Integrabilitas Model Calogero-Moser Pada Ruang Akar Aljabar Lie An.

KARYA TULIS ILMIAH

INTEGRABILITAS MODEL CALOGERO-MOSER PADA RUANG AKAR ALJABAR LIE: ��

Oleh:

I Nengah Artawan, S.Si., M.Si. [Divisi Fisika Teori]

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA

HALAMAN PENGESAHAN

1 Judul Karya Tulis Ilmiah : Integrabilitas Model Calogero-Moser pada Ruang Akar Aljabar Lie: ��

2 Penulis

a. Nama lengkap dengan

gelar : I Nengah Artawan, S.Si., M.Si. b. Jenis Kelamin : Laki-laki

c. Pangkat/Golongan/NIP : Penata/III-c/19700712 199702 1 001 d. Jabatan Fungsional : Lektor

e. Fakultas/Jurusan : MIPA/Fisika f. Universitas : Udayana

g. Bidang Ilmu yang diteliti : Fisika Teori: Dinamika Non Linier Partikel 3 Jumlah Penulis : 1(satu) orang

4 Lokasi : Divisi Fisika Teori, Fisika FMIPA Unud 5 Kerjasama

a. Nama Instansi : -

6 Jangka Waktu Penelitian : 5(lima) bulan

Denpasar, 25 Januari 2016

Mengetahui, Penulis

Dekan FMIPA Unud

i KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya tulis ilmiah ini dengan judul: “Integrabilitas Model Calogero-Moser Pada Ruang Akar Aljabar Lie: ��” sesuai dengan alokasi waktu.

Penulisan ini tidak akan terselesaikan tanpa bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: Ni Luh Putu Trisnawati, M.Si.,yang telah banyak meluangkan waktunya untuk berdiskusi, saling memberikan masukan, dan saran demi terselesaikannya karya tulis ilmiah ini.

Penulis menyadari bahwa karya tulis ilmiah ini masih jauh dari sempurna, karena keterbatasan kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki. Maka dari itu segala koreksi dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan.

Denpasar, Desember 2015

ii ABSTRAK

Model Calogero-Moser adalah sistem dinamika berdimensi satu yang diasosiasikan dengan sistem akar aljabar Lie. Model ini adalah integrabel dan integrabilitasnya dijelaskan melalui pasangan operator Lax yang dibangun dalam sistem akar aljabar Lie simply-laced..

Dalam karya tulis ilmiah ini, diperkenalkan pasangan operator Lax untuk model Calogero-Moser yang dibangun dalam sistem akar aljabar Lie simply-laced, khususnya aljabar Lie: An. Persamaan gerak kanonik yang didapatkan dari formalisma Lax ini adalah konsisten

dengan persamaan gerak kanonik yang didapatkan dari formalisma Hamiltonian. Secara eksplisit, ditinjau model Calogero-Moser dalam sistem akar aljabar Lie: �2 dan � .

ABSTRACT

The Calogero-Moser model is an one-dimensional dynamical system associated with the root system of a Lie algebra. This model is integrable and its integrability is described through the Lax operator pair built in the simply-laced root systems.

In this paper, the new Lax operator pair is introduced for the Calogero-Moser model built in the root system of the simply-laced Lie algebra, especially the An Lie algebras. The

iii

KATA PENGANTAR i

ABSTRAK ii

DAFTAR ISI iii

BAB I PENDAHULUAN

BAB II FORMALISMA HAMILTONIAN MODEL CALOGERO-MOSER

2

2.1.Formalisma Hamiltonian 2

2.1.1. Hamiltonian Calogero-Moser 3

BAB III INTEGRABILITAS MODEL CALOGERO-MOSER PADA RUANG AKAR: ��

4

3.1.Formalisma Lax 4

3.2.Konsistensi Pasangan Lax 5

3.2.1. Kasus ∙ = 8

3.2.2. Kasus ∙ = 10

3.2.3. Kasus ∙ = − 11

3.2.4. Kasus ∙ = − 12

3.3.Pembuktian Pasangan Lax Untuk A2 dan A3 12

3.3.1. Model Calogero-Moser yang berdasarkan aljabar Lie A2 13

3.3.2. Model Calogero-Moder yang berdasarkan pada aljabar Lie A3 15

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 19

4.1. Simpulan 19

4.2. Saran 19

1 Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

BAB I PENDAHULUAN

Studi dinamika nonlinier partikel banyak telah lama dilakukan. Pada tahun 1970-an, Calogero dan Moser secara independen meninjau kasus dinamika nonlinier yang diakibatkan oleh potensial interaksi berbentuk: (i) 1/L2_{, (ii) 1/sin}2_{L, dan 1/sinh}2_{L, dimana L adalah “jarak”}

