DISKUSI 1 MATA KULIAH : MATA 4323 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

DISKUSI 1

MATA KULIAH : MATA 4323 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Nama : Susiyati

NIM : 043295346

Sumber : e-learning.ut.ac.id 1. Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial merupakan salah satu persamaan dalam ilmu matematika yang melibatkan turunan atau diferensial. Semakin tinggi suatu orde dalam persamaan diferensial, maka semakin tinggi turunannya. Misalnya, persamaan diferensial orde dua lebih tinggi turunan kedua, daripada turunan pertama.

Namun, pada dikusi 1 ini, hanya akan dijelaskan terkait dengan persamaan differensial orde satu.

Latihan Modul 1 MATA4323 Halaman 1.7 nomor 1

A. y^''+3y−xy=0 ^, merupakan persamaan diferensial orde dua dalam bentuk implisit dan bukan persamaan diferensial orde satu karena turunannya ada yang berbentuk y^'' .

B. xy^'+3ysinx+2=0 , merupakan persamaan diferensial orde satu dalam bentuk implisit yang berbentuk y^'

C.

y

(¿¿')²−2y^'+x²=0 x¿

, merupakan persamaan diferensial orde satu bentuk implisit yang berbentuk _y^' .

D.

y

(¿¿')²+3y−y^{' '}+x=0

¿

, bukan persamaan diferensial orde satu, karena turunan tertingginya adalah turunan kedua yang berbentuk y^'' .

2. Solusi Persamaan Diferensial

Solusi persamaan diferensial akan diperoleh apabila suatu fungsi y=y(x) memenuhi persamaan diferensial tersebut yaitu apabila fungsi dan turunanya di substitusikan ke dalam persamaan diferensial dapat terpenuhi dan bernilai benar.

Tes formatif 1 modul 1 MATA4323 halaman 1.10 nomor 1

1. Fungsi _y=x²_+cosx adalah solusi PD (Persamaan Diferensial) … Penyelesaian

x x²+cos¿=dy

dx

¿x

cos¿=2x−sinx y^'=dy

dx¿ Opsi jawaban B.

3. Solusi persamaan diferensial masalah nilai awal

Solusi umum persamaan diferensial masih memuat konstanta C , sedangkan solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta C suatu bilangan tertentu atau suatu solusi yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan, misalnya syarat awal.

Contoh soal :

Tes formatif 1 halaman 1.10 nomor 2 dan 4 BMP MATA4323/Modul 1 nomor 2 Nomor 2

Solusi umum PD : y−y^'(x+1)=0 adalah…

Penyelesaian

y=Cx+C , karena y^'=C Sehingga,

y−y^'(x+1)=0 Cx+C−C(x+1)=0 Cx+C−Cx−C=0 0=0

Jadi, solusi umumnya adalah y=Cx+C , opsi jawaban C Nomor 4

PD :

(

x²+1

)(

xy^'+y

)

−2x²y=0 mempunyai solusi umum:

g(x , y , C)≡ x²−Cxy+1=0 .

Solusi PD yang memenuhi syarat y(1)=2 adalah…

Penyelesaian x²−Cxy+1=0

−Cxy=−x²−1 Cxy=x²+1

y=x²+1 Cx 2=(1)²+1

C(1) 2=2

C

2C=2→ C=1

Sehingga, solusi PD dengan syarat y(1)=2 adalah x²−Cxy+1=0

x²−(1)xy+1=0

x²−xy+1=0 , opsi jawaban B 4. PD variabel terpisah

Persamaan diferensial orde satu dapat ditulis dalam bentuk g(y)y^'=f(x) disebut dengan persamaan diferensial orde satu variable terpisah.

Dengan mensubstitusikan bentuk y^'=dy

dx , maka g(y)y^'=f(x) juga dapat dituliskan dalam bentuk g(y)dy

dx=f(x)→ g(y)dy=f(x)dx

Untuk mencari solusi umum dari persamaan diferensial variabel terpisah, maka dapat dilakukan pengintegralan pada kedua ruas dalam persamaan g(y)y^'=f(x) atau

g(y)dy=f(x)dx Contoh soal:

Tes formatif 2 modul 2 MATA4323 halaman 1.24 nomor 4

4) Solusi PD :

x y² x+ln¿(+1¿)¿ dx

y dy=¿

adalah…

Penyelesaian

Untuk memecahkan persamaan diferensial

x y² x+ln¿(+1¿ ¿)dx

y dy=¿

dapat

digunakan persamaan variabel terpisah. Pertama, akan dibagi kedua sisi persamaan dengan (y²+1) untuk mendapatkan:

x x+ln¿dx

¿¿ dy y²+1=¿

Akan dilakukan pengintegralan pada kedua ruas kiri (ruas kiri dan ruas kanan yang dipisahkan oleh ”=”

