DIMENSI METRIK PADA GRAF SUN, GRAF HELM DAN GRAF DOUBLE CONES.

(1)

DIMENSI METRIK PADA GRAF SUN, GRAF HELM DAN

GRAF DOUBLE CONES

oleh

BANGKIT JOKO WIDODO

M0109015

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2013

i

(2)

ii

(3)

ABSTRAK

Bangkit Joko Widodo, 2013. DIMENSI METRIK PADA GRAF SUN, GRAF HELM DAN GRAF DOUBLE CONES Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

GrafGterdiri dari himpunanvertex V(G) ={v1, v2, ..., v_n}dan himpunan edge E(G) = {e1, e2, ..., en}. Suatu graf G dikatakan terhubung jika terdapat

lintasan yang menghubungkan setiap vertex pada G. Jarak antara dua vertex u dan v, dinotasikan d(u, v), adalah panjang lintasan terpendek dari vertex u

ke v. Misalkan W = {w1, w2, ..., wn} adalah subhimpunan vertex-vertex dari

graf terhubung G dan v ∈V(G), representasi vertex v terhadap W didefinisikan sebagai k-pasang terurut r(v|W) = (d(v, w1), d(v, w2), ..., d(v, w_k)). Himpunan W dikatakan sebagai himpunan pembeda dari G jika untuk setiap dua vertex

berbeda x, y ∈ V(G) berlaku r(x|W) ̸= r(y|W). Himpunan pembeda dengan kardinalitas terkecil disebut himpunan pembeda minimum atau basis dari G. Sedangkan banyaknya elemen dari suatu basis di G disebut dimensi metrik dari

G, dinotasikanDim(G). Dalam penelitian ini diperoleh dimensi metrik pada graf

sun Sn, graf helm Hn dan graf double cones DCn.

Kata kunci: dimensi metrik, himpunan pembeda, basis, graf sun, graf helm, graf double cones.

iii

(4)

ABSTRACT

Bangkit Joko Widodo, 2013. METRIC DIMENSION OF SUN GRAPH, HELM GRAPH AND DOUBLE CONES GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

is called a resolving set of G if every two distinct vertices x, y ∈ V(G) satisfy

r(x|W) ̸= r(y|W). The resolving set of G with minimum cardinality is called a minimum resolving set or basis of G and the cardinality of minimum resolving set is called metric dimension, denoted byDim(G). In this research, we obtained the metric dimensions of a sun graph Sn, a helm graph Hn and a double cones

graph DC_n.

Keywords: metric dimension, resolving set, basis, sun graph, helm graph, double cones graph.

iv

(5)

MOTO

Tidak boleh menyerah ketika keadaan sedang sulit.

v

(6)

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Kedua orang tuaku, adikku Dyah Kartika Sari dan Viona Natalia yang selalu

memberi semangat dan motivasi.

vi

(7)

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang

senan-tiasa memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan dari berbagai

pihak. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Tri Atmojo

Kus-mayadi, M.Sc, Ph.D dan Ibu Sri Kuntari, M.Si. sebagai Pembimbing I dan

Pem-bimbing II yang telah memberikan Pem-bimbingan dan arahan baik penulisan maupun

materi. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang

senan-tiasa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap

semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang

mem-butuhkan.

Surakarta, September 2013

Penulis

vii

(8)

(9)

IV PEMBAHASAN 14 4.1 Dimensi metrik pada grafsun S_n . . . 14

4.2 Dimensi metrik pada grafhelm Hn . . . 18

4.3 Dimensi metrik pada grafdouble cones DC_n . . . 26

V PENUTUP 30

5.1 Kesimpulan . . . 30

5.2 Saran . . . 31

DAFTAR PUSTAKA 32

ix

(10)

DAFTAR GAMBAR

2.1 GrafG . . . 6

2.2 Graf G (kiri) dan komplemen dari graf G (kanan) . . . 8

2.3 Graf G1 dan G2 (kiri) dan Union G1 dan G2 (kanan) . . . 8

2.4 Join (kiri) dan product (kanan) dari G1 dan G2 . . . 9

2.5 Grafsun S4 . . . 10

2.6 (a) Graf wheel W4 (b) Graf helm H4 . . . 10

2.7 Grafdouble cones DC3 . . . 11

2.8 GrafG . . . 12

4.1 Grafsun Sn . . . 14

4.2 Grafhelm Hn . . . 18

4.3 Grafdouble cones DCn . . . 26

x

(11)

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

deg v : degree dari vertex v

C_n : grafcycle dengan order n

Wn : grafwheel dengan order n+ 1

F_n : graffan dengan order n+ 1

An : grafantiprism denganorder 2n

A∗

n : grafantiprism related dengan order 3n

Kn : graf lengkap (complete) dengan order n

K_r,s : grafcomplete bipartite dengan order r+s