antara partikel. Sistem ini adalah integrabel dalam arti solusi eksaknya dapat diperoleh. Studi lebih jauh untuk sistem ini menunjukkan bahwa parameter jarak L di atas dapat dikaitkan dengan akar-akar dari suatu aljabar Lie dan sifat integrabilitasnya masih dipenuhi (Olshanetsky & Perelomov, 1980; Scholma, 1993). Pada umumnya integrabilitas dari suatu dinamika nonlinier ditunjukkan melalui formalisma pasangan Lax.

Dalam penelitian ini ini akan dibahas penentuan operator Lax yang memberikan persamaan gerak kanonik untuk model Calogero-Moser yang berdasarkan sistem akar dari aljabar Lie simply-laced. Selanjutnya, persamaan gerak kanonik dari formalisma pasangan Lax dibandingkan dengan persamaan gerak kanonik dari formalisma Hamiltonian-nya.

Sistematika penulisan yang dilakukan adalah sebagai berikut, bab I merupakan pendahuluan, dilanjutkan dengan bab II yang membahas formalisma Hamiltonian. Dalam penelitian ini hanya ditinjau aljabar Lie: ��

Pada bab III merupakan inti dari penelitian ini dibahas integrabilitas model Calogero-Moser pada sistem akar aljabar Lie simply-laced: ��. Dijelaskan juga mengenai pembuktian konsistensi dari tiap bagian uraian persamaan Lax.

2 Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

BAB II

FORMALISMA HAMILTONIAN MODEL CALOGERO-MOSER

2.1.Formalisma Hamiltonian

Model Calogero-Moser adalah sistem dinamika berdimensi satu dengan interaksi pasangan berjangkauan jauh. Dalam bab ini ditinjau model Calogero-Moser berdasarkan sistem akar dari aljabar Lie semi-sederhana ( semi-simple) dan terhubung secara sederhana (simply-laced) (Bordner,et.al,1998). Dalam hal ini hanya diperlukan data himpunan akar dari aljabar Lie yang ditinjau. Himpunan akar dan jumlahnya masing-masing disimbolkan  dan

Dim. Dim aljabar Lie terhubung secara sederhana: Ar, Dr, E6, E7, dan E8 masing-masing: r(r+1),

2r(r-1), 72, 126, dan 240 (Gilmore, 1974). Vektor-vektor akar ini memiliki dimensi r, yaitu

rank dari aljabar yang bersangkutan dan umumnya vektor ini dipilih memiliki (panjang)2_=2,

 = {,,, … },ℝ�_{, }2 _{= . = ,. (2.1)} Variabel dinamika model Calogero-Moser ini berupa koordinat kanonik {qj_{} dan}

momentum konjugat {pj} dilengkapi dengan Poisson bracket:

, … , , , … , , { , } =  , , { , } = { , } = , (2.2) dan pasangan variabel kanonik ini disusun dalam bentuk vektor q dan p berdimensi r, dituliskan:

= , … , ℝ , = , … ,  ℝ , (2.2a)

sehingga produk skalar dari q dan p dengan akar-akar: .q, p., dan seterusnya dapat didefinisikan.

