BAB 1 PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Permasalahan
Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang terus mengalami perkembangan, dan memungkinkan untuk terus diteliti dan dikembangkan. Pada tahun 1854, teori integral dengan penggunaan partisi sebagai dasar pengembangannya telah disusun oleh Riemann.
Teori Integral Riemann merupakan teori integral yang mudah dipelajari dan dimengerti dalam mempelajarinya. Namun demikian, seiring jalannya waktu teori Integral Riemann juga mengalami perkembangan.
Ralph Henstock (1957) seorang ahli matematikawan, mencermati ada fungsi yang tidak terintegral Riemann. Sebagaimana diketahui pendefinisian integral yang dilakukan Riemann hanya membahas fungsi yang terbatas, namun demikian tidak semua fungsi yang terbatas terintegralkan secara Riemann, contoh fungsi yang tidak terintegral Riemann adalah fungsi Dirichlet. Dengan menggunakan partisi, Henstock menyusun teori integral baru yang dikenal dengan nama Integral Henstock. Pada pendefinisian Integral Riemann, suatu fungsi dikatakan terintegral Riemann pada selang , , jika untuk setiap partisi pada , , limit dari jumlah Riemann terhadap partisi itu ada. Dalam hal ini panjang selang dari partisi ditentukan oleh . Dalam pendefinisian Integral Henstock, merupakan suatu fungsi dari partisi yang . Integral Henstock memiliki beberapa nama seperti Integral Gauge, Integral Henstock-Kurzweil atau perluasan Integral Riemann. Integral Henstock ini merupakan perluasan dari integral Riemann, karena jika fungsi f terintegral
2
, . Semua fungsi yang terintegral Riemann dinyatakan oleh , dan himpunan semua fungsi yang terintegral Henstock dinyatakan dengan , . Pada tulisan ini akan dibahas konstruksi dari Integral Henstock dan beberapa sifat utamanya.
1.2.Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dalam penulisan skripsi ini antara lain :
1. Bagaimana bentuk partisi pada Integral Henstock?
2. Bagaimana definisi dari Integral Henstock dan perbedaannya dengan Integral Riemann?
3. Bagaimana sifat-sifat dasar dari Integral Henstock?
1.3. Batasan masalah
Pembahasan pada skripsi ini meliputi definisi dan sifat-sifat dasar pada Integral Integral Henstock yaitu sifat tunggal dan linear.
1.4. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penulisan skripsi ini adalah
1. Mengetahui bentuk dari partisi pada Integral Henstock 2. Mengetahui definisi dari Integral Henstock dan perbedaannya
dengan Integral Riemann
3. Mengetahui sifat-sifat dasar dari Integral Henstock.
1.5. Manfaat Penulisan
1. Manfaat Bagi Penulis
Dengan tersusunnya skripsi ini, penulis dapat memperdalam dan mengembangkan wawasan displin ilmu yang telah dipelajari, khususnya Integral Henstock.
2. Manfaat Bagi Pemerhati matematika
Sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika, khususnya bidang fungsi analisis.
3. Manfaat Bagi Institusi
Untuk menambah perbendaharaan karya tulis ilmiah sehingga dapat memberikan informasi ilmu analisis dalam matematika, khususnya integral Henstock.
1.6. Metode Penulisan
Penulisan Skripsi ini dengan metode studi literature.
1.7. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan merupakan rangkaian urutan dari beberapa uraian penjelasan dalam suatu karya ilmiah. Adapun sistematika penulisan skripsi ini hanya memuat 5 bab. Dengan rincian sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode dan sistematika penulisan.
4
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi pembahasan mengenai definisi dan teorema yang menjadi konsep dasar dalam membahas Integral Henstock.
BAB III INTEGRAL RIEMANN
Bab ini berisi pembahasan mengenai partisi, definisi Integral Riemann dan sifat-sifat dasar tentang Integral Riemann.
BAB IV PEMBAHASAN
Bab ini berisi pemaparan hasil penelitian dan bagaimana proses terjadinya Integral Henstock.
BAB V PENUTUP
Bab ini berisi dikemukakan kesimpulan akhir dan beberapa saran.
BAB 2 DASAR TEORI
2.1. Supremum dan Infimum
Berikut ini akan dijelaskan tentang batas bawah dan batas atas dari suatu himpunan bilangan real. [3]
Definisi 2.1.1 Diketahui himpunan dan .
