Persamaan Lagrange dan Hamiltonian

 Persamaan Lagr

 Persamaan Lagrange dan

ange dan Hamilton

Hamilton

Pa

Pada da babagigian an awawal al kikita ta tetelalah h memengnggugunanakakan n huhukumkum-hu-hukukumm  Newton

 Newton untuk untuk menganalisis menganalisis gerak gerak sebuah sebuah benda. benda. DenganDengan me

menggnggunaunakan kan hukhukum um inini i kitkita a dapdapat at memenurunurunkankan n perpersamsamaan aan gergerakak  benda. Hukum

 benda. Hukum Newton dapat Newton dapat diterapkan, jika diterapkan, jika gaya gaya yang bekerja yang bekerja padapada sebuah benda diketahui. Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan sebuah benda diketahui. Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan y

yanang g ddiihahadadapi pi ttererkakaddanang g titiddak ak mmududah ah ddiisesellesesaiaikkan an dedengnganan meng

menggunakagunakan n dinamdinamika ika gerak serta gerak serta persypersyaratan awal aratan awal yang yang diberdiberikan.ikan. Se

Sebabagagai i cocontntohoh, , bebendnda a yyanang g bebergrgererak ak papada da sesebubuah ah pepermrmukukaaaann  berbentuk

 berbentuk bola. bola. Persoalan Persoalan yang yang dihadapi dihadapi bukan bukan hanya hanya pada pada bentukbentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian m

mauaupupun n kokoorordidinanat t lalaininnynya a susudadah h titidadak k efefekektitif f lalagi gi didigugunanakakan,n, sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui.

sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui.

Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang  pertama

 pertama dikembangkan dikembangkan oleh oleh matematikawan matematikawan Perancis Perancis oseph oseph !ouis!ouis !agrange yang disebut formalisme !agrange. Disamping formalisme !agrange yang disebut formalisme !agrange. Disamping formalisme !a

!agrgranange ge teterdrdapapat at pupula la foformrmalalismisme e HaHammililtoton n yyang ang sasangngat at mmiriirip.p. Per

Perbedbedaaaaaan n kedkeduanuanya ya terterletletak ak padpada a kookoordirdinat nat umumum um yayang ng didipakpakai.ai. "or

"ormamalislisme me HamHamiltilton on memenggnggunaunakan kan posposisi isi dan dan keckecepaepatan tan sebasebagaigai koo

koordirdinat nat ramrampatpatan an yayang ng memenghnghasiasilkalkan n perpersamsamaan aan linlinier ier ordeorde-du-dua,a, se

sedadangngkakan n papada da foformrmalalisismme e HaHammililtoton n poposisisi si dadan n mmomomenentutumm digunakan untuk koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan digunakan untuk koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme terseb

tersebut konsisten dengan ut konsisten dengan hasil yang hasil yang diperodiperoleh dengan leh dengan mengmenggunakagunakann hukum-hukum Newton.

hukum-hukum Newton.

A.

A. KOORDINAT KOORDINAT RAMPATAN RAMPATAN (UMUM)(UMUM)

Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan meng

menggunakagunakan n tiga jenis tiga jenis koordkoordinat# dapat inat# dapat berupa koordinaberupa koordinat t $arte$artesian,sian, koordi

koordinat bola atnat bola atau koordau koordinat silinat silinder. inder. ika partika partikel berikel bergerak padgerak padaa

% %

seb

sebuah uah bidbidangang, , ataatau u pada pada sebusebuah ah permpermukaukaan an yayang ng terterbatbatas, as, mamakaka ha

hanynya a didibubututuhkhkan an dudua a kokoorordidinanat t ununtutuk k mmenenyyatatakakan an poposisisisinynya,a, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau  pada

 pada lintasan lintasan lengkung lengkung cukup cukup dengan dengan menggunakan menggunakan satu satu koordinatkoordinat saja.

saja.

i

ika ka sisiststem em yyang ang didititinjnjau au memengnganandudung ng N N papartrtikikelel, , mamakaka di

dipeperlrlukukan an papaliling ng kukuranrang g &N &N kokoordordininat at ununtutuk k memenynyataatakakan n poposisisisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang

yang diperdiperlukan lukan untuk menyatakuntuk menyatakan an konfigkonfigurasi urasi sistsistem. em. $oord$oordinat- inat-koordinat tersebut dinyatakan dengan

koordinat tersebut dinyatakan dengan '

'%,%, ' '((, )..', )..'nn *%+*%+ yang

yang disebdisebut ut dengadengan n koordikoordinat nat ramprampatan atan *gene*generalieralied d coordcoordinateinates+.s+. st

stilailahh rampat rampat   diam  diambil darbil dari katai kata merampmerampatat dandan papan papan $oordinat '$oordinat 'kk dap

dapat at sajsaja a beruberupa pa sudsudut ut ataatau u jarjarak. iap ak. iap kookoordirdinat nat dapdapat at berberubaubahh secara bebas terhadap lainnya# sistem tersebut dinamakan holonomic. secara bebas terhadap lainnya# sistem tersebut dinamakan holonomic. umlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan umlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.

sistem tersebut.

Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa  banyaknya derajat

 banyaknya derajat kebebasan adalah kebebasan adalah lebih kecil lebih kecil dari jumlah dari jumlah minimminimumum koo

koordirdinat nat yayang ng dipdiperlerlukaukan n untuntuk uk memenyanyataktakan an konkonfigfiguraurasi si sissistemtem.. Sal

Salah ah satsatu u concontoh toh sissistem tem nonnonholholonoonomimic c adaadalah lah sebsebuah uah bolbola a yayangng di

dibabatatasi si mmelelununcucur r papada da sesebubuah ah bibidadang ng kakasasar. r. !i!imma a kokoorordidinanatt diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat un

untutuk k mmenenyyatatakakan an poposisisi si pupusasat t bobola la dadan n titiga ga kokoorordidinanat t ununtutukk m

menyenyataatakakan n peperprpututaraarannnnyya. a. DaDalalam m hahal l inini, i, kokoorordidinanat-kt-koooordrdininatat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. ika bola tersebut tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. ika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam  pembahasan

 pembahasan selanjutnya selanjutnya kita kita akan akan membatasi membatasi diri diri pada pada sistemsistem holonomic.

holonomic. /n

/ntutuk k papartrtikikel el tutungnggagal, l, funfungsgsi i kokoorordidinanat t ramrampapatatan n lelebibihh mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat $artesius0

mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat $artesius0  1 2 1*'+

 1 2 1*'+

*satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kur3a+. *satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kur3a+.

