ABSTRAK
Persamaan gelombang air dangkal adalah persamaan yang memodelkan aliran air di tempat terbuka. Persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut sistem Saint-Venant yang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum.
Dalam skripsi ini, persamaan gelombang air dangkal diselesaikan menggunakan beberapa metode, yaitu metode volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Metode volume hingga bekerja dengan cara membagi domain ruang menjadi sebanyak berhingga sel, kemudian dihitung rata-rata kuantitas untuk masing-masing sel. Metode beda hingga grid kolokasi dikerjakan secara implisit yaitu membagi domain ruang menjadi sebanyak berhingga titik, kemudian persamaan gelombang air dangkal didiskretkan dan membentuk sebuah sistem persamaan linear. Terakhir, metode beda hingga grid selang-seling bekerja dengan cara membagi domain perhitungan ruang secara selang-seling. Kedalaman air dihitung pada grid dengan indeks bilangan bulat dan kecepatan air dihitung pada grid dengan indeks pecahan. Penggunaan metode yang tepat akan menghasilkan solusi yang akurat untuk persamaan gelombang air dangkal.
ABSTRACT
The shallow water wave equations model water flows in an open channel. The shallow water wave equations are often called the Saint-Venant system derived from the conservations of mass and momentum.
In this thesis, the shallow water wave equations are solved using several methods, the Lax-Friedrichs finite volume method, collocation grid finite difference method and staggered grid finite difference method. The finite volume method works by dividing the spatial domain into a finite number of cells, then calculating the average quantity for each cell. The collocation grid finite difference method divides the spatial domain into a finite number of computational points for the shallow water equation discretization and forms a linear system of equations. Finally, the staggered grid finite difference method works by discretising the computational domain into staggered spatial partitions. The staggered finite diference means that we approximate the quantities of interest of the shallow water equations on different cells. In the staggered formulation, water depth is calculated at full grid points and water velocity is calculated at half grid points. The appropriate method will produce an accurate solution for the shallow water wave equations.
PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR
DANGKAL DENGAN BEBERAPA METODE NUMERIS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun oleh: Ilga Purnama Sari
NIM: 123114023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
i
PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR
DANGKAL DENGAN BEBERAPA METODE NUMERIS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun oleh: Ilga Purnama Sari
NIM: 123114023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
SOLUTION TO THE SHALLOW WATER WAVE
EQUATIONS WITH SOME NUMERICAL METHODS
A THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika Mathematics Study Program
Written by: Ilga Purnama Sari Student ID: 123114023
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
vii
ABSTRAK
Persamaan gelombang air dangkal adalah persamaan yang memodelkan aliran air di tempat terbuka. Persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut sistem Saint-Venant yang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum.
Dalam skripsi ini, persamaan gelombang air dangkal diselesaikan menggunakan beberapa metode, yaitu metode volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Metode volume hingga bekerja dengan cara membagi domain ruang menjadi sebanyak berhingga sel, kemudian dihitung rata-rata kuantitas untuk masing-masing sel. Metode beda hingga grid kolokasi dikerjakan secara implisit yaitu membagi domain ruang menjadi sebanyak berhingga titik, kemudian persamaan gelombang air dangkal didiskretkan dan membentuk sebuah sistem persamaan linear. Terakhir, metode beda hingga grid selang-seling bekerja dengan cara membagi domain perhitungan ruang secara selang-seling. Kedalaman air dihitung pada grid dengan indeks bilangan bulat dan kecepatan air dihitung pada grid dengan indeks pecahan. Penggunaan metode yang tepat akan menghasilkan solusi yang akurat untuk persamaan gelombang air dangkal.
viii
ABSTRACT
The shallow water wave equations model water flows in an open channel. The shallow water wave equations are often called the Saint-Venant system derived from the conservations of mass and momentum.
In this thesis, the shallow water wave equations are solved using several methods, the Lax-Friedrichs finite volume method, collocation grid finite difference method and staggered grid finite difference method. The finite volume method works by dividing the spatial domain into a finite number of cells, then calculating the average quantity for each cell. The collocation grid finite difference method divides the spatial domain into a finite number of computational points for the shallow water equation discretization and forms a linear system of equations. Finally, the staggered grid finite difference method works by discretising the computational domain into staggered spatial partitions. The staggered finite diference means that we approximate the quantities of interest of the shallow water equations on different cells. In the staggered formulation, water depth is calculated at full grid points and water velocity is calculated at half grid points. The appropriate method will produce an accurate solution for the shallow water wave equations.
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ... viii
DAFTAR ISI ... ix
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 4
C. Pembatasan Masalah ... 5
D. Tujuan Penulisan ... 5
E. Metode Penulisan ... 5
F. Manfaat Penulisan ... 6
G. Sistematika Penulisan ... 6
x
A. Integral ... 8
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial ... 11
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 15
D. Persamaan Diferensial Hiperbolik ... 16
E. Penurunan Numeris ... 18
F. Karakteristik Persamaan Gelombang Air Dangkal ... 25
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL ... 28
A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal ... 28
B. Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi ... 29
C. Masalah Bendungan Bobol ... 35
D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs ... 37
E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi ... 44
F. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling ... 53
BAB IV PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIS DALAM PENYELESAIAN MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL ... 57
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs ... 58
B. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi ... 62
C. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling ... 66
xi
A. Kesimpulan ... 71
B. Saran ... 72
DAFTAR PUSTAKA ... 73
1
BAB I PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, rumusan dan pembatasan
masalah, tujuan dan manfaat penulisan, juga akan disertakan sistematika penulisan.
A. Latar Belakang
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu
fungsi beserta turunan-turunannya. Banyak masalah fisis yang dapat diselesaikan
dengan persamaan diferensial. Masalah fisis merupakan masalah yang
berhubungan dengan hukum alam yang dibahas dalam ilmu fisika. Masalah fisis
seperti fluida dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial
parsial.
Fluida merupakan zat yang dapat mengalir. Zat itu dapat berupa gas atau
cairan. Aliran fluida merupakan salah satu masalah fisis yang sering dijumpai
dalam kehidupan sehari-hari. Masalah yang sudah pernah ada adalah terjadinya
bencana alam seperti bobolnya bendungan air atau tsunami. Bencana alam tersebut
disebabkan oleh aliran air dalam skala besar. Aliran tersebut dapat dimodelkan
secara matematis (Crowhurst, 2013; Crowhurst dan Li, 2013).
Model gelombang air yang sudah ada salah satunya adalah model gelombang
air dangkal atau Shallow Water Wave Equations. Dangkal dalam arti matematis
Dengan demikian, nilai perbandingan antara amplitudo gelombang dengan
panjang gelombang � ditulis
�≪ .
Penyelesaian persamaan gelombang air dangkal memiliki dua komponen
penting yang tidak diketahui yaitu kedalaman dan kecepatan air, dengan ℎ ,
adalah kedalaman air dan , adalah kecepatan air. Di sini, adalah variabel
yang menyatakan waktu dan adalah variabel yang menyatakan ruang satu
dimensi. Persamaan gelombang air dangkal dalam bentuk sistem persamaan
diferensial parsial dinyatakan oleh dua persamaan simultan, yaitu
ℎ + ℎ = (1.1)
dan
ℎ + ℎ + ℎ = − ℎ (1.2)
dengan adalah ketinggian tanah, dan adalah konstanta percepatan gravitasi.
