Wildan Bagus W.
Edisi Idul Fitri 100 soal
Oleh
Wildan Bagus Wicaksono Juni 2018
SMP Negeri 1 Probolinggo Jln. Imam Bonjol No 49
Kota Probolinggo
Wildan Bagus W.
1. Bilangan bulat positif 𝑛 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 2019 bilangan bulat berurutan. Nilai terkecil dari 𝑛 yang mungkin adalah ... .
2. Tentukan semua solusi real 𝑥 yang memenuhi
𝑥4+ 2𝑥3+ 3𝑥2+ 2𝑥 = 8
3. Diberikan barisan 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, ⋯ dengan 𝑓1 = 𝑓2 = 1. Untuk 𝑛 ≥ 3, berlaku 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1+ 𝑓𝑛−2. Tentukan nilai dari
∑ 1
𝑓𝑛𝑓𝑛+2
∞
𝑛=1
4. Diberikan bilangan real taknol 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Semua nilai yang mungkin untuk
|𝑥|
𝑥 +|𝑦|
𝑦 + 𝑧
|𝑧|+ 𝑥𝑦𝑧
|𝑥𝑦𝑧|
adalah ... .
5. Tentukan semua nilai 𝑥 sehingga
𝑥 = 4
4 + 4
4 + 4 4 +4
𝑥
6. Misalkan 𝑎𝑘 menyatakan koefisien dari 𝑥𝑘 pada ekspansi (1 + 2𝑥)2018 untuk setiap bilangan bulat 𝑘 dengan 0 ≤ 𝑘 ≤ 2018. Tentukan banyak nilai 𝑖 dengan 0 ≤ 𝑖 ≤ 2017 sehingga 𝑎𝑖 < 𝑎𝑖+1.
7. Diberikan 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ dengan 0 < |𝑥 − 𝑦| < 2018 dan memenuhi persamaan
𝑥 + 1
𝑥 + 2018+ 4036 = 𝑦 + 1 𝑦 − 2018 Tentukan tiga digit terakhir dari 𝑥𝑦 + 2018(𝑦 − 𝑥).
8. Misalkan 𝑘 adalah nilai maksimum dari bilangan real positif 𝑥 yang memenuhi 𝑥3 = 2𝑥 − 1
Berapakah nilai dari 𝑘2− 𝑘 + 1?
9. Diberikan 𝐴 = {1,2,3,4} dan 𝐵 = {5,6,7,8}. Banyak fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 sehingga 2 | 𝑓(𝑎) − 𝑎 adalah ... .
10. Diberikan barisan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ dimana 𝑥𝑖 ≠ 0 untuk 𝑖 = 1,2,3, … dan memenuhi 𝑛2𝑥𝑛 = 1 − 𝑛𝑥𝑛. Jika terdapat bilangan berurutan sehingga
31(𝑥𝑎 + 𝑥𝑎+1+ 𝑥𝑎+2+ ⋯ + 𝑥𝑏) = 1 Tentukan semua pasangan (𝑎, 𝑏) yang memenuhi.
11. Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat 9𝑥2− 7𝑥 + 2 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Tentukan nilai dari
2 + (𝑥1+ 𝑥2) + (𝑥12+ 𝑥22) + (𝑥13+ 𝑥23) + ⋯
Wildan Bagus W.
12. Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi 𝐴𝐵 = 8 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 6 𝑐𝑚, dan 𝐴𝐶 = 4 𝑐𝑚.
Dari masing-masing titik 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 dibuat garis tinggi yang tegak lurus terhadap sisi dihadapannya. Jumlah dari ketiga panjang garis tinggi adalah ... 𝑐𝑚.
13. Titik 𝐼 merupakan 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 segitiga 𝐴𝐵𝐶 lancip. Dari titik 𝐼, dibuat garis tegak lurus 𝐴𝐶 di titik 𝐿. Buktikan bahwa
2𝐴𝐿 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 Catatan:
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 adalah perpotongan dari ketiga garis bagi pada segitiga.
14. Diberikan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 5. Hitunglah banyak pasangan (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100.
15. Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶, titik 𝑃 berada di
dalam seperti gambar di samping. Dari titik 𝑃, ditarik garis tegak lurus terhadap sisi 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, dan 𝐴𝐶 berturut- turut di titik 𝐷, 𝐸, dan 𝐹. Jika panjang 𝐴𝐵 = 8 𝑐𝑚, panjang 𝐵𝐶 = 6 𝑐𝑚, dan 𝐴𝐶 = 4 𝑐𝑚, maka 𝑃𝐷 + 𝑃𝐸 + 𝑃𝐹 = ... .