 1 2 1*'  1 2 1*'%%,','((++ *dua derajat

*dua derajat kebebasan - kebebasan - gerak pada gerak pada sebuah sebuah permukaan+.permukaan+. 1 2 1*'

1 2 1*'%%,','((,','&&++ y

y 2 2 y*'y*'%%,','((,','&&++  2 *'

 2 *'%%,','((,','&&++

*tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang+ *tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang+

4

4isisaalklkan an ' ' beberurubabah h ddarari i hahargrga a awawal al **''%%,','((, , ))..++ menuju harga *'

menuju harga *'%%55δδ''%%,','((55δδ''%% ..+. Perubahan ..+. Perubahan koordikoordinat $artesiunat $artesius s yangyang  bersesuaian adalah 0  bersesuaian adalah 0 ... ...

+

+

δδ

∂∂

∂∂

+

+

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

(( ( ( % % % % ' ' ' ' 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1 _*(+*(+ ... ...

+

+

δδ

∂∂

∂∂

+

+

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

₍₍ ( ( % % % % ' ' ' ' y y ' ' ' ' y y y y _*&+*&+ ... ...

+

+

δδ

∂∂

∂∂

+

+

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

₍₍ ( ( % % % % ' ' ' '   ' ' ' '     _*6+*6+ urun

urunan parsian parsialal

∂∂17

17∂∂''%% dan seterusnya adalah fungsi dari '. Sebagai dan seterusnya adalah fungsi dari '. Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang. 4isalkan contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang. 4isalkan kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini 0

maka dalam hal ini 0 ' '%% 2 r  2 r ''(( 2 2

θθ

*8+*8+ Selanjutnya 0 Selanjutnya 0 1 1 2 2 1*r,1*r,

θθ

+ 2 r cos+ 2 r cos

θθ

y

y 2 2 y*r,y*r,θθ+ 2 r sin+ 2 r sinθθ *9+*9+

& &

dan dan ( ( ( ( % % % % ' ' ' ' 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 1

δδ

∂∂

∂∂

+

+

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

 _{2 cos 2 cos}

_{θθ δδr - r sin}

_{r - r sin}

_{θθ δθ}

_δθ

_*:+*:+

( ( ( ( % % % % ' ' ' ' y y ' ' ' ' y y y y

δδ

∂∂

∂∂

+

+

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

 _{2 sin 2 sin}

_{θθ δδr 5 r cos}

_{r 5 r cos}

_{θθ δθ}

_δθ

_*;+*;+

Se

Sekakararang ng peperhrhatatikikan an sesebubuah ah sisiststem em yyanang g mmenengagandndunungg sejumlah n partikel# dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan sejumlah n partikel# dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan 0

serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan 0 '

'%,%, ' '((, )..', )..'nn *<+*<+ Selan

Selanjutnyjutnya a perubahperubahan an konfigkonfigurasi dari urasi dari *'*'%,%, ''((, )..', )..'nn+ ke konfigurasi+ ke konfigurasi di

di dedekakatntnyya a *'*'%%55

δδ

''%,%, ''((55

δδ

'('(, , )')'nn55

δδ

''nn+ + menmenyayatakatakan n perpperpindindahaahann  partikel ke i dari titik *1

 partikel ke i dari titik *1ii,y,yii,,ii+ ke titik di dekatnya *1+ ke titik di dekatnya *1ii55δδ11ii,y,yii55δδyyii,,ii55δδii++ dimana0 dimana0

∑

∑

₌₌

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

n n % % k  k  k  k  k  k  ii ii '' ' ' 1 1 1 1    _*%=+*%=+

∑

∑

₌₌

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

n n % % k  k  k  k  k  k  ii ii '' ' ' y y y y    _*%%+*%%+

∑

∑

₌₌

δδ

∂∂

∂∂

=

=

δδ

n n % % k  k  k  k  k  k  ii ii '' ' '        _*%(+*%(+ Persam

Persamaan aan *%=>%(*%=>%(+ + menumenunjukknjukkan an bahwa bahwa turunturunan an parsiaparsialnyalnya merupakan fungsi '. Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk merupakan fungsi '. Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks k untuk menyatakan menyatakan koordinat rectangular, dan indeks k untuk menyatakan ko

koorordidinanat t rarammpapatatan. n. SiSimmbobol l 11ii kikita ta papakakai i ununtutuk k mmenenyyatatakakanan ssemembbaarraanng g kkoooorrddiinnaat t rreeccttaanngguullaarr. . aaddii, , uunnttuuk k ssiissttem em yyaangng mengandung N partikel, i dapat berharga antara %

B.

B. GAYA GAYA RAMPATANRAMPATAN

ika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh

ika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh

δδ

rr dibawah dibawah  pengaruh

 pengaruh sebuah sebuah gaya gaya aksiaksi FF, gaya yang bekerja padanya dinyatakan, gaya yang bekerja padanya dinyatakan dengan dengan   " " y y " " 1 1 " " ? ?

=

=

⋅⋅

δ

δ

=

=

₁₁

δ

δ

+

+

_yy

δ

δ

+

+

_

δ

δ

δ

δ

FF rr *%&+ *%&+

Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan

∑

∑

δ

δ

=

=

δ

δ

ii ii ii 11 " " ? ?    _*%6+*%6+ amp

ampak bahwa persak bahwa persamaaamaan di atas n di atas tidak hatidak hanya berlanya berlaku untukku untuk  partikel

 partikel tunggal, tunggal, tetapi tetapi juga juga untuk untuk sistem sistem banyak banyak partikel. partikel. /ntuk /ntuk satusatu  partikel,

 partikel, harga harga i i adalah adalah dari dari % % sampai sampai &. &. /ntuk /ntuk N N partikel, partikel, harga harga ii adalah dari % sampai &N.

adalah dari % sampai &N. ik

ika a perpertamtambahabahann

δδ1

1ii dinyatakan dalam koordinat rampatan, dinyatakan dalam koordinat rampatan, maka diperoleh maka diperoleh

∑

∑ ∑

 

 

_ 

_ 



∑

_∂∂

∂∂

δδ

 

_ 

_ 

 

 

 

 

 

=

=

δδ

i i k k  k  k  k  k  ii ii '' ' ' 1 1 " " ? ?