Ilustrasi gelombang air dangkal ditunjukkan dalam Gambar 1.1.
Gambar 1.1: Gelombang air dangkal dan variabel-variabel terkait dalam
persamaan gelombang air dangkal. �
x y
Pada skripsi ini akan diselesaikan persamaan gelombang air dangkal terkait
dengan masalah bendungan bobol. Masalah bendungan bobol memiliki beberapa
asumsi, syarat awal dan syarat batas yang akan dibahas lebih lanjut pada Bab III.
Ilustrasi bendungan air dapat dilihat pada Gambar 1.2.
Gambar 1.2: Bendungan air
Secara umum, solusi persamaan gelombang air dangkal tersebut cukup sulit
untuk dicari secara analitis, sehingga diperlukan cara lain untuk memecahkannya.
Metode numeris adalah salah satu cara untuk memperoleh solusi persamaan
gelombang air dangkal tersebut. Banyak metode numeris yang telah dikembangkan
sebelumnya untuk memecahkan solusi persamaan tersebut, mulai dari metode
karakteristik, metode beda hingga, metode elemen hingga, metode volume hingga
dan sebagainya. Metode beda hingga dikembangkan berdasarkan diskritisasi
langsung dari persamaan diferensial yang dipandang (LeVeque, 1992). Metode
beda hingga unggul dalam kemudahan komputasi. Dalam tugas akhir ini akan
dibahas penyelesaian persamaan gelombang air dangkal dengan metode beda
hingga dan metode volume hingga, karena perumusan kedua metode tersebut
Metode beda hingga terbagi atas dua model yaitu model grid kolokasi dan
model grid selang-seling. Pada grid kolokasi ditentukan nilai pendekatan untuk
semua variabel ℎ dan yang tidak diketahui secara bersamaan. Pada grid
selang-seling ditentukan pendekatan variabel ℎ dan secara selang-seling. Salah satu
referensi tentang grid kolokasi adalah LeVeque (1992). Salah satu referensi tentang
grid selang-seling adalah Stelling dan Duinmeijer (2003).
Penelitian ini akan membandingkan hasil perhitungan terbaik antara metode
volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid
selang-seling. Dari ketiga metode tersebut diperoleh hasil perhitungan terbaik yang
dapat memperbaiki metode beda hingga dengan tidak ada getaran semu (artificial
oscillation) pada hasil simulasi aliran air. Fokus penelitian ini adalah
mengembangkan metode numeris dengan metode beda hingga dan volume hingga
untuk menyimulasikan aliran air.
B. Rumusan Masalah
Permasalahan yang dirumuskan dalam skripsi ini ada empat, yaitu:
1. Bagaimana memodelkan gelombang air dangkal?
2. Bagaimana menyelesaikan dan menyimulasikan persamaan gelombang air
dangkal dengan menggunakan metode volume hingga?
3. Bagaimana menyelesaikan dan menyimulasikan persamaan gelombang air
dangkal dengan menggunakan metode beda hingga grid kolokasi?
4. Bagaimana menyelesaikan dan menyimulasikan persamaan gelombang air
C. Pembatasan Masalah
Pembahasan masalah dalam skripsi ini akan dibatasi pada memodelkan
gelombang air dangkal satu dimensi dan mencari penyelesaian persamaan
gelombang air dangkal dengan metode beda hingga dan volume hingga.
D. Tujuan Penulisan
Skripsi ini mempunyai dua tujuan, yaitu:
1. Merumuskan dan menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dengan
beberapa metode numeris, yaitu metode volume hingga Lax-Friedrichs, metode
beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling.
2. Membandingkan beberapa hasil simulasi numeris menggunakan metode volume
hingga Lax-Friedrichs, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda
hingga grid selang-seling. Dari hasil simulasi tersebut kemudian dipilih hasil
yang terbaik yang memuat galat yang paling kecil.
3. Menyimulasikan metode volume hingga Lax-Friedrichs, metode beda hingga
grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling untuk masalah
bendungan bobol.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan
F. Manfaat Penulisan
Dengan memodelkan persamaan gelombang air, kita dapat
1. Menyimulasikan terjadinya banjir.
2. Memperkirakan daerah mana saja yang akan tenggelam.
3. Memperkirakan kecepatan dan kedalaman air pada daerah tersebut.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Metode Penulisan
E. Tujuan Penulisan
F. Manfaat Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Integral
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
C. Nilai eigen dan vektor eigen
D. Persamaan Diferensial Hiperbolik
E. Penurunan Numeris
F. Karakteristik Persamaan Gelombang Air Dangkal
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG
AIR DANGKAL
A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal
B. Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi
C. Masalah Bendungan Bobol
E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi
F. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling
BAB IV PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIS DALAM
PENYELESAIAN MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
B. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi
C. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
8
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Landasan teori skripsi ditulis dalam bab ini. Landasan teori tersebut meliputi:
integral, klasifikasi persamaan diferensial, nilai eigen dan vektor eigen, persamaan
diferensial hiperbolik, penurunan numeris, dan karakteristik persamaan gelombang
air dangkal.
A.Integral
Pada bagian ini dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh
dari integral tentu dan aturan Leibniz.
Definisi 2.1
Jika diberikan suatu fungsi pada suatu interval � dan berlaku ′ =
, untuk suatu , maka adalah anti turunan dari . Dengan kata lain
′ = .
Contoh 2.1
Carilah suatu anti turunan dari = pada −∞, ∞ .
Penyelesaian:
Fungsi = bukan anti turunannya karena turunan adalah . Tetapi
hal ini menyarankan = , yang memenuhi ′ = = . Dengan
Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … . Notasi tersebut menunjukkan anti
turunan terhadap . Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.
Integral Tentu
Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini.
Gambar 2.1: Ilustrasi fungsi satu variabel
Untuk menghitung luasan dibawah kurva = pada interval [ , ], dapat
dihitung dengan cara aproksimasi yaitu dengan membagi interval [ , ] menjadi
subinterval. Subinterval tersebut memiliki panjang yang sama yaitu −
� untuk >
. Setelah membagi interval menjadi subinterval kemudian menghitung total
jumlah luasan dari masing persegi panjang yang dibentuk oleh
masing-masing subinterval tersebut. Hal ini diperoleh dengan memilih , , … , � dengan
= , = �, dan
− − = −
untuk � = , , … , . Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu −
�
dinotasikan dengan
∆ = − − .
Luas daerah dibawah kurva diaproksimasikan dengan total luas daerah yang
dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah
� + � + ⋯ + ��. Artinya total luas tersebut yang dapat ditulis
∆ + ∆ + ⋯ + � ∆ = ∑ ∆
�
=
yang disebut jumlahan Riemann fungsi pada interval [ , ], sebagai pendekatan
luas daerah di bawah kurva = dan diatas sumbu . Di sini, ∈ [ − , ].
Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya ∆ → maka semakin
baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang
sebenarnya. Dengan demikian,
Luas daerah = lim∆ → ∑ ∆ .
