penerapan differensial pada matematika e

BAB I

PENDAHULUAN

1. LATAR BELAKANG

Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang disiplin ilmu, mempunyai peranan sangat menonjol sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan, baik mempelajari teori ekonomi ilmu-ilmu sosial, matematika

semakin banyak digunakan sebagai alat untuk mempermudah pemecahan masalah serta sebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan

matematika dalam berbagai disiplin ilmu dinamakan sebagai matematika terapan, salah satunya adalah persamaan diferensial, maka model penggunaan diferensial ini dinamakan sebagai diferensial terapan atau aplikasi diferensial. Perhitungan

diferensial merupakan suatu perhitungan yang menyangkut masalah perubahan fungsi, maka sebagai kaitan permasalahan yang muncul di dalam teori ekonomi di

antaranya penghitungan Laba (keuntungan), Investasi serta Pajak.

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat

pula di sidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan

2. RUMUSAN MASALAH

Rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan

diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis.

3. BATASAN MASALAH

Batasan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan

BAB II

PEMBAHASAN

1. PENGERTIAN DIFERENSIAL

Derivative atau turunan dy

dx tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan

sebagai lambang yang menyertakan limit dari Δy

Δx , sewaktu ∆ x mendekati

nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah-masalah kita dapat menafsirkan dx dan dy secara terpisah, dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y . Pengertian diferensial

berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel yang berkaitan dengan perubahan – perubahan

kecil dalam variabel bebas.

Jika f'

(x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x

tertentu dan ∆ x merupakan kenaikan dalam x , maka diferensial dari f(x) , terdefinisikan oleh persamaan:

Jika f(x)=x , maka f'_{(x)=1 , dan dx=∆ x . Jadi jika x merupakan}

variabel bebas, maka diferensial dx dari x sama dengan ∆ x .

Jika y=f(x) , maka dy=f'(x)dx=dy dxdx

2. PENERAPAN DIFERENSIAL PADA MATEMATIKA EKONOMI DAN

BISNIS

2.1 Laba

Pada umumnya, ukuran yang sering kali digunakan untuk menilai berhasil atau tidaknya manajemen suatu perusahan adalah dengan melihat laba yang diperoleh

perusahaan. Laba bersih merupakan selisih positif atas penjualan dikurangi biaya biaya dan pajak

Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus:

π=TR−TC

Di mana: π = Laba

TR = Penerimaan total

Penerimaan total (TR) maupun biaya total (TC) adalah fungsi dari Q. oleh karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan

laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition) untuk suatu maksimum yaitu: mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian disamakan dengan nol, hasilnya adalah:

dπ

dQ =MC , maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi:

MR=MC

Jadi, syarat pertama untuk suatu banyak barang yang optimum secara ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. Tetapi syarat

yang pertama belum menjamin adanya suatu maksimum atau minimum. Oleh karena itu, kita harus memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu: derivative kedua dari fungsi laba terhadap Q harus lebih kecil dari nol, hasilnya

d2_π d Q2<0

Jadi, syarat yang kedua cukup untuk membuat laba secara maksimum dengan banyaknya barang yang di produksi.

Contoh 1

Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah P=1000−2Q dan

fungsi biaya perusahaan tersebut adalah C=Q3

−59Q2

+1315Q+2000 , hitunglah Laba maksimum yang akan diperoleh perusahaan tersebut!

Diketahui:

P=1000−2Q

C=Q3

−59Q2

+1315Q+2000

Fungsi pendapatan : R = Fungsi permintaan × banyak unit yang di produksi

= (1000−2Q)×Q

= 1000Q−2Q2

Fungsi biaya: C = Q3

−59Q2

+1315Q+2000

Fungsi Laba: π = pendapatan – biaya

Karena Q=35 , maka:

P=1000−2Q

= 1000−2(35)

= 1000−70

= 930

C=Q3

−59Q2

+1315Q+2000

= (35)3−59(35)2+1315(35)+2000

= 42875−72275+46025+2000

= 42875−24250

= 18.625

R = 1000Q−2Q2

= 1000(35)−2(35)2

= 35000−2450

= 32.550

Jadi, dapat disimpulkan bahwa perusahaan harus menjual produknya sebesar

laba sebesar Rp.13.925 dimana pendapatan perusahaan adalah Rp. 32.250, dan biaya yang di keluarkan adalah sebesar Rp.18.625.

