GRAF t-FOLD WHEEL
Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Misal Gadalah graf terhubung dengan himpunanvertex V(G) ={v1, v2, . . . , vn}dan himpunanedge E(G) ={e1, e2, . . . , en}. Himpunanvertex V(G) dibagi menjadi beberapa partisi, yaituS1, S2, . . . , Sk. Untuk setiapvertexv∈V(G) dank-partisi terurut Π ={S1, S2, . . . , Sk}, representasiv terhadap Π adalah r(v|Π) = (d(v, S1), d(v, S2), . . . ,
d(v, Sk)), dengan d(v, Si) merupakan jarak dari vertex v ke tiap partisi pada Π. Him-punan Π dikatakan sebagai partisi pembeda dari Gjika setiap vertex di G mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V(G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(G). Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi pada kelas grafCm∗Kn, grafCm[Pn], dan graf
t-fold wheel.
Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, grafCm∗Kn, grafCm[Pn], graft-fold
wheel.
1. Pendahuluan
Teori graf merupakan kajian ilmu matematika yang banyak digunakan untuk
menyatakan persoalan dalam kehidupan nyata agar lebih mudah dimengerti dan
diselesaikan. Konsep graf dapat diterapkan pada masalah transportasi, jejaring
sosial, penentuan rute terdekat, dan lain-lain. Suatu graf terdiri dari titik-titik yang
dihubungkan oleh garis. Titik-titik yang disebut vertex direpresentasikan sebagai objek diskrit, sedangkan garis yang disebutedgemerupakan penghubung antar objek diskrit tersebut.
Dimensi partisi adalah salah satu topik dalam teori graf yang banyak
dipela-jari. Misalkan di Indonesia terdapat beberapa pulau besar dan terdapat beberapa
kota pada pulau tersebut. Kota-kota tersebut dikelompokkan menjadi beberapa
ke-lompok dengan ketentuan setiap kota hanya boleh menempati tepat satu keke-lompok.
Jika terdapat minimal dua kota yang memiliki jarak minimum yang sama
terha-dap semua kelompok, maka pembagian kelompok diatur kembali sehingga diperoleh
jarak minimum tiap kota berbeda. Banyaknya kelompok yang dibuat seminimal
mungkin dinamakan dimensi partisi.
Himpunan Π dengan S ∈Π disebut himpunan pembeda dari grafGjika setiap ver-tex diGmempunyai representasi berbeda terhadap Π, dan Π merupakan himpunan dari k-partisi yang terurut. Kardinalitas minimum darik-partisi pembeda terhadap
V(G) adalah dimensi partisi pada graf G yang dinotasikan denganpd(G).
Banyak peneliti yang telah meneliti dimensi partisi untuk kelas-kelas graf
ter-tentu. Pada tahun 2007, Tomescu et al. [6] meneliti rumus dimensi partisi pada graf wheel dan pada tahun 2015, Hidayat [5] meneliti rumus dimensi partisi pada graf double cones. Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada graf t-fold wheel karena graf double cones merupakan graf
2-fold wheel. Pada tahun 2012, Asmiati [1] meneliti dimensi partisi pada graf bintang dan pada tahun 2016, Dewi [4] meneliti rumus dimensi partisi pada graf Cm∗2Kn.
Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada
graf Cm∗Kn. Penulis tertarik untuk meneliti graf Cm[Pn] karena graf dengan
ope-rasi komposisi masih belum banyak yang meneliti terutama untuk bidang dimensi
partisi.
2. Dimensi Partisi
Berikut ini diberikan definisi dan lema menurut Chartrand et al. [3].
Definisi 2.1. Misalkan G adalah graf terhubung. Untuk suatu subhimpunan S pada V(G) dan suatu vertex v pada G, jarak antara v dan S didefinisikan se-bagai d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈ S}. Selanjutnya, untuk suatu k-partisi terurut
Π = {S1, S2, . . . , Sk} pada V(G) dan suatu vertex v pada G, representasi v terha-dap Π didefinisikan sebagai r(v|Π) = (d(v, S1), d(v, S2), . . . , d(v, Sk)). Himpunan Π disebut partisi pembeda jika r(v|Π) berbeda, untuk setiap v ∈ V(G). Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadapV(G)disebut dimensi partisi dariG yang dinotasikan dengan pd(G).
Lema 2.1. Misalkan Π partisi pembeda dari graf G dengan u, v ∈ V(G). Jika d(u, w) = d(v, w)untuk setiapw∈V(G)− {u, v}, maka udan v termuat pada kelas partisi yang berbeda.