Definisi 2.2
Andaikan fungsi yang terdefinisi pada [ , ]. Integral tentu dari sampai
dinotasikan ∫ , adalah
Aturan Leibniz
Teorema 2.1
Aturan Leibniz untuk satu variabel:
Jika adalah fungsi kontinu pada interval [ , ] dan jika dan adalah
fungsi yang dapat diturunkan terhadap yang nilainya terletak di interval [ , ],
maka
∫ = ( ) − ( )
Teorema 2.2
Aturan Leibniz untuk dua variabel:
Jika , adalah fungsi sedemikian sehingga turunan parsial dari terhadap
ada dan kontinu, maka
∫ , = ∫ �� + , − , .
Bukti dapat dilihat pada buku karangan David. B dan George. C yang berjudul
Basic Partial Differential Equations.
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Berikut ini dibahas tentang klasifikasi persamaan diferensial. Klasifikasi
diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, orde
persamaan diferensial dan kelinearan suatu persamaan diferensial.
Definisi 2.3
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel
tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.
Contoh 2.2
Persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial:
+ ( ) = (2.1)
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan biasa beserta satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 2.3
Persamaan (2.1) dan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa. Pada
persamaan (2.1) variabel adalah suatu variabel bebas, dan variabel adalah
variabel tak bebas. Pada persamaan (2.2), variabel adalah variabel bebas, dengan
Definisi 2.5
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu
variabel bebas.
Contoh 2.4
Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial. Pada
persamaan (2.3), variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel tak
bebasnya. Pada persaman (2.4) terdapat tiga variabel bebas yaitu , , dan . Pada
persamaan (2.4) variabel tak bebasnya adalah .
Definisi 2.6
Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang
terkandung dalam persamaan diferensial.
Contoh 2.5
Persamaan diferensial biasa (2.1) adalah persamaan diferensial orde kedua,
karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah dua.
Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan (2.3)
termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan (2.4) merupakan
persamaan diferensial parsial orde kedua.
Definisi 2.7
Suatu persamaan diferensial biasa orde ke-
dikatakan linear jika merupakan suatu fungsi linear dari variabel
, ′, ′′, … , � ; definisi yang sama juga berlaku untuk persamaan diferensial
parsial. Secara umum persamaan diferensial biasa linear orde dituliskan sebagai
� + �− + ⋯ +
� = (2.5)
dengan tidak sama dengan nol.
Contoh 2.6
Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear. Pada kedua persamaan
berikut, variabel adalah variabel tak bebas. Perhatikan bahwa dan
turunan-turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari dan/ atau
turunan dari .
+ + = (2.6)
+ + = . (2.7)
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk (2.5)
dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear.
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:
+ ( ) + = (2.9)
+ + = (2.10)
Persamaan (2.8) tak linear karena variabel tak bebas terdapat pada pangkat
kedua dalam bentuk . Persamaan (2.9) juga tak linear karena terdapat bentuk
�
� yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertama. Persamaan (2.10) tak
linear karena pada bentuk �
� melibatkan perkalian terhadap variabel tak bebas
dan turunan pertamanya.
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut dibahas mengenai definisi dan contoh dari nilai eigen dan vektor
eigen.
Definisi 2.9
Jika � adalah matriks × , maka vektor tak nol � di ℝ� disebut vektor eigen
dari � jika �� merupakan perkalian skalar dengan � atau dapat ditulis
�� = ��
untuk suatu skalar �. Skalar � disebut nilai eigen dari � dan � disebut vektor eigen
yang bersesuaian dengan �.
Contoh 2.8
� = [ − ]
yang bersesuaian dengan nilai eigen � = , karena
�� = [ − ] [ ] = [ ] = �.
Secara geometri, perkalian matriks � dengan vektor � memiliki kelipatan 3
terhadap vektor �. Ilustrasi secara geometri ditunjukkan dalam Gambar 2.2.
Gambar 2.2: Ilustrasi geometri vektor eigen.
D. Persamaan Diferensial Hiperbolik
Persamaan diferensial hiperbolik dapat digunakan untuk memodelkan banyak
fenomena yang melibatkan pergerakan gelombang. Perhatikan bentuk persamaan
diferensial berikut
, + � , = , (2.11)
Di sini = ��
Dalam kasus yang paling sederhana yaitu koefisien konstan dan linear. Dalam
hal ini ∶ ℝ × ℝ → ℝ� adalah vektor dengan komponen yang menyatakan fungsi
yang tidak diketahui (tekanan, kecepatan, dan sebagainya) yang ingin ditentukan,
dan � suatu konstan merupakan matriks real berukuran × n. Andaikan � = ̅
suatu konstan yang menyatakan kecepatan perambatan (aliran pada pipa satu
dimensi misalnya), maka persamaan (2.11) menjadi
, + ̅ , = , (2.12)
persamaan ini disebut persamaan adveksi.
Persamaan , + � , = adalah persamaan hiperbolik, jika
matriks � memiliki nilai eigen real dan berkorespondensi dengan vektor eigen
yang bebas linear. Artinya, semua vektor dalam ℝ� dapat secara tunggal diuraikan
sebagai kombinasi linear dari nilai-nilai eigen tersebut. Secara formal definisi
persamaan diferensial hiperbolik sebagai berikut.
Definisi 2.10
Suatu sistem linear dengan bentuk
+ � =
dikatakan hiperbolik jika matriks � yang berukuran × n dapat didiagonalkan
dengan nilai eigen real.
Secara khusus untuk persamaan adveksi, diketahui bahwa � = ̅, yang
merupakan suatu konstanta real. Jadi � dapat didiagonalkan oleh nilai � itu sendiri
dan nilai eigen dari � adalah � itu sendiri. Dengan demikian, persamaan adveksi
persamaan diferensial hiperbolik dapat ditemukan dalam buku karangan LeVeque
(2004).
E.Penurunan Numeris
Pada subbab ini dibahas mengenai penurunan numeris beserta contohnya dan
penjelasan mengenai tiga hampiran dalam menghitung turunan numerik yaitu
hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda pusat.
Definisi 2.11
Suatu turunan fungsi didefinisikan dengan
′ = lim
∆ →
+ ∆ −
∆ .
Seringkali fungsi tidak diketahui secara eksplisit, tetapi hanya diketahui
beberapa titik data saja. Seringkali diketahui secara eksplisit tetapi karena
bentuknya yang sangat rumit sehingga untuk menentukan fungsi turunannya juga
sulit, misalnya pada fungsi-fungsi berikut ini:
a . =√cos + tan
sin + − cos ,
b . = + ln .
Perhitungan nilai turunan pada fungsi (a) dan (b) dapat dikerjakan secara numerik.
Nilai turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran dan diharapkan nilai
Tiga Hampiran dalam Menghitung Turunan Numerik
Turunan adalah limit dari hasil bagi pengurangan dua buah nilai yang besar
+ ∆ − dan membaginya dengan bilangan yang kecil ∆ . Misal
diberikan nilai-nilai di − ∆ , , dan + ∆ , serta nilai fungsi untuk
nilai-nilai tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah − , − , , , dan
, , yang dalam hal ini − = − ∆ dan = + ∆ . Terdapat tiga
hampiran dalam menghitung nilai ′ :
1. Hampiran Beda Maju
Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran beda
2. Hampiran Beda Mundur
Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran beda
3. Hampiran Beda Pusat
Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3: Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris; (a) Hampiran beda
maju, (b) Hampiran beda mundur, dan (c) Hampiran beda pusat.
Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor
ketiga pendekatan yang disebutkan di atas (maju, mundur, pusat).
