PERHITUNGAN PREMI ASURANSI JIWA ENDOWMENT SUKU BUNGA VASICEK DENGAN SIMULASI MONTE CARLO
KOMPETENSI TERAPAN
SKRIPSI
DESI KURNIA SARI 1208405054
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA
v
Judul : Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga
Vasicek dengan Simulasi Monte Carlo
Nama : Desi Kurnia Sari (NIM: 1208405054)
Pembimbing : 1. Drs. I Nyoman Widana, M.Si.
2. Kartika Sari, S.Si, M.Si
ABSTRAK
Vasicek merupakan salah satu model suku bunga stokastik yang dapat menangkap pergerakan suku bunga yang berubah-ubah secara acak. Penelitian ini
bertujuan untuk mengetahui hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment
suku Vasicek Perhitungan premi dilakukan tanpa dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Hasil perhitungan premi tanpa simulasi Monte Carlo dengan jangka waktu kontrak asuransi 30 tahun untuk pihak tertanggung berusia 35 tahun dan uang pertaggungan sebesar Rp.100.000.000,- adalah Rp. 1.179.980,- sedangkan dengan simulasi Monte Carlo adalah Rp. 1.181.240,-. Perhitungan premi dengan simulasi Monte Carlo menghasilkan kisaran kerugian dan keuntungan perusahaan asuransi sebesar (-236.910, 236.910) untuk tingkat kepercayaan 95%.
Kata Kunci: Perhitungan Premi, Asuransi Jiwa Endowment, Vasicek, Simulasi
vi
Title : Endowment Life Insurance Premium Calculation with Vasicek Model Using Monte Carlo Simulation
Name : Desi Kurnia Sari (NIM: 1208405054)
Supervisor : 1. Drs. I Nyoman Widana, M.Si. 2. Kartika Sari, S.Si, M.Si
ABSTRACT
Vasicek is one of the stochastic interest rate model that can capture
interest rates movement. The aim of this research was to get the level premium for
endowment life insurance under stochastic interest rate. The premium was
calculated without and by using Monte Carlo simulation. It is found that for a 30
years endowment policy issued to 35 years old with benefit Rp.100.000.000,-, the
net premium that calculated without Monte Carlo simulation is Rp. 1.179.980,-,
and by using Monte Carlo simulation is Rp. 1.181.240,- per year. Premium
calculation using Monte Carlo simulation give mean loss (-236.910, 236.910) for
a 95% confidence interval.
Keyword : Premium Calculation, Endowment Life Insurance, Vasicek, Monte
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas
rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul ”Perhitungan Premi
Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek dengan Simulasi Monte Carlo”.
Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis banyak mendapat bantuan dari
berbagai pihak, baik berupa dorongan semangat maupun sumbangan pemikiran.
Oleh karena itu, sehubungan dengan terselesaikannya tugas akhir ini, maka
penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu
penulis, antara lain:
1. Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si.,M.Si., sebagai Ketua Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Udayana.
2. Bapak I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats., sebagai Ketua Komisi Tugas
Akhir di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana.
3. Bapak Drs. I Nyoman Widana, M.Si., selaku Dosen Pembimbing I dan
Ibu Kartika Sari, S.Si.,M.Sc., selaku Dosen Pembimbing II yang telah
membimbing, memberi masukan dan motivasi selama penyusunan tugas
akhir ini.
4. Ibu Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si.,M.Si, Ibu Desak Putu Eka
Nilakusmawati, S.Si, M.Si. dan Ibu Ni Made Asih, S.Pd., M.Si selaku
Dosen Penguji yang telah memberikan masukan dan saran selama
viii
5. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika serta pegawai Fakultas MIPA
Universitas Udayana yang telah memberikan dukungan dan motivasi ilmu
selama penulis menjadi mahasiswa.
6. Keluarga yang selalu memberikan motivasi dan doa untuk kelancaran
penyelesaian proposal tugas akhir ini.
7. Teman-teman dan sahabat yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu
yang telah memberikan dukungan dalam penyelesaian tugas akhir ini.