16. Diberikan titik 𝐴 terletak di luar lingkaran 𝑂. Melalui titik 𝑂, dibuat garis 𝑙1 dan 𝑙2 sehingga 𝑙1 memotong lingkaran di titik 𝑃 dan 𝑄 serta 𝑙2 memotong lingkaran di titik 𝑅 dan 𝑆 dimana 𝑙1 ≠ 𝑙2. Titik 𝑃 terletak lebih dekat dengan titik 𝐴 daripada titik 𝑄 dan titik 𝑅 terletak lebih dekat dengan titik 𝐴 daripada titik 𝑆. Buktikan bahwa
𝐴𝑃 ∙ 𝐴𝑄 = 𝐴𝑅 ∙ 𝐴𝑆
17. Semua nilai 𝑥 yang memenuhi √2𝑥 − 1 + √𝑥 = 2 adalah ... .
18. Diberikan bilangan real 𝑥 dan 𝑦 memenuhi √𝑥 + √𝑦 = 14. Nilai dari 𝑦 agar 𝑥 + 2𝑦 bernilai minimum adalah ... .
19. Didefinisikan gcd(𝑎, 𝑏) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏.
Banyak bilangan asli 𝑘 ≤ 2018 sehingga
gcd(2018 + 2019𝑘, 𝑘) = 1 adalah ... .
20. Diberikan bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑. Buktikan bahwa (𝑎2𝑑2+ 𝑏2𝑐2)2
𝑎2𝑏2𝑐2𝑑2 ≥ 4
21. Tentukan banyak pasangan bilangan real positif (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) yang memenuhi 𝑎𝑏2+ 𝑏𝑐2+ 𝑎2𝑐 = 2𝑎𝑏𝑐
22. Buktikan bahwa (𝑝2+ 𝑞2)(𝑟2+ 𝑠2) = (𝑝𝑟 + 𝑞𝑠)2+ (𝑝𝑠 − 𝑞𝑟)2.
𝐴 𝐵
𝐶
𝑃
𝐷
𝐸 𝐹
Wildan Bagus W.
23. Buktikan bahwa hanya ada satu pasangan bilangan real positif (𝑎, 𝑏, 𝑐) yang memenuhi
𝑎
𝑏 + 𝑐+ 𝑏
𝑎 + 𝑐+ 𝑐
𝑎 + 𝑏 =3 2
24. Tentukan semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi persamaan:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2 = 𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3 = 1
25. Titik 𝐷 terletak pada lingkaran luar segitiga 𝐴𝐵𝐶. Diketahui bahwa ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐴 = 135°
dan perbandingan ∠𝐵𝐴𝐷 ∶ ∠𝐶𝐴𝐷 = 1 ∶ 2.
Maka nilai dari |𝐶𝐷|
|𝐵𝐷|= ... .
26. Diberikan fungsi 𝑓 yang memenuhi:
a) 𝑓(1) = 2
b) 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑓(𝑦) Nilai dari 𝑓(2018) adalah ... .
27. Didefinisikan 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 untuk setiap bilangan bulat 𝑎 dan 𝑏. Tentukan semua pasangan (𝑎, 𝑏) yang memenuhi 𝑓(𝑎, 𝑏) = 2018.
28. Tentukan nilai dari
∑ 1
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛
∞
𝑛=2
29. Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+. Tunjukkan bahwa (𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2) (1
𝑎+1 𝑏+1
𝑐) > 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
30. Diberikan bilangan asli 𝑎 dan bilangan prima 𝑝 dengan 𝑎 > 𝑝. Tunjukkan bahwa jika
gcd(𝑎𝑝 + 𝑎, 𝑝) = 1 jika 𝑎 tidak habis dibagi 𝑝.
31. Tentukan sisa jika 20182019−1
2017 jika dibagi 2017.
32. Diberikan fungsi 𝑓: ℕ → ℝ dan berlaku 𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑛 − 1) + 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2.
Buktikan bahwa
2𝑓(𝑛) + 1 = (𝑛 + 1)(𝑛 − 1) + 𝑛 + 𝑓(1)
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
Wildan Bagus W.
