Master ebook go matematika jenius (RUMUS MAT) By Pak Sukani

(1)

DIBUAT OLEH : PAK SUKANI

(2)

Hak Cipta GO! MATEMATIKA JENIUS

Http://okemat.blogspot.com

Penulis, Pak Sukani dan Http://okemat.blogspot.com, telah mengeluarkan semua kemampuan terbaiknya untuk menciptakan produk informasi bermutu tinggi, informatif,

dan sangat membantu siswa/siswi SMA, SMK dan MA kelas X, XI IPA/IPS, dan XII IPA/IPS yang ingin sukses dan mendapatkan nilai tertinggi pada pelajaran Matematika di

Ulangan Harian, Ulangan Semesteran, Ujian Nasional (UN), SPMB dan Ujian Mandiri Universitas Negeri atau Swasta, atau bahkan guru mata pelajaran matematika yang ingin

lebih professional.

Ebooks ini di publikasikan secara resmi oleh Http://okemat.blogspot.com. Semua teks dan grafis yang ada di dalamnya merupakan hak cipta Http://okemat.blogspot.com. Ebook yang telah publikasikan ini boleh digandakan, disebarkan, atau direproduksi dengan cara apapun juga, termasuk mengcopy dan mencetaknya dengan ijin tertulis dari penulis.

GO! MATEMATIKA JENIUS

Http://okemat.blogspot.com

Hak Cipta Dilindungi Allah SWT

Ebooks ini GRATIS untuk Guru-Guru Indonesia..!!!

Saya Persembahkan Untuk GURARU

Salam Sukses,

Pak Sukani

Http://okemat.blogspot.com

Email : likeny_rbg@yahoo.com HP : 085695685815

(3)

”Terimakasih untuk istriku tercinta, Ela Lisnawati ... Karena doronganmu, karya besar ini bisa selesai tepat waktu”.

Pak Sukani

(4)

DAFTAR ISI

GO! MATEMATIKA JENIUS

1. Operasi Bilangan Real 2. Aproksimasi Kesalahan

3. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear 4. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat 5. Matriks

6. Program Linear 7. Logika Matematika 8. Trigonometri 9. Relasi dan Fungsi

10. Sigma, Barisan dan Deret 11. Geometri Dimensi Dua 12. Geometri Dimensi Tiga 13. Vektor

(5)

OPERASI BILANGAN REAL

SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN REAL

PERBANDINGAN

Ada dua jenis perbandingan, yaitu :

Untuk menyelesaikan permasalahan perbandingan caranya adalah :

d c b a

 → a =

d c . b

; b = c

d . a

; c = b

d . a

; d = a

c . b 1. Perbandingan senilai :

2 1

y y x x



2. Perbandingan berbalik :

1 2

2 1

y y x x

 1. Komutatif

a + b = b + a (komutatif terhadap penjumlahan) a x b = b x a (komutatif terhadap perkalian) 2. Asosiatif

a + (b + c) = (a + b) + c (asosiatif terhadap penjumlahan) a x (b x c) = (a x b) x c (asosiatif terhadap perkalian) 3. Distributif

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (distributif terhadap penjumlahan) a x (b – c) = (a x b) – (a x c) (distributif terhadap pengurangan) 4. Identitas

a + 0 = 0 + a = a (0 = identitas penjumlahan) a x 1 = 1 x a = a (1 = identitas perkalian) 5. Invers

a + (–a) = –a + a = 0 (–a, invers penjumlahan dari a)

a x a 1

= a 1

x a = 1 (

a 1

, invers perkalian dari a)

6. Jika a > b, maka a + b > b + c

7. Jika c > 0 dan a > b, maka a x c > b x c 8. Jika c < 0 dan a > b, maka a x c < b x c

(6)

Rugi = Harga Beli – Harga Jual

Persentase keuntungan = x 100%

beli harga

beli harga -jual harga

Persentase kerugian = x 100%

beli harga

jual harga -beli harga

Harga beli Untung =

untung) %

1 (

untung jual

harga



Harga beli Rugi =

rugi) % 1 (

rugi jual harga



a

n

. a

m

= a

n + m , jika a  0  contoh : 52 . 56 = 58

a

n

: a

m

= a

n – m , jika a  0  contoh : 37 : 32 = 35

a

n

. b

n

= (a . b)

n

 contoh : 32 . 52 = (3 . 5)2 = 152

a

n

: b

n

= (a : b)

n 

contoh : 83 : 23 = (8 : 2)3 = 43

(a

m

)

n

= a

m . n  contoh : (52)4 = 58

n n

a

a  1

, jika a



0

 contoh : 5-2 =

25 1 5

1

2 

SKALA

Sebenarnya Jarak

Gambar Pada

Jarak



Skala

Jarak pada gambar = skala x Jarak sebenarnya

Jarak sebenarnya =

Skala

Gambar Pada

Jarak

PERHITUNGAN UNTUNG RUGI

EKSPONEN (PANGKAT)

(7)

AKAR

LOGARITMA

Konsep dasar : ; dimana a > 0 ; y > 0 dan a ≠1

Contoh: 32= 9 ↔ 3log 9 = 2 Sifat-Sifat :

LOGARITMA BIASA

Logaritma biasa adalah logaritma yang bilangan pokoknya 10 dan biasanya tidak perlu ditulis. misalnya : 10log 5 ditulis log 5

Contoh : log 10 = 1

ab = c ↔ alog c = b

n

b

.

a

b

.

a

n



n

 contoh :

2

.

8



16



4

n n n b a b :

a   contoh :

27

:

3



9



3

n m

a

a   contoh : 3 2 3 2 5 5  a c b a c a

b





(



)

 contoh :

3

7



2

7



5

3

b b a b b a b b . b a b a  

  contoh : 5

5 3 5 5 3 5 5 . 5 3 5 3    b a b a   ₌ b a b a   _. b a b a   ₌ b a ab b a    2

1. alog a = 1  contoh : 2log 2 = 1

2. alog an = n  contoh : 2log 16 = 2log 24 = 4 2log 2 = 4 3. alog 1 = 0  contoh : 7log 1 = 7log 50 = 0

4. log an = n log a  contoh : log 8 = log 23 = 3 . log 2 5. alog _n

a 1

= - n  contoh : 3log 9 1

= 3log ₂ 3

1

= 3log 3-2 = -2

6. alogan

1

 -n  contoh : 1/3log 9 = 1/3log 3 = -2 2

7. alog b = a log

b log

 contoh : 2 log

16 log

= 2log 16 = 2log 24 = 4

8. glog a + glog b = glog a x b  contoh : 6log 4 + 6log 9 = 6log 36 = 6log 62 = 2 9. d c log d log - c

log g g

g 

 contoh : 3log 18 –3log 2 = 3log 2 18

= 3log 9 = 3 10. log a + log b = log(axb)  contoh : log 2 + log 5 = log (2x5) = log 10 = 1 11. alog b . blog c . clog d = alog d  contoh : 2log 7 . 7log 4 . 4log 8 = 2log 8 = 3 12. anlogbm =

n m

. alog b  contoh : 9log 25 = 32

log

5

2 = 2 2

(8)