1. Bilangan disebut batas atas , jika untuk setiap .
2. Bilangan disebut batas bawah , jika untuk setiap .
3. Himpunan yang mempunyai batas atas dikatakan terbatas ke atas (supremum).
4. Himpunan yang mempunyai batas bawah dikatakan terbatas ke bawah (infimum).
5. Himpunan dikatakan terbatas jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
Lemma 2.1.1 Diketahui himpunan dan . Bilangan merupakan supremum , dituliskan sup , jika dan hanya jika
1. untuk setiap dan
2. Untuk sebarang bilangan 0, terdapat bilangan
sehingga .
Lemma 2.1.2 Diketahui himpunan dan . Bilangan merupakan infimum , dituliskan inf , jika dan hanya jika
1. untuk setiap dan
2. Untuk sebarang bilangan 0, terdapat bilangan
6
2.2. Limit Fungsi
Berikut ini akan di jelaskan tentang definisi Limit Fungsi. [1]
Diketahui fungsi : dan titik limit himpunan . Jika ada bilangan disebut limit fungsi f di dituliskan
lim jika untuk sebarang 0 terdapat 0 sehingga jika dengan 0 | | maka berlaku | | .
Gambar 1. Limit dari f terhadap adalah L L
L‐
L+
2.3. Integral
Secara umum integral adalah luas daerah dibawah kurva.
Secara definisi integral dibedakan menjadi dua bagian yaitu Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu. [8]
2.3.1 Integral Tak Tentu
Integral adalah kebalikan (invers) dari pendiferensialan.
Jika adalah fungsi umum yang bersifat .
Maka merupakan himpunan anti-turunan atau himpunan pengintegralan . Himpunan anti-turunan fungsi dinotasikan dengan ,
Dibaca integral terhadap dan disebut integral tak tentu . Integral tak tentu adalah suatu fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan
Dengan dinamakan integral
dinamakan fungsi integral umum
dinamakan konstanta pengintegralan
Sifat-sifat Integral Tak Tentu
Andaikan dan mempunyai anti-turunan (integral tak tentu) dan andaikan suatu konstanta, maka :
1. . 2.
3.
8
2.3.2 Integral Tentu
Integral tentu dinotasikan dengan
Dengan adalah integral dimana , adalah batas-batas pengintegralan
, dinamakan interval-interval pengintegralan Sifat-sifat Integral Tertentu
Andaikan dan masing-masing adalah fungsi-fungsi kontinu dan terdefinisi dalam , dan andaikan konstanta, maka berikut ini akan disajikan beberapa sifat integral tentu :
1.
2.
3. untuk
BAB 3
INTEGRAL RIEMANN
3.1. Partisi
Akan didefinisikan partisi dari suatu interval seperti berikut ini. [2]
Sebuah partisi dari interval tertutup terbatas , , adalah himpunan berurut dan berhingga , , ,… , pada interval [a,b] yang tidak saling tumpang tindih, artinya jika , maka dan gabungannya yaitu , . Interval- interval tersebut biasa dinyatakan dengan , dimana a x x x b disebut partisi pada interval [a,b].
Selanjutnya partisi ditunjukan dengan notasi x , x .
Gambar 2. Partisi
Titik-titik untuk 1,2, … dinamakan titik partisi . Jika sebuah titik dipilih dari setiap subinterval untuk 1,2, … sehingga titik-titik disebut label atau tagged partition dan himpunan pasangan terurut , , , , … , , dinamakan sebuah partisi berlabel dari . Dalam hal ini tidak dibatasi pemilihan pada tiap subinterval , artinya bisa dipilih sebagai titik awal, titik akhir, titik tengah atau sebarang titik lainnya pada subinterval tersebut.
Untuk menyingkat penulisan partisi tersebut adalah , , .
3.2.
f
[ D
. Jumlah R
Dibe fungsi be
[a,b] maka
Disebut Jum
x
y
0
Ga Riemann
erikan interv ernilai rea
mlah Riemann
Ga
x0 x1 x2
t0 t1
a
ambar 3. Tag
val tertutup al yang
tagged part
n untuk fung
ambar 4. Jum
x3 x3
t2 tt03 t4
gged Partitio
p [a,b] dan terbatas ition pada
gsi f dengan
mlah Rieman
x4 x5
4 t5 t6
on
fungsi pada [a
partisi . [3
nn
x6 x7 x
t7 t8
b
10 a,b]. jika
3]
n
f(x)
x
3.3. Integral Riemann
Diberikan interval tertutup [a,b], maka fungsi : , dikatakan dapat diintegralkan secara Riemann pada interval [a,b]
jika terdapat bilangan , dimana untuk setiap ε 0 terdapat δ 0 sehingga jika adalah tagged partition dari interval [a,b]
dengan P maka: [3]
|∑ | ε atau ; .