33. Diberikan bilangan real positif 𝑎, 𝑏, dan 𝑐. Tentukan semua pasangan (𝑎, 𝑏, 𝑐) sehingga
𝑎 + 𝑏
𝑐 +𝑏 + 𝑐
𝑎 +𝑎 + 𝑐 𝑏 = 6 34. Tentukan nilai dari 𝑥5+ 𝑦5 + 𝑧5 jika
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 7 𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3 = 27
35. Diberikan segitiga memiliki panjang sisi 6 𝑐𝑚, 8𝑐𝑚, dan 10 𝑐𝑚. Tentukan jarak titik pusat lingkaran dalam dengan titik pusat lingkaran luar.
36. Pak Danang akan membagikan 100 buah apel kepada empat keponakannya.
Setiap anak minimal mendapat 1 apel. Pak Danang memutuskan bahwa setiap anak mendapatkan apel sebanyak kelipatan 5. Tentukan banyak cara Pak Danang membagikan apel-apel tersebut.
37. Carilah semua fungsi 𝑓: ℝ → ℝ yang memenuhi 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥𝑦)
2018 = 𝑥 + 𝑦 + 2017
38. Diberikan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 bilangan real positif sehingga 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4. Buktikan bahwa (𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3) (1
𝑥+1 𝑦+1
𝑧) ≥ 16 39. Carilah bilangan asli 𝑛 sehingga
√𝑛 + √𝑛 + √𝑛 + ⋯ + √𝑛 − √𝑛 − √𝑛 − ⋯ = 7
40. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (𝑚, 𝑛) yang memenuhi 1
𝑛(𝑛 + 1)+ 1
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)+ 1
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)+ ⋯ + 1
𝑚(𝑚 + 1) = 1 2018 41. Perhatikan gambar.
Titik 𝐹 terletak pada sisi 𝐴𝐵. Sisi 𝐴𝐸 dan 𝐵𝐸 diperpanjang berturut-turut hingga titik 𝐶 dan 𝐷 sehingga 𝐴𝐷 ∥ 𝐹𝐸 ∥ 𝐵𝐶. Jika panjang 𝐹𝐸 = 9, tentukan nilai
𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐶 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝐸
𝐹
Wildan Bagus W.
42. Tentukan semua pasangan real (𝑝, 𝑞, 𝑟) yang memenuhi {
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = 9 𝑝2+ 𝑞2+ 𝑟2 = 27 𝑝3+ 𝑞3+ 𝑟3 = 81 43. Jika 𝑥
𝑦 = 𝑦
𝑧 = 𝑥
𝑧, apakah harus 𝑥 = 𝑦 = 𝑧?
44. Buktikan bahwa jika
𝑥 𝑦𝑘= 𝑦
𝑧𝑘 = 𝑥 𝑧𝑘 untuk suatu bilangan real 𝑘 tak nol, maka 𝑥 = 𝑦 = 𝑧.
45. Diberikan bilangan real 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 tak nol yang memenuhi 𝑎 + 2𝑏
𝑏 + 𝑐 =3𝑎 + 𝑐
𝑎 = 2𝑏 + 3𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑥 Tentukan nilai 𝑥 yang mungkin.
46. Sebuah lingkaran besar berjari-jari 𝑅 terletak di dalam persegi dan menyinggung semua sisi persegi. Lingkaran kecil berjari-jari 𝑟 diletakkan di dalam persegi sehingga menyinggung busur lingkaran besar dan dua sisi persegi seperti pada gambar. Tentukan 𝑅
𝑟.
47. Diberikan jajargenjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 serta titik 𝐸 dan 𝐹 berturut-turut berada pada sisi 𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶 sehingga 𝐸𝐵𝐹𝐷 merupakan jajargejang. Jika luas jajargenjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah 18 satuan luas dan 𝐵𝐹: 𝐹𝐶 = 2: 1, tentukan luas daerah yang diarsir.
𝐴 𝐵
𝐷 𝐶
𝐸
𝐹
Wildan Bagus W.
48. Jika
𝑐
𝑥 − 𝑎+ 𝑑
𝑥 + 𝑏 = 2𝑥 + 3 𝑥2+ 3𝑥 − 10 maka tentukan nilai dari 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑.
49. Suatu lomba terdiri dari beberapa soal dengan tingkat yang berbeda. Soal dengan tingkat 𝐸𝑎𝑠𝑦 jika dijawab benar mendapat nilai 1, soal dengan tingkat 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑢𝑚 jika dijawab benar mendapat nilai 2, dan soal dengan tingkat 𝐻𝑎𝑟𝑑 jika dijawab benar mendapat nilai 4. Tidak ada pengurangan jika soal dijawab dengan salah.
