MINGGU 10 DIFERENSIAL SEDERHANA 1

(1)

TOPIK 10

DIFERENSIAL SEDERNAHA

Nur Aida Arifah Tara, M.Si., Ph.D

(2)

Sub Topik

• Pengertian Diferensial

• Pengertian dan penerapan diferensial dalam permintaan

• Pengertian dan penerapan diferensial dalam penawaran

• Pengertian dan penerapan diferensial dalam Biaya Marjinal

• Pengertian dan penerapan diferensial dalam Penerimaan Marjinal

• Pengertian dan penerapan diferensial dalam Utilitas Marjinal

• Pengertian dan penerapan diferensial dalam Analisis Keuntungan Maksimum

• Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-Rata

(3)

Kuosien Diferensi dan Derivatif

• Diferensial

membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

• Persamaan Diferensial

jika y = f(x), maka tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x (∆ Y/ ∆X )

• Derivatif:

hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi

(4)

Kaidah – kaidah diferensiasi

• Diferensiasi konstanta

jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx =0 contoh: y = 5 , dy/dx = nx^n-1= 1.5^1-1 = 0

• Diferensiasi fungsi pangkat

jika y = xⁿ , dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nx^n-1

contoh : y = x³ , dy/dx = 3.x^3-1 = 3x²

• Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

jika y = kv, dimana v= h(x) maka dy/dx = k (dv/dx) contoh : y =5x³ , dy/dx = 3.5x^3-1 = 15x²

(5)

Derivatif dari Derivatif

• Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya).

• Turunan pertama (turunan dari fungsi awal),

turunan kedua (turunan dari fungsi pertama), dst.

• Contoh :

y = f(x) = x

³

– 4x

²

+ 5x – 7 y’ = dy/dx = 3x

²

– 8x + 5 y” = d

²

y/dx

²

= 6x – 8

y”’ = d

³

y /dx

³

= 6

y

^iv

= d

⁴

y /dx

⁴

= 0

(6)

Latihan :

Tentukan d

²

y/dx

²

untuk:

a. y = 2x

³

– 4x

²

+ 7x – 5 b. y = 9 – 3x

^-1

+ 6x

^-2

c. y = (x

²

– 4 )(2x – 6 )

c. y = (x

²

– 4 )(2x – 6 )

d. y = (3x

²

– x)(2 + x

^-1

)

(7)

Latihan :

Tentukan d

²

y/dx

²

untuk:

a. y = 2x

³

– 4x

²

+ 7x – 5 b. y = 9 – 3x

^-1

+ 6x

^-2

y’ = 3x

^-2

- 12x

^-3

y’’= -6x

^-3

+ 36x

^-4

y’’= -6x

^-3

+ 36x

^-4

c. y = (x

²

– 4 )(2x – 6 ) y = 2x³-6x²-8x+24 y‘ =6x²-12x-8

y"=12x-12

d. y = (3x

²

– x)(2 + x

^-1

)

(8)

Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya

• Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya

 besarnya turunan pertama dan turunan kedua

akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut

• Kita akan mengetahui  kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik belok

(9)

Contoh:

Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :

• y = 1/3x³ – 3x² + 8x – 3 ………. fungsi kubik

• y’ = x² – 6x + 8 ……… fungsi kuadratik

• y” = 2x – 6 ……….. fungsi linear

• Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing- masing turunannya

(10)

Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

• Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linear

• Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah

kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik

atau menurun pada kedudukan tertentu.

(11)

Fungsi Tanda

• Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim

• Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik

• Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0

• Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.

• Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

(12)

Contoh:

Tentukan apakah y = f(x) = y = 1/3x³ – 4x² + 12x – 5

Merupakan fungsi menaik ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x=7. Selidiki pula untuk x = 6.

f’(x) = x² – 8x + 12 f’(x) = x – 8x + 12

 f’x(5) = 5² – 8(5) + 12 = -13 < 0, berarti y = f(x) menurun pada x=5

 f’x(7) = 7² – 8(7) + 12 = 5 > 0, berarti y = f(x) menaik pada x=7

f’x(6) = 6² – 8(6) + 12 = 0 , berarti y = f(x) berada di titik ekstrim pada x = 6; karena f’(x) < 0 untuk x < 6 dan f’(x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6 adalah titik minimum.

(13)

Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

• Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya.

• Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.

• Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik.

grafik.

y = f(x) = x2 - 8x + 12 ……….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …..……fungsi linear y” = f ”(x) = d2y/dx2 = 2 …….…….konstanta

• Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim –dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)

y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4

(14)

Ringkasan

• Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0

• Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka kebawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum

ekstrimnya adalah titik maksimum

• Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum

(15)

Titik Ekstrim & Titik Belok Fungsi Kubik

• Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :

• y = 1/3x

³

– 3x

²

+ 8x – 3 ………….fungsi kubik

• y’ = x

²

– 6x + 8 ………fungsi kuadratik

• y” = 2x – 6 ………..fungsi linear

(16)

• Jika y’ = 0  x² – 6x + 8 = 0

(x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4

• Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum

• Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)

maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)

• Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik

maka y = 2.33 (4, 2.33)  titik ekstrim minimum

• Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)

• Jika y” = 0  2x – 6 = 0 x = 3  nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkan nilai y = 3  titik belok (3,3)

(17)

Penerapan Ekonomi

• Elastisitas Permintaan dan Penawaran

• Biaya Marjinal

• Penerimaan Marjinal

• Utilitas Marjinal

• Analisis Keuntungan Maksimum

• Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-

Rata

(18)

Biaya Marjinal

• Biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

• Fungsi biaya Marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total (TC atau C)  secara

dari fungsi biaya total (TC atau C)  secara matematis.

• Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marjinalnya:

MC = C’ = dC/dQ

(19)

• Kasus

Biaya total : C = f(Q) = Q³ – 3Q² + 4Q + 4

Biaya Marjinal : MC = C’ = dC/dQ = 3Q² – 6Q + 4

Biaya Marjinal

C = f(Q) = Q³ – 3Q² + 4Q + 4 MC = C’ = dC/dQ = 3Q² – 6Q + 4 (MC)’ = C’’ = 6Q – 6

MC minimum jika (MC)’= 0

(MC)’ = 0  6Q – 6 = 0  Q = 1 Pada Q = 1  MC = 3(1)² – 6(1) + 4 = 1

C = 1³ – 3(1)² + 4(1) + 4 = 6

(20)

Latihan

Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah pabrik ditunjukkan oleh persamaan C = Q³ – 90Q² + 250Q + 56.500.

1. Pada tingkat produksi berapa unit biaya marjinalnya minimum?

minimum?

2. Berapa besarnya biaya marjinal tersebut?

3. Berapa pula besarnya biaya total pada tingkat produksi tersebut?

MC = C’ = dC/dQ

MC minimum jika (MC)’= 0

(21)

Jawaban

C = Q³ – 90Q² + 250Q + 56.500

MC = C’ = dC/dQ = 3Q² – 180Q + 250

1. MC minimum jika (MC)’= 0  MC’ = 6Q – 180 0 = 6Q – 180 0 = 6Q – 180 Q = 30

Jadi biaya marjinal minimum ketika tingkat produksinya adalah 30 unit

2. MC = 3Q² – 180Q + 250  MC = -2.450

Jadi biaya marjinalnya adalah Rp. -2.450 , 00 3. C = Q³ – 90Q² + 250Q + 56.500  C = 10.000

Jadi biaya total produksinya Rp. 10.000, 00

(22)

Penerimaan Marjinal

• Penerimaan Total (Total Revenue atau Revenue)

• R = P.Q

• MR = R’ = dR/dQ

• Jika fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh

• Jika fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P=16-2Q

R = P. Q = f (Q) = 16Q – 2Q²

• Penerimaan Marjinal MR = R’ = 16 – 4Q

R maksimum bila MR = 0  MR = 0; Q = 4 maka P = 16 – 2(4) = 8

Rmaksimum = 16 (4) – 2(4)² = 32

(23)

Utilitas Marjinal

• Utilitas Marjinal adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya.

MU = U’ = dU/dQ

• Contoh:

U = f(Q) = 90Q – 5Q ² MU = U’ = 90 – 10Q

• U maksimum pada MU = 0

MU = 0  Q = 9 U maksimum = 90 (9) – 5 (9) ²

= 405

(24)

Analisis Keuntungan Maksimal

• R = r(Q)

• C = c(Q)

• Π = R – C = r(Q) – c(Q) = f(Q)

• Untuk mengetahui apakah Π ‘ =0 mencerminkan

• Untuk mengetahui apakah Π ‘ =0 mencerminkan keuntungan maksimum ataukah justru kerugian maksimum, perlu diuji melalui derivatif kedua dari fungsi Π

• Π = R – C = f(Q)

Π optimum apabila Π ‘ =0 atau MR = MC

Jika Π “ < 0  Π maksimum = keuntungan maksimum Jika Π “ > 0  Π minimum = kerugian maksimum

(25)

Andaikan:

R = r(Q) = -2Q² +1000Q

C = c(Q) = Q³ – 59Q² + 1315Q + 2000 Maka:

π = R – C = -Q³ + 57Q²– 315Q – 2000 Agar keuntungan maksimum:

π’ = 0

-3Q² + 114Q – 315 = 0 -3Q + 114Q – 315 = 0

-Q² + 38Q – 105 = 0  (-Q + 3)(Q – 35) = 0 Q1 =3, Q2 = 35 π” = -6Q +114

jika Q = 3, π” = -6(3) + 114 = 96 >0

jika Q = 35, π” = -6(35) + 114 = -96 <0  keuntungan maksimum

Karena π” <0 untuk Q=35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35. Adapun besarnya keuntungan maksimum tersebut

π = -(35)³ + 57(35)² – 315(35) – 2000 = 13.925

(26)

Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-Rata

• Terdapat hubungan teoritis antara biaya marjinal dan biaya rata-rata, yakni bahwa pada saat biaya rata-rata mencapai nilai minimumnya maka biaya marjinal sama dengan biaya rata-rata minimum.

dengan biaya rata-rata minimum.

• Andaikan biaya total dinyatakan dengan C = f(Q) maka

Biaya marjinal : MC = C’ = dC/dQ Biaya rata-rata : AC = C/Q

Pada posisi AC minimum : MC = AC , dC/dQ = C/Q = 0

(27)

Contoh:

• Andaikan C = Q³ – 6Q² + 15Q

Buktikan bahwa biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marjinalnya

Biaya marjinal : MC = C’ = dC/dQ = 3Q² – 12Q + 15 Biaya marjinal : MC = C’ = dC/dQ = 3Q² – 12Q + 15 Biaya rata-rata : AC = C/Q = Q² – 6Q + 15

(AC)’ = dAC/dQ = 2Q – 6

(AC)’ = 0  2Q – 6 = 0  Q=3 Pada Q = 3

MC = 3(3)² – 12(3) + 15 = 6

AC = (3) ² – 6(3) + 15 = 6  Jadi, MC = AC minimum

(28)

Link Kelas Tambahan

• Hari : Jum’at

• Jam : 09.40 -11.10 WITA

• Meeting id : 628 664 9614

• Password : mie

(29)