Open Source. Not For Commercial Use. Vektor

Open Source Not For Commercial Use

Vektor

Vektor adalah sebuah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasanya digam- barkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping) dan namanya menggunakan sebuah huruf kecil dengan anak panah di atasnya (~u).

Pangkal

Ujung u

Ilustrasi

Perhatikan sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu-x dengan laju 10 m/detik dan benda kedua bergerak sepanjang lingkaran dengan laju yang sama.

Apakah kedua benda tersebut mempunyai kecepatan yang sama?

Apakah kedua benda tersebut mempunyai percepatan ?

Ilustrasi ini memberikan gambaran bahwa kecepatan merupakan sebuah vektor.

Arah sebuah vektor ditentukan dari sudut yang dibentuk oleh sumbu-x positif dengan arah vektor tersebut.

Dua buah vektor dikatakan sama bila pan- jang/besar dan arahnya sama, sedangkan posisi pangkalnya tidak perlu sama.

Penjumlahan dua buah vektor

Cara 1:

Pangkal vektor ~v digeser ke ujung dari vek- tor ~u. Vektor −−−→u+ v adalah vektor yang pangkalnya sama dengan pangkal vektor ~u dan ujungnya berada pada ujung vektor ~v.

(lihat gambar sebelah kiri).

Open Source Not For Commercial Use

Cara 2:

Pangkal vektor ~v di geser ke pangkal vektor

~

u, kemudian dibuat jajaran genjang sesuai dengan ujung-ujung vektor ~v dan ~u. Vektor

−−−→u+ v adalah diagonal jajaran genjang yang berpangkal di pangkal vektor ~u (lihat gambar sebelah kanan).

Sifat komutatif: ~u + ~v = ~v + ~u

Perkalian sebuah vektor dengan skalar/bilangan

Latihan:

1.

A

C B

u v

v v m v

Bila AB = ²₃AC,

Nyatakan vektor ~m dalam ~u dan ~v

2.

200 N

600

450

T1

v

Tv2

Sebuah benda digantung seperti pada gambar.

Tentukan besarnya gaya tegangan tali T₁ dan T₂

Open Source Not For Commercial Use

Representasi Vektor secara Aljabar di R² (Bidang) dan di R³ (Ruang) Sebuah vektor dapat kita representasikan pada koordinat kartesius sebagai berikut:

y

x

x

y

z uv^=<u u u₁, ₂, ₃^>

u₁

u₂ uv^{=<u u1, 2>}

P = (7, 5, −2) Q= (11, −2, −8)

−→P Q = h11−7, −2−5, −8+2i

−→P Q = h4, −7, −6i

Sebuah vektor di bidang yang berpangkal di pusat koordinat dan ujungnya pada titik (u1, u₂) kita notasikan sebagai hu¹, u₂i. Notasi ”kurung lancip” digunakan untuk membedakan dengan pengertian titik. Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang.

Misalkan ~u = hu¹, u₂i dan ~v = hv¹, v₂i.

Untuk memperoleh rumus penjumlahan ~u + ~v, perhatikanlah gambar di samping kanan. Dari ilustrasi geometri tersebut diperoleh rumus:

~u+ ~v = hu¹ + v1, u₂+ v2i

Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang.

Bila ~a = ha¹, a₂, a₃i dan ~b = hb¹, b₂, b₃i,

~a+ ~b = ha¹ + b1, a₂ + b2, a₃ + b3i

u

y

u

1

x

u

₂

v

₁

v

2

u v

1+ 1

u v

_{2+ 2}

v v

u ₊ v

Misalkan c ∈ R, maka berlaku c~u = hcu¹, cu₂i Sifat² :

Misalkan ~u, ~v, ~w tiga buah vektor dan a, b ∈ R, maka berlaku:

1. ~u + ~v = ~v + ~u (komutatif)

2. (~u + ~v) + ~w = ~v + (~u + ~w) (asosiatif) 3. ~u + ~0 = ~u dengan ~0 = h0, 0i

4. ~u + (−~u) = ~0

Open Source Not For Commercial Use

6. a(~u + ~v) = a~u + a~v 7. (a + b)~u = a~u + b~u 8. 1 ~u = ~u

y

x

x

y

i$

$j

i$ $j

k$

$ $

| |i$ =| |j =| | 1k = Vektor Basis

Perhatikan : ~u = hu¹, u₂i = u¹h1, 0i + u²h0, 1i.

Vektor² bi = h1, 0i dan bj = h0, 1i disebut vektor² basis di bidang.

Dengan demikian, kita dapat menuliskan ~u = hu¹, u₂i sebagai ~u = u1bi+ u₂bj.

Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang. Vektor basisnya adalah: bi = h1, 0, 0i, bj = h0, 1, 0i, dan bk = h0, 0, 1i. Jadi ~u = hu¹, u₂, u₃i = u¹bi+ u₂bj + u₃bk

Panjang vektor:

Panjang sebuah vektor ~u = hu¹, u₂i, ditulis||~u|| = p

u²₁ + u²₂. Contoh: Diberikan ~u = h4, 3i, tentukan ||~u|| dan ||−2~u||

y

u1 x u₂

2 2

1 2

| |u= u +u r

Hasil kali titik/dalam:

Misalkan ~u = hu¹, u₂i, dan ~v = hv¹, v₂i dua buah vektor.

Hasil kali titik/dalam dari ~u dan ~v adalah ~u· ~v = u¹v₁ + u2v₂ Perhatikan bahwa hasilnya merupakan sebuah skalar.

Sifat² Hasil Kali Titik:

Misalkan ~u, ~v, ~w tiga buah vektor dan c ∈ R, maka:

1. ~u · ~v = ~v · ~u (komutatif)

2. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w distributif 3. c(~u · ~v) = (c~u) · ~v = ~u · (c~v)

4. ~0 · ~u = 0.

5. ~u · ~u = ||~u||²

6. ~u · ~v = ||~u|| ||~v|| cos(θ), θ sudut antara ~u dan ~v.

Akibat: ~u ⊥ ~v ⇐⇒ ~u · ~v = 0

Open Source Not For Commercial Use

Vektor Proyeksi

q

u v

v v

w v

Perhatikan gambar di samping. Vektor ~u diproyeksikan pada ~v dan hasilnya adalah vektor ~w.

Bagaimana menentukan vektor ~w?

|| ~w|| = ||~u|| cos θ = ||~u||||~u|| ||~v||^~u·~v

~

w = || ~w|| × vektor satuan dari vektor ~v.

~

w = ||~u|| ||~u|| ||~v||^~u·~v

~v

||~v|| = ||~v|| ||~v||^~u·~v ~v = _||~v||^~u·~v2~v Latihan:

1. Tentukan b supaya h8, 6i dan h3, bi saling tegak lurus.

2. Bila A = (4, 3), B = (1, −1) dan C = (6, −4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut ABC.

3. Cari vektor proyeksi ~u = h−1, 5i pada ~v = h3, 3i 4. Cari vektor proyeksi ~u = h4, 5, 3i pada ~v = h2, 2, −6i Persamaan Bidang di Ruang

x

y z

n v

P

Q

v

Perhatikan bidang v (warna pink).

Titik P = (x0, y₀, z₀) terletak pada bidang v.

Vektor ~n = hA, B, Ci tegak lurus terhadap v.

Akan ditentukan persamaan bidang v.

Ambil sebarang titik Q = (x, y, z) pada bidang v.

Jelas vektor −→P Q = hx − x⁰, y− y⁰, z − z⁰i ⊥ ~n.

hx − x⁰, y− y⁰, z − z⁰i · hA, B, Ci = 0 A(x − x⁰) + B(y − y⁰) + C(z − z⁰) = 0.

Latihan:

1. Misalkan P = (1, 2, 3) dan Q = (4, 4, −2). Tentukan persamaan bidang yang melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor −→P Q.

2. Tentukan sudut antara bidang 3x − 4y + 7z = 5 dan bidang 2x + 4y + 3z = 8.

3. Buktikan jarak dari titik (x , y , z ) ke bidang Ax + By + Cz = D adalah

Open Source Not For Commercial Use

Persamaan Garis di Ruang

Diberikan titik P = (x0, y₀, z₀) dan vektor ~v = ha, b, ci Akan ditentukan persamaan garis yang melalui titik P dan sejajar dengan vektor ~u.

Misalkan Q = (x, y, z) sebuah titik sebarang pada garis tersebut.

Vektor ~v sejajar dengan vektor −→P Q, sehingga

−→P Q = t ~v, dengan t ∈ R.

hx − x⁰, y − y⁰, z − z⁰i = t ha, b, ci.

x

y z

vv

P

Q

Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, yaitu:





x = x0 + t a y = y0 + t b z = z₀ + t c

disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis.

Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut:

x−x⁰

a = ^y−y_b ⁰ = ^z−z_c ⁰ disebut Persamaan Simetrik dari garis di atas.

Latihan:

1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik (2, 5, −1) dan sejajar vektor

< 4, −3, 2 >.