Dito memperoleh nilai 420 dan berhasil menjawab 150 soal. Misalkan banyak soal dengan tingkat 𝐻𝑎𝑟𝑑 yang berhasil dijawab benar oleh Dito adalah 𝑆.
Tentukan banyak nilai 𝑆 yang mungkin.
50. Diberikan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 bilangan real positif sehingga 𝑥𝑦𝑧 = 9. Nilai minimum dari 𝑎√𝑐 + 𝑏√𝑐
𝑐 +𝑏√𝑎 + 𝑐√𝑎
𝑎 +𝑎√𝑏 + 𝑐√𝑏 𝑏 adalah ... .
51. Diberikan bilangan real positif 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 yang memenuhi 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6. Nilai minimum dari
𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3+ 3 adalah ... .
52. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶, titik 𝐷, 𝐸, dan 𝐹 berturut-turut terletak pada sisi 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, dan 𝐴𝐶. Jika 𝐴𝐷 = 2𝐵𝐷, 𝐶𝐸 = 3𝐵𝐸, dan 𝐴𝐹 = 𝐹𝐶, perbandingan luas segitiga 𝐷𝐸𝐹 terhadap luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah ... .
53. Faktorkan bentuk dari
(2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧)3+ (2𝑦 + 3𝑧 − 5𝑥)3+ (2𝑧 + 3𝑥 − 5𝑦)3 54. Diberikan persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan panjang sisi 2 𝑐𝑚. Titik 𝐸
dan 𝐹 berturut-turut pada sisi 𝐴𝐷 dan 𝐶𝐷 sehingga garis 𝑙 yang melalui titik 𝐸 dan 𝐹 menyinggung seperempat lingkaran yang berpusat di 𝐵 dan panjang 𝐵𝐸 = 𝐵𝐹.
Tentukan panjang 𝐷𝐹.
55. Tentukan semua nilai yang mungkin dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 jika {
⌈𝑥⌉ + {𝑦} = 20
⌈𝑦⌉ + {𝑧} = 17
⌈𝑧⌉ + {𝑥} = 11
dimana {𝑥} menyatakan bilangan desimal dari 𝑥 dan diketahui bahwa 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 bilangan real positif.
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝐸
𝐹 𝑙
Wildan Bagus W.
56. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan titik 𝐷 dan 𝐸 berturut-turut berada di sisi 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 sehingga 𝐶𝐷 dan 𝐵𝐸 merupakan garis tinggi. Buktikan bahwa
𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 ∙ cos ∠𝐵𝐴𝐶 57. Tentukan semua nilai 𝑥 real sehingga
√3𝑥 − 1 + √𝑥 + 2 ≤ 2 58. Tentukan nilai dari
√29 + 27+ 26+ 22+ 2 + 1
3
59. Jika 𝑓(𝑥𝑦𝑧) = 𝑓(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) dan 𝑓(7) = 21, maka nilai dari 𝑓(72018) adalah ... . 60. Jika
𝑎 𝑏 +𝑏
𝑐 +𝑎 𝑐 =𝑎2
𝑏2+𝑏2 𝑐2 +𝑎2
𝑐2 = 5 Nilai dari 𝑎
𝑐 +𝑏
𝑑+𝑎𝑏
𝑐𝑑 adalah ... .
61. Tentukan semua pasangan real positif (𝑎, 𝑏, 𝑐) yang memenuhi 𝑎𝑏
𝑐 +𝑏𝑐 𝑎 +𝑎𝑐
𝑏 +𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
𝑎𝑏𝑐 = 6
62. Sebanyak 2018 koin akan dibagi menjadi 5 tumpukan yang membentuk vertikal (bawah ke atas). Misalkan banyak koin pada tumpukan tertinggi adalah 𝐴.
Tentukan nilai 𝐴 terkecil.
63. Tentukan semua bilangan bulat 𝑛 sehingga (𝑛 + 2018)|(𝑛 − 2017).
Catatan: Notasi 𝑎 | 𝑏 berarti 𝑎 habis membagi 𝑏.
64. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶, titik 𝐷 dan 𝐸 berturut-turut terletak 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶 sehingga dapat dibuat lingkaran yang melalui titik 𝐴, 𝐷, 𝐸, dan 𝐶. Jika panjang 𝐴𝐵 = 7 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 5 𝑐𝑚, dan 𝐵𝑅 = 3 𝑐𝑚, maka panjang 𝐸𝐷 adalah ... .