∫

¹

y²+1dy=arctan(y)+C₁=ln⁡(y²+1) Integral pada ruas kanan akan menghasilkan:

x x+ln¿dx

x−1¿ x−1 ln¿+C₂ ln¿+C2=¿x²+2x¿

¿¿

∫

^¿

Sehingga, diperoleh

y² x−1 ln¿+C (¿+1)=x²+2x¿

ln¿

, inilah solusi umum PD yang

diminta. Opsi jawaban C 5. Persamaan Diferensial Homogen

Persamaan diferensial homogen merupakan persamaan diferensial yang dapat dituliskan dalam bentuk y^'=g

(

x^y

)

^{dengan y'} sebagai fungsi dari y

x . Persamaan diferensial homogen dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan

z=y

x sehingga akan diperoleh y^'=dy

dx=x dz+z dx

dx =g(z) Contoh:

Latihan halaman 1.22 modul 2 MATA4323 nomor 7 dan 8

7) PD : xyy^'=2y²+4x² dapat ditulis dalam bentuk y^'=g

(

x^y

)

^{, dimana:}

Penyelesaian

xyy^'=2y²+4x²→ y^'=2y²+4x²

xy → y^'=2y² xy +4x²

xy → y^'=2y x +4x

y =g

(

^yx

)

Dengan g(u)=2u+4

u . Opsi jawaban B

8) Tentukan solusi umum PD: x y^'−y−xtan

(

x^y

)

⁼⁰

Penyelesaian:

PD dapat ditulis dalam bentuk :

x y^'−y−xtan

(

x^y

)

^{=0→ xy'=y+xtan}

(

x^y

)

^{→ y'=y+xtan}

(

x^y

)

x y^'=y

x+tan

(

x^y

)

^=g

(

^yx

)

, dengan g(u)=u+tanu . Jadi Persamaan

diferensial x y^'−y−xtan

(

x^y

)

⁼⁰ adalah PD Homogen.

Dengan substitusi z=y

x , akan diperoleh PD:

dz

g(z)−z=dx

x . Dari definisi g(u)=u+tan1

u , PD ini berubah menjadi:

dz

z+tanz−z=dx x → dz

tanz=dx

x → dz 1 tanz=dx

x Solusi PD ini adalah

z sin¿=lnx+C

l og¿

. akan di substitusikan z=y x ,

sehingga solusi umum PD ini adalah log

(

^{sin y}x

)

^=lnx+C

6. Persamaan Diferensial Eksak dan Faktor Integrasi Apabila PD orde satu berbentuk:

M(x , y)dx+N(x , y)dy=0 , disebut PD eksak apabila terdapat fungsi f(x , y) , sehingga df(x , y)=M(x , y)dx+N(x , y)dy , dengan df(x , y)=0

Misalkan PD: M(x , y)dx+N(x , y)dy=0 tidak eksak. Fungsi μ(x , y) sehingga PD:

μ(x , y)M(x , y)dx+μ(x , y)N(x , y)dy=0 menjadi eksak, maka itulah yang disebut dengan faktor integrasi.

Contoh soal

Latihan halaman 1.37 nomor 8 modul 1 MATA4323 Kegiatan belajar 3 8) Faktor integrasi dari PD: y dx+

(

y²−x

)

dy=0 adalah

Penyelesaian

y dx+

(

y²−x

)

dy=0 , PD ini tidak eksak, kenapa?

∂ M

∂ y −∂ N

∂ x =1−(2y−1)=−2y yN−xM=y³−xy+xy=y³

Jadi,

∂ M

∂ y −∂ N

∂ x

yN−xM =−2y y³ =−2

y²=−2 z

, maka faktor integrasinya adalah

μ=e^∫−

(

²z

)

^{d z}

=e^{−2 lnz}= 1 z²= 1

y² Opsi jawaban B

Nomor 5 bagian C Latihan halaman 1.36 modul 1 MATA4323 Tentukan solusi PD : y dx+

(

^x+2y

)

^dy=0

Penyelesaian

∂ M

∂ y =1 dan ∂ N

∂ x=1 . karena ∂ M

∂ y =∂ N

∂ x maka PD : y dx+

(

^x+2y

)

^dy=0

Eksak

dari hubungan ∂ f

∂ y=M=1 akan diintegralkan terhadap x, diperoleh : f(x , y)=x+g(y) . g^'(y)=2

y maka g(y)=2