∑

∑ ∑

∑

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

δδ

∂∂

∂∂

=

=

i i k k  k  k  k  k  ii ii '' ' ' 1 1 " "    _*%8+*%8+

∑

∑ ∑

∑

_ 

_ 

 

 

δδ

 

 

 

 



 

 

 

 

∂∂

∂∂

=

=

ii k  k  k  k  k k  ii ii '' ' ' 1 1 " " 8 8

Persamaan di atas juga dapat ditulis

∑

δ

=

δ

k  k  k  ' @ ?   _*%9+ dimana 0

∑

 

 

 

 



 

  ∂

=

k  i i k  d' 1 " @   _*%:+

Aesaran @k  yang didefinisikan menurut persamaan di atas

disebut dengan gaya rampatan. Bleh karena perkalian @k 

δ

'k  memiliki

dimensi kerja7usaha, maka dimensi @k  adalah gaya jika 'k  menyatakan

 jarak, dan dimensi @k  adalah torka, jika 'k  menyatakan sudut.

C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM KONSERVATIF

ika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konser3atif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh  persamaan i i 1 C "

∂

∂

−

=

*%;+

dimana C menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Bleh karena itu  perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan

 

 

 

 



 

 

∂

∂

∂

∂

−

=

∑

i k  i i k  ' 1 1 C @   _*%<+

Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan parsial fungsi C terhadap 'k . Bleh karena itu

k  k  ' C @

∂

∂

−

=

  *(=+

4isalkan, kita menggunakan koordinat kutub, '% 2 r # '( 2

θ

, maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan @r  2 -∂C7∂r # @θ 2 -∂C7∂θ. ika C merupakan fungsi r saja *dalam kasus gaya sentral+, maka @θ 2 =.

D. PERSAMAAN LAGRANGE

/ntuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut0

i i i m 1

"

=

_

  *(%+

dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam '. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari  persamaan energi. $ita akan menghitung energi kinetik  dalam  bentuk koordinat $artesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. nergi kinetik  dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan

[

]

∑

₌

+

+

=

k  % i ( i ( i ( % i ( % _{m 1 y } . (







  _*((+

atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut

∑

₌

=

 N & % i ( i i ( % _{m 1} .

_

  _*(&+ :

4ari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat 1 dan ' yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. $ita dapat misalkan

) , ,..., , (' ' ' t 1 1_i

=

_{i % ( n} *(6+ dan selanjutnya

∑

+

∂

_∂

∂

∂

=

t 1 ' ' 1 1 _k  i k  i i





  _*(8+

Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah %,(, )..&N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah %,(, . ).n# dimana n menyatakan jumlah koordinat rampatan *derajat kebebasan+ sistem. Bleh karena itu kita dapat melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam  banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara 1i

dan 'k , sehingga

∂

1i7

∂

t 2 =. elaslah bahwa energi kinetik 

merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan k  '

_

. Dari persamaan k  i k  i ' 1 ' 1

∂

∂

=

∂

∂





*(9+

$alikan kedua ruas *ruas kiri dan kanan+ dengan 1



i  dan diferensialkan terhadap t, akan diperoleh0

  

 

 



 

 

∂

∂

=

  

 

 



 

 

∂

∂

k  i i k  i i ' 1 1 dt d ' 1 1 dt d









k  i i k  i i ' 1 1 ' 1 1

∂

∂

+

∂

∂

=







  *(:+ atau

  

 

 



 

 

∂

∂

+

∂

∂

=

  

 

 



 

 

∂

∂

(

1

'

'

1

1

(

1

'

dt

d

_i( k  k  i i ( i k 









  *(;+

ika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan

i i

i1 "

m



=

, kita dapat peroleh

  

 

 



 

 

∂

∂

+

∂

∂

=

  

 

 



 

 

∂

∂

( 1 m ' ' 1 " ( 1 m ' dt d _{i i}( k  k  i i ( i i k 







  *(<+

!akukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh 0

∑

_ 

 

+

_∂

∂

 

 



 

 

∂

∂

=

∂

∂

i k  k  i i k  ' . ' 1 " ' . dt d



  *&=+

Dari definisi gaya rampatan kita peroleh

k  k  k  ' . @ ' . dt d

∂

∂

+

=

∂

∂



  *&%+

ni adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan !agrange untuk gerak.

Dalam kasus gerakannya adalah konser3atif, persamaan !agrange dapat ditulis sebagai berikut0

k  k  k  ' C ' . ' . dt d

∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂



*&(+

Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi !agrangian ! yakni

! 2  - C *&&+ Eang berarti bahwa kita dapat menyatakaan  dan C dalam koordinat rampatan. Bleh karena C 2 C*'k + dan

∂

C /

∂

'



_k 

=

=, kita peroleh

k  k  ' . ' !





∂

∂

=

∂

∂

  dan k  k  k  ' C ' . ' !

∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂

  *&6+

Persamaan !agrange dapat ditulis

k  k  ' ! ' ! dt d

∂

∂

=

∂

∂



  *&8+

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konser3atif dapat dicari jika kita ketahui fungsi !agrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konser3atif, misalkan nilainya adalah

@

'_k , maka kita dapat menuliskan

k  k  k  ' C @ @

∂

∂

−

=

'   *&9+

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi !agrangian ! 2  - C, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk 

k  k  k  ' ! @ ' ! dt d

∂

∂

+

=

∂

∂

'



  *&:+

'  k  k k 

d





!

dt "

"

∂

₋

∂

₌

∂

 

∂

  *&:+

Aentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.

E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN LAGRANGE

Aerikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan !agrange untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut0

%. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.

(. Fari energi kinetik  sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.

&. ika sistem tersebut konser3atif, cari energi potensial C sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konser3atif, cari koordinat rampatan @k .

6. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di atas.

Aeikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya 0

%. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat  pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Gumuskan persamaan

gerak partikel tersebut.

4isalkan koordinat polar *r,θ+ digunakan sebagai koordinat rampatan. $oordinat Fartesian *r,

θ

+ dapat dihubungkan melalui 0

1 2 r cos

θ

y 2 r sin

θ

nergi kinetik partikel dapat ditulis 0

(

)

(

)

( ( ( ( ( (

% % %

( ( (

. m3

=

=

m 1 y

_

+ =

_

m r r  

_

+ θ

_

nergi potensial oleh gaya sentral

(

( (

)

%7 (

k

k 

C

r 

1

y

=

−

=

−

+

Persamaan !agrange untuk sistem ini0

(

( ( (

)

% (

k 

!

 C

m r

r

 

r 

= − =



+ θ +



Dari persamaan !agrange0

k  k  k  ' C ' . ' . dt d

∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂



k k 

d

!

!

=

dt

'

'



∂

 

₋

∂

₌



_∂

÷

_∂





 

Substitusi '% 2 r dan '( 2

θ

, diperoleh0

d

!

!

=

dt

r

r

 

∂

∂

  − =

 ÷

_∂

_∂

  



d

!

!