APROKSIMASI KESALAHAN

a. Kesalahan Pengukuran

Kesalahan pengukuran adalah merupakan penyimpangan pada hasil pengukuran. b. Satuan Pengukuran Terkecil (SPT)

Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran. c. Salah Mutlak (SM)

Salah mutlak dari suatu pengukuran adalah kesalahan terbesar yang mungkin timbul dalam pengukuran. Salah mutlak besarnya adalah setengah dari satuan pengukuran terkecil.

d. Salah Relatif (SR)

Salah relatif adalah perbandingan antara salah mutlak dengan hasil pengukuran.

e. Persentase Kesalahan

Persentase kesalahan adalah salah relatif yang dinyatakan dalam bentuk persen.

f. Toleransi

Toleransi adalah selisih antara ukuran terbesar dan ukuran terkecil yang masih dapat diterima.

g. Ukuran Maksimum

Ukuran maksimum adalah ukuran nominal hasil pengukuran ditambah salah mutlak. h. Ukuran Minimum

Ukuran minimum adalah ukuran nominal hasil pengukuran dikurangi salah mutlak. i. Selisih Maksimum

Selisih maksimum = ukuran maksimum – ukuran minimum j. Selisih Minimum

Selisih minimum = ukuran minimum – ukuran maksimum k. Hasil Kali Maksimum

Hasil kali maksimum dari dua hasil pengukuran adalah sama dengan perkalian ukuran maksimum dari masing-masing pengukuran

l. Hasil Kali Minimum

Hasil kali minimum dari dua hasil pengukuran adalah sama dengan perkalian ukuran minimum dari masing-masing pengukuran

SM =

2 1

SPT

SR =

(HP) pengukuran hasil

(SM) mutlak salah

(9)

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

LINEAR

Persamaan linear adalah suatu kalimat terbuka yang variabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda penghubung "sama dengan" ( = ).

Pertidaksamaan linear adalah suatu kalimat terbuka yang variabelnya berderajat satu dengan

menggunakan tanda panghubung > (lebih besar), < (lebih kecil), ≥ (lebih besar sama dengan),

≤ (lebih kecil sama dengan).

a. Persamaan dan Pertidaksamaan linear dengan satu variabel

Contoh :

1. x + 2 = 10 6. -2x < 10

Maka x = 10 – 2 = 8 Maka x > 10 : -2 2. x – 2 = 10 x > -5 Maka x = 10 + 2 = 12 7. 8 + 2x ≤ 12 + 6x 3. 2x = 10 2x - 6x ≤ 12 - 8 Maka x = 10 : 2 = 5 -4x ≤ 4

4. 5x + 2 = 12 x ≥ 4 : -4

5x = 12 – 2 x ≥ -1 5x = 10

x = 10 : 5 = 2 5. 2x < 10

Maka x < 10 : 2 → x < 5

b. Menyelesaikan persamaan linear dengan dua variabel Bentuk umum :

Cara penyelesaian dengan 3 cara yaitu subsitusi, eliminasi, dan determinan. 1. Substitusi

Nyatakan salah satu variabel dalam variabel yang lain dari salah satu persamaan Substitusikan hasil dari langkah pertama ke persamaan yang lainnya.

2. Eliminasi

Jika yang ditanyakan x maka yang harus dihilangkan y. Jika yang ditanyakan y maka yang harus dihilangkan x 3. Determinan

ax + by + c = 0 px + qy + r = 0

(10)

c. Menyelesaiakan persamaan linear dengan tiga variabel Ada dua cara, yaitu :

1. Gabungan Eliminasi dan Substitusi 2. Cara Determinan

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a                     3 3 3 2 2 2 1 1 1 b a b a b a c c c .           z y x =           3 2 1 d d d

Selanjutnya diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz

D =           3 3 3 2 2 2 1 1 1 b a b a b a c c c

; Dx =

          3 3 3 2 2 2 1 1 1 b d b d b d c c c

; Dy =

          3 3 3 2 2 2 1 1 1 d a d a d a c c c

; Dz =

          3 3 3 2 2 2 1 1 1 d b a d b a d b a

Nilai x = D Dx

; y = D Dy

; dan z = D Dz

Cara untuk mencari determinan dengan menggunakan cara Sarrus, yaitu : - - - D = 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b a b a b a c b a c b a c b a + + +

D = (a1 . b2 . c3 + b1 . c2 . a3 + c3 . a2 . b3) – (a3 . b2 . c1 + b3 . c2 . a1 + c3 . a2 . b1)                      q p y x . d c b a q dx cx p bx ax

Maka nilai x dan y didapat dari :

x = D Dx

dan y = D Dy

dimana : D = d c

b a

= a . d – c . b

Dx = d q

b p

= p . d – q . b

Dy = q c

p a

(11)

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0 Menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Sifat-sifat persamaan kuadrat Pada rumus abc : x1,2 =

2a ac 4 -b b

-  2

b2– 4ac disebut diskriminan dan disingkat D

Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dari diskriminan :

* jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata dan beda (x1 x2) * jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar sama dan nyata (x1 = x2) * jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar yang kompleks (tidak nyata)

Sifat-sifat :

 x1 + x2 = a b

 dan x1 . x2 = a c

 (x1 + x2)2 = ( a b

 )2

 x12 + x22 = ( a b

 )2– 2

a c



1

x 1

+

2

x 1

= c b 

 x1 – x2 = a

D

 D = b2 - 4.a.c 1. Memfaktorkan : (x – x1) . (x – x2) = 0 2. Melengkapi kuadrat

Bentuk : ax2 + bx + c = 0 diubah ke bentuk : (x + p)2 = q ; q > 0 Syarat : a = 1 dan p =

2 b

3. Rumus abc : x1,2 =

2a ac 4 -b b

(12)

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dengan menggunakan penghubung < , > , ≤ , ≥. Cara menyelesaiakannya sama dengan persamaan kuadrat yaitu dengan memfaktorkan.

Untuk soal dengan < atau ≤, kata hubung "dan". HP : { x … ≤ x ≤ … } Untuk soal dengan > atau ≥, kata hubung "atau". HP : { x x ≤ … atau x ≥ … }

1. Menyusun persamaan kuadrat dengan akar-akar diketahui Jika akar-akar dari persamaan kuadrat adalah x1dan x2 , maka : Persamaan kuadrat = atau

Dimana : x1 + x2 = – a b

dan x1 . x2 = a c

2. Menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain Akar-akar dari persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : px1 dan px2 adalah :

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : px1– q dan px2– q adalah :

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :

1

x 1

dan

2

x 1

adalah :

(x – x1) . (x – x2) = 0 x2– (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0

a ( p x

)2 + b ( p x

) + c = 0

a ( p

q x 

)2 + b ( p

q x 

) + c =

ax2 + bx + c = 0  cx2 + bx + a = 0 ax2– bx + c = 0  cx2– bx + a = 0 ax2– bx – c = 0  cx2 + bx – a = 0 ax2 + bx – c = 0  cx2– bx – a = 0

a. b = 0  kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2) b. a = c  kedua akarnya berkebalikan (x1 =

2

x 1

)

c. c = 0  sebuah akarnya (x1 = 0 dan x2 = a b

 )

d. x1 = x2 = 2a

b

(13)

MATRIKS

A. Pengertian matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang dan ditulis antara sepasang tanda kurung.

Contoh :

A =     4 3 2 1 2 ke baris 1 ke baris  

kolom ke 2 kolom ke 1 Dan biasanya ditulis :

A =

    22 21 12 11 a a a a 2 kolom 2 baris pada elemen a ; 1 kolom 2 baris pada elemen a 2 kolom 1 baris pada elemen a ; 1 kolom 1 baris pada elemen a 22 21 12 11    

Untuk menyatakan banyaknya baris dan kolom disebut dengan ordo.

