Makalah Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis

(1)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1

1.1 LATLATAR AR BELAKANGBELAKANG

Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang disiplin Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang disiplin il

ilmumu, , memempmpunyunyai ai peperanranan an sansangagat t memenononjnjol ol sesesusuai ai dedengngan an peperkrkemembabangngan an ilmilmuu pengetahuan,

pengetahuan, baik baik mempelajari mempelajari teori teori ekonomi ekonomi ilmu-ilmu ilmu-ilmu sosial, sosial, matematika matematika semakinsemakin banyak

banyak digunakan digunakan sebagai sebagai alat alat untuk untuk mempermudah mempermudah pemecahan pemecahan masalah masalah serta serta sebagaisebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan matematika dalam alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan matematika dalam berbagai

berbagai disiplin disiplin ilmu ilmu dinamakan dinamakan sebagai sebagai matematika matematika terapan, terapan, salah salah satunya satunya adalahadalah persamaan

persamaan diferensial, diferensial, maka maka model model penggunaan penggunaan diferensial diferensial ini ini dinamakan dinamakan sebagaisebagai difere

diferensial terapan nsial terapan atau atau aplikaaplikasi si diferendiferensial. Perhitungsial. Perhitungan an diferendiferensial sial merupmerupakan suatuakan suatu perhitungan

perhitungan yang yang menyangkut menyangkut masalah masalah perubahan perubahan fungsi, fungsi, maka maka sebagai sebagai kaitankaitan permasalahan

permasalahan yang yang muncul muncul di di dalam dalam teori teori ekonomi ekonomi di di antaranya antaranya penghitungan penghitungan LabaLaba (keuntungan), Inestasi serta Pajak.

(keuntungan), Inestasi serta Pajak.

!iferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan !iferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam ariabel bebas fungsi yang bersangkutan. !iferensial dapat pula di perubahan kecil dalam ariabel bebas fungsi yang bersangkutan. !iferensial dapat pula di

sid

sidik ik kedkeduduudukankan-ke-keduddudukaukan n khukhusus sus dardari i funfungsi gsi yanyang g sedsedang ang dipdipelajelajari ari sepeseperti rti titititik k maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. "erdasarkan manfaat-manfaat maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. "erdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi.

dan ekonomi.

1.2

1.2 RUMURUMUSAN MSAN MASALAASALAHH #um

#umusausan n masamasalah pada penulilah pada penulisan makalsan makalah ah ini adalaini adalah h penpeneraperapan an perpersamsamaanaan diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis.

diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis. 1.3

1.3 BATBATASAN ASAN MASALAHMASALAH "at

"atasan asan masmasalah alah padpada a penpenuliulisan san makmakalah alah ini ini adaadalah lah penpeneraerapan pan perpersamasamaanan diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan inestasi. diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan inestasi.

(2)

PEMBAHASAN

2.1

2.1 PENGERTPENGERTIAN IAN DIFERENSIALDIFERENSIAL

!er

!eriaiatitie e atau turunatau turunanan

dy dy dx

dx tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau

pecahan

pecahan dengandengan dydy sebagai pembilang dan d$ sebagai penyebut, melainkan sebagai sebagai pembilang dan d$ sebagai penyebut, melainkan sebagai

lam

lambabang ng yayang ng memenynyertertakakan an lilimimit t dadariri

Δ y Δ y Δ

Δ xx , , sese%a%akktutu ∆∆ xx menmendekdekati ati nilnilai ai nolnol

seb

sebagagai ai lilimimit. t. &&kakan n tetetaptapi i ununtutuk k dadapapat t mememamahahami mi mamasalsalahah-m-masaasalalah h kitkita a dadapapatt

menaf

menafsirkansirkan dxdx da dann dydy secara terpisah, dalam hu secara terpisah, dalam hubungbungan inian ini dxdx menyatakan menyatakan

di

diferferenensisialal x x d daann dydy dif difererenensisialal y y . . PenPengergertiatian n difdifereerensiansial l berberguguna na seksekaliali,, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam ariabel yang berkaitan dengan perubahan ' perubahan kecil dalam ariabel bebas.

ariabel yang berkaitan dengan perubahan ' perubahan kecil dalam ariabel bebas.

ika

ika f f ' '

((

x x

))

merupakan deriatie dari fungsi merupakan deriatie dari fungsi f f

( (

x x

))

untuk nilai untuk nilai x x tertentu tertentu

d

daann ∆ x∆ x mmereruupapakkan an kkenenaiaikakan n dadalalamm x x , , mmaakka a ddiiffeerreennssiiaal l ddaarrii f f