65. Banyak pasangan (𝑎, 𝑏) dengan 𝑎, 𝑏 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga persamaan kuadrat 𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 paling sedikit memiliki 1 akar real adalah ... .
66. Pada papan catur 10 × 10 dengan pewarnaa seperti biasa dan terdapat 51 benteng, buktikan bahwa terdapat 1 benteng atau lebih yang terletak pada cell berbeda dengan cell yang ditempati oleh benteng lain.
Catatan: Cell adalah kotak berukuran 1 × 1 yang berwarna hitam atau putih.
67. Tentukan pasangan bilangan asli (𝑥, 𝑦, 𝑧) sehingga
𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 69
68. Diberikan 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0. Jika {𝑥} + {𝑦} + {𝑧} + ⌈𝑥⌉ + ⌊𝑦⌋ + ⌈𝑧⌉ = 58, maka 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 = ... .
69. Didefinisikan (𝑎
𝑏) = 𝑎!
𝑏!(𝑎−𝑏)!. Tentukan nilai dari (2018
2 ) + (2018
3 ) + (2018
4 ) + ⋯ + (2018 2016)
Wildan Bagus W.
70. Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶, titik 𝐷 terletak pada sisi 𝐴𝐵 sehingga 𝐶𝐷 merupakan garis bagi. Sinar 𝐶𝐷 memotong lingkaran luar segitiga 𝐴𝐵𝐶 di titik 𝐸. Jika panjang 𝐴𝐵 = 9 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 6 𝑐𝑚, dan panjang 𝐴𝐶 = 12 𝑐𝑚, tentukan panjang 𝐷𝐸.
71. Diberikan bilangan prima 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 sehingga 𝑎 + 𝑏 = 𝑐. Tentukan semua kemungkinan nilai dari 𝑐.
72. Diberikan 𝑎 dan 𝑏 merupakan bilangan real positif yang memenuhi 𝑎 + 𝑏 = 𝑎3+ 𝑏3 = 𝑘. Diketahui bahwa 𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑠 dimana 𝑠 bilangan bulat. Maka nilai minimum dari 𝑘 yang mungkin adalah ... .
73. Diberikan bilangan real 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 0 sehingga 2𝑥
𝑦 =2𝑦 𝑧 =2𝑥
𝑧 Nilai dari 𝑥 + 𝑦2+ 𝑧3 adalah ... .
74. Diberikan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 bilangan real positif. Buktikan bahwa 𝑥 + 𝑦2+ 𝑧3 ≥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧2)2
𝑥 + 𝑧 + 1
75. Diberikan bilangan bulat𝑥, 𝑦, dan 𝑧 dengan 𝑥 ≥ 3, 𝑦 ≥ 4, dan 𝑧 > 5. Banyak pasangan (𝑥, 𝑦, 𝑧) sehingga 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 17 adalah ... .
76. Suatu fungsi 𝑓 memenuhi
𝑓(𝑥) +1 𝑥𝑓 (1
𝑥) = 𝑥 + 1 𝑥
untuk setiap 𝑥 ≠ 0. Tentukan nilai dari 𝑥 yang mungkin sehingga 𝑓(𝑥) ∈ ℕ.
77. Diberikan 𝐴𝐵𝐶 segitiga lancip sehingga 𝐴𝐸, 𝐵𝐹, dan 𝐶𝐷 merupakan garis tinggi.
Jika panjang dari 𝐴𝐷 = 𝐴𝐹 = 3 dan 𝐶𝐷 = 4, maka nilai dari 𝐶𝐸
𝐷𝐵 ∙ 𝐸𝐵 adalah ... .
78. Banyak persegipanjang (tidak termasuk persegi) yang dapat dibentuk pada papan catur 10 × 10 adalah ... .
79. Ketika 157, 327, dan 854 ketika dibagi bilangan asli 𝑑 memberikan sisa sama yaitu 𝑟 ≠ 0. Tentukan semua pasangan (𝑑, 𝑟) yang mungkin.
80. Banyak bilangan asli yang kurang dari 2018 dan habis dibagi 3, 5, atau 7 adalah ...
.
81. Diketahui bahwa banyak persegi pada papan catur 𝑛 × 𝑛 adalah 55. Nilai 𝑛 adalah ... .
82. Nilai maksimum dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 jika 𝑎3+ 𝑏3 + 𝑐3 = 3 dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ adalah ... .
83. Buktikan bahwa solusi dari bilangan real (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan memenuhi 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3, 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 3, dan 𝑥𝑦𝑧 = 1 akan dipenuhi jika 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1.