Jika matriks mempunyai baris 3 dan kolom 2, maka matriks tersebut berordo (3 x 2).

B. Macam-macam matriks

1. Matriks baris, yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris. Contoh : A = (1 2 3)

2. Matriks kolom, yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

Contoh : A =

          5 4 3

3. Matriks bujur sangkar, yaitu matriks yang mempunyai baris dan kolom sama

Contoh : A =

            7 1 0 4 3 4 1 5 2

4. Matriks Identitas, yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen pada diagonal utamanya 1 sedangkan yang lainnya 0.

Contoh : I =

          1 0 0 0 1 0 0 0 1

(14)

          9 6 3 8 5 2 7 4 1 →            9 8 7 6 5 4 3 2 1 At

C. Kesamaan dua matriks

Apabila dua matriks mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang bersesuaian juga sama, maka kedua matriks tersebut dikatakan sama dan dinyatakan dengan A = B.

D. Penjumlahan dan pengurangan matriks.

Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.

E. Perkalian Matriks

Sifat-sifat operasi perkalian matriks :

F. Perkalian Matriks dengan skalar

G. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama (depan) sama dengan jumlah baris matriks kedua (belakang).

Caranya : Baris kali kolom

Elemen-elemen hasil kali diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali elemen pada baris matriks pertama (depan) dengan elemen pada kolom matriks kedua (belakang).

1. (A . B) . C = A . (B . C) → asosiatif 2. A . (B + C) = A . B + A . C → distributif

3. A . B ≠ B . A → tidak komunikatif

4. k . (A . B) = (k . A) . B = A . (k . B) → k = bilangan real 5. A . I = I . A = A → I = matriks identitas 6. A . A-1 = A-1 . A = I → A-1 = matriks invers

Jika matriks A =

    22 21 12 11 a a a a

dan k adalah slakar, maka :

k . A = k .

    22 21 12 11 a a a a =     22 21 12 11 a . k a . k a . k a . k A =     22 21 12 11 a a a a

; B =

    22 21 12 11 b b b b

C = A + B =

    22 21 12 11 a a a a +     22 21 12 11 b b b b =         22 22 21 21 12 12 11 11 b a b a b a b a

D = A – B = A + (-B) =

(15)

Misal : matriks pertama berordo (3 x 2) dan matriks kedua berordo (2 x 4), maka jika dikalikan akan menghasilkan matriks baru yang berordo (3 x 4)

H. Determinan

Determinan adalah nilai dari suatu matriks, dan syaratnya harus matriks bujur sangkar. a. Ordo (2 x 2)

Contoh : A =      4 3 1 2

→ det A = 2 . 4 – 3 . (-1) = 8 + 3 = 11

b. Ordo (3 x 3)

Untuk matriks bujur sangkar berordo (3 x 3), determinan dapat dihitung dengan dua cara, yaitu :

1. Cara Kofaktor

Tanda untuk kofaktor :

A =                   

a11 (+) ; a12 (–) ; a13 (+) ; a21 (–) ; a22 (+) ; a23 (–) ; a31 (+) ; a32 (–) ; a33 (+) ;

2. Cara Sarrus

Kolom 1 dan 2 ditambahkan kebelakang menjadi kolom 4 dan 5, kemudian dikalikan secara diagonal dengan diagonal kebawah bertanda positif dan diagonal keatas bertanda negatif. A =     22 21 12 11 a a a a

maka det A = a11 . a22– a21 . a12

A =           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

= a11 (a22.a33– a32.a23) – a12 (a21.a33– a31.a23) + a13 (a21.a32– a31.a22) A =     22 21 12 11 a a a a

; B =

    22 21 12 11 b b b b

; maka C = A x B =

(16)

I. Matriks Invers

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama sehingga A . B = B . A = I, maka B adalah invers A dan A adalah invers B.

Dalam hal ini yang akan dibahas adalah matriks yang ordonya (2 x 2)

A-1 = A det. A Adj A =     22 21 12 11 a a a a

 Adj A =

    11 21 12 22 a a -a -a

Invers matriks A adalah A-1 =

12 21 22

11. .

1 a a a

a  

   11 21 12 22 a a -a -a - - - A = 33 32 31 23 22 21 13 12 11           a a a a a a a a a

det A =

33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 32 31 22 21 12 11 a a a a a a + + +

(17)

PROGRAM LINEAR

Program linear adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier. Petidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, ≤, dan ≥.

Membuat grafik himpunan penyelesaian

Harus diperhatikan hal-hal adalah sebagai berikut :

Menentukan nilai optimum sistem pertidaksamaan linier

Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat dilakukan dengan mencari dulu nilai x dan y sebagai variabel bebas dengan cara eliminasi atau substitusi. Kemudian nilai x dan y disubstitusikan ke fungsi objektif.

Bentuk umum fungsi obyektif : Contoh :

1)

Nilai maksimum fungsi obyektif k = 5x + 4y adalah….

Jawab :

 Persamaan garis yang melewati (0,6) dan (6,0) yaitu 6x + 6y = 36 maka x + y = 6

 Persamaan garis yang melewati (0,4) dan (8,0) yaitu 4x + 8y = 32 maka x + 2y = 8 Mencari titik perpotongan dengan cara Eliminasi kedua persamaan :

x + 2y = 8 x + y = 6 -

y = 2 maka x = 4

Titik perpotongannya adalah (4,2)

Maka nilai maksimum : (4,2)→ k = 5x + 4y = 5.4 + 4.2 = 28 k = ax + by

1. Untuk tanda pertidaksamaan (< atau ) arah arsirannya ke dalam dan daerah penyelesaiannya adalah daerah yang terarsir.

(18)

LOGIKA MATEMATIKA

1. Kalimat pernyataan

Kalimat pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu ingkaran (negasi)/(tidak), konjungsi(dan), disjungsi (atau), implikasi(jika…maka…) dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Operasi Logika Penghubung Lambang

Ingkaran Tidak, non ~ atau -

Konjungsi Dan ^

Disjungsi Atau v

Implikasi Jika….maka… →

Biimplikasi …jika dan hanya jika… ↔

2. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Kalimat terbuka tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnya diganti dengan suatu konstanta.

Contoh :

 Kalimat terbuka : x + 5 = 9

Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)

 Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)

3. Ingkaran/Negasi (~)

Ingkaran adalah penyangkalan dari suatu pernyataan. Jika pernyataannya P ,maka ingkarannya ~p. (~p dibaca tidak/bukan p)

Tabel kebenaran :

p q ~p ~q

B B S S

B S S B

S B B S

S S B B

Ingkaran “semua” adalah “ada/beberapa”

(19)

4. Operasi pada logika matematika a. Konjungsi (p ^ q)

Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua

pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “ ^ ”.