( (

x x

))

,, terdefinisikan oleh persamaan

terdefinisikan oleh persamaan

df

( (

x x

))

=

f f ' '

((

x x

))

=

dydy dx dx ∆ x ∆ x

(3)

ika

ika f f

( (

x x

))

=

x x , maka, maka f f ' '

((

x x

))

=

11 , dan, dan dxdx

=

∆∆ xx . adi jika. adi jika x x merupakan ariabel merupakan ariabel

bebas, maka diferensial

bebas, maka diferensial dxdx dari dari x x sama dengan sama dengan ∆∆ xx ..

ika

ika y y

=

f f

((

x x

))

, maka, maka dydy

=

f f

' '

((

x x

))

dxdx

=

dydy dx dx dx dx

(4)

2.2

2.2 PENERAPAN DIFERENSIAL PENERAPAN DIFERENSIAL PADA PADA MATMATEMATIKA EMATIKA EKONOMI DAN EKONOMI DAN BISNISBISNIS 1

1.. LLaabbaa

Pada umumny

Pada umumnya, a, ukuraukuran n yang sering kali yang sering kali digudigunakan untuk menilai berhasil ataunakan untuk menilai berhasil atau tid

tidaknaknya ya manmanajemajemen en suasuatu tu perperusausahan han adaadalah lah dendengan gan melmelihaihat t lablaba a yanyang g dipdiperoerolehleh perusahaan.

perusahaan. Laba Laba bersih bersih merupakan merupakan selisih selisih positif positif atas atas penjualan penjualan dikurangi dikurangi biayabiaya biaya dan pajak

biaya dan pajak Lab

Laba a adaadalah lah selselisih antara isih antara penpenerimerimaan aan tottotal al dendengan gan biaybiaya a tottotal, al, ataatau u secasecarara matematika dapat dinyatakan dengan rumus

matematika dapat dinyatakan dengan rumus Π Π

=

TRTR

−

TC TC !i mana !i mana π π * Laba * Laba +# * Penerimaan total +# * Penerimaan total +

+ * "iay* "iaya totala total

Penerimaan total (+#) maupun biaya total (+) adalah fungsi dari . oleh Penerimaan total (+#) maupun biaya total (+) adalah fungsi dari . oleh karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition) untuk laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition) untuk su

suatatu u mamaksksimimum um yayaituitu  memendndififereerensnsialialkakan n fufungngsi si lalaba ba terterhahadadap p , , kekemumudidianan disamakan dengan nol, hasilnya adalah

disamakan dengan nol, hasilnya adalah D π D π dQ dQ

=

00 d d

((

TRTR

−

TC TC

))

dQ dQ

=

00 dTR dTR dQ dQ

−

dTC dTC dQ dQ

=

00 ka karenrenaa dTR dTR dQ dQ

=

MR MR dandan dTC dTC dQ

dQ

=

MC MC , maka persamaan di atas dapat ditulis kembali, maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi

menjadi M R

M R

=

MC MC

adi, syarat pertama untuk

adi, syarat pertama untuk suatu banyak barang yang optimum secara suatu banyak barang yang optimum secara ekonoekonomimi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. +etapi syarat yang pertama adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. +etapi syarat yang pertama belum menja

(5)

memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu deriatie memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu deriatie kedua dari fungsi laba terhadap  harus lebih kecil dari nol, hasilnya adalah

kedua dari fungsi laba terhadap  harus lebih kecil dari nol, hasilnya adalah d

d22π π d

d QQ22

<

00

adi, syarat yang kedua cukup untuk membuat laba secara maksimum dengan adi, syarat yang kedua cukup untuk membuat laba secara maksimum dengan banyaknya barang yang d

banyaknya barang yang di produksi.i produksi. Contoh 1

Contoh 1

ika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah

ika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah P P

=

10001000

−

22QQ dandan

fung

fungsi biaya perusahaan tersebsi biaya perusahaan tersebut adalahut adalah C C

=

QQ

3 3

−

5959QQ22

+

13151315QQ

+

20002000 _{, hitunglah}_{, hitunglah}

Laba maksimum yang akan diperoleh perusahaan tersebut/ Laba maksimum yang akan diperoleh perusahaan tersebut/ !iketahui !iketahui P P

=

10001000

−

22QQ C C

=

QQ33

−

5959QQ22

+

13151315QQ

+

20002000 0

0uunnggssi pi peennddaappaattaan n  ## * 0u* 0unnggssi pi peerrmmiinnttaaaann ×× banyak unit yang di prod banyak unit yang di produksiuksi * *

((

10001000

−

22QQ

))