84. Tentukan nilai dari 𝑥4+ 𝑦4 + 𝑧4 jika
Wildan Bagus W.
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 3 𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3 = 5
85. Suatu sekolah akan mengirimkan 3 siswanya untuk mewakili sekolah dalam OSN.
Terdapat 7 calon siswa yang akan dikirimkan diantaranya 3 perempuan. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk mengirimkan 3 siswanya dengan syarat harus terdapat perempuan adalah ... .
86. Diketahui bahwa bilangan real tak nol 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 memenuhi 𝑎 + 𝑏
𝑏 + 𝑐 =𝑏 + 𝑐
𝑎 + 𝑐= 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏
Jika nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 merupakan bilangan asli, tentukan nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 terkecil yang mungkin.
87. Diberikan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 bilangan bulat sehingga 3(𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2) kuadrat sempurna. Apakah harus 𝑥 = 𝑦 = 𝑧?
88. Diberikan bilangan real positif 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 sehingga 𝑎2+ 𝑏2 + 𝑐2 = 6. Nilai maksimum dari 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 adalah ... .
89. Diberikan bilangan real positif 𝑝, 𝑞, dan 𝑟 yang memenuhi 𝑝𝑞𝑟 = 1. Nilai minimum dari (𝑥 + 3𝑦)(6𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 2𝑧) adalah ... .
90. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶, terdapat titik 𝐷 dan 𝐸 pada sisi 𝐵𝐶 dan titik 𝐷 terletak lebih dekat dengan titik 𝐵 daripada titik 𝐸 sehingga panjang 𝐶𝐸 = 𝐸𝐷 = 𝐷𝐵. Jika panjang 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸, buktikan bahwa segitiga 𝐴𝐵𝐶 samakaki.
91. Diberikan 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ+. Buktikan bahwa
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) ≥ 𝑥2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦2𝑧 + 𝑥𝑦𝑧2 + 3𝑥𝑦𝑧 ∑(√𝑥3 + √𝑦3 )
𝑐𝑦𝑐
92. Sebuah lingkaran melalui setiap titik sudut pada persegi seperti gambar di samping. Jika luas daerah yang diarsir adalah 2018 satuan luas, maka panjang jari-jari lingkaran adalah ... .
93. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dan titik 𝐷 terletak pada sisi 𝐵𝐶 sehingga 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷2. Buktikan tidak ada segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang memenuhi kondisi tersebut.
94. Diberikan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛 merupakan bilangan real positif yang memenuhi 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ ⋯ + 𝑎𝑛 = 1
Buktikan bahwa
Wildan Bagus W.
1 𝑎1+ 4
𝑎2+ 9
𝑎3 + ⋯ +𝑛2
𝑎𝑛 ≥𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 3!
95. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dan lingkaran luar segitiga 𝐴𝐵𝐶 berpusat di titik 𝑂. Titik 𝑂 terletak di dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 sehingga garis 𝐵𝑂 memotong sisi 𝐴𝐶 di titik 𝐷 sehingga 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶. Buktikan bahwa
𝐴𝑂2 = 𝑂𝐷2+ 𝐷𝐶2
96. Pada trapesium 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷, diketahui bahwa 𝐴𝐵 = 3𝐶𝐷. Diagonal 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷 berpotongan di titik 𝑋. Titik 𝐸 dan 𝐹 berturut-turut titik tengah pada 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷. Jika luas 𝐴𝐵𝐹𝐸 adalah 16 𝑐𝑚2, maka luas segitiga 𝐴𝑋𝐷 adalah ... .
97. Sebuah papan-papan berukuran 7 × 9 dibuat dari persegi-persegi kecil berukuran 1 × 1. Banyak persegipanjang (termasuk persegi) yang dapat dibentuk adalah ... .
98. Sebuah papan catur berukuran 𝑛 × 𝑛. Andrew menghitung terdapat 784 buah persegipanjang (termasuk persegi) yang terbentuk. Berapakah nilai 𝑛?
99. Diberikan 𝐴 = {10, 11, 12, ⋯ , 𝑘}. Sebuah bilangan 𝑥 disebut 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑘 jika jumlah digit-digit dari 𝑥 habis dibagi 4. Jika pada himpunan 𝐴 terdapat 16 anggota yang 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑘, maka banyak nilai dari 𝑘 yang mungkin adalah ... .
100. Tentukan semua pasangan (𝑎, 𝑏) dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑒𝑔 sehingga 𝑎 + 𝑏 = 𝑎3+ 𝑏3.