Dengan operasi ini dua pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.

Tabel kebenaran :

P Q p  q

B B B

B S S

S B S

S S S

b. Disjungsi (p v q)

Operasi disjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan dengan tanda ” v ”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan “atau”.

Tabel kebenaran :

P Q p  q

B B B

B S B

S B B

S S S

c. Implikasi (p→q)

Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang

menggunakan kata hubung “ jika …maka ….” Implikasi dilambangkan dengan “→“.

Syarat:

Tabel kebenaran :

P Q p  q

B B B

B S S

S B B

S S B

d. Biimplikasi (p↔q)

Syarat : Kalau ada S → pasti SALAH!

Syarat : Kalau ada B → pasti BENAR!

 Jika komponennya sama maka pasti BENAR!

 Jika komponennya tidak sama maka lihat ujungnya: Jika ujungnya B, maka pasti BENAR!

(20)

Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “…jika dan

hanya jika ….” dinotasikan “↔” .

Syarat:

Tabel kebenaran :

P Q p  q

B B B

B S S

S B S

S S B

5. Konvers, Invers,Kontraposisi

6. Negasi Pernyataan Majemuk

7. Penarikan Kesimpulan a. Modus Ponens :

Modus ponens dapat juga dirumuskan dengan : {(p  q)  p}  q b. Modus Tallens :

Modus Tallens dapat juga dirumuskan dengan : {(p  q)  ~q}  ~p

 Jika komponennya sama maka pasti BENAR!

 Jika komponennya tidak sama maka pasti SALAH!

Pernyataan : P  Q (jika P maka Q) Konvers : Q  P (jika Q maka P)

Invers : ~P  ~Q (jika bukan P maka bukan Q) Kontraposisi : ~Q  ~P (jika bukan Q maka bukan P) Ingkaran : P  ~Q (P dan bukan Q)

Negasi dari Konjungsi : ~ (p  q) = ~p  ~q Negasi dari Disjungsi : ~ (p  q) = ~p  ~q Negasi dari Implikasi : ~ (p  q) = = p  ~q

Negasi Biimplikasi : ~ (p  q) = ~p  q = p  ~q

Premis 1 : p  q (dibaca jika p maka q) benar Premis 2 : p benar

Kesimpulan : q benar

Premis 1 : p  q (dibaca jika p maka q) benar Premis 2 : q salah (~q)

(21)

c. Silogisme :

8. Kalimat berkuantor

Pernyataan atau kalimat yang menggunakan kata-kata kuantor dinamakan kalimat berkuantor.

Pernyataan berkuantor biasanya menggunakan : 1. " Semua " yang artinya setiap

2. " Beberapa " atau " ada " yang artinya sekurang-kurangnya 3. " Tidak ada " yang artinya semua tidak

Premis 1 : p  p (dibaca jika p maka q) Premis 2 : q  r (dibaca jika q maka r) Kesimpulan : p  r (dibaca jika p maka r)

Ingkaran kalimat berkuantor :

Semua p adalah q  ingkarannya : Beberapa p bukan q atau ada p yang bukan q Beberapa p adalah q  ingkarannya : Semua p bukan q

(22)

TRIGONOMETRI

1. Rumus Trigonometri untuk segitiga siku-siku sin = miring sisi depan sisi

 sin  = c a

; cosec =

depan sisi

miring sisi

 cosec  = a c cos = miring sisi dekat sisi

 cos  = c b

; sec =

dekat sisi

miring sisi

 sec  = b c tg = dekat sisi depan sisi

 tg  = b a

; cotg =

depan sisi

dekat sisi

 cotg  = a b

2. Tabel Trigonometri

00 15o 300 450 600 75o 900

Sinus 0 ( 6 2)

4 1  2 1 2 2 1 3 2 1 ) 2 6 ( 4 1  1

Cosinus 1 ( 6 2) 4 1  3 2 1 2 2 1 2 1 ) 2 6 ( 4 1  0

Tangens 0

2



3

3 1

1

3

2



3

∞

Cotangens ∞

2



3

1 3

3 1

3

2



0

Catatan : tabel diatas untuk sudut 0o s.d. 90o (kuadran I)

2. Rumus Perbandingan Trigonometri sudut berelasi a. Di Kuadran I (00 - 900)

Di kuadran I semua bernilai positif

sin α = cos (900

- α0)  Contoh: sin 300 = cos (900 - 300) = cos 600 = 1/2

cos α = sin (900

- α 0)  Contoh: cos 600 = sin (900 - 600) = sin 300 = 2 1

(23)

b. Di Kuadran II (900 - 1800)

Di kuadran II yang positif adalah sin

c. Di Kuadran III (1800 - 2700)

Di kuadran III yang positif adalah tan

d. Di Kuadran IV(2700 - 3600)

Di kuadran IV yang positif adalah cos

e. Relasi antara sudut  dan (-)

3. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub P (x , y)  P (r , )

y P cos  = r x

 x = r . cos 

r y sin  = r y

 y = r . sin 

 x r = x2



y2 dan tg  = x y

x

Hubungan Perbandingan Trigonometri suatu sudut

sin α = sin (1800

- α 0)  Contoh: sin 1200 = sin (1800 - 120 0) = sin 600 = 3 2 1

cos α = -cos (1800 - α 0)  Contoh: cos 1500 = -cos (1800 - 150 0) = -cos 300 = - 3 2 1

tan α = -tan (1800 - α 0)  Contoh: tan 1350 = -tan (1800 - 1350) = -tan 450 = -1

sin α = -sin (1800+ α 0)  Contoh: sin 2250 = -sin (1800 + 450) = -sin 450 = - 2 2 1

cos α = -cos (1800+ α 0)  Contoh: cos 2400 = -cos (1800 + 600) = -cos 600 = -1/2

tan α = tan (1800+ α 0)  Contoh: tan 2100 = tan (1800 + 300) = tan 300 = 3 3 1

sin α = -sin (3600 - α 0)  Contoh: sin 3000 = -sin (3600 - 3000) = -sin 600 = - 3 2 1

cos α = cos (3600

- α 0)  Contoh: cos 3300 = cos (3600 - 3300) = cos 300 = 3 2 1

tan α = -tan (3600 - α 0)  Contoh: tan 3150 = -tan (3600 - 315 0) = -tan 450 = - 1

(24)

y r2 = x2 + y2

r2 = (r . cos )2 + (r . sin )2 r2 = r2 . cos2θ + r2 . sin2θ r y r2 = r2 . (cos2θ + sin2θ)