=

dt

∂

∂

  − =

 ÷

_{∂θ ∂θ}

  



( (

!

mr 

r 

d

!

mr 

dt

r 

!

k 

mr 

r

r 

∂

₌

∂

∂

  =

 ÷

_∂

  

∂ = θ −

∂













( ( (

k 

mr

mr  

r 

− θ = −





/ntuk partikel yang bergerak dalam medan konser3atif 0

(

C*r+

k

 

"*r+

r

r

r 

∂

∂ 

 

= −

= − −

_

_÷

∂

_{∂ }

_ 

adi 0

mr



(

= θ +

mr



(

"

_r  Dari persamaan !agrange 0

(

!

mr 

∂

=

θ

∂θ





!

=

∂

=

∂θ

(

d

!

(mrr

mr  

dt

∂

  = θ+ θ

 ÷

_∂θ

  









(

(mrr



θ + θ =



mr



=

atau 0

d

(

mr

(

)

d

=

dt

θ =



dt

=

%&

Hal ini berarti bahwa  merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. ntegrasi persamaan di atas menghasilkan

(



=

mr 

θ



 2 konstan

Aerdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konser3atif momentum sudut , merupakan tetapan gerak.

(. Bsilator Harmonik 

Pandanglah sebuah osilator harmonik %-dimensi, dan misalkan  padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Bleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konser3atif. ika 1 menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi !agrangiannya adalah

! 2  - C 2 ₍%

m

1



(

−

₍%

k1

(   *&;+ dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya0 1 m 1 !





=

∂

∂

  dan k1 1 !

−

=

∂

∂

*&<+

Bleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konser3atif yang harganya sebanding dengan kecepatan# dalam hal ini @ 2 -c

 #

 

, sehingga persamaan gerak dapat ditulis 0

(

m1

)

c1 ( k1) dt d

−

+

−

=





*6=+ m#

_

₊

c#

_ 

₊

k#

₌

0

ni tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal.

&. Partikel yang berada dalam medan sentral.

4ari kita rumuskan persamaan !agrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. $ita pilih koordinat polar '% 2 r, '( 2

θ

. 4aka

( ( ( ( % ( ( %

_m3

_m

_r 

_r 

.

=

=

_

+

θ



  *6%+ ) (r  C C

 =

*6(+

( )

r 

C

r 

r 

m

!

=

%₍

_

(

+

(

θ



(

−

  _*6&+ Selanjutnya dengan menggunakan persamaan !agrange, diperoleh 0 r  m r  !





=

∂

∂

+ r  * f  mr  r  !

₌

_θ

(

₋

∂

∂

_

*66+ = !

=

θ

∂

∂

₌

_θ

θ

∂

∂

_



( mr  ! *68+

Bleh karena sistemnya tidak konser3atif, maka persamaan geraknya adalah 0 r  ! r  ! dt d

∂

∂

=

∂

∂



∂

θ

∂

=

θ

∂

∂

! ! dt d



  *69+ %8

) (r  f  mr  r  m

_

_

= θ



( +

(

mr 

)

= dt d ₍

=

θ

*6:+ 6. 4esin Itwood

Sebuah mesin Itwood yang terdiri dari dua benda bermassa m%

dan m( dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan

dilewatkan pada katrol *lihat gambar+. Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. $ita ambil 3ariabel 1 untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana 1 adalah jarak 3ertikal dari katrol ke massa m% seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Jambar (. %

 Mesin atwood tungga$ 

$ecepatan sudut katrol adalah 1

_

 / a , dimana a adalah jari-jari katrol. nergi kinetik sistem ini adalah 0

a

l-1

1 m % m (

( ( ( % ( ( ( % ( % ( % a 1 -1 m 1 m .

=

_

+

_

+



  *6;+

dimana  adalah momen inersia katrol. nergi potensial sistem adalah 0

2 1

%

=

− −

m g# m g& $

−

# 

  *6<+ Inggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi !agrangiannya adalah

(

m m

)

1 m gl g 1 a -m m !

=

%₍

 



_%

+

₍

+

₍

 

 

_

(

+

_%

−

₍

+

₍   *8=+

dan persamaan !agrangenya adalah

1 ! 1 ! dt d

∂

∂

=

∂

∂



*8%+

yang berarti bahwa 0

(

_{% (}

)

( ( % 1 g m m a -m m

 

=

−

 

 



 

 

₊

₊



  *8(+ atau % ( ( % (

m

m

1

g

m

m

 7 a

−

=

+

+



  *8&+

adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m%Km(, maka m% akan  bergerak turun, sebaliknya jika m%Lm(  maka m%  akan bergerak naik

dengan percepatan tertentu. 8. 4esin Itwood Janda

4esin Itwood ganda diperlihatkan pada gambar (.(.. Nampak  bahwa sistem tersebut mempunyai dua derajat kebebasan. $ita akan menyatakan konfigurasi sistem dengan koordinat 1 dan 1. 4assa katrol dalam hal ini diabaikan *untuk menyederhanakan persoalan+.

nergi kinetik dan energi potensial sistem adalah 0

( & ( % ( ( ( % ( % ( %

_m

₁

_m

₁

₁

_m

₁

₁

.

=

_

+

(

−

_

+

_

'

)

+

(

−

_

−

_

'

)

  *86+ ) ' ' ( ) ' (l 1 1 m g l 1 l 1 g m g1 m C

=

−

_%

−

₍

−

+

−

_&

−

+

−

*88+

dimana m%, m( dan m& adalah massa masing-masing beban, dan l serta

l adalah panjang tali penghubungnya.

l-1

Jambar (.(. Mesin Atwood (anda

( ( ( % % % % ( & % ( & ( ( ( ( &

!

m 1

m * 1 1 +

m * 1 1 +

g*m m m +1

g*m m +1  tetapan

=

+ − + + − − +

− −

+

−

+











*89+

sehingga persamaan geraknya dapat ditulis 0

1 ! 1 ! dt d

∂

∂

=

∂

∂



' 1' ! 1 ! dt d

∂

∂

=

∂

∂



*8:+ dengan penyelesaian ) ( ) ' ( ) ' ( _{& % ( &} ( %1 m 1 1 m 1 1 g m m m m

_

+

_

−

_

+

_

+

_

=

−

−

  _*8;+ ) ( ) ' ( ) ' ( _{& ( &} ( 1 1 m 1 1 g m m m

−

_

+

_

+

_

+

_

=

−

  _*8<+

dan dari persamaan ini percepatan

_

1

_

dan

_

1

_

'

dapat ditentukan.

9. Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan. 4ari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerak pada

%< m%

l-1M

m&

 permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan pada gambar (.&. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga kita  butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau. $ita akan memilih koordinat 1 dan 1 yang masing-masing menyatakan pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan dan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Dari analisis diagram 3ektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus 0

θ

+

+

=

1 1 (11 cos 3(



(



'(





' *9=+

Bleh karena itu energi kinetiknya adalah

( ( % ( ( ( ( ( % ( ( % ( ( %

_m3

₄

₁

_m

₁

₁

₍

₁

₁

_cos

₊

₄

₁

.

=

+

_

=

(

_

+

_

'

+

_

_

'

θ

+

_

*9%+

dimana 4 adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan

θ

, seperti yang ditunjukkan dalam gambar (.&. dan m adalah massa  partikel. nergi potensial sistem tak terkait dengan 1 oleh karena  bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan 0

  C2mg1sin

θ

5 tetapan *9(+

dan

( (  ( 

% %

( (

!

=

m*1 1

 

+ +

(11 cos +





θ

+

41 mg1 sin



+

θ

+

tetapan   *9&+ Persamaan geraknya 1 ! 1 ! dt d

∂

∂

=

∂

∂



' 1' ! 1 ! dt d

∂

∂

=

∂

∂



*96+

sehingga = 1 4 + cos 1 1 m(

_

_

+

_

_

'

θ

+

_

_

=

 _# m(

_

1

_

'

+

_

1

_

cos

θ

 +

+

=

mgsin

θ

*98+ Percepatan

_

₁

_

 dan '

1

_



adalah 0

θ

−

+

θ

θ

−

=

( cos m 4 m cos sin g 1



# 4 m cos m % sin g  1 ₍

+

θ

−

θ

−

=



*99+ Jambar (. &

(erak pada )idang miring dan representasi *ektorn+a

(%

H

1

_

3

1

θ

4

1

θ

1

_

m

:. Penurunan persamaan uler untuk rotasi bebas sebuah benda tegar. 4etode !agrange dapat digunakan untuk menurunkan  persamaan uler untuk gerak sebuah benda tegar. $ita akan tinjau kasus torka - rotasi bebas. $ita ketahui bahwa energi kinetik diberikan oleh persamaan0

+    * ( % .

=

_%

ω

_%(

+

₍

ω

(₍

+

_&

ω

_&(   _*9:+

Dalam hal ini harga

ω

  mengacu pada sumbu utama. Dalam Aagian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa

ω

 dapat dinyatakan dalam sudut uler

θ

,

φ

 dan

ψ 

 sebagai berikut0

ψ 

θ

φ

+

ψ 

θ

=

ω

_%



cos



sin sin

ψ 

θ

φ

+

ψ 

θ

−

=

ω

₍



sin



sin cos   *9;+

θ

φ

+

ψ 

=

ω

_&

_



cos

Dengan memperhatikan sudut ulerian sebagai koordinat rampatan,  persamaan geraknya adalah0

θ

∂

∂

=

θ

∂

∂

! ! dt d



*9<+

φ

∂

∂

=

φ

∂

∂

! ! dt d



*:=+

ψ 

∂

∂

=

ψ 

∂

∂

! ! dt d



*:%+

oleh karena @ *gaya rampatan+ semuanya nol. Dengan menggunakan aturan7dalil rantai 0

ψ 

∂

ω

∂

ω

∂

∂

=

ψ 

∂

∂





& &

.

!

*:(+ Sehingga & & -! dt d

ω

=

ψ 

∂

∂





*:&+

Dengan menggunakan lagi aturan rantai, kita peroleh

ψ 

∂

ω

∂

ω

+

ψ 

∂

ω

∂

ω

=

ψ 

∂

∂

( ( ( % % % -. + sin sin cos * -+ cos sin sin * -_%

ω

_%

−

θ

ψ 

+

φ

θ

ψ 

+

₍

ω

₍

−

θ

ψ 

−

φ

θ

ψ 

=









% ( ( ( % % --

ω

ω

−

ω

ω

=

*:6+ Ikibatnya, persamaan :% menjadi 0

+ -* -_&

ω



_&

=

ω

_%

ω

_{( %}

−

₍ *:8+

yang mana seperti yang ditunjukkan dalam bagian sebelumnya adalah  persamaan uler ketiga untuk rotasi bebas sebuah benda tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan uler lainnya dapat diperoleh dengan melakukan permutasi siklik *putaran+ dari subskrip 0 %

→

(, (

→

&, &

→

%.

;. Pandanglah sebuah benda bermassa m *gambar (.6+ meluncur dengan bebas pada sebuah kawat dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari a. !ingkaran kawat berputar searah jarum jam pada  bidang horisontal dengan kecepatan sudut  disekitar titik B. *a+. Selidiki bagaimana gerak benda tersebut, dan *b+. Aagaimana reaksi lingkaran kawat.

Jambar (.6.

(erak pada kawat me$ingkar 

Perhatikan gambar di atas. F adalah pusat lingkaran kawat. Diameter BI membentuk sudut

φ

=

ω

t

 dengan sumbu-O, sedangkan  benda bermassa m membentuk sudut  dengan diameter BI. ika

yang kita perhatikan hanyalah gerak benda bermassa m saja, maka sistim yang kita tinjau memiliki satu derajat kebebasan, oleh karena itu hanya koordinat rampatan ' 2  yang dipakai. Aerdasarkan gambar (.6 a dan (.6 b, kita dapat tuliskan0

+

t

cos*

a

t

cos

a

1

=

ω

+

ω

+

θ

+

t

sin*

a

t

sin

a

y

=

ω

+

ω

+

θ

[

sin*

t

+

]

*

t

+

a

t

sin

a

1



=

−

ω

ω

−

ω

+

θ

ω

+

θ



[

cos*

t

+

]

*

t

+

a

t

cos

a

y



=

ω

ω

+

ω

+

θ

ω

+

θ



$uadratkan persamaan-persamaan di atas, kemudian jumlahkan akan diperoleh besaran energi kinetik 0

(

+

)

=

ω

+

( ) ( )

θ

+

ω

+

ω

θ

+

ω

θ

=

m

1

y

ma

(

cos



( ( ₍% ( ( ( ( %

_

_





(

θ

+

ω

+

ω

θ

)

=

θ

∂

∂

cos

ma



₍

_



dan

(

θ

−

ω

θ

θ

)

=

 

 

 



 

 

θ

∂

∂

sin

ma



dt

d

₍

_

_



(

θ

+

ω

)

θ

ω

−

=

θ

∂

∂

sin

ma



₍

_

Selanjutnya persamaan !agrange 0

% % %

@

'



'



dt

d

=

∂

∂

−

 

 

 

 



 

 