1. Hampiran Beda Maju
Uraikan + di sekitar :
atau dapat ditulis
∆ ′= + − −∆ ′′− ⋯
kedua ruas dibagi dengan ∆ sehingga diperoleh
′= + −
∆ −
∆ ′′
− ⋯
karena ∆ ′′− ⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu
′= + −
∆ + ∆
yang dalam hal ini, ∆ =∆ ′′ , < < + .
Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi:
′ = −
∆ + ∆ .
Dalam hal ini ∆ =∆ ′′ , < < + menyatakan penurunan numeris
secara beda maju memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis ∆ .
2. Hampiran Beda Mundur
Uraikan − di sekitar :
kedua ruas dibagi dengan ∆ sehingga diperoleh
′= − −
∆ −
∆ ′′
+ ⋯
karena ∆ ′′− ⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu
′= − −
secara beda mundur memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis ∆ .
3. Hampiran Beda Pusat
Kurangkan persamaan (2.13) dengan persamaan (2.14) diperoleh:
+ − − = + ∆ ′+∆ ′′+ ⋯ − − ∆ ′+∆ ′′− ⋯
dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan diperoleh
+ − − = ∆ ′+∆ ′′′+ ⋯
atau dapat ditulis
∆ ′= + − − −∆ ′′′− ⋯
Kedua ruas dibagi dengan ∆ sehingga diperoleh
′= + − −
mempengaruhi nilai ′ sehingga dapat ditulis
′= + − −
yang dalam hal ini, ∆ = −∆
numeris secara beda pusat yang memiliki tingkat keakuratan tingkat dua atau ditulis
∆ . Perhatikan bahwa hampiran beda pusat lebih baik daripada dua hampiran
sebelumnya, sebab orde galatnya adalah ∆ .
Menentukan Orde Galat
Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, rumus galat
dalam penurunan rumus turunan numeris tersebut dapat langsung diperoleh. Tetapi
dengan polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan bantuan deret
Taylor.
Contoh 2.9
Tentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numeris hampiran beda pusat:
′ = − −
∆ +
Nyatakan (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi rusa kanan dengan
deret Taylor di sekitar :
= ′ − − −
= ′−
F. Karakteristik Persamaan Gelombang Air Dangkal
Dipandang persamaan gelombang air dangkal
ℎ + ℎ = (2.15)
ℎ + ℎ + ℎ = . (2.16)
Gabungan persamaan (2.15) dan (2.16) dalam suatu sistem persamaan gelombang
air dangkal yaitu
[ ℎℎ ] + [ℎ +ℎ ℎ ] = (2.17)
Jika diasumsikan ℎ dan halus (smooth), maka persamaan (2.16) dapat
untuk menggantikan bentuk ℎ . Kemudian dengan menghilangkan beberapa
bentuk, persamaan (2.16) menjadi
+ [ + ℎ] = . (2.18)
Pada persamaan (2.15) dan (2.18) memiliki bentuk yang bergantung dengan
konstanta . Bentuk tersebut dapat disubtitusi dengan variabel � = ℎ. Sehingga
sistem persamaan air dangkal menjadi
[�] + [ + �� ] = (2.19)
Sistem persamaan tersebut ekuivalen dengan sistem persamaan (2.17) untuk solusi
yang halus. Namun ada catatan penting bahwa manipulasi yang dilakukan di atas
bergantung pada kehalusan pada masalah. Kedua sistem dari hukum konservasi
tidak ekuivalen dalam menghitung shock waves. Sistem yang tepat untuk digunakan
adalah sistem persamaan (2.17) yang berasal dari persamaan integral asli. Untuk
mempelajari shock waves digunakan persamaan (2.17) dan diambil
, = [ ℎℎ ] = [ ] , = [ℎ +ℎ ℎ ] = [ + ].
Untuk solusi halus (smooth), persamaan tersebut dapat ditulis secara ekuivalen
dalam bentuk quasilinear
+ ′ =
′ = [
+ ] = [− + ℎ ].
(2.20)
Nilai eigen dari ′ adalah
� = − √ ℎ, � = + √ ℎ (2.21)
Dengan vektor eigen
= [ − √ ℎ], = [ + √ ℎ]. (2.22)
Nilai eigen dan vektor eigen adalah fungsi untuk sistem nonlinear. Jika diinginkan
gelombang dengan amplitudo yang sangat kecil, maka persamaan (2.17) dapat
dilinearkan terlebih dahulu untuk mendapatkan sistem yang linear. Keterangan
lengkap tentang karakteristik persamaan air dangkal dapat ditemukan dalam buku
28
BAB III
METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL
Dalam bab ini akan dijelaskan metode volume hingga, metode beda hingga
grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Metode tersebut
digunakan untuk menyelesaikan masalah bendungan air bobol, terkait dengan
persamaan gelombang air dangkal.
A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal
Galat perhitungan pada penurunan numeris diperoleh dengan mengurangkan
solusi numeris dengan solusi eksak. Berikut adalah solusi eksak yang akan
digunakan dalam perhitungan simulasi numeris pada MATLAB:
ℎ =
{
ℎ , jika − √ ℎ
ℎ = √ ℎ − , jika − √ ℎ < − √ ℎ
ℎ =ℎ √ + �̇ℎ − , jika − √ ℎ < < �̇
ℎ , jika �̇
=
dengan ℎ adalah kedalaman air pada titik dan adalah kecepatan air pada
titik . Notasi �̇ adalah konstanta kecepatan shock untuk > , yaitu
�̇ = √ ℎ + ℎ
Volume Methods for the One Dimensional Shallow Water Equations (2008).
B. Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi
Persamaan gelombang air dangkal dideskripsikan dari gerak fluida. Ada dua
jenis gerak fluida yang dideskripsikan, yaitu Langrangian dan Eulerian. Deskripsi
Langrangian berpusat pada partikel individu, dan pergerakannya diamati sebagai
fungsi dari waktu. Posisi, kecepatan dan percepatan setiap partikel dinotasikan
dengan , , , , dan , , kemudian kuantitasnya misalnya massa,
momentum dan energi dapat dihitung. Pada kasus ini merupakan titik awal atau
penamaan partikel.
Deskripsi Eulerian merupakan sebuah alternatif yang dapat diikuti setiap
partikel fluida secara terpisah. Kemudian dilakukan pengamatan untuk kecepatan
Laju perubahan kecepatan ketika partikel melewati setiap titik dapat diamati dengan
� ,
� , dan perubahan kecepatan terhadap waktu pada setiap titik tertentu dapat
diamati oleh � ,
� . Dalam deskripsi Eulerian, sifat aliran (seperti kecepatan)
merupakan fungsi dari ruang dan waktu.
Persamaan air dangkal ini terdiri dari dua persamaan. Persamaan pertama
diturunkan dari hukum konservasi massa dan persamaan kedua diturunkan dari
hukum konservasi momentum. Berikut ini akan diuraikan penurunan persamaan
gelombang air dangkal atau biasa disebut Shallow Water Wave Equations.
a. Hukum Kekekalan Massa
Hukum kekekalan massa berarti massa tersebut tidak dapat diciptakan atau
dimusnahkan. Hal ini berarti massa total pada keseluruhan sistem sama setiap saat.