θ cos2θ + sin2θ = 1

x Jadi : sin2θ + cos2θ = 1 x

Dari Koordinat Kartesius :

tg θ =

  cos . r

sin . r x y

 cotg θ =



tg 1

=

 

cos sin

1

Dari rumus dalil Phytagoras didapat perbandingan antara sisi siku-siku dan sisi miring. a. Aturan Sinus :







sin

c sin

b sin

a



b a   c

b. Aturan cosinus :

 a2 = b2 + c2– 2bc cos  atau cos  =

bc 2

a c

b2 2 2

b a b2 = a2 + c2– 2ac cos  atau cos  =

ac 2

b c

a2  2  2

 c  c2 = a2 + b2– 2ab cos  atau cos  =

ab 2

c b

a2  2 2

Menentukan Luas Segitiga a. Segitiga siku-siku :

t

a

tg θ =

  cos sin

cotg θ =

 sin cos

(25)

t

a

c. Segitiga dengan sudut apit diketahui

b t c

 a

Rumus Jumlah dan Selisih dua sudut

sin (  +  ) = sin  . cos  + cos  . sin  sin (  -  ) = sin  . cos  - cos  . sin  cos (  +  ) = cos  . cos  - sin  . sin  cos (  -  ) = cos  . cos  + sin  . sin 

tg (  +  ) =

   

tan . tan 1

tan ta

 

tg (  -  ) =









tg . tg 1

tg tg

 

Rumus sudut rangkap

Rumus jumlah dan selisih

Luas = ½ alas x tinngi L = ½ . a . t

t = a2 (₂1a)2

Luas = ½ alas x tinggi L = ½ . a . b . sin 

1) sin 2 = 2 sin  . cos 

2) cos 2 = cos2 - sin2 3) cos 2 = 2 cos2 - 1 4) cos 2 = 1 – 2 sin2 5) tg 2 =

α

tg 1

α

tg 2

2

(26)

x =  + k . 360o atau x = (180o–) + k . 360o 2. cos x = a, ditulis dalam bentuk : cos x = cos 

x =  + k . 360o atau x = – + k . 360o

3. tg x = a, ditulis dalam bentuk : tg x = tg  → x =  + k . 180o sin  + sin  = 2 . sin

2 1

( + ) . cos 2 1

( - )

sin  - sin  = 2 . cos 2 1

( + ) . sin 2 1

( - )

cos  + cos  = 2 . cos 2 1

( + ) . cos 2 1

( - )

cos  - cos  = - 2 . sin 2 1

( + ) . sin 2 1

( - )

Rumus Perkalian sin  . sin  =

2 1

{ cos ( - ) – cos ( + )

cos  . cos  = 2 1

{ cos ( + ) + cos ( - )

cos  . sin  = 2 1

{ sin ( + ) – sin ( - )

sin  . cos  = 2 1

{sin ( + ) + sin ( - )

Persamaan Trigonometri

a. Bentuk : sin x = a, cos x = a dan tg x = a pada (0o≤ x ≤ 360o)

b. Bentuk : a cos x + b sin x = c

Persamaan trigonometri bentuk a cos x + b sin x = c diubah menjadi :

r cos (x –) = c dengan r = a2 b2 dan tg  = a b

c. Bentuk : sin (x + ) ± sin (x –) = c dan cos (x + ) ± cos (x –) = c Rumus yang digunakan :

(27)

RELASI DAN FUNGSI

1. Pengertian fungsi, daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil

Fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

A B

a 1

b 2 c 3 d 4

5

2. Menyatakan sebuah fungsi

Fungsi dapat dinyatakan dengan notasi, diagram panah, grafik Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

FUNGSI LINEAR

1. Grafik fungsi linear

Bentuk umum grafik fungsi linear adalah :

Gradien

Gradien adalah angka kemiringan dari grafik terhadap sumbu x positif. Notasi gradien adalah "m".

y

P (x1, y1)

 x O

A = {a , b , c , d} disebut daerah asal atau domain

B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} disebut daerah kawan atau kodomain Semua anggota B yang mendapat kawan di A disebut daerah hasil atau range R = {1 , 2 , 3 , 4}

f (x) = ax + b atau y = ax + b, dimana a, b  R.

Gradien garis OP

M =

1 1

x y

(28)

2. Persamaan garis melalui satu titik P (x1, y1) dengan gradien m Rumus :

3. Menentersamaan garis melalui dua titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) Rumus :

4. Sudut antara dua garis

Jika diketahui persamaan garis y = m1x + n1 dengan gradien m1 dan persamaan y = m2x + n2 , dengan gradien m2 seperti terlihat pada gambar

y y = m1x + n1 y = m2x + n2 

0 x

5. Persamaan garis yang melalui titik P (x1, y1) dan sejajar garis y = ax + b

Sebuah garis dengan gradien m1 dikatakan sejajar dengan garis lain yang bergradien m2 jika m1 = m2

Rumus :

6. Persamaan garis yang melalui titik Q (x1, y1) dan tegak lurus garis y = ax + b Sebuah garis dengan gradien m2 akan tegak lurus dengan garis dengan gradien m1, jika m2 = –

1

m 1

.

Rumus :

y – y1 = m (x – x1)

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y

    

atau

y – y1 = m (x – x1) dengan m =

1 2

x x

y y

 

tg  =

2 1

m . m 1

m m

 

y – y1 = m (x – x1) ; dengan syarat: m1 = m2

y – y1 =

m 1

 (x – x1) ; dengan syarat : m2 = –

1

(29)

FUNGSI KUADRAT

Bentuk Umum : y = ax2 + bx + c

Untuk a > 0 (positif) kurva menghadap keatas dan mempunyai titik balik minimum.

x1 x2 x1 = x2

D > 0 D = 0 D < 0

(definet positif)

D = diskriminan  D = b2– 4.a.c

Untuk a < 0 (negatif), kurva menghadap kebawah dan mempunyai titik balik maksimum. x1 x2 x1 = x2 (definet negatif)

D > 0 D = 0 D < 0 Untuk menggambar garfik fungsi kuadrat langkah-langkahnya sebagai berikut :

Menentukan persamaan funsi kuadrat

Beberapa hal yang perlu diingat dalam menentukan persamaan fungsi kuadrat adalah :

FUNGSI EKSPONEN

1. Tentukan sumbu simetrinya, yaitu dengan rumus : x = 2.a

b



2. Tentukan titik puncak (titik balik), yaitu P (x, y) dengan :

x = 2.a

b



dan y = 4a

-D

atau y =

4.a 4.a.c b2



3. Tentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0

4. Tentukan titik potong dengan sumbu x, dengan y = 0 → ax2 + bx + c = 0 Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik (x1 dan x2)

Jika D = 0, grafik menyentuh sumbu x di titik x1 = x2

Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x ( diatas atau dibawah sumbu x)

1. Jika diketahui titik balik (xp, yp), persamaan kuadrat : y = a (x – xp)2 + yp

2. Jika diketahui akar-akar kuadratnya (x1 dan x2), persamaan kuadrat : y = a (x – x1) . (x – x2)

(30)

Bentuk sederhana dari fungsi eksponen dengan bilangan dasar a adalah :

1. Grafik fungsi eksponen

Bentuk umum grafik fungsi eksponen adalah :

y y = ax , a > 1 y y = a–x, a > 1

x x

2. Persamaan eksponen

FUNGSI LOGARITMA

Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah :

1. Grafik fungsi logaritma

y y = alog x ; untuk a > 1 y y = alog x ; untuk 0 < a < 1

x x

(0, 1) (0, 1)