Bilangan real A pada pertidaksamaan diatas disebut nilai integral Riemann fungsi f pada interval [a,b] dan dapat ditulis:
atau . Himpunan semua fungsi yang dapat diintegralkan secara Riemann pada interval [a,b] dinotasikan dengan a, b . Jadi, jika : ,
dikatakan dapat diintegralkan secara Riemann cukup ditulis dengan a, b .
3.4. Sifat-sifat Dasar Integral Riemann
Bagian ini membahas sifat-sifat dasar integral Riemann, diantaranya ketunggalan nilai integral, kelinearan semua fungsi yang terintegral Riemann. [4]
Teorema 3.4.1.
Jika , , maka nilai integralnya Tunggal.
Teorema 3.4.2.
Jika , , dan sembarang bilangan real, maka
a). , dan
12
b). , dan
Teorema 3.4.3.
Jika , dan , dengan maka
, . Lebih lanjut
3.5. Kriteria Cauchy Integral Riemann
Fungsi f terintegral Riemann pada sel [a,b] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 0, terdapat fungsi δ pada sel [a,b]
sehingga untuk setiap , , dan
, , dua partisi δ pada sel [a,b] berlaku [4]
∑ ∑
BAB 4 PEMBAHASAN
4.1. Konsep Dasar Partisi
Berikut ini akan dijelaskan konsep dasar Partisi pada integral Henstock [5].
Diberikan pasangan himpunan titik sel , i=1,2,...n,dengan dan sel tertutup dengan himpunan sel
: 1,2, … tidak tumpang-tindih sehingga , . Katakan , , 1,2, … , . Dengan demikian, himpunan pasangan titik-sel , : 1,2, … , dimaksudkan
. Jika diberikan fungsi positif pada [a,b], maka 0 untuk setiap , , sehingga dapat dipilih sel ,
, , untuk setiap 1,2, … , . Dapat kita katakan bahwa
, , , , , , … , , , , ,
adalah partisi pada , , sehingga dapat dipilih
, , , untuk setiap
1,2, … , , dan , , . Selanjutnya untuk
singkatnya, partisi pada ,
, , , , , , … , , , dituliskan , , . Dari definisi diatas dapat disimpulkan bahwa pasangan titik sel bergantung pada fungsi positif . Hal ini memberikan pada pengertian partisi -fine.
14
4.2. Integral Henstock
Pada tahun 1957 Ralph Henstock memberikan definisi baru mengenai perluasan integral Riemann. Ralph Henstock memperoleh hasil yang merupakan perumuman integral Riemann, sehingga dikenal dengan integral Henstock. Integral Henstock dibangun dengan mengembangkan bilangan positif δ pada integral Riemann menjadi fungsi positif δ, sehingga menghasilkan pengembangan teori integral yaitu setiap fungsi yang terintegral Riemann akan terintegral Henstock. [6]
Berikut ini akan dijelaskan definisi Integral Henstock.
Suatu fungsi : , , dikatakan terintegral Henstock pada selang , untuk setiap terdapat bilangan 0 pada fungsi positif : , sehingga untuk setiap partisi
terdapat [6]
, ,
dengan kita punya , ,
Dimana , , ∑
Jadi |∑ |
A disebut nilai integral Henstock fungsi f pada selang , dan ditulis dengan lambang
Kalau diamati, definisi di atas berbeda dengan integral Riemann dalam dua hal
Pertama , 0 merupakan fungsi yang bervariabel sedangkan dalam integral Riemann suatu fungsi konstan.
Kedua, dalam pengambilan partisi , , … , ditentukan terlebih dahulu kemudian , x , … , . sedangkan pada integral Riemann , , … , ditentukan dahulu lantas
, , … , dipilih sebarang di dalam masing-masing selang bagiannya.
Untuk menyingkatnya jika partisi pada interval [a,b]
maka akan ditulis , , , dimana , tipe selang barisan
yang memuat , jadi .
Selanjutnya untuk memudahkan penulisan, himpunan semua fungsi yang terintegral Henstock pada [a,b] dinotasikan dengan a, b . Jadi jika : a, b dikatakan terintegral Henstock cukup ditulis dengan a, b .