Penulis menyadari penulisan tugas akhir ini masih jauh dari
kesempurnaan, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun dari berbagai
pihak sangat diharapkan dalam penyempurnaan tugas akhir ini. Tugas akhir ini
diharapkan dapat bermanfaat bagi semua pihak khususnya para pembaca di
Universitas Udayana terutama di Jurusan Matematika. Akhir kata penulis ucapkan
terima kasih.
Bukit Jimbaran, Desember 2016
ix
BIODATA ALUMNI
Nama Lengkap : Desi Kurnia Sari
NIM : 1208405054
Jenis Kelamin : Perempuan
Tempat/Tanggal Lahir : Kediri, 21 Juni 1994
Alamat Asal : Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya
Alamat Sekarang : Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya
Agama : Islam
Tanggal Lulus : 2 Desember 2016
Kompetensi : Terapan
IP Kumulatif : 3,48
Predikat Kelulusan : Sangat Memuaskan
Nilai TOEFL Lokal : 510
Alamat Email : desikur.dk@gmail.com
Nomor HP : 08113200824
Nama Ayah : Suparjo WR
Nama Ibu : Suwarlina
Alamat Ayah/Ibu : Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya
x
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR JUDUL ... i
LEMBAR PERSEMBAHAN ... ii
LEMBAR PERNYATAAN ... iii
LEMBAR PENGESAHAN ... iv
ABSTRAK ... v
ABSTRACT ... vi
KATA PENGANTAR ... vii
BIODATA ALUMNI ... ix
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR TABEL ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
DAFTAR SIMBOL ... xv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Batasan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 4
1.4 Manfaat Penelitian ... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5
2.1 Future Lifetime Random Variable ... 5
2.2 The Force of Mortality ... 7
2.3 Asuransi Jiwa Endowment (Dwiguna) ... 9
2.4 Nilai Tunai Manfaat ... 9
2.5 Nilai Tunai Anuitas Hidup ... 11
2.6 Nilai Premi ... 12
xi
2.8 Gerak Brown ... 14
2.9 Suku Bunga Model Vasicek... 15
2.10 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) ... 17
2.11 Simulasi Monte Carlo ... 18
BAB III METODE PENELITIAN ... 20
3.1 Jenis dan Sumber Data ... 20
3.2 Metode Analisis Data ... 20
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 22
4.1 Estimasi Parameter Distribusi Gompertz ... 22
4.2 Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek ... 24
4.3 Simulasi Perhitungan Premi Tanpa Simulasi Monte Carlo ... 26
4.3.1 Menentukan Nilai �, �+ +1 dan �+ menggunakan Distribusi Gompertz ... 27
4.3.2 Nilai Tunai Manfaat ... 27
4.3.3 Nilai Tunai Anuitas ... 31
4.3.4 Premi ... 35
4.4 Simulasi Perhitungan Premi dengan Simulasi Monte Carlo ... 37
4.4.1 Menentukan Sisa Usia Pihak Tertanggung ( ) ... 37
4.4.2 Nilai Tunai Manfaat ... 38
4.4.3 Nilai Tunai Anuitas ... 41
4.4.4 Premi ... 45
4.4.5 Menentukan Kisaran Kerugian dan Keuntungan Premi... 46
4.4.6 Perbandingan Hasil Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek dengan dan tanpa Simulasi Monte Carlo ... 49
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 51
5.1 Kesimpulan ... 51
5.2 Saran ... ...52
xii
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4. 1 Rata-rata Tingkat Suku Bunga Tahunan Bank Indonesia bulan
Desember 2005-Desember 2015 ... 25
4. 2 Hasil Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek ... 25
4. 3 Nilai Tunai Manfaat Tanpa Simulasi Monte Carlo ... 31
4. 4 Nilai Tunai Anuitas Tanpa Simulasi Monte Carlo ... 35
4. 5 Hasil Perhitungan Nilai Premi Tanpa Simulasi Monte Carlo ... 36
4. 6 Nilai Tunai Manfaat dengan Simulasi Monte Carlo ... 41
4. 7 Nilai Tunai Anuitas dengan Simulasi Monte Carlo ... 44
4. 8 Nilai Premi dengan Simulasi Monte Carlo ... 45
4. 9 Nilai Kerugian dan Keuntungan Perusahaan Asuransi untuk Pihak Tertanggung berusia 30 tahun ... 47
4. 10 Hasil Perhitungan Kisaran Kerugian dan Keuntungan Perusahaan Asuransi dengan Selang Kepercayaan 95% ... 48
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran
1. Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011
2. Syntax Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek
3. Nilai Peluang �, �+ dan �+ MenggunakanDistribusi Gompertz
4. a. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa
Simulasi Monte Carlo Gompertz
b. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa
Simulasi Monte Carlo TMI 2011
5. a. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa
Simulasi Monte Carlo Gompertz
b. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa
Simulasi Monte Carlo TMI 2011
6. Nilai �, � dan �
7. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Dengan
Simulasi Monte Carlo
8. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Dengan
xv
DAFTAR SIMBOL
Simbol Arti
� Usia pihak tertanggung.