Terdapat beberapa asumsi yang terlibat dalam penurunan persamaan hukum
kekekalan massa. Pertama, aliran air diasumsikan tenang artinya tidak ada
gangguan dari luar dan kecepatannya diabaikan. Kedua, densitas � air pada setiap
titik adalah konstan sehingga air mampat. Selain itu diasumsikan bahwa tempat air
kedap atau tertutup rapat karena massa adalah kekal. Oleh karena itu, massa pada
setiap volume kontrol (yaitu volume tertentu atau kolam air yang diamati) hanya
dapat berubah ketika aliran melintasi batas-batas volume kontrol.
Secara umum, aliran air dapat diilustrasikan pada Gambar 1.1. Notasi yang
digunakan yaitu menyatakan variabel jarak sepanjang aliran air, menyatakan
variabel waktu, adalah topografi tanah, ℎ , adalah kedalaman air di titik
stage, dan , adalah kecepatan aliran air di titik dan pada waktu . Massa
total pada air di setiap volume kontrol [ , ] ditentukan oleh
= ∫ �ℎ , (3.1)
Pernyataan ini dapat diperoleh sebagai berikut. Kepadatan massa terhadap
kedalaman �̅ di sebarang titik , adalah �ℎ , yang dapat dihitung dengan
mengintegralkan � dari ke , , yaitu
�̅ , = ∫ , �
= �ℎ , .
Akibatnya, pengintegralan �ℎ , dari ke mengarah ke massa total di
volume kontrol seperti yang dinyatakan dalam (3.1). Tingkatan aliran air yang
melewati setiap titik , terhadap kedalaman air disebut flux massa , yaitu
= �̅ , , (3.2)
= �ℎ , ,
Dengan menggunakan (3.2) dan asumsi bahwa massa dapat berubah hanya karena
aliran yang melewati batas volume kontrol, dapat ditentukan bahwa
∫ �ℎ , + ∆ = ∫ �ℎ ,
+ ∫ +∆ �ℎ , , −∫+∆ �ℎ , ,
(3.3)
berlaku untuk setiap volume kontrol. Hal ini berarti bahwa massa pada setiap
yang masuk dan dikurangi dengan flux yang keluar dari volume kontrol selama
periode ∆ . Ilustrasi dari kontinuitas massa ditunjukkan pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1: Aliran air yang masuk dan keluar dari volume kontrol.
Misalkan ∆ dan ∆ adalah kuantitas yang sangat kecil, yaitu ∆ = − .
Dengan menggunakan perluasan Taylor, persamaan (3.3) dapat ditulis
�ℎ , + ∆ ∆
= �ℎ , ∆ + �ℎ ( −∆ , ) ( −∆ , ) ∆
− �ℎ ( +∆ , ) ( +∆ , ) ∆ + ∆ + ∆ .
Dengan mengabaikan bentuk ∆ dan ∆ persamaan terakhir di atas
ekuivalen dengan
�ℎ , + ∆ − �ℎ ,
∆ = −
�ℎ | +∆ , − �ℎ | −∆ ,
∆
(3.4)
Persamaan (3.4) dibagi dengan � kemudian ∆ dan ∆ diaproksimasikan menuju
nol sehingga persamaan (3.4) menjadi
ℎ + ℎ = . (3.5)
Persamaan (3.5) disebut persamaan hukum kekekalan massa.
b. Hukum Kekekalan Momentum
Hukum kedua Newton menyatakan bahwa perubahan momentum dari suatu
sistem sama dengan total gaya yang bekerja. Berdasarkan hukum Newton tersebut,
maka dapat ditulis
= .
Gaya didefinisikan sebagai laju perubahan momentum terhadap waktu .
Momentum total dari perpindahan air pada volume kontrol dari ke pada waktu
dinotasikan dengan , yaitu
= ∫ �ℎ , , (3.6)
Dengan mengasumsikan tekanan hidrostatik, gaya pada titik dan di atas
kedalaman air pada waktu adalah
= � ℎ ,
= − � ℎ ,
Dengan > adalah konstanta yang menyatakan percepatan gravitasi. Lebih
lanjut, gaya pada ∆ seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2, yaitu
∆ = −� ℎ , ∆
Atau dapat ditulis dengan
Dan karena gaya melalui dasar volume kontrol maka
= ∫ −� ℎ , .
Oleh karena itu, gaya total di atas volume kontrol dinyatakan dengan yang
merupakan jumlahan dari , , dan , yaitu
= � ℎ , − � ℎ , − ∫ � ℎ , (3.7)
Turunan pertama dari terhadap adalah
= ∫ �ℎ , ,
Dengan menggunakan aturan Leibniz, turunan hasil integral pada persamaan
terakhir di atas dapat ditulis
= ∫ � �ℎ ,� , + �ℎ , ,
− �ℎ , ,
(3.8)
Menurut hukum kedua Newton tentang gerak, hasil dari persamaan (3.8) sama
∫ +∆ ∫ �ℎ + ∫ +∆ �ℎ , ,
− ∫ +∆ �ℎ , ,
= ∫ +∆ � ℎ , ∫+∆ � ℎ ,
− ∫ +∆ ∫ � ℎ ,
(3.9)
Dengan cara yang sama seperti (3.3), persamaan (3.9) dapat ditulis
ℎ + (ℎ + ℎ ) = − ℎ
Yang biasa disebut dengan persamaan kekekalan momentum.
Dengan demikian, persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut
sistem Saint-Venant. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai dua persamaan
simultan
{ ℎ + (ℎ +ℎ + ℎ =ℎ ) = − ℎ
(3.10)
di sini variabel x menyatakan arah aliran air.
C. Masalah Bendungan Bobol
Diketahui persamaan gelombang air dangkal dengan topografi horizontal
+ = (3.11)
= [ ℎℎ] dan = [ ℎ + ℎ ℎ ]
dengan adalah variabel ruang, adalah variabel waktu, ℎ = ℎ , adalah
kedalaman air, = , adalah kecepatan air dan = , adalah percepatan
gravitasi. Semua kuantitas diasumsikan dalam satuan SI.
Akan disimulasikan solusi masalah bendungan bobol dengan metode volume
hingga Lax-Friedrics, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga
grid selang-seling dengan menggunakan MATLAB (kondisi awal adalah "air yang
tenang" seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2). Pada kasus ini dianggap
dinding bendungan ditarik ke atas secara instan.
Gambar 3.2: Bendungan air
Dinding bendungan air berada di titik = dan kedalaman awal air adalah
ℎ , = {ℎ , jika <ℎ , jika >
dan kecepatan awal aliran air adalah
Bendungan air Permukaan air
Permukaan air
ℎ =
, = , untuk semua .
Diambil domain ruang [− , ]. Simulasi pada program dihentikan pada = . .
Pada kasus ini diasumsikan massa jenis konstan, tidak ada turbulen dan fluida ideal.
D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan
flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode
volume hingga Lax-Friedrichs.
1.1. Skema Metode Volume Hingga
Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan yang bersifat hiperbolik
adalah
Misalkan domain pada ruang didiskretkan menjadi sebanyak berhingga kontrol
volume (interval) atau sel sebagai berikut:
dengan ∆ = − − atau ∆ = + − − .