Berikut ini akan disajikan contoh soal yang membedakan antara fungsi terintegral Henstock dengan Integral Riemann dalam pengambilan tagged partition :
Contoh 1
Diketahui untuk 1 ∞. Diberikan 0
dengan untuk 1 ∞. Maka fungsi di atas
terintegral Henstock pada 1, ∞ . Penyelesaian : Untuk
Seperti diketahui lim , dan ,
dimana . Misalkan 1, maka 1. Ambil maka . 1 . Artinya ketika titik awal lim 1, maka
akan ada Batas atas sumbu 1 , Batas bawah
sumbu 1
16
Contoh 2
Diketahui fungsi Dirichlet, untuk setiap 0,1 dituliskan 1,
0,
Maka
adalah terintegral Henstock pada 0,1 dan 0
Diambil sembarang 0, kita misalkan 1
2. Didefinisikan , 0,1 , 1,2,3, … , dengan himpunan bilangan rasional. Untuk itu didefinisikan fungsi pada 0,1 dengan
2 , 1,
Untuk sebarang partisi pada sel 0,1 , maka berlaku
|∑ 0| ∑ ∑
0
2
18
1 2 1 2 Penjelasan
∑
2
Maka .
Dengan kata lain, terbukti bahwa fungsi f terintegral Henstock pada sel 0,1 dan 0.
4.3. Sifat-sifat Dasar fungsi Integral Henstock
Adapun Sifat-sifat yang dimiliki fungsi terintegral Henstock pada sel , adalah sebagai berikut : [7]
Teorema 4.3.1.
Jika fungsi f terintegral Henstock pada sel , , maka bilangan A didalam definisi 4.2 bernilai tunggal.
Bukti :
Katakan A dan B bilangan real yang memenuhi definisi 4.2, diambil sebarang bilangan 0, karena fungsi f terintegral Henstock pada sel , , maka terdapat fungsi positif pada , sehingga untuk setiap partisi , , pada sel , berlaku
∑ (i)
Karena memenuhi definisi 4.2, maka untuk sebarang bilangan 0 di atas terdapat pada , sehingga untuk setiap partisi
, , pada sel , berlaku
∑ (ii)
Untuk setiap partisi , , pada sel , dan berdasarkan pertidaksamaan (i) dan (ii), diperoleh
| |
2 2
20
Teorema 4.3.2.
Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terintegral Henstock pada , , maka f + g dan dengan bilangan real juga terintegral Henstock pada , dan berlaku
i.
ii.
Bukti :
Katakan dan . Diambil sebarang bilangan
0.
i. Karena f terintegral Henstock pada sel , , terdapat fungsi positif pada sel , sehingga untuk setiap partisi
, , pada sel , berlaku
∑ (i)
Karena g terintegral Henstock pada sel , , terdapat fungsi positif pada sel , sehingga untuk setiap partisi
, , pada sel , berlaku
∑ (ii)
Untuk setiap partisi pada , , pada sel , , dari pertidaksamaan (i) dan (ii) diperoleh
∑
∑
∑
.
Dengan kata lain terbukti terintegral Henstock pada sel ,
dan .
ii. Jika 0, maka 0, , dalam hal ini
, dan 0 0 .
Jika 0 dan diberikan sebarang 0, karena , , maka ada fungsi positif pada , sehingga untuk setiap partisi
, , pada sel , berlaku
| | Atau
, , | |
Karena , , , , pada sel , , maka untuk setiap partisi diperoleh
, , , ,
| | , ,
| || |
Dengan kata lain terbukti terintegral Henstock pada sel , dan .
Teorema 4.3.3
Diberikan fungsi pada , dan , . Jika terintegral Henstock pada sel , dan , , maka terintegral Henstock pada sel , dan
22
Bukti : Diambil sebarang bilangan 0. Karena terintegral Henstock pada sel , , maka terdapat fungsi positif pada , sehingga untuk setiap partisi , , pada sel
, berlaku
∑
Karena terintegral Henstock pada sel , , maka terdapat fungsi positif pada , sehingga untuk setiap partisi
, , pada sel , berlaku
2
Ambil , dengan partisi pada , dan partisi pada , . Akibatnya
∑ ∑ ∑
Maka ∑
Jadi terbukti bahwa terintegral Henstock pada sel , dan
Contoh 3
Diketahui pada selang interval [a,b] yang memuat titik c.