Akar-akar dalam ruang akar  dihubungkan dengan refleksi Weyl. Tinjau  merupakan sebuah vektor di ℝr _{dan . Refleksi Weyl dari vektor  terhadap akar  didefinisikan:}

 

2 β ξ ξ 2(β_β.ξ)β

W   . (2.3)

Refleksi Weyl membentuk sebuah grup yang disebut grup Weyl, dengan W2 = 1 dan W =

W- = W-1. Sistem akar dalam aljabar Lie semi-sederhana (semi-simple) adalah invarian

terhadap refleksi Weyl ini:

�  , ,. (2.4)

Demikian juga refleksi Weyl berlaku pada variabel dinamikanya:

3 Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

2.1.1. Hamiltonian Calogero-Moser

Hamiltonian model Calogero-Moser yang didasarkan pada aljabar Lie terhubung sederhana (simply-laced) berbentuk (Bordner, et.al, 1998):

x(α.q)x( α.q)

Δ α 2 2 2 g p 2 1

H





 

 . (2.6)

Fungsi x(t) di atas dan fungsi-fungsi lain yang terkait untuk ketiga potensial interaksi yang ditinjau dalam tesis ini adalah:

a). potensial rasional, 1/L2_,

r r ₂ r ₂

t 1 (t) z z(t) , t 1 (t) y y(t) , t 1 (t) x

x(t)      , (2.7)

b). potensial trigonometri, 1/sin2_L,

, at sin a (t) z z(t) , at sin a (t) y y(t) at, cot a (t) x x(t) 2 2 r 2 2 r r        

a: konstanta, (2.8)

c). potensial hiperbolik, 1/sinh2_L,

. at sinh a (t) z z(t) , at sinh a (t) y y(t) at, coth a (t) x x(t) 2 2 r 2 2 r r         (2.9)

Dari ketiga bentuk potensial di atas terlihat bahwa, y(t) dan z(t) merupakan bentuk turunan dari x(t) terhadap parameter t. Fungsi x(t) merupakan fungsi ganjil dan fungsi y(t) serta z(t) merupakan fungsi genap dan memenuhi aturan penjumlahan (sum-rule) berikut:

y(u)x(v)y(v)x(u)x(uv)



z(u)z(v)



u,v ℂ, (2.10) dan fungsi z(t) dapat dituliskan dalam bentuk:

z(t)x(t)x(t)konstanta. (2.11) Persamaan gerak kanonik yang diturunkan dari Hamiltonian pada persamaan (2.6)

adalah sebagai berikut:

q _H_p p , (2.12)

p H_q g₂



x(α.q)y( α.q) x( α.q)y(α.q)



α.

Δ α 2



         

4

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

BAB III

INTEGRABILITAS MODEL CALOGERO-MOSER PADA RUANG AKAR: ��

3.1.Formalisma Lax

Pasangan Lax dalam bentuk akar untuk sistem Calogero-Moser adalah sebagai berikut

[Bordner, et al, 1998]:

 

q p p H X Xr

L ,     ,

 

q D Y Yr

M    . (3.1)

Dimana L, H, X, Xr, D, Y dan Yr adalah matriks berukuran Dim  Dim dengan Dim adalah

dimensi dari ruang akar Δ . Dalam bentuk akar, pasangan operator L dan M dilabel dengan

akar-akarnya, dalam tugas akhir ini dinotasikan oleh _, _,_, _ dan _.

Dalam persamaan di atas H dan D adalah matriks diagonal yang didefinisikan sebagai

berikut:

    ,

H , D_ _,_D_,  

 

 



 

 

  Δ, κβ1

κ z q

q z i

D g





. (3.2)

Operator X dan Y mempunyai bentuk yang sama tapi dibedakan oleh kebergantungan terhadap

koordinat q:

   



_  

Δ

 x q E

i

X g ,



   

 



Δ

 y q E

i

Y g , E

 

 _ _{,}. (3.3)

dan operator Xrdan Yr didefinisikan sebagai berikut:

   



_  

Δ

2

 r  d 

r i x q E

X g ,



   

 



Δ

 r  d 

r i y q E

Y g , E_d

 

 _ _{,2}. (3.4)

Matriks E

 

α dan E_d

 

_ disebut pembeda akar (root discriminator). Matriks E

 

α

bernilai satu bila selisih dari dua buah indeksnya sama dengan akar



dan matriks E_d

 

_

5

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

Dari persaman (3.3) elemen-elemen matriks X_ dan Y_ tidak sama dengan nol hanya

ketika   adalah sebuah akar. Untuk sistem akar terhubung secara sederhana (simply laced)

dengan (panjang)2 _{= 2, elemen matriks tersebut dapat diungkapkan kembali sebagai berikut:}

0  

X dan Y 0 jika  1. (3.5)

Bentuk matriks D dapat ditulis seperti bentuk matriks X dan Y :

   



_  



Δ

 z q K

i

D g , K

 

 _ _,



_, 

 





. (3.6)

dimana

 

t _ 1₀, _, t_lainnya1, _.