∂

∂



Dalam hal ini @% 2 = dan '% 2 , maka persamaan yang dihasilkan 0

(

sin

)

ma

(

)

sin

=

ma

(

θ



−

ω

θ



θ

+

(

θ



+

ω

θ

=

=

sin

(

θ

=

ω

+

θ



Persamaan di atas menggambarkan gerak benda bermassa m pada lingkaran kawat. /ntuk harga  yang cukup kecil,

= (

θ

=

ω

+

θ



yang tak lain adalah gerak bandul sederhana. Aandingkan dengan  persamaan berikut 0 = l g

=

θ

+

θ



Dan kita peroleh

l g (

₌

ω

 atau l g₍

ω

=

ni berarti bahwa benda bermassa m berosilasi di sekitar garis berputar BI sebagai bandul sederhana yang panjangnya l

=

g7

ω

(. Persamaan tersebut selanjutnya dapat juga digunakan untuk menghitung kecepatan dan posisi benda bermassa m.

 b./ntuk menghitung reaksi kawat, kita mesti melihat pergeseran 3irtual massa m dalam suatu arah yang tegaklurus pada kawat. /ntuk maksud tersebut, kita anggap bahwa jarak FA sama dengan jarak r *merupakan 3ariabel dan bukan tetapan+, seperti yang ditunjukkan  pada gambar (.6 c. 4aka dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan

dan dua koordinat rampatan, yakni r dan

θ

. Dari gambar nampak  bahwa0

(

ω  θ 

)

ω 

+

+

=

acos t  r cos t   #

(

ω  θ 

)

ω 

+

+

=

a sin t  r  sin t   +

(

ω  θ 

)

[

(

ω  θ 

)

]

ω  θ  ω 

ω 

_





=

−

a  sin t 

+

r cos t 

+

−

r  sin t 

+

+

 #

(

ω  θ 

)

[

(

ω  θ 

)

]

ω  θ  ω 

ω 







=

a cos t 

+

r  sin t 

+

+

r cos t 

+

+

 +

(

)

(

)

(

)

[

_a ω  _{r  r}  θ  ω  _aω _r  sinθ  _aω _r θ  ω  _cosθ 

]

m  +  # m , 

+

+

+

+

+

+

=

+

=













( ( ( % ( % ( ( ( ( ( ( ( r  ! r  ,  r  ,  dt  d 

=

∂

∂

−

 

 

 

 

 

 

∂

∂



Dimana !r- R adalah gaya reaksi. Nilai dari ∂,   ∂r 



 dan ∂,   ∂r 

diperoleh dari persamaan *i+ dan jika disubstitusi ke persamaan *ii+, didapatkan 0

( )

θ  ω  ω 

( )

θ  ω  θ  θ  θ  ω  _{cos r  a cos} a r  m  R

=



+



−



+

(

−



+

= =

=

=

=

a . r   . dan r  r   

(

)

( ( ω  θ  θ  ω 

+

+

−

=

_{ma cos}



 R

yang merupakan persamaan yang menyatakan reaksi kawat .

<. Aahaslah gerak sebuah partikel dengan massa m yang bergerak  pada bidang sebuah kerucut dengan sudut setengah puncak *ha$/

ang$e+ *lihat Jambar (.8+ dimana gaya yang bekerja hanyalah yang disebabkan oleh gaya gra3itasi saja.

Jambar (.8.

(erak pada kerucut 

4isalkan puncak kerucut berada di titik B *pusat

koordinat dalam gambar+, sedangkan sumbu kerucut berimpit

dengan sumbu . Posisi partikel pada permukaan kerucut dapat

dinyatakan dengan koordinat Fartesian *

 #.+. 

+. Namun kita akan

gunakan koordinat silinder *

r ,θ  , 1 +

_{sebagai koordinat}

rampatannya. idak semua ketiga koordinat tersebut a adalah

independen *bebas satu sama lain+. $oordinat

  

  dan

r

dihubungkan oleh parameter

melalui persamaan 0

φ  cot  r   1 

=

φ  cot  r   1 

_

=



$emudian diperoleh dua derajat kebebasan. Aisa digunakan r ,  sebagai koordinat umum dan menghilangkan  dengan menggunakan  persamaan pembatas diatas. nergi kinetik massa m adalah 0

[

]

[

(

)

]

(

( ( ( (

)

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( % % ( % ( % ( % θ  φ  θ  φ  θ 















r  csc r  m r  cot  r  m  1  r  r  m m* , 

+

=

+

+

=

+

+

=

=

atau

nergi potensial massa m *anggap %  2 = dan   2 =+ 0

φ 

cot  mgr  mg1 

% 

=

=

$emudian !agrangian  sistem 0

(

r  csc φ  r  θ 

)

mgr cot φ  m %  ,   

=

−

=

( (

+

( (

−

( %

_



Persamaan !agrange untuk koordinat r  adalah 0

=

=

∂

∂

−

 

 

 

 

 

 

∂

∂

r    r    dt  d 



Dengan memasukkan nilai , diperoleh 0

φ  θ  φ  φ , csc , cot csc( ( mr  ( mg  r    r  m r    dt  d  r  m r   

−

=

∂

∂

=

 

 

 

 

 

 

∂

∂

=

∂

∂

_











Substitusi nilai ini ke persamaan *Q+, diperoleh 0

= (

(

₊

₌

−

r θ   sin φ   g cosφ  sinφ 

r 

_



ni adalah persamaan gerak untuk koordinat r . Persamaan !agrange untuk koordinat   adalah 0

=

=

∂

∂

−

 

 

 

 



 

 

∂

∂

θ  θ      dt  d 



*QQ+

Dengan memasukkan nilai , diperoleh 0

= (

₌

∂

∂

=

∂

∂

θ   θ   θ     dan mr   

_



Substitusi nilai ini ke persamaan *ii+, diperoleh 0

(

(

)

=

( )

 3 ₁ 

=

= dt  d  mr  dt  d  θ 



Irtinya tan kons mr   3  ₁ 

=

(θ 



=

F. MOMENTUM RAMPATAN

injaulah gerak sebuah partikel tunggal yang bergerak sepanjang garis lurus *recti$inier motion+. nergi kinetiknya adalah

( (

%

_m

₁

.