××QQ * * 10001000QQ

−

22QQ 2 2 0

0unungsgsi bii biayayaa  ** QQ

3 3

−

5959QQ22

+

13151315QQ

+

20002000

0ungsi Laba

0ungsi Laba π π * pendapatan ' biaya* pendapatan ' biaya π π _*_*

((

10001000QQ

−

22QQ22

))

−

((

QQ33

−

5959QQ22

+

13151315QQ

+

20002000

))

π π _*_*

₋

_Q_Q33

+

5757QQ22

−

315315QQ

−

20002000 +urunan pertama +urunan pertama d d π π dQ dQ **

−

33QQ 2 2

+

114114QQ

−

315315 * * QQ22

−

3636QQ

+

105105 * *

((

QQ

−

3535

))

((

QQ

−

33

))

(6)

!i peroleh

!i peroleh QQ11

=

33atauQatauQ22

=

3535

+urunan kedua +urunan kedua d d22π π d d QQ22 **

−

66QQ

+

114114 ika

ika QQ11

=

33 _{, maka}_{, maka}

d d22π π d

d QQ22 * *

−

66

((

33

))

+

114114

=

9696 ,, 9696

>

00 (Laba minimum) (Laba minimum)

ika

ika QQ22

=

3535 _{, maka}_{, maka}

d d22π π d d QQ22 * *

−

66

((

3535

))

+

114114

=−

6666 ,,

−

6666

<

00 (Laba (Laba maksimum) maksimum) adi,

adi, π π maksmaks

=−

QQ

3 3

+

5757QQ22

−

315315QQ

−

20002000 * *

−

((

3535

))

3 3

+

5757

((

3535

))

22

−

315315

((

3535

))

−

20002000 * *

−

((

4287542875

))

+

6982569825

−

1102511025

−

20002000 * * 26950 26950

−

1302513025 * * 13.925 13.925 1arena

1arena QQ

=

3535 , maka, maka P P

=

10001000

−

22QQ * * 10001000

−

22

((

3535

))

* * 10001000

−

7070 * * 930930 C C

=

QQ33

−

5959QQ22

+

13151315QQ

+

20002000 * *

((

3535

))

3 3

−

5959

((

3535

))

22

+

13151315

((

3535

))

+

20002000 * * 4287542875

−

7227572275

+

4602546025

+

20002000 * * 4287542875

−

2425024250 * * 18.62518.625 R R ** 10001000QQ

−

22QQ22

(7)

* * 10001000

((

3535

))

−

22

((

3535

))

2 2 * * 3500035000

−

24502450 * * 32.55032.550

adi, dapat disimpulkan bah%a perusahaan harus menjual produknya sebesar adi, dapat disimpulkan bah%a perusahaan harus menjual produknya sebesar #p.234 per unit, dengan jumlah produk sebesar 35 unit agar dapat memaksimalkan #p.234 per unit, dengan jumlah produk sebesar 35 unit agar dapat memaksimalkan laba sebesar #p.63.275 dimana pendapatan perusahaan adalah #p. 37.754, dan biaya laba sebesar #p.63.275 dimana pendapatan perusahaan adalah #p. 37.754, dan biaya yang di keluarkan adalah s

yang di keluarkan adalah sebesar #p.68.975,44ebesar #p.68.975,44

2

2.. PPaajjaa 

:alah satu

:alah satu sumbsumber er peneripenerimaan pemerintah adalah dengan maan pemerintah adalah dengan penaripenarikan pajak,kan pajak, misalnya pajak penjualan yang dikenakan pemerintah terhadap setiap unit produksi misalnya pajak penjualan yang dikenakan pemerintah terhadap setiap unit produksi dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak

pajak tersebut. tersebut. ;ntuk ;ntuk itu itu pemerintah pemerintah harus harus menentukan menentukan berapa berapa tarif tarif pajak pajak yang yang akanakan diberlakukannya sehingga akan diperoleh pajak maksimum.

diberlakukannya sehingga akan diperoleh pajak maksimum. +

+ootal tal pajpajak ak yanyang g akaakan n ditditerimerima a pempemerinerintahtah T T

=

tt ××QQ d dimimananaa t t :: tarif tarif pajak

pajak yang yang dikenakan dikenakan pemerintah, pemerintah, dandan QQ:: jumlah barang jumlah barang yang yang diproduksi diproduksi dandan d

diijujuaal l oolleeh h ppeenngguussaahha a sesehhiinngggga a ddiippeerroolleh eh llaabba a mmaakksisimmuumm, , yyanang g tteellaahh mempertimbangkan biaya pajak.

mempertimbangkan biaya pajak.