0 0

y = f (x) = ax , a >0, a 0 atau y = f (x) = a–x , a  0

 af (x) = ag (x) f (x) = g (x)

 af (x) = bf (x) f (x) = 0

 f (x)g (x) = f (x)h (x) g (x) = h (x) jika f (x)  0 ; f (x)  1

 apx + q = brx + s x = _q s b

a

a b log

r p

 a (px)2 + b (px) + c = 0  x1 + x2 = a c log

p

[image:30.612.64.545.96.718.2]

(31)

2. Persamaan logaritma

FUNGSI TRIGONOMETRI a. Grafik y = sin x (0o x  360o)

Dengan menggunakan tabel :

x 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o

y 0

2 1 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2 2 1 0

x 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o y 0

-2 1 -2 1 2 -3 2 1

-1

-3 2

1 -₂

1

2

-2

1 0

Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0o– 360o = keliling lingkaran = 2r.

y

x

b. Grafik y = cos x (0o x  360o) Dengan menggunakan tabel :

x 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o

y 1

3 2 1 2 1 2 2 1 0 -2 1 -2 1

2 - 3

2

1 -1

x 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o

y -1

-3 2

1 -₂

1 2 -2 1 0 2 1 2 1 2 3 2 1 1

0o ₃₀o

45o ₆₀o ₉₀o ₁₂₀o ₁₃₅o ₁₅₀o ₁₈₀o

210o ₂₂₅o ₂₄₀o ₂₇₀o 300o ₃₁₅o ₃₃₀o

360o 45o 30o 60o 90o 0o a

log f (x) = b  f (x) = ab a

log f (x) = alog b  f (x) = b a

log f (x) = alog g (x)  f (x) = g (x) a

log f (x) = blog f (x) ; a  b  f (x) = 1 f (x)

[image:31.612.64.569.18.755.2]

(32)

Pak Sukani.Http://okemat.blogspot.com ©2013 | All Right Reserved 32 Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0o– 360o = keliling lingkaran = 2r.

y

x

c. Grafik y = tg x (0o x  360o)

y 

x

0o ₃₀o 45o ₆₀o ₉₀o

120o ₁₃₅o ₁₅₀o ₁₈₀o ₂₁₀o ₂₂₅o ₂₄₀o ₂₇₀o

300o ₃₁₅o ₃₃₀o ₃₆₀o 45o

30o 60o 90o

0o

300o ₃₁₅o ₃₃₀o ₃₆₀o 270o

240o 225o 210o 180o 150o 135o 120o 90o 60o 45o 30o 0o

3

3 1

3

1

–1₃ 3

– 1

[image:32.612.72.524.105.719.2]

(33)

SIGMA, BARISAN DAN DERET

Misal : a1 + a2 + a3 + a4 + … + an, ditulis





n

1

i i

a dibaca sigma ai, i dari 1 sampai n.

Jika ditulis :





n

m k k

a

k = penunjuk yang berjalan dari m sampai n ; m = batas bawah ; n = batas atas.

Sifat-sifat notasi sigma

1. Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan beda antara dua suku yang berurutan tetap.

Bentuk umum barisan aritmetika :

U1, U2, U3, U4, … Un atau : a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, {a + (n – 1) b}

Rumus Suku ke n : Un = a + (n – 1) . b

dimana: a = U1 = suku pertama

b = beda = U2– U1 atau U3– U2 atau U4– U3atau … Un– Un - 1 Un = suku ke-n

n = banyaknya suku

1.



 n

1 k

k

a = a1 + a2 + a3+ … + an

2.



  

n

m k

k n

m k

k c a

a c

3.



  n

m k

k k b )

(a =



 n

m k

k

a +



 n

m k

k

b

4.



 n

m k

k

a =





 

p n

p m k

k p)

(a

5.



 n

m k

(34)

2. Deret Aritmetika

Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Bentuk umum Deret Aritmetika : U1 + U2 + U3 + U4 + … +Un = Sn Jumlah n suku pertama :

Sn =

(

a

Un

)

2

n



atau Sn =

.

{

2a

(

n

-

1

)

.

b

}

2

n



3. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio antara dua bilangan yang berurutan tetap. Barisan Geometri : U1, U2, U3, U4, … Un

Suku ke n : Un = a . rn – 1

Dimana :

U1 = a = suku pertama Un = suku yang ke-n

r = rasio =

1 -n

n

3 4

2 3

1 2

U U ... U U U U U U

   

n 1 n

U U r





4. Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk dari Deret Geometri : U1 + U2 + U3 + U4 + … +Un = Sn Jumlah n suku pertama :

Sn =

1

-r

)

1

-n

r

(

.

a

r  1 dan r > 1

Sn =

r

-1

)

n

r

-1

(

.

a

(35)

5. Deret Geometri tak terhingga

Deret geometri : a + a . r + a . r2 + a . r3 + … + a . rn – 1 disebut deret geometri tak terhingga jika r < 1 atau {-1 < r < 1}, r  0.

Jumlah deret geometri sampai suku tak terhinga :

S_ =

r

1

a

(36)

GEOMETRI DIMENSI DUA

1. Satuan Sudut

Satuan sudut ada 2 macam, yaitu derajat dan radian a. Derajat

b. Radian

2. Konversi Satuan Sudut

Tabel Konversi satuan sudut derajat dengan radian

Derajat 0 30 45 60 90 120 135 150 180

Radian 0

6 

4 

3 

2 

3 2

4 3

6

5 

Sistem satuan derajat adalah sistem DMS (Derajat, Menit, Sekon) 1o = 60' (menit)

1' = 60" (detik) atau 1o = 3600" (detik)

2  rad = 360o atau  rad = 180o 1 rad =



o

180

(37)

3. Rumus-rumus keliling dan luas bangun datar a. Segitiga (jumlah sudutnya 180o)

b c

a

b t c a

b t c



a

b c

a

Hukum Pythagoras untuk segitiga siku-siku :

" Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya "

Dari hukum Pythagoras tersebut ada beberapa perbandingan untuk segitiga siku-siku, yaitu (3 : 4 : 5) ; (5 : 12 : 13) ; (7 : 24 : 25) ; (8 : 15 : 17) atau kelipatannya.

b. Segiempat (jumlah sudutnya 360o)

Segitiga siku-siku L = ½ . alat . tinggi L = ½ . a . b

Kel. = a + b + c

Segitiga sama kaki L = ½ . alas . tinggi L = ½ . a . t

t =

2

2 _a

2 1

(c) 

    

 ; b = c

Segitiga sembarang dengan sudut diketahui L = ½ . a . t  t = b . sin 

L = ½ . a . b . sin 

Segitiga sembarang dengan semua sisi diketahui

L = s .(sa) .(sb) .(sc) Keliling = a + b + c

(38)

L = panjang . lebar l L = p . l

Keliling = 2 . (p + l) p

2. Bujur sangkar

L = sisi . sisi L = a . a a Keliling = 4a

a

3. Jajaran genjang

L = panjang alas . tinggi b t L = a . t

θ L = a . b . sin θ

a Keliling = 2 . (a + b) 4. Belah ketupat

b L =

2 1

. diagonal . diagonal

a L = 2 1

a . b

5. Trapesium

b L = x tinggi

2

sejajar sisi jumlah

L =

2 1

(a + b) . t

a Keliling = a + b + c + d

6. Layang-layang

L =

2 1

. diagonal . diagonal

b L =

2 1

a . b a

c

(39)

c. Lingkaran

L = x jari-jari x jari-jari 7

22

O r L = .r2 7 22

Keliling lingkaran = x 2 x r 7

22

d. Ellips

L =  . a . b

a a = ½ sumbu panjang

b b = ½ sumbu pendek

e. Segi n beraturan

L =

n 180 ctg . a . 4

n 2 o

atau L =

n 360 sin . r . 2

n 2 o

Untuk segi enam beraturan

r L = .a . 3 2

3 2

atau L = .r . 3 2

3 2

a a = r

4. Transformasi bangun datar

a. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang datar yang jarak

dan arahnya tertentu oleh translasi T =     b a

.

y P' (x', y') P (x, y) → P' (x + a, y + b)

b

P (x, y) a

(40)

b. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang datar dengan pencerminan yang menggunakan sifat dari cermin datar.