Domain waktu didiskretkan menjadi
� = ∙ ∆
−
− +
dengan = , , , , …
Selanjutnya misalkan � adalah pendekatan dari rata-rata volume kuantitas ,
dalam interval ruang ke- � di waktu �, yaitu
� adalah pendekatan dari rata-rata debit material (flux) ,
di titik + dalam interval waktu [ �, �+ ], yaitu
Dari hukum kekekalan, laju perubahan kuantitas (massa) dinyatakan oleh
∫ �+ , �
�−
= − [ ( + , ) − ( − , ) ].
Dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh
�+ − �
Persamaan tersebut merupakan skema volume hingga untuk + = .
Skema metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda
�+ − �
1.2. Perhitungan Flux Secara Numeris dalam Metode Volume Hingga
Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan
+ = .
Misalkan � ≈ , � dan
+
� = (
+ , �) .
Skema metode volume hingga untuk persamaan diferensial parsial di atas adalah
�+ = �− ∆
Oleh karena itu, flux di titik pada waktu � juga diketahui, yaitu
� ≈ ( , � )
Metode Stabil dan Tidak Stabil
Metode numeris dikatakan stabil artinya bahwa galat yang muncul pada setiap
iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika galat yang
muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak terhingga pada iterasi-iterasi
berikutnya maka metodenya disebut tidak stabil. Teori kestabilan tidak dibahas
lebih lanjut dalam skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku
referensi misalnya LeVeque (1992, 2004).
Di setiap titik + , flux dapat dihitung menggunakan beberapa pendekatan.
1. Flux tak stabil
+
� ≈ [ � +
+
� ]
Sehingga skema metode volume hingga menjadi
�+ = �− ∆
∆ � + �+ − �− − �
�+ = �− ∆
∆ ( �+ − �− )
Namun, skema metode volume hingga ini tidak stabil.
2. Flux Lax-Friedrichs
Skema Lax-Friedrichs memodifikasi skema metode volume hingga tak stabil di
�+ =
Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk ∆ yang cukup kecil.
3. Flux Upwind
Metode upwind cocok untuk metode yang sudah diketahui arah rambatan
gelombangnya. Contoh jika akan diselesaikan persamaan diferensial parsial
+ =
dengan konstan positif (arah rambat gelombang ke kanan)
+
Dengan demikian skema upwind adalah
�+ = �−∆
Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Masalah persamaan gelombang air dangkal dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode volume hingga. Dipandang sistem persamaan air dangkal
ℎ + [ ℎ] = (3.12)
dan
[ ℎ] + [ ℎ + ℎ ] = . (3.13)
Persamaan (3.12) mempunyai skema metode volume hingga sebagai berikut:
�+ = � −∆
∆ +
� −
− �
Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh
+
� = �
dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan
(3.12) maka dalam metode volume hingga diperoleh = ℎ dan = ℎ.
Sekarang dari persamaan (3.12) dicari flux
= �− ℎ −
� + �ℎ� − ∆
∆ ℎ� − ℎ�− .
Persamaan (3.13) memiliki skema metode volume hingga sebagai berikut
�+ = � −∆
∆ +
� −
− �
Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh
+
� = �
dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan
(3.13) maka dalam metode volume hingga diperoleh = ℎ dan
= ℎ + ℎ .
Sekarang dari persamaan (3.13) dicari flux
= [( �− ℎ −
� + ℎ
−
� ) + ( �ℎ�+ ℎ �)]
− ∆∆ �ℎ� − �− ℎ�− .
Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode
volume hingga dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam
Gambar 3.3. Pada hasil simulasi persamaan air dangkal, program simulasi berhenti
pada saat = . . Kedalaman awal air pada program ini adalah ℎ = ,ℎ = .
Gambar 3.3: Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal
E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi
Metode beda hingga digunakan dalam masalah komputasi numerik. Metode
beda hingga dibagi menjadi tiga bagian, yaitu beda maju, beda mundur, dan beda
pusat.
Solusi Numeris Metode Beda Hingga Grid Kolokasi
Diketahui nilai awal kedalaman air ℎ = dan ℎ = , kecepatan air =
= , dan percepatan gravitasi = . .
Banyaknya langkah untuk ruang adalah dengan ∈ ℤ+ dan index � untuk
menunjukkan ruang yaitu � + . Langkah ukuran dilambangkan dengan
∆= −� . Jadi, = + � − ∆, = dan �+ = , dan banyaknya
interval kecil adalah − simpul (node).
Begitu juga untuk waktu, jumlah langkah untuk waktu adalah dengan ∈
ℤ+. Untuk � waktu, ∈ ℤ+: − < . Berikut akan dihitung persamaan
beda yaitu beda mundur untuk waktu dan beda pusat untuk ruang.
Beda mundur untuk variabel waktu �
Dipandang persamaan (3.12) dan (3.13). Kedua persamaan tersebut ditulis
secara sistematis dan diasumsikan nilai ℎ , dan , pada waktu �−
kemudian dicari nilai pada waktu �.
�
� ℎ , ≈
ℎ , � − ℎ , �−
∆
≈ ℎ�− ℎ∆ �− .
dengan melakukan diskritisasi lengkap diperoleh
≈ ℎ�− �− �−
∆ + �−
ℎ�− ℎ�−
∆ .
Beda pusat untuk variabel ruang �
Dipandang persamaan (3.12) dan (3.13). Kedua persamaan tersebut ditulis
secara sistematis dan diasumsikan nilai ℎ , dan , pada ruang −
kemudian dicari nilai pada waktu .
�
dan untuk bentuk kedua
�
Jadi, persamaan beda dari (3.12) dan (3.13) menjadi
[
ℎ�− ℎ�−
dan konservasi momentum dalam bentuk diskrit
ℎ�− �−∆ �− + �− ℎ�− ℎ∆ �− + ℎ�− �− �+ −∆ �−
+ �− ℎ�+ −∆ �− + ℎ�− ℎ�+ − ℎ∆ �− =
(3.17)
Persamaan (3.16) dikali dengan �− diperoleh
�− ℎ�− ℎ�−
Persamaan (3.17) dikurang (3.18) diperoleh
ℎ�− � − �−
Sehingga diperoleh dua persamaan
�− ℎ�− ℎ�−
Persamaan konservasi massa pada persamaan (3.19) dibagi dengan �− , diperoleh
Persamaan (3.20) dikali dengan ∆ ∆ diperoleh
Dengan menggunakan sifat distributif pada perkalian, persamaan (3.21) menjadi
∆ ℎ�− ∆ ℎ�− + ∆ �− ℎ�+ − ∆ �− ℎ�− + ∆ ℎ�− �+ − ∆ ℎ�− �−
=
∆ ℎ�− � − ∆ ℎ�− �− + ∆ ℎ�− �− �+ − ∆ ℎ�− �− �−
+ ∆ ℎ�− ℎ�+ − ∆ ℎ�− ℎ�− =
Sehingga persamaan (3.16) menjadi
∆ ℎ�+ ∆ �− ℎ�+ ∆ ℎ�− �− ∆ ℎ�− � = ∆ ℎ�− +
Jika diketahui syarat batas kecepatan awal , = , = , dan ketinggian
[
Dalam program MATLAB digunakan syarat batas untuk kedalaman awal air
metode beda hingga grid kolokasi dengan menggunakan program MATLAB
ditunjukkan dalam Gambar 3.4. Hasil simulasi program berhenti pada waktu
= . .