!ari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah !ari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah adalah

adalah Laba

Laba * Pendapatan ' ("iaya < Pajak)* Pendapatan ' ("iaya < Pajak) * * RR

−

((

C C

+

T T

))

* * RR

−

C C

−

T T * * RR

−

C C

−

t .t .QQ Contoh 2 Contoh 2

(8)

iikka a ddiikkeettahahuui i fufunnggsi si ppeermrmiinnttaaaan n ddarari i susuaatu tu ppeerruussaahhaaaan n aaddalalaahh P

P

=−

55QQ

+

100100 _dan_{dan fun}_fungsi_{gsi bia}_biaya_{ya per}_perusa_usahaa_haan_{n ter}_terseb_sebut_{ut ada}_adalah_{lah C}_C

₌

55QQ22

−

3030Q_{Q ,,} hitunglah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar hitunglah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah

pemerintah memperoleh memperoleh total total pajak pajak maksimum maksimum serta serta total total pajak pajak maksimummaksimum yangdiperoleh oleh pemerintah/

yangdiperoleh oleh pemerintah/ !iketahui !iketahui P P

=−

55QQ

+

100100 C C

=

55QQ22

−

3030QQ 0ungsi pendapatan  0ungsi pendapatan  #

# * * 00uunnggssi i ppeerrmmiinnttaaaann ×× banyak unit yang di prod banyak unit yang di produksiuksi * *

((

−

55QQ

+

100100

))

××QQ * *

−

55QQ 2 2

+

100100QQ L

Laabbaa * * PPeennddaappaattaan n ' ' ((""iiaayya a < < PPaajjaakk)) * * RR

−

((

C C

+

T T

))

* * RR

−

C C

−

T T * * RR

−

C C

−

t .t .QQ * *

((

−

55QQ 2 2

+

100100QQ

))

−

((

55QQ22

−

3030QQ

))

−

t .t .QQ * *

((

−

1010QQ 2 2

+

130130QQ

−

t .t . QQ

))

+urunan pertama  Laba

+urunan pertama  Laba ' '

=−

2020QQ

+

130130

−

t t

=

00

130 130

−

t t

=

2020QQ 20 20QQ

=

130130

−

t t Q Q

=

130130

−

t t 20 20 Q Q

=

2626 4 4

−

1 1 20 20t t

(9)

+urunan kedua  Laba

+urunan kedua  Laba = {= {1} 1} over over {20} {20} <0<0

a

adidi, , dedengngan an memempmproroduduksksi i sesebabanynyakak QQ

=

26 26 4 4

−

1 1 20

20t t , , pepengngususahaha a akakanan

memperoleh laba maksimum. memperoleh laba maksimum.

!ari sudut pandang pemerintah !ari sudut pandang pemerintah

Pajak  Pajak  26 26 4 4

−

1 1 20 20 t t T T

=

t t

¿

) )

¿

2626 4 4 t t

−

1 1 20 20t t 2 2

+urunan pertama  Pajak +urunan pertama  Pajak ' '

=

26 26 4 4

−

1 1 10 10 t t

=

00 t t 10 10

=

26 26 4 4 4 4t t

=

260260 t t

=

6565

adi, pengusaha dikenakan pajak sebesar #p. 95 = unit adi, pengusaha dikenakan pajak sebesar #p. 95 = unit

Q Q

=

2626 4 4

−

1 1 20 20

((

6565

))

¿

2626 4 4

−

65 65 20 20

¿

6,56,5

−

3,253,25

¿

3,253,25

Pajak yang diterima pemerintah atau yang dikeluarkan oleh pengusaha Pajak yang diterima pemerintah atau yang dikeluarkan oleh pengusaha

T

(10)

¿

6565××3,253,25

¿

Rp Rp.211,25.211,25

adi,pajak yang harus dikeluarkan oleh pengusaha jika ia menghasilkan 3,75 adi,pajak yang harus dikeluarkan oleh pengusaha jika ia menghasilkan 3,75 unit barang

unit barang adalah #p.766,75.adalah #p.766,75.