2.2 Pajak

Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang dikenakan pemerintah terhadap setiap unit produksi

dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan

diberlakukannya sehingga akan diperoleh pajak maksimum.

Total pajak yang akan diterima pemerintah T=t ×Q dimana t: tarif pajak yang dikenakan pemerintah, dan Q: jumlah barang yang diproduksi dan

dijual oleh pengusaha sehingga diperoleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak.

Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah adalah:

Laba = Pendapatan – (Biaya + Pajak)

= R−(C+T)

= R−C−T

Contoh 2

Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah P=−5Q+100 dan

fungsi biaya perusahaan tersebut adalah C=5Q2−30Q , hitunglah tarif pajak yang

sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum serta total pajak maksimum yangdiperoleh oleh pemerintah!

Diketahui:

P=−5Q+100

C=5Q2

−30Q

Fungsi pendapatan : R = Fungsi permintaan × banyak unit yang di produksi

= (−5Q+100)×Q

= −5Q2

+100Q

Laba = Pendapatan – (Biaya + Pajak)

= R−(C+T)

= R−C−T

= R−C−t .Q

=

(

−5Q2

+100Q

)

−

(

5Q2

=

(

−10Q2

Jadi, dengan memproduksi sebanyak Q=26 4 −

1

20t , pengusaha akan memperoleh

t 10=

26 4

4t=260

t=65

Jadi, pengusaha dikenakan pajak sebesar Rp. 65 / unit

Q=26 4 −

1 20(65)

¿26 4 −

65 20

¿6,5−3,25

¿3,25

Pajak yang diterima pemerintah atau yang dikeluarkan oleh pengusaha

T=t . Q

¿65×3,25

¿Rp.211,25

Jadi,pajak yang harus dikeluarkan oleh pengusaha jika ia menghasilkan 3,25 unit

2.3 Investasi

Investasi yang lazim disebut juga dengan istilah penanaman modal atau

pembentukan modal merupakan komponen kedua yang menentukan tingkat pengeluaran agregat. Tabungan dari sektor rumah tangga melalui institusiintitusi keuangan akan mengalir ke sektor perusahaan. Apabila para pengusaha menggunakan

uang tersebut untuk membeli barang-barang modal , pengeluaran tersebut dinamakan investasi. Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan sejumlah dana yang ada

saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang.

Investasi adalah suatu fungsi pendapatan dan tingkat bunga, dilihat dengan kaitannya I= (Y,i). Suatu pertambahan pada pendapatan akan mendorong investasi

yang lebih besar, dimana tingkat bunga yang lebih tinggi akan menurunkan minat untuk investasi sebagaimana hal tersebut akan lebih mahal dibandingkan dengan

meminjam uang. Walaupun jika suatu perusahaan lain memilih untuk menggunakan dananya sendiri untuk investasi, tingkat bunga menunjukkan suatu biaya kesempatan dari investasi dana tersebut daripada meminjamkan untuk mendapatkan bunga.

Contoh 3

Uang sejumlah Rp 5.000.000 diinvestasikan dengan bunga 8 tiap tahun, bertambah secara kontinu. Berapa jumlah uang itu sesudah 25 tahun?

Ambil y(t) sebagai jumlah uang (modal tambah bunga) pada saat t. Maka

laju pertambahan perubahan jumlah uang pada saat t diberikan oleh : dy

dt= 8 100 y

Jelaslah bahwa persamaan ini adalah persamaan diferensial terpisah.

Sehingga:

y(t)=y(0)e

(

8 100

)

t

Karena y(0)=5.000 .000 (modal awal), maka diperoleh :

_{y(25)=5.000 .000×e}

(

1008

)

25

= Rp.36.945.280,49

Jadi, jumlah uang setelah 25 tahun kedepan adalah Rp. 36.945.280,49

BAB III

PENUTUP

1) Penerapan diferensial pada penentuan laba harus melalui 2 syarat untuk

menentukan laba maksimum yang diperoleh pengusaha yaitu _dQdπ=0 dan

d2_π d Q2<0 .

2) Penerapan diferensial pada penentuan pajak yang harus memperhatikan tarif yang dapat membuat pemerintah memperoleh total pajak maksimum masih menggunakan prinsip dari penentuan laba.