� Sisa usia dari pihak tertanggung yang berumur � tahun.
�� Peluang pihak tertanggung berusia � tahun tidak dapat bertahan
hidup hingga usia �+ tahun.
� Peluang pihak tertanggung berusia � tahun dapat bertahan hidup
hingga tahun.
� Fungsi kehidupan (survival function) saat pihak tertanggung
berusia � tahun.
0 Fungsi kehidupan sejak pihak tertanggung dilahirkan.
� Peluang pihak tertanggung berusia � tahun akan tetap hidup hingga
mencapai usia �+ 1 tahun.
� Peluang pihak tertanggung berusia � tahun akan tetap hidup hingga
mencapai usia �+ tahun.
� Peluang pihak tertanggung berusia � tahun akan meninggal
sebelum usia �+ 1 tahun.
� Peluang pihak tertanggung berusia � tahun akan meninggal
sebelum usia �+ tahun.
� Jumlah tahun lengkap.
�� Jumlah tahun lengkap yang akan di lewati oleh pihak tertanggung
xvi
�� Force of mortality dari seseorang yang berusia � tahun.
� +1 Fungsi manfaat untuk tiap satu unit pembayaran pada akhir tahun
kematian.
+1 Faktor diskonto pada waktu + 1.
� Jangka waktu polis asuransi.
Nilai sekarang dari pembayaran nilai tunai manfaat.
��: � Nilai tunai manfaat asuransi jiwa endowment.
Nilai sekarang dari anuitas hidup.
a�: � Nilai anuitas asuransi jiwa endowment.
� Premi tahunan.
( ) Tingkat suku bunga pada waktu ke- .
� Perhitungan tingkat pengembalian rata-rata.
� Tingkat suku bunga jangka panjang.
�� Gerak brown pada waktu ke- .
� Volatility yang menggambarkan pergerakan fluktuatif dari tingkat
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Asuransi adalah suatu bentuk perlindungan yang bertujuan untuk
mengurangi resiko yang terjadi secara tidak pasti (Sembiring, 1986). Terdapat
berbagai jenis asuransi, antara lain: asuransi jiwa, asuransi pendidikan, asuransi
kerugian dan lain sebagainya. Asuransi jiwa merupakan suatu bentuk perjanjian
antara pihak penanggung dan pihak tertanggung dengan tujuan untuk mengurangi
resiko yang diakibatkan oleh resiko kematian, hari tua dan kecelakaan
(Purba, 1995). Asuransi jiwa dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: asuransi jiwa
tradisional dan modern. Asuransi jiwa tradisional meliputi: asuransi jiwa seumur
hidup, berjangka dan endowment sedangkan asuransi jiwa modern terdiri dari:
asuransi jiwa universal, unitized with profit dan unit link (Dickson et al¸ 2013).
Asuransi jiwa endowment adalah salah satu jenis asuransi jiwa yang memberikan
nilai tunai manfaat kepada pihak tertanggung sekaligus investasi.
Setiap orang yang mengikuti asuransi wajib membayar premi. Premi
merupakan sejumlah uang yang wajib dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada
pihak penanggung sesuai dengan kontrak asuransi yang telah disepakati. Terdapat
beberapa faktor yang harus diperhatikan dalam perhitungan premi asuransi jiwa,
yaitu: biaya perusahaan, tingkat kematian dan tingkat suku bunga (Sembiring,
1986). Sehubungan dengan tingkat suku bunga, selama ini premi asuransi dihitung
2
bunga selalu berubah-ubah secara tidak menentu karena berbagai faktor yang
memengaruhinya, seperti: suku bunga SBI, kurs dollar, inflasi dan lain sebagainya.