 (3.7)

3.2.Konsistensi Pasangan Lax

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa pasangan operator Lax (3.1) ekivalen dengan

persamaan gerak kanonik untuk Hamiltonian (2.11) dan (2.12):

p q ,

q p

  

 H



  





 



  











       

 

Δ 2

2 x q y q x q y q

g _{. (3.8)}

Dengan mensubstistusikan persamaan (3.1) ke persamaan Lax didapat:



p H X Xr D Y Yr



L     ,   _{. (3.9)}

Persamaan Lax di atas disusun kembali menjadi tiga bagian:



X Xr





p H Y Yr



dtd    ,  , (3.10a)



X Xr,Y Yr



bagian diagonal

H dt

dp_{    , (3.10b)}



,



bagian off diagonal

0 XXr DYYr  . (3.10c)

Dapat dilihat bahwa persamaan (3.10a) ekivalen dengan suku pertama persamaan gerak

6

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel







   





      Δ ,  

 i y q E p  

Y H p g



 





      Δ ,

 y q p  

ig



   

  



Δ

 y q E  p 

ig

   

_      _  



Δ  

 _dtd i x q E

X dt d g

   



_    Δ

 y q E q 

ig  (3.11)

sehingga didapat q p dimana terlihat dari definisi fungsi x dan y pada persamaan (2.12) dan

(2.13), bahwa xy tanda aksen adalah notasi differensiasi. Hal yang serupa juga berlaku

pada X_r dan Y_r.

Dengan menggunakan persamaan (3.5), maka uraian untuk persamaan (3.10b) adalah

sebagai berikut:

 







     1 Δ , β , κ

κ X Y Y X

Y

X _{    }

       

 

_{ }     _{ }   1 Δ Δ 2 β , κ κ E q y E q x        g

       

     



Δ

 y qE x qE 

 

 

 

_{ }       _{ }   1 Δ Δ , , 2 β , κ

κ  x q y q 

g

 

 

_     



Δ  ,  ,

 y q x q 











 





 





 









              1 Δ 2 β , κ

κ x   q y   q y   q x   q

g ,

dengan cara yang sama juga didapatkan:

7

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

karena,









   



     1 Δ , β , κ

κ r r

r X Y Y X

Y

X _{    }

       

 

_{ }     _{ }  1 Δ, κβ Δ

κ  x q E yr  q Ed  

       



_       Δ

 yr  q Ed  x qE 

 

 

 

_{ }       _{ }  1

Δ, κβ Δ , ,2

κ r q y q x        



 

 

       

Δ ,2 ,

 yr  q  x q  ,

persamaan di atas sama dengan nol karena _{,2} dan _{,2} hanya bernilai satu bila _{ }

atau  2. Serta,



X_r,Y_r



_{ 2g}2



x_r

  



_q y_{r }



_q

 

_x_{r }



_q

  

y_r



_q



₂ 2



x

  

q yq

 

xq

  

y q



g ,

dimana telah dipergunakan sifat persamaan (2.9) yaitu x

   

t xr t . Sehingga persamaan

(3.10b) menjadi:







 





 





 







  _{        }   



  Δ 1 2 β , κ κ q x q y q y q x

p



g

















  

 

  

         

2x q y  q 2x  q y  q ,

dengan mengganti variabel bebas _ menjadi _, dimana pergantian variabel ini tetap

memenuhi syarat  1 dan _{ } selalu berada dalam ruang akar yang ditinjau karena

dijamin oleh refleksi Weyl, maka diperoleh:

8

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

  

 

  

    

    

2x _ q y _ q 2x _ q y _ q . (3.12)

Persamaan (3.12) ini didapatkan dari suku kedua persamaan gerak kanonik (4.8) yaitu dengan

mengalikan kedua ruasnya dengan _.

  

 

  







_        

  

Δ 2

2 















x q y q x q y q

p g , (3.13)

dengan  2 dan 1.