Bukti. Misalkan Π = {S1, S2, . . . , Sk}, dengan u dan v termuat pada kelas
parti-si yang sama pada Π, misal Si, maka d(u, Si) = d(v, Si) = 0. Diketahui bahwa d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V(G)− {u, v}, maka d(u, Sj) = d(v, Sj)
un-tuk 1 ≤ j ̸= i ≤ k sehingga r(u|Π) = r(v|Π) dan Π bukan merupakan partisi
Lema 2.2. Misal G adalah graf terhubung, maka
(1) pd(G) = 2 jika dan hanya jika G=Pn untuk n ≥2, dan
(2) pd(G) = n jika dan hanya jika G=Kn.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Dimensi Partisi pada GrafCm∗Kn.
GrafCm∗Knadalah graf hasil operasi amalgamasivertex atau menggabungkan
satu vertex dari graf Cm dan satu vertex graf Kn menjadi satu vertex yaitu vertex x. Vertex x juga merupakan vertex yang dimiliki oleh Cm dan Kn.
Teorema 3.1. Misalkan Cm∗Kn dengan m, n≥3 adalah graf hasil operasi amal-gamasi vertex dari graf Cm dan graf Kn, maka
pd(Cm∗Kn) = n.
Bukti. Misalkan graf Cm ∗Kn dengan m, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi
amalga-masi vertex dari graf Cm dan graf Kn dan V(Cm∗Kn) = V(Cm)∪V(Kn) dengan
V(Cm) = {u1, u2, ..., um−1, x} dan V(Kn) = {v1, v2, ..., vn−1, x}. Selanjutnya,
di-tunjukkan graf Cm∗Kn memiliki dimensi partisi pd(Cm ∗Kn) = n. Untuk setiap u, v, x∈V(Cm∗Kn), dipilih partisi pembeda Π ={S1, S2, ..., Sn}, dengan
S1 = {u1, u2, ..., um−2}
S2 = {um−1, x, vn−1}
Si = {vi−2}, dengan 3≤i≤n
Diperoleh jarak untuk setiap vertex di V(Cm) terhadap Π r(uk|Π) = (0, k, k+ 1, k+ 1, ..., k+ 1), 1≤k≤ ⌊m2⌋
r(uk|Π) = (0, m−k−1, m−k+ 1, m−k+ 1, ..., m−k+ 1), ⌊m2⌋< k≤m−2 r(um−1|Π) = (1,0,2,2, ...,2).
Jarak setiap vertex di V(Kn) terhadap Π
d(vi−2, Sj) =
0, untukSi ∈Π, 3≤i≤n
1, untukS2 ∈Π 2, untukS1 ∈Π,
untuk 1 ≤ j ≤ n dengan r(vi|Π) = (d(vi, S1), d(vi, S2), ..., d(vi, Sn)), r(vn−1|Π) =
(2,0,1,1, ...,1) danr(x|Π) = (1,0,1,1, ...,1). Setiapvertex mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Oleh karena itu, Π = {S1, S2, ..., Sn} adalah partisi
pembeda pada graf Cm∗Kn dengan n elemen.
Akan ditunjukkan graf Cm ∗ Kn memiliki pd(Cm ∗ Kn) ≥ n. Andaikan Π adalah partisi pembeda pada graf Cm ∗ Kn dengan pd(Cm ∗ Kn) < n. Hal ini
berbeda. Jika dipilih Π = {S1, S2, ..., Sn−1} partisi pembeda maka terdapat suatu
kelas partisi yang memuat dua vertex vi dan vj dengan 1 ≤ i ̸= j ≤ n−1. Jelas
bahwa d(vi, w) =d(vj, w) dengan w∈V(Cm∗Kn)− {vi, vj} sehingga vertex vi dan vj termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Akibatnya terdapatvertex x∈V(Cm∗ Kn) dan vertex vi termuat dalam kelas partisi yang sama dengan r(x|Π) =r(vi|Π)
dan Π = {S1, S2, ..., Sn−1} bukan partisi pembeda sehingga pd(Cm ∗Kn) ≮ n. Hal
ini kontradiksi dengan pengandaian, sehingga pd(Cm∗Kn)≥n.
Selanjutnya, jika terdapat partisi pembeda dengan n elemen dan lebih dari sama dengan n elemen, maka dipilih nilai minimumnya, sehingga |Π| = n. Jadi,
pd(Cm∗Kn) =n untukm, n≥3.
3.2. Dimensi Partisi pada GrafCm[Pn].
Graf Cm[Pn] diperoleh dari hasil operasi komposisi graf Cm dengan graf Pn.
GrafCm[Pn] denganm≥3, n≥2 dengan himpunan vertex V(Cm[Pn]) = V(Cm)× V(Pn) dengan V(Cm) = {u1, u2, ..., um} dan V(Pn) = {v1, v2, ..., vn} serta
dimi-salkan himpunan vertex V(Cm[Pn]) = {u11, u12, ..., u1n, u21, u22, ..., u2n, ..., um1, um2,
..., umn}.