3

3.. IInn!!""##ttaa##$$

In

Inestaestasi si yanyang g la>la>im im disdisebuebut t jugjuga a dendengan gan istiistilah lah penpenanamanaman an modmodal al atauatau pembentukan

pembentukan modal modal merupakan merupakan komponen komponen kedua kedua yang yang menentukan menentukan tingkattingkat pengeluaran

pengeluaran agregat. agregat. +a+abungan bungan dari dari sektor sektor rumah rumah tangga tangga melalui melalui institusiintitusiinstitusiintitusi keuangan akan mengalir ke sektor perusahaan. &pabila para pengusaha menggunakan keuangan akan mengalir ke sektor perusahaan. &pabila para pengusaha menggunakan uang tersebut untuk membeli barang-barang modal , pengeluaran tersebut dinamakan uang tersebut untuk membeli barang-barang modal , pengeluaran tersebut dinamakan ines

inestasi. Inestasi tasi. Inestasi pada hakikatnypada hakikatnya a merupmerupakan penempatan sejumlah dana akan penempatan sejumlah dana yang adayang ada saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang.

saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang.

Inestasi adalah suatu fungsi pendapatan dan tingkat bunga, dilihat dengan Inestasi adalah suatu fungsi pendapatan dan tingkat bunga, dilihat dengan kaitannya I* (?,i). :uatu pertambahan pada pendapatan akan mendorong inestasi kaitannya I* (?,i). :uatu pertambahan pada pendapatan akan mendorong inestasi yang lebih besar, dimana tingkat bunga yang lebih tinggi akan menurunkan minat yang lebih besar, dimana tingkat bunga yang lebih tinggi akan menurunkan minat unt

untuk uk ininestestasi asi sebasebagaimgaimana ana hal hal tertersebusebut t akaakan n leblebih ih mahmahal al dibdibandandingingkan kan dendengangan meminjam uang. @alaupun jika suatu perusahaan lain memilih untuk menggunakan meminjam uang. @alaupun jika suatu perusahaan lain memilih untuk menggunakan dananya sendiri untuk inestasi, tingkat bunga menunjukkan suatu biaya kesempatan dananya sendiri untuk inestasi, tingkat bunga menunjukkan suatu biaya kesempatan dari inestasi dana tersebut daripada meminjamkan untuk mendapatkan bunga.

dari inestasi dana tersebut daripada meminjamkan untuk mendapatkan bunga.

Contoh 3 Contoh 3 ;a

;ang sejng sejumumlalah h #p 5.4#p 5.44444.4.444 44 didiinineestastasisikakan n dedengngan bunan bungaga 88 tiap tahutiap tahun,n, bertambah secara kontinu. "erapa jumlah uang itu sesudah 75

bertambah secara kontinu. "erapa jumlah uang itu sesudah 75 tahunAtahunA Penyelesaian 

Penyelesaian  &m

&mbibill y y

((

t t

))

sebagai jumlah uang (modal tambah bunga) pada saat t. Maka laju sebagai jumlah uang (modal tambah bunga) pada saat t. Maka laju pertambahan perubahan jumlah uang pad

(11)

dy dy dt dt

=

8 8 100 100 yy

elaslah bah%a persamaan ini adalah persamaan diferensial terpisah. elaslah bah%a persamaan ini adalah persamaan diferensial terpisah. :ehingga

:ehingga y

y

((

t t

))=

=

y y

((

00

))

ee

((

8 8 100 100

))

t t

1arena

1arena yy

((

00

))

=

5.05.00000 .00.0000 (modal a%al), maka diperoleh  (modal a%al), maka diperoleh 

y y

((

2525

))

=

5.005.0000 .000.000×× ee

((

8 8 100 100

))

2525 * * #p.39.2B5.784#p.39.2B5.784,B2,B2 adi, jumlah uang setelah

adi, jumlah uang setelah 75 tahun kedepan adalah #p. 75 tahun kedepan adalah #p. 39.2B5.784,B39.2B5.784,B22

BAB III

PENUTUP

&dapun penutup dari penulisan makalah diatas adalah &dapun penutup dari penulisan makalah diatas adalah 1%

1% PeneraPenerapan diferensial pada pan diferensial pada penenpenentuan laba tuan laba harus melalui 7 harus melalui 7 syarat untuk menentuksyarat untuk menentukanan

laba maksimum yang diperoleh pengusaha yaitu laba maksimum yang diperoleh pengusaha yaitu

dπ dπ dQ dQ

=

00 dan dan d d22π π d d QQ22

<

00 .. 2%

2% Penerapan diferensial pada penentuan pajak yang harus memperhatikan tarif yangPenerapan diferensial pada penentuan pajak yang harus memperhatikan tarif yang dapat membuat pemerintah memperoleh total pajak maksimum masih menggunakan dapat membuat pemerintah memperoleh total pajak maksimum masih menggunakan prinsip dari penentuan laba.

prinsip dari penentuan laba. 3%

3% PenPeneraerapan pan difdiferenerensial sial padpada a penpenententuan uan sebsebuah uah ininestaestasi si menmengguggunaknakan an difdifereerensiansiall sederhana.