Kini yang perlu dibuktikan adalah persamaan (3.10c). Pembuktian ini dibagi menjadi 4

kasus, sesuai dengan bilangan yang memungkinkan dari hasil kali dua buah akar yang berbeda

dalam kasus aljabar Lie terhubung secara sederhana yaitu



0, 1, 2



, jadi keempat kasus

tersebut adalah: (A)  1, (B)  0, (C)  1, (D)  2.

Pembuktian konsistensi pasangan Lax dalam bentuk akar dilakukan dengan

menghitung setiap suku yang mungkin dalam persamaan (3.10c) yaitu:

         

X,Dβγ, X,Y βγ, X,Yr βγ, Xr,Dβγ, Xr,Y βγ dan



Xr,Yr



βγ. Seperti yang terlihat pada

persamaan (4.10c) jumlah total dari semua suku-suku di atas harus sama dengan nol.

3.2.1. Kasus  1

 

X,D  X



D D



, (3.14) dengan

   

 

 

_



 _{      }

 









 1  1

  



 D i z



q z



q z



q z



q

D g . (3.15)

Persamaan ini disederhanakan dengan membuang suku-suku yang saling melenyapkan.

Somasi pertama









1



disusun menjadi empat kelompok sesuai dengan nilai



2 1 0 1









, , ,



, tidak terdapatnya suku 2 atau _{ } karena tidak memenuhi

9

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

menjadi empat kelompok sesuai dengan nilai











2,1,0,1



. Suku z

 



q

melenyapkan suku



β



κβ2



dalam somasi pertama. Dengan cara yang sama, suku

 

q

z



 melenyapkan suku  dalam somasi kedua. Kelompok kedua  1 dengan

1  

 akan lenyap oleh kelompok   1 dengan   1 atau dengan kata lain













   . Kelompok keempat  1 dengan  1 menghasilkan _{  }

dan   1 dengan   1 menghasilkan  sehingga z













q



dan







q



z







 akan saling melenyapkan karena z adalah fungsi genap. Hanya kelompok yang

ketiga yang tertinggal yaitu:

 

 

_   _{  }  





  

 1 0  1 0

g

β , κ γ

κ z q κ β , κ γ z q

i D

D 





, (3.16)

dapat dilihat pada persamaan diatas terdapat korespondensi satu-satu dari dua penjumlahannya,

sehingga kedua penjumlahan tersebut bisa direduksi menjadi satu penjumlahan dengan

mengganti  , pergantian ini memenuhi syarat-syarat penjumlahan kedua dan 

dalam bentuk κ, β, dan tetap berada dalam ruang akar γ  yang dijamin oleh refleksi Weyl

yaitu _W_



__`



, dengan menggunakan sifat z sebagai fungsi genap didapat:



 









z q z q



i D D β , κ γ κ         



          0 1

g . (3.17)

Persamaan (3.17) disubstitusi ke persamaan (4.14) memberikan:

 

X,D_  X_



D_ D_









q

 



z q

 

z





q





x β , κ γ κ         



  

 1 0      

2

g , (3.18a)

dengan menggunakan aturan penjumlahan terhadap fungsi x, y dan z, persamaan (2.10) didapat:

 

X D



y







q

 

x q

 

y q

 

x





q





β , κ γ κ            



             0 1 2

, g .

10

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

Selanjutnya evaluasi

 

X,Y _:

 

X Y _



X_Y_ Y_X_



γ , κ β , κ

κ 





   

Δ 1 1

,







 





 





 









x q y q y q x q



γ , κ β

κ         







  

 1 1        

2

g ,

(3.19)

dengan mengganti variabel bebas _ menjadi  , didapatkan:

 

X Y



x







q

 

y q

 

y





q

 

x q





β κ , γ

κ             







  

        



0 1 2

, g ,

(3.20)

persamaan (3.20) ini melenyapkan persamaan (3.18b). Suku-suku lain dalam kasus  1

adalah :



Xr,D

   

  X,Yr   Xr,Y

 

  Xr,Yr



 0. Dengan demikian berarti pengujian konsistensi kasus  1 telah selesai.

3.2.2. Kasus  0

Pada kasus ini X 0, sehingga:

 

X,D X



D D



0, serta bagian lainnya memberikan:

 







 



Δ

,

    

 X Y Y X

Y

X .