Lema 3.1. Misalkan graf Cm[Pn], dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2. Jika Sn = {unn}, maka {umn|m̸=n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda untuk setiap n. Bukti. Misalkan Π = {S1, S2, ..., Sk} partisi pembeda dari graf Cm[Pn]. Misalkan Sn ={unn}, diperoleh d(umb, unn) =d(umc, unn), dengan m ̸= n dan 1 ≤ b, c ≤ n.
Berdasarkan Lema 2.1, {umn|m ̸= n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda
untuk setiap n.
Teorema 3.2. Misalkan Cm[Pn], m≥3, n≥ 3 adalah graf hasil operasi komposisi dari graf Cm dan Pn, maka
4≤pd(Cm[Pn])≤2n−2
dengan ”=” dicapai hanya jika n= 2, m≥4 dan n >4, m = 4.
Bukti. Misalkan pd(Cm[Pn]) =k dan Π = {S1, S2, ..., Sk} partisi pembeda dari graf Cm[Pn]. Ditentukan batas bawah dan batas atas dimensi partisi pada graf Cm[Pn].
(1) Batas bawah
Dipilih n terkecil (n= 2) sehingga pd(Cm[Pn]) memiliki nilai terkecil.
• Untuk m= 3 dan n= 2
Diberikan graf Cm[Pn] dengan m = 3 dan n = 2. Setiap vertex dalam
• Untuk m≥4 dan n= 2
Dipilih m = 4 karena memiliki sifat-sifat berikut
d(uab, ude) = d(u(a+2)b, ude), a̸=d̸=a+ 2
3.3. Dimensi Partisi pada Graft-fold wheel.
Bukti. Misalkan Π ={S1, S2, ..., Sk}partisi pembeda dari graf Wnt. Andaikan
bukan partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian dan berdasarkan Lema 2.1, {ui|1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap dengan angka 1 dan 2. Terdapat paling tidak t−1 angka 1 pada representasi selain posisi pertama karena d(v, Sj) = 1, dengan 1< j ≤t. Oleh karena itu,k−t posisi pada representasi vertex v ∈S1 dapat diisi paling banyakk−t angka 2 dan sisanya diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t
0 )+(k−1t)+(k2−t)+...+(kk−−tt) represen-pada representasi dari vertex w∈ St+1 dapat diisi dengan paling banyak k−t−1 angka 2 dan sisanya diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t−1
Teorema 3.3. JikaWt
Ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi pada graf Wt n.
paling banyak satu vertex vn. Terdapat t kelas partisi pembeda, sehingga pd(Wt
paling sedikit satu vertex v. Jika setiap Si memuat paling sedikit satu ver-tex v, misal vi ∈Si, maka r(vi|Π) = r(ui|Π) dan Π bukan partisi pembeda.
Jika terdapat Si yang memuat lebih dari satu vertex v, misal vc, vd ∈ Sa,
dengan 1 ≤ c, d≤ n dan 1 ≤ a ≤ i, maka r(vc|Π) = r(vd|Π) dan Π bukan
partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian sehingga paling tidak terdapatvertex v termuat dalam kelas partisi St+p, dengan p≥1 dan
(k+t−1)2k−t−2 ≤ n+t
(2t)2k−t−2 ≤ n+t, karena k > t
t2k−t−1 ≤ n+t
k ≤ t+ 1 +2log(n+t t ).
Sehingga diperoleh pd(Wt
n)≤t+ 1 +⌈2log( n+t
t )⌉.
4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan, yaitu dimensi partisi dari graf
Cm∗Kn tertera dalam Teorema 3.1, dimensi partisi dari grafCm[Pn] tertera dalam
Teorema 3.2, dan dimensi partisi dari graf Wt
n tertera dalam Teorema 3.3.
Pustaka
[1] Asmiati,Partition Dimension of Amalgamation of Stars, Bulletin of MathematicsVol 04no.
2 (2012), 161-167.
[2] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang,On the Partition Dimension of a Graph, Congress Numer.131(1998), 55-66.
[3] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, The Partition Dimension of a Graph, Aequation Math.55 (2000), 45-54.
[4] Dewi, M. P. K., Dimensi Partisi dari Graf Lollipop, Graf Generalized Jahangir, dan Graf Cm∗2Kn, Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2016.
[5] Hidayat, D. W.,Dimensi Partisi pada Beberapa Kelas Graf, Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2015.
[6] Tomescu, I., I. Javaid, and Slamin, On the Partition Dimension and Connected Partition Dimension of Wheels, Ars Combin. 84(2007), 311-317.