Hull (2003) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu
secara tidak menentu disebut mengikuti proses stokastik. Proses stokastik
merupakan suatu himpunan variabel acak yang merupakan fungsi dari waktu
(Paul, 2013). Suku bunga merupakan suatu nilai yang selalu berubah-ubah setiap
waktu secara tidak menentu, sehingga perubahan suku bunga dapat dikatakan
mengikuti proses stokastik. Oleh karena itu, diperlukan suatu model suku bunga
yang dapat menangkap pergerakan suku bunga yang berubah-ubah mengikuti
proses stokastik tersebut dan selanjutnya disebut sebagai model suku bunga
stokastik. Vasicek merupakan salah satu model suku bunga stokastik yang sering
digunakan dalam perhitungan-perhitungan finansial. Model Vasicek mempunyai
ciri khusus yaitu tingkat suku bunga akan cenderung kembali ke tingkat suku bunga
rata-rata setelah mengalami penurunan atau peningkatan. Model ini cocok
digunakan mengingat pergerakan suku bunga yang selalu berfluktuatif
(Zetun dan Gupta, 2007).
Soffan (2011) telah melakukan perhitungan premi asuransi jiwa berjangka
dengan model Vasicek menggunakan metode numerik. Hasil penelitiannya adalah
besar nilai suku bunga awal yang digunakan dalam perhitungan premi tidak
memengaruhi konvergensi nilai suku bunga menuju tingkat suku bunga rata-rata.
Sementara itu, sejauh ini penelitian mengenai perhitungan premi asuransi jiwa
endowment dengan suku bunga Vasicek menggunakan metode simulasi Monte
3
simulasi yang dilakukan dengan cara membangkitkan bilangan acak. Kelebihan
metode simulasi Monte Carlo dalam perhitungan premi asuransi adalah dapat dicari
kisaran kerugian atau keuntungan yang dialami perusahaan asuransi untuk tingkat
kepercayaam tertentu (Dickson et al, 2013).
Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dikaji perhitungan premi asuransi
jiwa endowment dengan suku bunga Vasicekmenggunakan metode simulasi Monte
Carlo. Selanjutnya akan dibahas perbandingan hasil perhitungan premi asuransi
jiwa endowment suku bunga Vasicek tanpa menggunakan simulasi Monte Carlo
dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah pada
penelitian ini sebagai berikut:
1. Bagaimana hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment dengan suku
bunga Vasicekmenggunakan simulasi Monte Carlo?
2. Bagaimana perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment
suku bunga Vasicektanpa dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo?
1.3 Batasan Masalah
Agar permasalahan tidak meluas, batasan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Premi asuransi jiwa endowment yang akan ditentukan dalam penelitian ini
adalah premi netto kasus diskrit.
2. Simulasi umur yang digunakan adalah 30, 35, 40, 45, 50, 55 dan 60 tahun.
3. Tabel Mortalita yang digunakan dalam penelitian ini adalah Tabel Mortalita
4
4. Jangka waktu kontrak asuransi yang digunakan dalam penelitian ini adalah
30 tahun.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Untuk mengetahui hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment suku
bunga Vasicek menggunakan simulasi Monte Carlo.
2. Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa
endowment suku bunga Vasicek tanpa dan dengan menggunakan simulasi
Monte Carlo.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah:
1. Bagi Pembaca
Menambah pengetahuan pembaca mengenai perhitungan premi asuransi
jiwa endowment dengan suku bunga Vasicek.
2. Bagi Perusahaan
Diharapkan dapat dijadikan bahan pertimbangan kepada perusahaan
asuransi yang masih menggunakan suku bunga konstan agar menggunakan
suku bunga stokastik dalam menentukan premi asuransi.
3. Bagi Mahasiswa
Penelitian ini diharapkan bisa dijadikan acuan dalam penelitian selanjutnya
apabila ingin melakukan penelitian yang berhubungan dengan perhitungan