Gambar 3.4: Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal
dengan metode beda hingga grid kolokasi.
F. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling
Sekarang persamaan air dangkal akan diselesaikan dengan metode beda
hingga grid selang-seling kemudian solusi numerisnya dibandingkan dengan
metode volume hingga dan metode beda hingga grid kolokasi yang sudah dilakukan
di atas.
[ ℎℎ ] + [ℎ +ℎ ℎ ] = .
Perhitungan domain < < �, > dengan grid selang-seling pada domain
ruang = , , … , − , , + , … , �
�+ = �. Metode beda hingga
selang-seling adalah pendekatan dua persamaan (3.12) dan (3.13) pada grid berbeda. Pada
rumus selang-seling, nilai variabel ℎ dihitung pada grid bilangan bulat , � =
, … , dan dihitung pada grid pecahan + , � = , … , . Selanjutnya, hukum
kekekalan massa pada persamaan (3.12) dihitung dengan pendekatan pada grid
[ − , + ] dan hukum kekekalan momentum pada persamaan (3.13) dihitung
dengan pendekatan pada grid [ , + ].
Solusi Numeris Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling
Pendekatan konsisten terhadap ruang dari (3.12) dan (3.13) adalah
∆ℎ
Dengan menggunakan metode upwind orde satu, pendekatan nilai dari
ℎ̂+ = {ℎ ℎ , jika +
+ , jika + <
(3.39)
̂ = { − , jika
(3.36) dan (3.37) menjadi
ℎ�+ − ℎ�
Persamaan (3.41) dan (3.42) dihitung dengan menggunakan program MATLAB.
Hasil simulasi gelombang air dangkal dengan metode beda hingga grid
selang-seling ditunjukkan dalam Gambar 3.5. Pada simulasi penyelesaian persamaan
gelombang air dangkal berikut, program berhenti pada saat = . dengan
Gambar 3.5: Hasil simulasi model gelombang air dangkal dengan metode beda
57
BAB IV
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIS DALAM PENYELESAIAN MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL
Pada bagian ini akan dibahas hasil-hasil simulasi numeris untuk tiga metode,
yaitu metode volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda
hingga grid selang-seling.
Simulasi numeris untuk masing-masing metode dilakukan menggunakan
program MATLAB dengan konsidi awal ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1: Bendungan air dengan kondisi awal adalah air yang tenang.
Kedalaman air di sebelah kiri bendungan adalah ℎ = dan di sebelah kanan bendungan adalah ℎ = .
Bendungan air Permukaan air
Permukaan air
ℎ =
Galat solusi perhitungan dan ℎ dihitung dengan menggunakan rumus
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Pada Bab III dibahas mengenai solusi numeris dari persamaan gelombang air
dangkal dengan metode volume hingga. Dalam Bab IV ini dibahas mengenai hasil
simulasi solusi numeris persamaan gelombang air dangkal dengan menggunakan
MATLAB. Simulasi ini dilakukan untuk beberapa nilai , yaitu 100, 200, 400, 800,
1600, dan 3200.
Berikut merupakan hasil simulasi numeris untuk persamaan gelombang air
dangkal menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Grafik simulasi
Gambar 4.2: Grafik simulasi numeris dengan metode volume hingga
Lax-Friedrichs untuk = , = . detik, ∆ = . , dan ∆ = . ∆ .
Gambar 4.2 memberikan ilustrasi geometris mengenai simulasi yang telah
dilakukan. Terlihat pada gambar bahwa selisih solusi numeris dan eksaknya kecil.
Dengan kata lain, solusi numerisnya hampir mendekati solusi eksak. Simulasi ini
menggunakan nilai = , ∆ = . , dan ∆ = . ∆ . Simulasi berhenti
pada saat = . .
Tabel 4.1. Hasil simulasi numeris menggunakan metode volume hingga
Lax-Friedrichs pada = .
Galat pada
3200 0.0198 0.0166 Rata-rata
galat 0.1084 0.0877
Dari Tabel 4.1 tampak bahwa semakin kecil yang diambil, semakin besar
galat (error) yang dihasilkan. Ketika diambil nilai yang cukup besar maka galat
simulasi akan semakin kecil karena banyaknya partisi pada ruang di sumbu yang
semakin banyak dan mendekati solusi eksaknya. Artinya ketika besar solusi yang
diperoleh akan lebih akurat. Dapat dilihat juga pada grafik bahwa solusi eksak dan
numerisnya berhimpit. Namun pada ujung-ujung grafik, kedua grafik terlihat tidak
berhimpit. Artinya masih ada galat perhitungan pada penggunaan metode ini.
Ilustrasi galat secara geometris ditunjukkan pada Gambar 4.3.
Gambar 4.4: Grafik log galat kecepatan aliran air dan log galat kedalaman aliran air ℎ menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs
Gambar 4.4 menunjukkan nilai log galat , ℎ , , ℎ , ∞ dan
ℎ ∞. Rumus galat ∞ tidak tepat digunakan sebagai alat untuk mengukur
keakuratan metode volume hingga Lax-Friedrichs untuk persamaan gelombang air
dangkal. Rumus galat ∞ tidak dapat menunjukkan bahwa semakin banyak titik,
komputasi errornya akan semakin kecil. Sedangkan rumus galat dan
merupakan rumus yang tepat untuk digunakan sebagai alat untuk mengukur
keakuratan metode ini untuk persamaan gelombang air dangkal karena dan
dapat menunjukkan bahwa semakin banyak titik, komputasi errornya akan semakin
Kelebihan dari metode ini adalah skema numeriknya sederhana dan
perhitungan komputasinya juga sangat mudah. Kekurangan metode ini adalah
ketika diambil ∆ cukup besar metode volume hingga Lax-Friedrichs tidak stabil.
B. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi
Selanjutnya akan dipaparkan hasil simulasi numeris penyelesaian gelombang
air dangkal menggunakan metode beda hingga grid koloksi. Pada Bab III telah
dibahas solusi numeris untuk model gelombang air dangkal dengan metode beda
hingga grid kolokasi. Solusi numeris yang diperoleh disimulasikan dengan
menggunakan MATLAB. Kondisi awal yang digunakan adalah sama dengan pada
simulasi sebelumnya.
Grafik simulasi numeris ditunjukkan pada Gambar 4.5. Grafik yang
dihasilkan tidak mulus karena banyak getaran semu pada grafik. Simulasi ini
menggunakan nilai = , ∆ = . , dan ∆ = . ∆ . Simulasi berhenti
Gambar 4.5: Grafik simulasi numeris dengan metode beda hingga grid kolokasi
untuk = , = . detik, ∆ = . , dan ∆ = . .
Tampak pada gambar bahwa selisih solusi numeris dengan solusi eksak
sangat besar. Hal ini mengakibatkan solusi numeris yang dihasilkan tidak akurat.
Berikut merupakan hasil simulasi numeris untuk persamaan gelombang air dangkal
menggunakan metode beda hingga grid kolokasi.
Tabel 4.2. Hasil simulasi numeris metode beda hingga grid kolokasi pada = .
Galat pada
Rata-rata
galat 1.2113 0.9731
Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa tidak ada perbedaan galat yang signifikan.
Misalnya pada = dan = , di mana galat yang dihasilkan hampir
sama. Nilai galat cukup besar yaitu berkisar 1.2 sedangkan nilai galat ℎ berkisar
0.9, hal ini tidak sesuai dengan yang diharapkan. Ilustrasi galat secara geometris
ditunjukkan pada gambar 4.6.