=

_

*:9+

dimana m adalah massa partikel, dan 1 adalah koordinat posisinya. Selanjutnya disamping mendefinisikan momentum partikel p sebagai hasil kali m

1

_

, kita juga dapat mendefinisikan p sebagai kuantitas

 #

, 



∂

1 m 1 .  p





=

∂

∂

=

*::+

Dalam kasus dimana sebuah sistem yang digambarkan oleh koordinat rampatan '%, '(, ), 'k  ) 'n, kuantitas pk  didefinisikan dengan

k  k  ' !  p



∂

∂

=

*:;+

yang disebut momentum rampatan. Persamaan !agrange untuk sistem konser3atif dapat ditulis

k  k  ' !  p

∂

∂

=



*:<+

4isalkan dalam kasus khusus, satu dari koordinatnya, katakanlah 'λ,

tidak tersirat secara eksplisit dalam !. 4aka

λ λ

∂

∂

=

' !  p

_

*;=+ sehingga λ λ

=

tetapan

=

c  p   *;%+

Dalam kasus ini, koordinat 'λ dikatakan dapat terabaikan *ignora)$e+.

4omentum rampatan yang diasosiasikan dengan koordinat terabaikan tak lain adalah tetapan gerak sistem.

Sebagai contoh, dalam persoalan partikel yang meluncur pada  bidang miring yang licin *yang telah dikerjakan pada bagian sebelumnya+, kita dapatkan bahwa koordinat 1, posisi bidang, tidak

tersirat dalam fungsi !agrangian !. Bleh karena 1 merupakan suatu koordinat terabaikan, maka

tetapan cos  1 m 1 + m 4 * 1 !  p₁

=

+

+

θ

=

∂

∂

=







*;(+

$ita dapat lihat bahwa ternyata p1 adalah komponen total dalam arah

mendatar dari momentum linier sistem dan oleh karena tidak terdapat gaya yang bekerja dalam arah mendatar pada sistem, komponen momentum linier dalam arah mendatar harus konstan.

Fontoh lain koordinat terabaikan dapat dilihat dalam kasus gerak partikel dalam medan sentral. Dalam koordinat polar 

(

r 

r 

)

C

*

r 

+

m

!

=

%₍

_

(

+

_

(

θ



(

−

*;&+

seperti yang diperlihatkan dalam contoh di atas. Dalam kasus ini

θ

adalah koordinat terabaikan dan

tetapan mr  !  p

=

θ

(

=

θ

∂

∂

=

θ



*;6+

yang sebagaimana telah kita ketahui dari bab terdahulu adalah momentum sudut di sekitar titik asal.

Fontoh

 4andu$ s/eris. atau potongan sa)un da$am mangkuk . Suatu persoalan

klasik dalam mekanika adalah bahwa partikel yang terbatasi untuk  berada pada permukaan sferis yang licin di bawah pengaruh gra3itasi, seperti sebuah massa kecil meluncur pada permukaan mangkuk yang

licin. $asus ini juga digambarkan oleh bandul sederhana yang berayun dengan bebas dalam sembarang arah, Jambar (.9. ni dinamakan  bandul sferis, yang dinyatakan sebelumnya dalam bagian terdahulu.

Jambar (.9

 4andu$ s/eris

Dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan, dan kita akan menggunakan koordinat rampatan

θ

  dan

φ

 seperti yang ditunjukkan. Hal ini kenyataannya eki3alen dengan koordinat bola dengan r 2 l 2 tetapan dimana l adalah panjang tali bandul. $edua komponen kecepatan adalah 3θ 2 l



dan 3φ 2 lsin θ



. $etinggian bola bandul,

dihitung dari bidang-1y, adalah *l - l cos + , sehingga fungsi !agrangian adalah + cos % * mgl + sin * ml ( % !

=

(

θ



(

+

(

θ

φ



(

−

−

θ

*;8+ && θ 

m

m

g

φ 

$ 

 +

  

 #

$oordinat

φ

 dapat diabaikan, sehingga diperoleh tetapan sin ml !  p

=

( (

θ

φ

=

θ

∂

∂

=

θ

_



*;9+

ni adalah momentum sudut di sekitar sumbu tegak atau sumbu . $ita akan menundanya untuk persamaan dalam

θ

0

θ

∂

∂

=

θ

∂

∂

! ! dt d



*;:+

yang dapat juga dinyatakan sebagai0

θ

−

φ

θ

θ

=

θ

ml sin cos mglsin ml(



(



(

*;;+

4ari kita perkenalkan tetapan h, yang didefinisikan dengan0

( ml  p sin h

=

θ

φ



−

φ *;<+

Selanjutnya persamaan diferensial gerak dalam

θ

 menjadi

= sin cos h sin l g ( ( (

=

θ

θ

−

θ

+

θ



  _*<=+

Persamaan *<=+ mengandung beberapa makna sebagai berikut. Pertama, jika sudut

φ

konstan, maka h 2 =. Ikibatnya, persamaan di atas dapat ditulis sebagai 0

= sin l g

=

θ

+

θ



  _*<%+

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul sederhana. Jeraknya  berada dalam bidang

φ

2

φ

o 2 konstan. $edua, adalah kasus banduk konik *conica$ pendu$um+. Dalam hal ini, gantungan bandul menggambarkan suatu lingkaran horisontal, sehingga

θ

2

θ

o 2 konstan. adi,

θ



=

=  dan

θ





=

=, sehingga persamaan *<=+ dapat disederhanakan menjadi 0

=

sin

cos

h

sin

l

g

o ( o ( ( o

=

θ

θ

−

θ

  *<(+ atau 0 o o 6 ( sec sin l g h

=

θ

θ

  *<&+ Dari nilai h yang diperoleh pada persamaan di atas, maka

o ( o sec l g

θ

=

φ



  _*<6+

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul konik.

&8

φ

2

φ

%

φ

2

φ

Jambar 8 Jambar (.:

(erak pada permukaan )o$a

G. FUNGSI HAMILTON

Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah fungsi dari koordinat rampatan

∑

−

=

k  k  k  p ! ' H



  _*<8+

/ntuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari '

_

 _{dan energi potensialnya merupakan fungsi '} saja 0 + ' * C + ' , ' * . !