1. Pencerminan terhadap sumbu x y Perhatikan gambar di samping

P' =     1 0 0 1 . P     ' ' y x =     1 0 0 1 .     y x x

atau P (x, y)  P' (x, –y)

2. Pencerminan terhadap sumbu y y Perhatikan gambar di samping

P' =     1 0 0 1 . P     ' ' y x =     1 0 0 1 .     y x x

atau P (x, y)  P' (–x, y)

3. Pencerminan terhadap garis y = x

P' =     0 1 1 0 . P     ' ' y x =     0 1 1 0 .     y x

atau : P (x, y)  P' (y, x)

4. Pencerminan terhadap garis y = –x

P' =       0 1 1 0 . P     ' ' y x =       0 1 1 0 .     y x

atau : P (x, y)  P' (–y, –x)

P (x, y)

P' (x, –y)

(41)

P (x, y) M . x = a P' (2a – x, y)

6. Pencerminan terhadap garis y = b

P (x, y) M . y = b P' (x, 2b – y)

c. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah suatu tarnsformasi yang memindahkan setiap titik dengan cara memutar setiap ttiik tersebut denganm besar dan arah yang telah ditentukan.

y Pada rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar θ P' (x', y') dengan arah positif, maka titik P (x, y)

menjadi titik P' (x', y')

x' = x cos θ– y sin θ

y' = x sin θ + y cos θ

P (x, y)

x

1. Rotasi sejauh 90o, matriks transformasinya adalah : T =

     0 1 1 0     ' ' y x =      0 1 1 0 .     y x

2. Rotasi sejauh 180o, matriks transformasinya adalah : T =

      1 0 0 1     ' ' y x =       1 0 0 1 .     y x

3. Rotasi sejauh 270o, matriks transformasinya adalah ; T =

  



1 0

1 0     ' ' y x =    

1 0

1 0 .     y x

4. Rotasi sejauh  derajat, matriks transformasinya adalah : T =

  

 

  cos  sin sin cos     ' ' y x =        cos  sin sin cos .     y x

(42)

d. Dilatasi (perkalian)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) dengan suatu faktor skala.

P (x, y) → P' (x', y') dengan x' = kx dan y' = ky

5. Komposisi Transformasi

a. Komposisi dua Translasi berurutan T1 =

   

1 1

b a

dan T2 =    

2 2

b a

→ T2 o T1 =    

1 1

b a

+    

2 2

b a

(T2 o T1) A (x, y) → A" (x", y") dengan x" = x + (a1 + a2) dan y' = y + (b1 + b2) b. Komposisi dua Refleksi berurutan

1. Pencerminan terhadap garis x1 = k dan x2 = l

P (x, y)

l x , k x

x M o x M

2 1

1 2



 P" (2 (l – k) + x , y)

2. Pencerminan terhadap garis y1 = m dan y2 = n

P (x, y)

n y , m y

y M o y M

2 1

1 2



 P" (x, 2 (n – m) + y)

c. Komposisi dua Rotasi berurutan

Jika titik P (x, y) diputar sebesar θ1 dan diteruskan ke θ2 dengan arah positif sama dan titik pusat yang sama, maka bayangannya adalah : P" (x", y")

Dimana :

(43)

GEOMETRI DIMENSI TIGA

A. Luas Permukaan Bangun Ruang 1. Kubus

H G Jaring-jaring kubus

E F H G

D C D C G H D

A B

A B F E A

E F

Jika panjang sisi kubus adalah "a", maka : Panjang diagonal bidang = a 2

Luas bidang sisi L = a2 Luas bidang diagonal = a2 2 Luas permukaan kubus Lp = 6a2

2. Balok

H G Jaring-jaring balok G F

E F

D C C B F G C

A B

D A E H D

(44)

Volume balok : V = p . l . t

3. Prisma

T Jaring-jaring prisma

R S T

Q T R S T

O P

Q O P Q

Q

Luas selimut prisma segi-n = keliling bidang alas segi-n x tinggi prisma Luas permukaan prisma segi-n = luas selimut + luas alas + luas atas

4. Limas

T Jaring-jaring limas T

D C

A B T T

A B

T

(45)

5. Limas Terpancung

Jaring-jaring limas terpancung

Luas selimut = n . luas bidang trapesium  n = jumlah segi bidang alas Luas permukaan = luas selimut + luas alas

6. Kerucut

T Jaring-jaring kerucut T

A

t s

s

A r B

r B

Luas selimut : Ls = x luaslingkaran bidang tegak tegak

bidang lingkaran

kel.

alas lingkaran kel.

= x s2 s 2

r

2 _



 ₌__{r s}

Luas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas =  r s +  r2 =  r (s + r)

A B

C D

E F G H

A B C D

E

E F

F G G

H

(46)

7. Kerucut terpotong

T Jaring-jaring kerucut terpotong T s1 s1 r r s

R s

R

Luas selimut =  (R + r) s

Luas permukaan = luas selimut + luas alas + luas atas

8. Tabung

Jaring-jaring tabung

r

t

r 2  r t

(47)

9. Bola

Luas permukaan = 4  . r2 Volume : V = 4/3 . π . r3 r

B. Volum Bangun Ruang 1. Kubus

Volume kubus :

V = s . s . s

s = s3

2. Balok

Volume balok :

V = panjang x lebar x tinggi

t = p x l x t

l p

3. Prisma

Volume prisma :

V = luas alas x tinggi

4. Limas

T Volume limas :

V =

3 1

x luas alas x tinggi

D C

(48)

5. Limas Terpancung

6. Kerucut

Volume kerucut

V =

3 1

x luas alas x tinggi

=

3 1

.  . r2 . t

7. Kerucut terpotong

Volume kerucut terpotong :

r V =

3 1

.  . t . (R2 + R . r + r2)

t

R

8. Tabung

Volume tabung :

V = luas alas x tinggi

V =  . r2 . t

A B

C D

E F G H

b

b t

a

a _{Volume limas terpancung :}

V = 3 1

(49)

9. Bola

Volume bola :

V =

3 4

. r3 atau

V =

(50)

VEKTOR

A. Pengertian Vektor

1. Besaran Skalar, adalah besaran yang hanya mempunyai besar saja Misalnya : panjang, luas, volume, massa, suhu, waktu, laju.

