 D.15 E.17

7. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Hasil kali dan jumlah ketiga bilangan ini masing-masing 216 dan 26. Suku ketiga dari barisan geometri itu adalah ...

A. 2 atau 18 B. 54 atau C. 3 atau D.6 atau18 E.8 atau 6

8. Suatu deret geometri diketahui suku ketiga dan suku keenam berturut-turut 32 dan 2048. Rumus jumlah n suku pertama deret itu adalah ...

A. B. C. D. E.

9. Suku ke-n deret geometri dirumuskan dengan Un = . Dengan demikian rasio dari deret geometri tersebut

A. B. C. 1 D. 3 E. 9

10. Jumlah n suku pertama deret geometri dirumuskan dengan Rasio deret tersebut sama dengan ...

A. B. C.3 D. E.

11. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Jumlah n suku pertama deret geometri tersebut dapat dirumuskan dengan ...

A. B. C. D. E.

12. Agar supaya 2 + 2

2

+ 2

3

+ 2

4

+...+ 2

n

= 254, maka nilai n haruslah...

A.3 B.4 C.5 D.6 E.7

13. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu deret geometri dan p>3 maka Up-3.U3p+5 sama dengan ...

A. B. C. D. E.

14. Tiap 10 tahun jumlah penduduk suatu kota menjadi dua kali lipat semula. Menurut taksiran, pada tahun 2000 nanti penduduk kota itu akan mencapai 3,2 juta jiwa. Ini berarti bahwa pada tahun 1950 jumlah penduduk kota itu baru mencapai... jiwa A. 100 ribu B. 120 ribu C. 160 ribu D. 200 ribu E. 400 ribu 15. Persamaan 2 +x+k=0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1, x2, dan ½x1.x2

merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga deret geometri, maka suku keempat deret tersebut adalah...

A.-4 B.-¼ C. D. 1 E. 8

16. Jika x-50, x-14, dan x-5 adalah tiga pertama suatu deret geometri tak hingga maka jumlah semua suku-sukunya adalah...

A. -96 B. -64 C. -36 D. -24 E. -12

17. Jumlah deret geometri tak hingga : 1-tg²30^o+tg ⁴30^o-tg ⁶30^o+... = ...

3

A.½ B.¾ C.1 D. E. 2

18. Bujur sangkar dengan sisi x seperti disamping ini jika diteruskan jumlah luasnya A. 2x

2

B. 3x

2

C. 4x

2

D. 5x

2

E. ∞

19. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1 sedang jumlah sukusuku yang bernomor ganjil adalah 2 , maka jumlah deret dengan rasio positif adalah ...

A. B. C. D. E.

20. Barisan geometri dengan rasio

2 log(x−2). Deret ini konvergen untuk semua x yang memenuhi ...

A. 2½ < x < 4 B. 2½ < x ≤ 4 C. 2½ ≤ x ≤ 4 D. x>2½ E. x≠2

Ujian NasionaBarisan dan Deret Aritmetika

1. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah

144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

a. 840 b. 660 c.640 d.630 e.315 UAN 2007

2. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah …buah.

a. 60 b.65 c.70 d.75 e. 80

UAN 2006

3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah ….

a. Rp. 1.315.000,00 b. Rp. 1.320.000,00 c. Rp. 2.040.000,00 d. Rp. 2.580.000,00 e. Rp. 2.640.000,00 UAN 2005

4. Dari suatu deret aritmetika diketahui U

3

= 13 dan U

7

= 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah ….

a. 3.250 b.2.650 c.1.625 d.1.325 e. 1.225 UAN 2005

5. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah

a. Sn =

ⁿ

/

2

( 3n – 7 ) b. Sn =

ⁿ

/

²

( 3n – 5 ) c. Sn =

ⁿ

/

²

( 3n – 4 ) d. Sn =

ⁿ

/

2

( 3n – 3 )

e. Sn =

ⁿ

/

²

( 3n – 2 ) UAN 2004

6. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn =

ⁿ

/

2

( 5n – 19 ). Beda deret tersebut adalah ….

a. – 5 b.– 3 c.– 2 d.3 e. 5 UAN 2004

7. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah ….

a. 49 b.50 c.60 d.95 e. 98

UAN 2002

8. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n

²

+

⁵

/

²

n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah ….

a. –

¹¹

/

2

b. – 2

c. 2

d.

⁵

/

²

e.