Tinjau sebuah akar



₁ sehingga



_



₁ dan



_1



adalah akar, pemilihan



₁ memenuhi

1

1







dan



1



1, kemudian 2  1 W



1



juga memenuhi



2



1

dan



2



1 dari ruas kanan persamaan terakhir di atas didapat :







 





 





 









x 1 q y 1 q y 1 q x 1 q

2 g







 2 

 



2





 





 2





 



2









0

11

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

Suku-suku yang lain dalam kasus ini memberikan nilai seperti berikut:



Xr,D

   

  X,Yr   Xr,Y

 

  Xr,Yr



0. Ini berarti pengujian konsistensi kasus  0 telah selesai.

3.2.3. Kasus  1

Pada kasus ini didapat:

 

X,D  X



D D



0



Xr,D



,

karena X 

 

Xr  0. Sedangkan untuk tiga suku lain yang memberikan kontribusi adalah

   

X,Y βγ, Xr,Y βγ dan

 

X,Yr βγ. Misalnya bagian berikut:

 







 



Δ

,

    

 X Y Y X

Y

X ,

bagian ini hanya memberikan kontribusi pada satu akar _ , yaitu untuk  1 dan  1

atau dengan kata lain















2, sehingga   dan didapat:

 

X,Y  g2



x







q

     

y



q x



q y



q





, (3.22)

dua suku lainnya juga hanya memberikan kontribusi pada akar  tertentu, misalkan untuk



Xr,Y



:









 

 



 



Δ

,

    

 r r

r Y X Y Y X

X

       

 

_{ } 

  



 _{   }

 

Δ Δ

2

2

  xr  q Ed  qy qE q

g

       

 

_{ }   

  



 _{   }



Δ Δ

2

2

  y qE  xr  qEd  

g ,

dimana _{ } dan __, sehingga didapat:

 

X_r,Y _{ 2g}2



x_r

  



_q y



_



_





_q

 

_y





_





_q

 

x_{r }



_q





_{, (3.23)}

12

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

 

X_,Y_{r  g}2



x







_





_q

 

y_{r }



_q

   

_y_r



_q x



_



_





_q





_{. (3.24)}

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan sifat dari fungsi x, y dan z persamaan (2.10)

didapat:

  

X,Y  Xr,Y

  

X,Yr  0. (3.25) Dengan demikian berarti pengujian konsistensi kasus  1 telah selesai.

3.2.4. Kasus  2

Untuk kasus ini, semua suku dengan mudah dapat dilihat akan menghasilkan:

    

X,D  X,Y   Xr,D

     

  X,Yr   X,Yr   Xr,Yr



 0.

Dengan selesainya pembuktian terhadap kasus  2, maka persamaan Lax dalam

bentuk akar terjamin konsistensinya dalam arti persamaan Lax memberikan kembali

persamaan gerak kanonik seperti yang dihasilkan dari formalisma Hamilton.

3.3.Pembuktian Pasangan Lax Untuk A2 dan A3

Selanjutnya dalam sub bab ini akan ditunjukkan secara eksplisit konsistensi pasangan

Lax dengan menggunakan aljabar Lie terhubung sederhana A2 dan A3.

Dalam pembuktian ini akan ditunjukkan persamaan gerak kanonik yang dihasilkan dari

persamaan (2.13), yaitu:

  

   









_       

 

Δ 2

2  x



q y



q y



q x



q



p g

dan persamaan gerak kanonik dari persamaan (4.10b), yaitu persamaan (4.12):

  

   





 _{      }

 





 

 1

2

β Δ, α α

q x q y q y q x

p



g









  

   



         

2x q y  q y  q x  q

13

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

3.3.1. Model Calogero-Moser yang berdasarkan aljabar Lie A2

Untuk ruang akar A2 yang terdiri dari akar-akar berikut:







1 2 1 2



Δ_{ }α, _α , _ α _α ,

persamaan gerak (3.8) menjadi:





  

   





       

 

Δ 2

2  x



q y



q y



q x



q



p g

2





₁

 

₁

 

₁

 

₁





 

₁ 2 _           

 g x q y q y q x q





x





₂q

 

y 



₂q

 

y



₂q

 

x



₂q





 