2. Besaran vektor, adalah besaran yang mempunyai besar dan juga arah Misalnya : kecepatan, percepatan, gaya, momen.

B. Penyajian vektor

Vektor a dapat disajikan dalam bentuk :

C. Besar vector Vektor a =

   

2 1

a a

= a1i + a2 j , besarnya vektor atau panjang vektor a dinotasikan dengan

a , yang besarnya adalah : a = a₁2 a₂2

D. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari

vektor

a

adalah : a a e

a 

matriks kolom a =    

2 1

a a

matriks baris a = (a1, a2)

(51)

E. Operasi Vektor a. Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara segitiga dan cara jajaran genjang.

1. Cara segitiga

Vektor c = a + b adalah :

a

b

2. Cara jajaran genjang

a

b

b. Pengurangan vektor

Pengurangan vektor merupakan penjumlahan dengan vektor inversnya (vektor negatif).

a – b = a + (–b)

b

a

–b

a – b

c. Perkalian skalar dengan vektor

Misalkan skalar m dikalikan dengan vektor

a

, maka hasilnya adalah suatu vektor yang

panjangnya merupakan k kali vektor

a

dan arahnya sama dengan arah vektor

a

.

a

2

a

3

a

b

c = a + b

a

(52)

(

P₁

)

2



(

P₂

)

2



2

(

P₁

)(

P₂

).

cos



Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar :

1. m .

a

=

a

. m

2. m . (–

a

) = –m .

a

3. m .a = m .a

4. m . (a + b) = m

a

+ mb 5. (m + n) .

a

= m

a

+ n

a

d. Resultan dua vektor

P1 R

P2 e. Perkalian skalar dua vektor

Perkalian skalar dua vektor adalah perkalian dua vektor dengan bentuk perkalian titik (dot product) dan hasilnya skalar.

Hasil kali vektor

a

dengan vektor b ditulis

a

. b (dibaca a dot b) adalah :

a

. b = a . b . cos   0o≤ ≤ 180o

a = besar (panjang) vektor

a

 a =

(

a₁

)

2



(

a₂

)

2

b = besar (panjang) vektor b  b =

(

b₁

)

2



(

b₂

)

2

 = sudut yang dibentuk oleh vektor

a

dan b

f. Panjang vektor

Jika a = a1i + a2 j + a3k maka panjang vektor a adalah :

a = 3 2

2 2 2

1) ( ) ( )

(53)

g. Perbandingan vektor

Misalkan titik P membagi garis Ab dengan perbandingan AP : PB = m : n dengan a dan b vektor posisi titik A dan B. Vektor posisi titik P adalah :

A

m p = 

  

 

n m

1

. (na + mb)

a P p n

O b B

Koordinat titik P adalah : xp =

n m

mx nx



 2

1 _{; y}

p =

n m

my ny



 2

1 _{; z}

p =

n m

mz nz



 2

1

h. Perkalian skalar dua vektor

Jika a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b3k

Hasil kali vektor

a

dengan vektor b ditulis

a

. b (dibaca a dot b) adalah :

a

. b = a . b . cos   0o≤ ≤ 180o

a = besar (panjang) vektor

a

 a = 3 2 2

2 2

1) ( ) ( )

(a  a  a

b = besar (panjang) vektor b  b = (b₁)2 (b₂)2 (b₃)2  = sudut yang dibentuk oleh vektor

a

dan b

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor :

a. Jika  = 0o maka a dan bsejajar dan searah 

a

. b = a . b b. Jika  = 90o maka a dan b saling tegak lurus 

a

. b = 0

c. Jika  = 180o maka

a

dan b sejajar dan berlawanan arah 

a

. b = – a . b d.

a

. b = b .

a

 sifat komutatif

(54)

a

. b = (a1i + a2 j + a3k) . (b1i + b2 j + b3k)

a

. b = a1.b1 + 0 + 0 + 0 + a2.b2 + 0 + 0 + 0 + a3.b3 = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

Sudut antara dua vektor :

a

. b = a . b . cos   cos  = b . a

b . a

i. Proyeksi skalar ortogonal

Gambar di samping adalah proyeksi dari

a

ke b diwakili oleh c, sehingga proyeksi skalar vektor

a

pada b adalah c .

c =

b b . a

j. Proyeksi vektor ortogonal

Pada gambar di samping, proyeksi vektor

a

pada b adalah c.

c = .b

b b . a

2

k. Perkalian vektor dua vektor

Perkalian vektor dua vektor

a

dan b ditulis

a

x b (dibaca a cross b) atau disebut juga dengan perkalian silang (cross product). Hasil kalinya adalah :

a

x b = a . b . sin 

a

x b =

3 2 1

b b b

a a a

k j i

O C B

A



a

b

c

O C B

A



a

b

c

[image:54.612.65.548.69.724.2]

(55)

PELUANG

1. Pengisian tempat yang tersedia

Jika pada kegiatan pertama dilakukan dengan x cara berbeda, kegiatan kedua dengan y cara berbeda dan kegiatan ketiga dengan z cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara untuk melakukan kegiatan tersebut berturut-turut adalah x . y . z cara.

2. Permutasi

Permutasi adalah susunan dari objek-objek atau unsur-unsur dengan memperhatikan urutannya. Ciri dari permutasi ini posisinya disebutkan sebagai apa.

a. Permutasi n unsur yang berbeda

b. Permutasi n unsur dengan unsur ada yang sama Pu =

! n . ... . ! n . ! n . ! n

! n

k 3 2 1

c. Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda nPr =

! r) -(n

! n

d. Permutasi melingkar

Ps (n) = (n – 1) ! atau Ps (n) = n

! n

2. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan dari objek-objek atau unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. (posisi tidak disebutkan sebagai apa)

Rumus Kombinasi :

nCr =

! r) -(n . r!

! n

(56)

a. Peluang dari suatu kejadian

Peluang dari suatu kejadian adalah perbandingan antara banyaknya titik sampel dan ruang sampel dari suatu kejadian dan dirumuskan dengan :

P = s n

n = titik sampel dan s = ruang sampel

misal : uang logam memiliki s = 2 ; dadu memiliki s = 6 ; kartu bridge s = 52 2 uang logam s = 22 = 4 ; 2 dadu memiliki s = 62 = 36

b. Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan adalah harapan munculnya kemungkinan dari suatu kejadian dan dirumuskan dengan :

Frekuensi Harapan = peluang kejadian x banyaknya percobaan :

FH = P (A) . N

c. Kejadian saling lepas ( kata penghubung "atau")

Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling bebas antara A dan B adalah :

P ( A U B ) = P (A) + P (B)

d. Kejadian tidak saling lepas

Jika A adalah munculnya kejadian A dan B adalah munculnya kejadian B dimana A dan B tidak saling lepas karena ada anggota A yang juga anggota B, maka peluang A atau peluang B adalah :

P ( A U B ) = P (A) + P (B) –P ( A ∩ B )

e. Kejadian saling bebas (kata penghubung "dan")

Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling lepas antara A dan B adalah :

(57)

e. Kejadian tidak saling bebas (kata penghubung "dan")

Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, dengan kejadian B sangat dipengaruhi oleh kejadian A maka kejadian tidak s