=

_k 



_k 

−

_k    *<9+ Aerdasarkan teorema uler untuk fungsi homogen, diperoleh

∑

∑

∑

=

∂

∂

=

∂

∂

=

−

k  k  k  k  k  k  k  k  k  (. ' . ' ' ! ' !  p '











  _*<:+

∑

−

=

−

−

=

+

=

k  k  k  p ! (. *. C+ . C ' H _{   *<;+}

Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n buah persamaan yang ditulis sebagai 0

k  k  ' !  p

∂

∂

=

_{*k 2 %,(, )n+ *<<+}

dan nyatakan dalam '



 dalam p dan '

+ ' ,  p * ' '

_

_k 

=

_

_{k  k  k}    *%==+ Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang  bersesuaian dengan 3ariasi

δ

 pk ,

δ

'k  sebagai berikut 0

∑













δ

∂

∂

−

δ

∂

∂

−

δ

+

δ

=

δ

k  k  k  k  k  k  k  k  k  ' ' ! ' ' !  p ' '  p H









  *%=%+

Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling meniadakan, oleh karena menurut defenisi  p



_k 

=

∂

!7

∂

'_k , oleh karena itu0

[

]

∑

δ

−

δ

=

δ

k  k  k  k   p '  p ' H

_

_

  _*%=(+

Cariasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan  berikut 0

∑













δ

∂

∂

+

δ

∂

∂

=

δ

k  k  k  k  k  ' ' H  p  p H H   _*%=&+ Ikhirnya diperoleh 0 &:

Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan-persamaan ini terdiri dari (n  persamaan defernsial orde-% *bandingkan dengan persamaan !agrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-(. Persamaan Hamilton banyak dipakai dalam mekanika kuantum *teori dasar gejala atomik+.

Fontoh pemakaian.

%. Junakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi.

awab 0 nergi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai 0 ( 1 m ( % .

=

_

  dan $1( ( % C

 =

  *%=9+

4omentumnya dapat ditulis

1 m 1 .  p

_



=

∂

∂

=

 atau m  p 1



 =

  *%=:+

Hamiltoniannya dapat ditulis 0

k  k 

'

 p

H



=

∂

∂

k  k   p ' H



−

=

∂

∂

*%=6+

*%=8+

( ( 1 ( $   p m ( % C . H

=

+

=

+

  _*%=;+

Persamaan geraknya adalah 0

1  p H



=

∂

∂

 p 1 H



−

=

∂

∂

*%=<+ dan diperoleh 0 1 m  p



=

$1

=

−

 p

_

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, dapat kita tulis 0

= $1 1

m

_

+

=

  *%%=+

yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.

(. Junakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak  benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral.

awab 0 nergi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut0

+ r  r  * ( m .

=



(

+

(

θ



( dan C2C*r+ *%%%+ adi 0 r  m r  .  p_r 





=

∂

∂

=

m

 p

r 

=

r 



*%%(+ &<

θ

=

θ

∂

∂

=

θ

_

mr (



.  p (

mr 

 p

_θ

=

θ



  _*%%&+ Ikibatnya 0

+

r 

*

C

+

r 

 p

 p

*

m

(

%

H

₍ ( ( r 

+

+

=

θ *%%6+ Persamaan Hamiltoniannya0 r   p H r 



=

∂

∂

,  p_r  r  H

−

=

∂

∂

,

=

θ

∂

∂

θ



 p H ,

=

−

_θ

θ

∂

∂

 p H *%%8+ Selanjutnya0

r 

m

 p

_r 



=

*%%9+ r  & (

 p

mr 

 p

r 

+

r 

*

C



−

=

−

∂

∂

θ *%%:+

θ

=

θ

_

(

mr 

 p

  *%%;+ =  p

=

−

_θ   *%%<+

Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

(

Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan, r  + r  * C r  mh  p r  m _& ( r 

∂

∂

−

=

=





*%(%+

untuk persamaan gerak dalam arah radial.

H. PERSAMAAN LAGRANGE UNTUK GERAK DALAM MEDAN ELEKTROMAGNETIK 

Salah satu masalah penting dalam persoalan mekanika adalah gerak arah bermuatan dalam medan elektromagnetik. Hal itu dibahas dalam bab ini, khususnya cara penyelesaiannya dengan metode !agrange.

4edan elektromagnetik mempunyai potensial yang

 bergantung dari kecepatan arah. Bleh karena itu perlu dilakukan  penanganan terlebih dahulu terhadap bentuk matematika fungsi  potensial itu, sehingga kemudian metode !agrange dapat diterapkan.

Suatu arah dengan massa m dan muatan ' yang bergerak dalam medan listrik E dan medan magnet berinduksi magnet B, dipengaruhi geraknya oleh gaya 0

F = ' E  ' ! " B *%((+

Dalam ungkapan itu ! merupakan kecepatan arah. $omponen gaya itu dalam arah O berbentuk0

y  1 1 'D ' yA A "

=

+

_

−

_

*%(&+

4enurut teori elektromagnet, fungsi potensial suatu medan elektromagnet terdiri dari dua bagian berikut 0

Potensial skalar R dan potensial 3ektor A

4asing-masing besaran itu berkait dengan kuat medan E dan induksi magnetik B melalui hubungan 0

t I D

∂

∂

−

Φ

∇

−

=

I A

=

∇

×

 *%(6+

ika medan tak bergantung waktu, maka 0

I A

dan

D

=

−∇

Φ

≡

∇

×

  _*%(8+

4edan E tidak terkait dengan B.

Perhatikanlah suatu fungsi / yang diungkapkan sebagai 0

[

3 I *r ,t+

]

' + t , r  * ' /

≡

Φ

−

•

*%(9+

"ungsi ini tak lain adalah fungsi potensial suatu arah bermuatan dalam suatu medan elektromagnetik. "ungsi / tersebut dapat ditulis sebagai 0  y 1 yI I I 1 ' ' /

≡

Φ

−

_

+

_

+

_

*%(:+

Perkalikanlah sekarang bagaimana bentuk fungsi





 

 

∂

∂

+

∂

∂

−

1 / dt d 1 /



  *%(;+

Eang diperoleh dengan mendiferensiasi persamaan *%(:+ ke 1, ke

1

_

, dan kemudian ke t. Dua yang pertama secara parsial.

Diferensiasi / secara parsial ke 1, memberikan 0

 

 

 

 



 

 

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

Φ

∂

−

=

∂

∂

−

1 I  1 I y 1 I 1 ' 1 ' 1 / ₁ y _







*%(<+

Diferensiasi / secara parsial ke

1

_

, memberikan 0

1 I ' 1 /

−

=

∂

∂



*%&=+

Diferensiasi persamaan i ke t, menghasilkan 0

 

 

 

 

 

 

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

 

 

 

 

 

 

∂

∂

∂

∂

  I y y I 1 1 I t I ' 1 / t / _{1 1 1 1}









  *%&%+

Sehingga bentuk persamaan %(; menjadi 0

(

)

1 y  1 1  1 y 1 " A  A y ' D '  I 1 I  y I 1 I y ' t I 1 ' 1 / dt d 1 /

=

−

+

=

















 

 

 

 

 

 

∂

∂

−

∂

∂

+

 

 

 

 

 

 

∂

∂

−

∂

∂

+

 

 

 

 

 

 

∂

∂

−

∂

Φ

∂

−

=

 

 

 

 

 

 

∂

∂

+

∂

∂

−











6&