₂





x







1



2



q

 

y







1



2



q



_y







_1



₂



_q

 

x



_



_1



₂



_q









_1



₂



_



x



_



_1q

   

y



_1q _y _



_1q

  

x



_1q



 

_



₁





x







2q

 

y



2q

 

y



2q

 

x



2q





 





2





x









1



2



q

 

y





1



2



q









  

 

























_

y 1 2 q x 1 2 q 1 2 . (3.26)

Karena persamaan gerak yang didapat dari persamaan Lax adalah p maka persamaan(3.26)

juga harus dikalikan dengan . Selanjutnya akan ditinjau:

Untuk



_



₁, maka persamaan (3.26) menjadi:





 

 

 







 _{      }

 

 x q y q y q x q

p 1 g2 2 1 1 1 1



 

 

 





x q y q y  q x q







2



2



2



2





x







1



2



q

 

y







1



2



q









 









       

14

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

sedangkan dari persamaan (3.12) setelah diuraikan dan disubstitusikan _{ 1} didapat:



 

 

 







 

 _{      }

 

 x q y q y q x q

p 1 g2 2 2 2 2





x





12



q

 

y



 12



q



_y





1_2



_q

 

x



_ 1_2



_q









 

 

 





         

2x_1 q y _1 q y_1 q x _1 q .

Dimana terlihat kedua persamaan gerak yang didapat adalah sama.

Untuk  2, maka persamaan (4.26) menjadi:



 

 

 







 

 _{      }

 

 x q y q y q x q

p 2 g2 1 1 1 1

_2



x



2_q

 

y_2_q

 

_y2_q

 

x_2_q









x





12



q

 

y



 12



q









 









       

y _{1 2} q x _{1 2} q

sedangkan dari persamaan (3.12) setelah diuraikan dan disubstitusikan _{ 2} didapat:



 

 

 







 

 _{      }

 

 x q y q y q x q

p 2 g2 1 1 1 1





x





12



q

 

y



 12



q



_y





1_2



_q

 

x



_ 1_2



_q









 

 

 





         

2x_2 q y _2 q y_2 q x _2 q .

Dimana terlihat bahwa kedua persamaan yang didapat adalah sama. Hal ini juga berlaku untuk

akar-akar yang lain dari ruang akar A2 karena akar-akar yang lain adalah merupakan kombinasi

15

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

3.3.2. Model Calogero-Moder yang berdasarkan pada aljabar Lie A3

Untuk ruang akar A3 yang terdiri dari akar-akar berikut:



 

 





1 2 3 1 2 2 3 1 2 3



Δ α, α , α ,  α α ,  α α ,  α α α ,

dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada ruang akar A2, maka untuk akar-akar

sederhananya adalah sebagai berikut.

Untuk _{ 1}, setelah kedua ruas dikalikan dengan _ maka persamaan (3.8) memberikan:



 

 

 









 _{      }

 

 x q y q y q x q

p 1 g2 2 1 1 1 1





x



2q

 

y2q

 

y 2q

 

x2q









x





12



q

 

y



 12



q



_y





1_2



_q

 

x



_ 1_2



_q









x





23



q

 

y



 23



q



y







2 3



q

 

x



2 3



q









x





123



q

 

y



 123



q









 









         

y _{1 2 3} q x _{1 2 3} q ,

sedangkan dari persamaan (3.12) setelah diuraikan dan disubstitusikan _{ 1} didapat:







 









 

 _{    }

 

 x q y q

p 1 g2 1 2 1 2

y





12



q

 

x



 12



q





_



x



_2_q

 

y2_q

 

_y_2_q

 

x2_q









x





2 3



q

 

y



 23



q



y







23



q

 

x



23



q





16

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

y





123



q

 

x



 123



q









 

 

 





         

2x1 q y 1 q y1 q x 1 q .

Terlihat bahwa kedua persamaan yang didapat adalah sama.