¹¹

/

2

UAN 2001

9. Dari deret aritmetika diketahui suuku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah ….

a. 17 b. 19 c. 21 d. 23

e. 25UAN 2000

10. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

a. Rp. 20.000.000,00

b. Rp. 25.312.500,00 c. Rp. 33.750.000,00 d. Rp. 35.000.000,00 e. Rp. 45.000.000,00 UAN 2007

11. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….

a. 65 m b. 70 m c. 75 m d. 77 m e. 80 m UAN 2006

12. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali

terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm.

a. 378 b. 390 c. 570 d. 762 e. 1.530 UAN 2005

13. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m dan memantul kembali dengan ketinggian

⁴

/

⁵

kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah

… m.

a. 100 b. 125 c. 200 d. 225 e. 250 UAN 2005

14. Jumlah deret geometri tak hingga √2 + 1 + ½√2 + ½ + … adalah ….

a.

²

/

³

(√2 + 1 )

b.

³

/

²

(√2 + 1 )

c. 2 (√2 + 1 )

d. 3 (√2 + 1 )

e. 4 (√2 + 1 )UAN 2003

15. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….

a.

7

/

4

b. ¾ c.

⁴

/

⁷

d. ½ e. ¼

UAN 2003

16. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah

… orang.

a. 324 b. 486 c. 648 d. 1.458

e. 4.374 UAN 2002

17. Diketahui barisan geometri dengan U

1

= x

^¾

dan U

4

= x√x. Rasio barisan geometri tesebut adalah ….

a. x

²

.

⁴

√x b. x

²

c. x

^¾

d. √x e.

⁴

√x UAN 2001

Kunci Jawaban Barisan dan Deret 1. B

2. D

3. D

4. D

5. A

6. E

7. B

8. C

9. C

10. C

11. B

12. D

13. D

14. C

15. A

16. D

17. E

21. Deret geometri U1+U2+U3+… jika U⁶=162 dan logU2+logU3+logU4+logU5= 4log2 + 6log3, maka U³=...

A.2 B.3 C.6 D.8 E.9

22. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

a. 840 b. 660 c. 640 d. 630 e. 315

23. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah …buah.

b. 60 b. 65 c.70 d.75 e.80

24. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah ….

c. Rp. 1.315.000,00 d. Rp. 1.320.000,00 e. Rp. 2.040.000,00 f. Rp. 2.580.000,00 g. Rp. 2.640.000,00

25. Dari suatu deret aritmetika diketahui U₃ = 13 dan U₇ = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah ….

h. 3.250 b.2.650 c. 1.625 d. 1.325 e. 1.225

26. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ….

i. Sn = ⁿ/2 ( 3n – 7 ) j. Sn = ⁿ/2 ( 3n – 5 ) k. Sn = ⁿ/2 ( 3n – 4 ) l. Sn = ⁿ/2 ( 3n – 3 ) m. Sn = ⁿ/2 ( 3n – 2 )

27. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah ….

n. 49 o. 50 p. 60 q. 95 r. 98

28. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n² + ⁵/₂ n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah ….

s. – ¹¹/2 t. – 2 u. 2 v. ⁵/2

w. ¹¹/2

29. Dari deret aritmetika diketahui suuku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah ….

x. 17 y. 19 z. 21 aa. 23 bb. 25

Materi Pokok : Barisan dan Deret Geometri

30. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? cc. Rp. 20.000.000,00

dd. Rp. 25.312.500,00 ee. Rp. 33.750.000,00 ff. Rp. 35.000.000,00 gg. Rp. 45.000.000,00

31. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian

¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….

hh. 65 m ii. 70 m jj. 75 m kk. 77 m ll. 80 m

32. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian ⁴/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

mm. 100

nn. 125 oo. 200 pp. 225 qq. 250

33. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + ½ 2 + ½ + … adalah ….

rr. ²/3 ( 2 + 1 ) ss. ³/2 ( 2 + 1 ) tt. 2 ( 2 + 1 ) uu. 3 ( 2 + 1 ) vv. 4 ( 2 + 1 )

34. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….

ww. ⁷/4

xx. ¾ yy. ⁴/7

zz. ½

aaa. ¼

35. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.

Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang.

bbb. 324 ccc. 486

ddd. 648 eee. 1.458 fff. 4.374

36. Diketahui barisan geometri dengan U1 = x ^¾ dan U4 = x x. Rasio barisan geometri tesebut adalah ….

ggg. x² .⁴ x hhh. x² iii. x ^¾

jjj. x kkk. ⁴ x

37. Suatu tali dibagi menjadi enam bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang tali semula sama dengan...cm

A. 183 B. 185 C. 187 D. 189 E. 191