2. Cari persaman garis yang merupakan perpotongan antara bidang² 2x − y − 5z = −14 dan 4x + 5y + 4z = 28.

Open Source Not For Commercial Use

Hasil Kali Silang (Cross Product)

Hasil kali silang hanya didefinisikan pada vektor di ruang. Misalkan ~u = hu1, u₂, u₃i dan ~v = hv¹, v₂, v₃i dua buah vektor. Hasil kali silang dari ~u dan ~v didefinisikan sebagai:

~u× ~v =   

ˆi ˆj kˆ u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃

   =

  

ˆi ˆj kˆ u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃

  +

  

ˆi ˆj kˆ u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃

  +

  

ˆi ˆj ˆk u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃

  

~u× ~v = (u²v₃− u³v₂)ˆi − (u¹v₃ − u³v₁)ˆj + (u1v₂ − u²v₁)ˆk Sifat² Hasil Kali Silang:

Misalkan ~u, ~v tiga buah vektor maka:

1. (~u × ~v) ⊥ ~u dan (~u × ~v) ⊥ ~v, akibatnya

~u· (~u × ~v) = 0 dan ~v · (~u × ~v) = 0

2. ~u, ~v, dan (~v × ~v) membentuk ”right handed triple”

3. ||~u × ~v|| = ||~u|| ||~v|| sin θ, dengan θ sudut antara ~u dan ~v.

Latihan:

1. Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik (1,−2, 3), (4, 1, −2), dan (−2, −3, 0).

2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, yaitu ~u × ~v = ~v × ~u.

3. Tunjukkan, secara geometri, ||~u × ~v|| adalah luas jajaran genjang seperti pada gambar di sebelah kiri bawah.

4. Tunjukkan, secara geometri, | ~w· (~u × ~v)| adalah volume ”parallelepiped” seperti pada gambar di sebelah kanan bawah.

uv

vv wv

uv

vv

a

Open Source Not For Commercial Use

Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

r(t)

z

x

P

y

Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di ruang den- gan lintasan seperti pada gambar di samping kiri.

Posisi titik P pada saat t dinyatakan oleh vektor yang berpangkal di titik asal dan ujungnya di titik P. Posisinya tersebut dapat ditulis sebagai ~r(t) = hf(t), g(t), h(t)i. Vektor ~r merupakan fungsi den- gan variabel real t dan nilainya adalah sebuah vektor.

Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor.

Bentuk umum fungsi berbentuk vektor dengan variabel real:

F~(t) = f (t)bi + g(t) bj = hf(t), g(t)i dengan t ∈ R atau

F~(t) = f (t)bi + g(t) bj+ h(t) bk = hf(t), g(t), h(t)i dengan t ∈ R

Untuk selanjutnya hanya akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk fungsi bernilai vektor di bidang aturannya sama saja, hanya komponennya dua buah.

Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor

Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor ”sama” dengan konsep limit di fungsi real biasa. Untuk perhitungannya berlaku sifat berikut:

Misalkan ~F(t) = hf(t), g(t), h(t)i, maka lim_t→cF~(t) = hlim_t→cf(t), lim

t→cg(t), lim

t→ch(t)i Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb:

Misalkan ~F(t) = hf(t), g(t)i, maka a. ~F^′(t) = hf^′(t), g^′(t)i

b. R F~(t) dt = hR

f(t) dt , R

g(t) dti

Open Source Not For Commercial Use

Sifat² Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor:

Misalkan ~F(t), ~G(t) fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi real dan c ∈ R, maka:

1. Dt[ ~F(t) + ~G(t)] = ~F^′(t) + ~G^′(t) 2. Dt[c ~F(t)] = c ~F^′(t)

3. Dt[h(t) ~F(t)] = h(t) ~F^′(t) + h^′(t) ~F(t) 4. Dt[ ~F(t) ~G(t)] = ~F^′(t) ~G(t) + ~F(t) ~G^′(t) 5. Dt[ ~F(h(t))] = ~F^′(h(t)) h^′(t)

Contoh: Diberikan ~F(t) = (t² + t)bi + e^tbj.

a. Tentukan ~F^′(t) dan ~F^′′(t) dan sudut antara ~F^′(0) dan ~F^′′(0).

b. Tentukan Dt[t³F~(t)] dan R1 0

F~(t) dt ^♠

Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat

~r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan ~v dan percepatannya ~a adalah:

~v(t) = ~r^′(t), dan ~a(t) = ~r^′′(t)

Arah dari vektor kecepatan ~v dapat dikaji dari defin- isi turunan r^′, yaitu ~v(t) = lim

h→0

~r(t+h)−~r(t)

h . Dengan demikian arah ~v sama dengan arah garis singgung ter-

hadap ~r(t). ^r(t)

r(t+h)

r(t+h) - r(t)

Latihan:

1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik.

Bila kedudukan awalnya di (1, 0), tentukan kecepatan dan percepatannya pada saat t = 0, 5 dan gambarkan.

2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (x, y) = (3 cos t, 2 sin t).

a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahnya.

b. Tentukan kecepatan, laju dan percepatannya.

c. Tentukan saat kapan lajunya maksimum dan berapa nilainya.

d. Tunjukkan vektor percepatannya selalu menuju titik asal.

3. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan ~r(t) =< t,^t₂²,^t₃³ >. Carilah