Untuk _{ 2}, setelah kedua ruas dikalikan dengan _ maka persamaan (3.8) memberikan:



 

 

 







   _{      }  

 x q y q y q x q

p 2 g2 1 1 1 1



 

 

 





x q y q y q x q



2 2 2 2 2



 

 

 





x q y q y q x q



 3 3 3 3







 









x  q y  q

 1 2 1 2

_y





1_2



_q

 

x



_ 1_2



_q











 









x  q y  q

 2 3 2 3







 









       

y 2 3 q x 2 3 q

sedangkan dari persamaan (3.12) setelah diuraikan dan disubstitusikan  2 didapat:







 









   _{    }  

 x q y q

p 2 _{1 2 1 2}

2    

 g



_y





1_2



_q

 

x



_ 1_2



_q







 

 

 





x q y q y q x q



2 2 2 2 2



 

 

 





x q y q y q x q



 3 3 3 3



 

 

 





x q y q y q x q



 1 1 1 1







 









x  q y  q

 2 3 2 3







  

 













_ y 2 3 q x 2 3 q .

17

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

Serta untuk _ _3, setelah kedua ruas dikalikan dengan _ maka persamaan (3.8)

memberikan:



 

 

 







 

 _{      }

 

 x q y q y q x q

p 2 _{2 2 2 2}

3    

 g



2



x



3q

 

y3q

 

y3q

 

x3q





_



x



_



1_2



_q

 

y



1_2



_q



y







12



q

 

x



12



q









x





23



q

 

y



 23



q



y







23



q

 

x



23



q









x





123



q

 

y



 12 3



q









 









         

y 1 2 3 q x 1 2 3 q

sedangkan dari persamaan (3.12) setelah diuraikan dan disubstitusikan _ _3 didapat:



 

 

 







 

 _{      }

 

 x q y q y qx q

p 2 _{2 2 2 2}

3    

 g



2



x



3q

 

y3q

 

y3q

 

x3q





_



x



_



1_2



_q

 

y



1_2



_q



y







12



q

 

x



12



q









x





23



q

 

y



 23



q









q

 

x





q





y    

 2 3 2 3





x





123



q

 

y



 123



q









 









         

18

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

Terlihat bahwa kedua persamaan yang didapat adalah sama. Hal ini juga berlaku untuk

akar-akar yang lain dalam ruang akar-akar A₃.

Dengan demikian pembuktian konsistensi atau keberadaan pasangan Lax dengan

menggunakan aljabar Lie terhubung secara sederhana telah selesai atau dengan kata lain

persamaan Lax dalam bentuk akar terjamin konsistensinya dalam arti persamaan Lax

memberikan kembali persamaan gerak kanonik seperti yang dihasilkan dari formalisma

19

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Simpulan.

Dari pembahasan bab-bab sebelumnya, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut. Formalisma Hamiltonian dan formalisma pasangan Lax memberikan persamaan gerak kanonik yang sama untuk model Calogero-Moser yang berdasarkan sistem akar dari aljabar Lie simply-laced. Secara umum dapat dikatakan bahwa, dengan terdefinisinya pasangan operator Lax tersebut, maka integrabilitas model Calogero-Moser dijamin.

4.2. Saran

Perlu dilanjutkan pada penelitian aljabar Lie non simply-laced: Bn, Cn, dan F4 aljabar

melalui simetri lipat (folding) dari diagram Dynkin bersangkutan aljabar Lie simply-laced: A 2n-1, Dn+1, dan E6. Dan penentuan formalism Lax untuk model Calogero-Moser berdasarkan

20

Penelitian Bidang Fisika Teori: Dinamika Non-Linier Partikel

DAFTAR PUSTAKA

1. Braden, H.W., Corrigon, E., Dorey, P.E., dan Sasaki, R., (1990), “Affine Toda Field Theory and Exact S-matrices”, Nucl.Phys. B338.

2. Drazin, P.G., dan Johnson, R.S., (1996), “Soliton: An Introduction”, Cambridge University Press.

3. Eilenberger, G., (1983), “Solitons: Mathematical Methods for Physicists”, Springer-Verlag.

4. Georgi, H., (1982), “Lie Algebra in Particle Physics”, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc.

5. Gilmore, R., (1974), “Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications”, John Wiley & Sons.

6. Olshanetsky, M.A., dan Perelomov, A.M., (1981), “Classical Integrable Finite-Dimensional Systems Related to Lie Algebras”, Phys.Rep., C71.