Gambar 4.7: Grafik galat kecepatan aliran air dan kedalaman air ℎ menggunakan metode beda hingga gris kolokasi
Gambar 4.7 menunjukkan nilai log galat , ℎ , , ℎ , ∞ dan
ℎ ∞. Rumus galat , , dan ∞ tidak tepat digunakan sebagai alat untuk
mengukur keakuratan metode beda hingga grid kolokasi untuk persamaan
gelombang air dangkal. Rumus galat , , dan ∞ tidak dapat menunjukkan
bahwa semakin banyak titik, komputasi errornya akan semakin kecil.
Metode ini memiliki kelebihan yaitu ketika diambil ∆ cukup besar metode
ini tetap stabil. Adapun kekurangan dari metode ini yaitu memiliki skema
perhitungan numerik yang cukup rumit jika dibandingkan dengan skema eksplisit
metode volume hingga Lax-Friedrichs. Metode ini memiliki sifat stabil tanpa
syarat. Selain itu, kekurangan pada model ini adalah memiliki galat yang besar pada
perhitungan numeriknya karena hanya dipandang satu grid saja untuk menghitung
bukan pilihan yang tepat untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal
terkait dengan masalah bendungan bobol.
C. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling
Pada bagian sebelumnya telah dilihat hasil simulasi menggunakan metode
volume hingga dan metode beda hingga grid kolokasi. Pada metode beda hingga
grid kolokasi masih terdapat getaran semu dalam hasil grafik yang dapat dilihat
pada Gambar 4.8. Sehingga diperlukan model grid selang-seling untuk
memperbaiki model grid kolokasi agar tidak ada getaran semu dalam hasil simulasi
persamaan gelombang air dangkal. Hasil simulasi numeris menggunakan model
grid selang-seling ditunjukkan pada Gambar 4.8.
Gambar 4.8: Grafik simulasi numeris dengan metode beda hingga grid
Tampak pada Gambar 4.8 bahwa grafik kedalaman dan kecepatan aliran air
terlihat lebih halus dari simulasi-simulasi sebelumnya. Grafik solusi numeris
terlihat berhimpit dengan grafik solusi eksak. Namun pada ujung kiri grafik
kecepatan aliran air tampak tidak berhimpit. Artinya, galat yang dihasilkan sangat
kecil.
Dibandingkan dengan kedua metode yang sudah dibahas diatas, metode beda
hingga grid selang-seling memberikan hasil yang lebih akurat. Secara grafis terlihat
bahwa solusi numeris tampak berhimpit dengan solusi eksaknya. Dengan kata lain,
solusi numeris sudah sangat dekat dengan solusi eksaknya.
Sekarang akan dilihat hasil simulasi numeris menggunakan metode beda
hingga grid selang-seling.
Tabel 4.3. Hasil simulasi numeris menggunakan metode beda hingga grid
selang-seling pada = .
Tabel 4.3 menunjukkan bahwa semakin besar nilai yang diambil, semakin
kecil galat yang dihasilkan. Galat yang dihasilkan dengan metode beda hingga
sebelumnya. Misalnya pada = diperoleh galat = . dan galat ℎ =
. . Kemudian diuji untuk nilai = diperoleh galat = . dan galat
ℎ = . . Artinya, galat pada = adalah setengah kalinya galat pada =
. Ilustrasi galat secara geometris ditunjukkan pada Gambar 4.9.
Gambar 4.9: Grafik galat kecepatan aliran air dan kedalaman air ℎ menggunakan metode beda hingga grid selang-seling
Galat yang dihasilkan pada metode beda hingga grid selang-seling lebih kecil
jika dibandingkan dengan metode beda volume hingga dan metode beda hingga
kolokasi. Metode beda hingga grid kolokasi memiliki galat yang lebih besar dari
Gambar 4.10: Grafik galat kecepatan aliran air dan kedalaman air ℎ menggunakan beda hingga grid selang-seling
Gambar 4.10 menunjukkan nilai log galat , ℎ , , ℎ , ∞ dan
ℎ ∞. Rumus galat ∞ tidak tepat digunakan sebagai alat untuk mengukur
keakuratan metode beda hingga grid selang-seling untuk persamaan gelombang air
dangkal. Rumus galat ∞ tidak dapat menunjukkan bahwa semakin banyak titik,
komputasi errornya akan semakin kecil.
Sedangkan rumus galat dan merupakan rumus yang tepat untuk
digunakan sebagai alat untuk mengukur keakuratan metode ini untuk persamaan
gelombang air dangkal karena dan dapat menunjukkan bahwa semakin
banyak titik, komputasi errornya akan semakin kecil.
Model grid selang-seling memiliki kelebihan dan kekurangan. Kelebihan dari
metode beda hingga grid kolokasi dan metode volume hingga Lax-Friedrichs.
Kekurangan metode ini yaitu skema untuk menyelesaikan persamaan lebih rumit
dibandingkan dengan skema grid kolokasi karena dalam perhitungan dipandang dua
grid untuk menghitung setiap variabel yang berbeda. Jadi, setiap variabel yang tidak
diketahui dihitung pada grid yang berbeda. Sehingga menghasilkan galat yang
kecil.
Dengan demikian, untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal
secara numeris terkait dengan masalah bendungan bobol, penulis menyarankan
penggunaan skema beda hingga grid selang-seling.
Hasil-hasil pada bab ini telah diseminarkan pada The 2016 International
Conference on Information Systems and Applied Mathematics (Mungkasi dan Ilga
71
BAB V
PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan atas pembahasan bab-bab sebelumnya
serta saran untuk penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Telah dilihat bahwa untuk menyelesaikan model gelombang air dangkal
secara numeris dapat diselesaikan dengan berbagai metode numeris. Pada bab-bab
sebelumnya telah diuji beberapa metode yaitu metode volume hingga, metode beda
hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Berdasarkan hasil
simulasi numeris didapatkan penyelesaian yang terbaik dan sesuai yang diharapkan.
Nilai rata-rata galat dari ketiga metode yang sudah dibahas pada Bab IV
adalah sebagai berikut
Metode Numeris Rata-rata galat Rata-rata galat ℎ Metode volume hingga
Lax-Friedrichs 0.1084 0.0877
Metode beda hingga grid
kolokasi 1.2113 0.9731
Metode beda hingga grid
selang-seling 0.0605 0.0448
Dari ketiga metode tersebut dapat dilihat bahwa metode beda hingga grid
selang-seling memiliki rata-rata galat dan ℎ yang paling kecil dibandingkan dengan
kedua metode lainnya. Metode beda hingga grid selang-seling adalah metode yang
terbaik berdasarkan hasil simulasi numeris yang dilakukan, apabila dibandingkan
Dengan demikian, untuk menyelesaikan model gelombang air dangkal
terkait dengan masalah bendungan bobol, penulis menyarankan untuk
menggunakan metode beda hingga grid selang-seling.
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan.
Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang melanjutkan penelitian
ini. Tulisan ini hanya membahas model gelombang air dangkal satu dimensi.
Penulis berharap kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini di ruang dimensi
yang lebih tinggi dan jika dimungkinkan menggunakan model yang lain yang