Dimisalkan , 0,1 dan titik . Jika f adalah terintegral Henstock pada , 0, dan pada , , 1 dan
Solusi :
Diketahui selang partisi 0,1 , 0 1 dan
tag partition , , , … , dan pilih titik partisi , dimana , untuk 1,2,3, …
Maka , , ∑
1 2
1 2
1 2 1 2
Dengan proses yang sama, coba juga untuk , 0,
, ,
1 2
24
1 2
1 2 1 2
Dengan 0 terdapat 0, didefinisikan pada 0, dengan demikian untuk setiap partisi pada , , pada
0, , maka
1 2
1
8 2
Dan pada , , 1 , diperoleh
, ,
1 2
1 2
1 2 1 2
Dengan 0 terdapat 0, didefinisikan pada , 1 dengan demikian untuk setiap partisi pada , , pada
, 1 , maka
1 2
3
8 2
Oleh karena itu pada , , di sel 0,1 diambil dengan partisi
pada , dan partisi pada , . Akibatnya
∑
Dan
1 8
3 8 1
2
1 8
3 8
Jadi f terintegral Henstock pada pada selang , .
26
BAB 5 PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Dari pembahasan diatas dapat diperoleh kesimpulan berikut:
1. adalah fungsi positif pada , , yaitu : , . Dapat dikatakan bahwa
, , , , , , … , , , , ,
adalah partisi integral Henstock pada , , sehingga dapat dipilih
, , , untuk
setiap 1,2, … , , dan , , . Selanjutnya untuk singkatnya, partisi pada ,
, , , , , , … , , , dituliskan , , .
2. Suatu fungsi : , , dikatakan terintegral Henstock pada selang , untuk setiap terdapat bilangan 0 pada fungsi positif : , sehingga untuk setiap partisi terdapat
, , dengan maka
| , , | Dimana , , ∑ Jadi
A disebut nilai integral Henstock fungsi f pada selang , dan ditulis dengan lambang .
Serta perbedaan antara Integral Henstock dan Integral Riemann adalah Pertama , 0 merupakan fungsi yang bervariabel sedangkan dalam integral Riemann suatu fungsi konstan.
Kedua, dalam pengambilan partisi , , … , ditentukan terlebih dahulu kemudian , x , … , . sedangkan pada integral Riemann , , … , ditentukan dahulu lantas , , … , dipilih sebarang di dalam masing-masing selang bagiannya.
3. Dan sifat dasar Integral Henstock adalah Integral Henstock
memenuhi nilai ketunggalan dan Integral Henstock memenuhi sifat linear.
5.2. Saran
Dalam skripsi ini hanya menjelaskan tentang integral Henstock, sifat-sifat dan beberapa contoh soal. Penulis berharap suatu saat nanti akan ada seseorang yang akan lebih baik lagi menelaah dan meneliti tentang skripsi ini untuk menjadi lebih baik.
28
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bartle Robert G., Donald R. Sherbert.,1991, Introduction To Real Analysis, John Wiley & Sons, United States of America.
[1] Purcell Edwin J., Dale Varberg, 2003. Kalkulus Dan Geometri Analitis Jilid1, Penerbit ERLANGGA, Jakarta.
[2] Henstock Ralph.,1998, Lectures On The Theory Of Integration,World Scientific, University of Ulster (Coleraine).United States of America.
[3] Darmawijaya Soeparna.,2006, Pengantar Analisis Real, Jurusan Matematika MIPA UGM, Yogyakarta.
[4] Gunawan Hendra. Catatan Kuliah Pengantar Analisis Real, Penerbit ITB, Bandung.
[5] Hermawan Andi. 2009, Skripsi Fungsi Terelugasi dan Hubungannya dengan Integral Henstock. Matematika UGM, Yogyakarta.
[6] Leader Solomon. 2001, The Kurzweil-Henstock Integral and Its Differentials, Marcel Dekker, Inc. New York, USA.
[7] Widodo,. 1997. Mateamatika S2 ITB 054.Integral Riemann Lengkap.Tesis.
ITB Bandung.
[8] Zaelani Ahmad, Cunayah Cucun, Indra Etsa,. 2006. Bimbingan Pemantapan Matematika. Yrama Widya. Bandung.
Ii Rim Dong dan Kyu Kim Won,. On The Henstock Integral. Journal Of The Chungcheong Mathematical Society., Volume 12, Agustus 1999.
SungMo Im, Jinn Kim Yung dan Il Rim Dong,. A Uniform Convergence Theorema for Approximate Henstock-Stieltjes Integral. Journal Bull.
Korean Math. Soc.41 (2004), No.2,pp.257-267.
.
