Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini seperti keterhubungan, primitifitas, eksponen dan eksponen titik masuk dari digraf dan digraf dwi-warna.
2.1 Definisi
Pada subbab ini akan diberikan definisi tentang digraf dan digraf dwi-warna serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1.1 Digraf
Graf adalah himpunan tak kosong dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis. Jika garis yang menghubungkan titik-titik tersebut diberikan arah, maka disebut sebagai digraf, dan dinotasikan sebagai D. Dengan kata lain, sebuah digraf D terdiri dari dua himpunan, yaitu :
1. Himpunan titik yang dinotasikan dengan V = {v1, v2, v3,· · · , vn} dengan i
adalah bilangan bulat positif dan vi adalah elemen dari himpunan V , n(V ) 6=
0.
2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V × V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D. Jika diberikan notasi E = (v1, v3) berarti terdapat sebuah arc dari titik v1 ke v3
atau dapat dituliskan dengan notasi v1 → v3.
Contoh 2.1.1Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4} dan himpunan arc E = {(v1, v2),
(v2, v3), (v3, v4), (v3, v1), (v4, v3)} adalah sebuah digraf dengan 4 titik dan 5 arc,
Gambar 2.1 Digraf
Andaikan suatu digraf D dengan n titik, dengan u dan v adalah titik di D. Suatu walk dengan panjang m dari u dan v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk v0 → v1 → v2 → · · · → vm dengan m ≥ 0, v0 = u dan vm = v. Jika u = v
maka walk tersebut dikatakan walk tertutup dan jika u 6= v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path adalah walk dengan titik yang tidak berulang, tetapi titik awal dan titik akhir boleh berulang yang disebut path tertutup. Suatu path tertutup u → v disebut dengan cycle dan cycle dengan panjang 1 disebut loop.
Berikut penjelasan berdasarkan Gambar 2.1
1. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v1 → v2 → v3 → v4 disebut walk dari v1 ke v4
2. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v4 disebut path dari v1 ke v4
3. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v1 disebut path tertutup atau cycle
2.1.2 Digraf Dwi-warna
Digraf dengan arc yang diwarnai dengan merah atau biru, namun tidak kedu-anya pada satu arc sekaligus disebut digraf dwi-warna, dinotasikan dengan D(2)
(Fornasini dan Valcher, 1997). Sebuah arc merah dari titik u ke titik v akan dino-tasikan dengan u→ v dan arc biru dari titik u ke titik v dinotasikan dengan ur → v.b
Contoh 2.1.2 Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4} dan himpunan arc merah
A = {(v2, v3), (v3, v1), (v4, v3)} dan himpunan arc biru B = {(v!, v2), (v3, v4)}
adalah sebuah digraf dengan 4 titik dan 5 arc, dan dinotasikan dengan D(4, 5). D dapat direpresentasikan seperti berikut.
Gambar 2.2 Digraf Dwi-warna
Sebuah (s, t)-walk pada digraf dwi-warna D(2)adalah sebuah walk yang terdiri dari s buah arc merah dan t buah arc biru. Andaikan sebuah walk w, dengan r(w) dan b(w) masing-masing adalah banyak arc merah dan arc biru pada walk w, maka dapat dinotasikan sebagai l(w) = r(w) + b(w) atau dapat direpresentasikan dalam bentuk vektor, yaitu
" r(w) b(w)
# .
Suatu path adalah walk dengan titik yang tidak berulang, tetapi titik awal dan titik akhir boleh berulang yang disebut path tertutup. Suatu path tertutup u → v disebut dengan cycle dan cycle dengan panjang 1 disebut loop, dengan komposisi " 1 0 # atau " 0 1 # .
Berikut adalah penjelasan berdasarkan Gambar 2.2. 1. v1 b → v2 r → v3 r → v1 b → v2 r → v3 b
→ v4 adalah walk dari v1 ke v4 dengan
komposisi " 3 2 # . 2. v1 b → v2 r → v3 b
→ v4 adalah path dari v1 ke v4 dengan komposisi
" 1 2 # . 3. v1 b → v2 r → v3 r
→ v1 adalah path tertutup atau cycle dengan komposisi
" 2 1 # . 2.2 Matriks Adjacency
yaitu matriks yang elemennya adalah 0 atau 1, yang disebut sebagai matriks ad-jacency.
2.2.1 Matriks Adjacency Digraf
Sebuah matriks adjacency dari digraf dengan n-titik adalah matriks berordo n A(D) = [aij] dengan aij = 1 jikaterdapatarcdarivikevj, 0 sebaliknya.
Contoh 2.2.1Berikut ini adalah representasi digraf yang terdiri dari 6 titik dan 8 arc. Dari digraf berikut dapat dibentuk sebuah matriks adjacency dengan mem-perhatikan arc yang menghubungkan titik-titik pada digraf tersebut.
Gambar 2.3 Digraf dengan 6 titik dan 8 arc Matriks adjacency dari digraf di atas adalah sebagai berikut.
A(D) = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
2.2.2 Matriks Adjacency Digraf Dwi-warna
dua, yaitu matriks adjacency berorde n untuk arc merah R = [rij] dan matriks
adjacency untuk arc biru B = [bij] dengan ketentuan sebagai berikut.
R= [rij] = 1, jikaterdapatarcmerahdarivikevj 0, jikasebaliknya. dan B = [bij] = 1, jikaterdapatarcbirudarivikevj 0, jikasebaliknya.
Contoh 2.2.2Berikut adalah digraf dwi-warna yang terdiri dari 6 titik dengan 6 arc merah dan 2 arc biru.
Gambar 2.4 Digraf dwi-warna dengan 6 titik dan 8 arc Matriks adjacency dari digraf dwi-warna di atas adalah sebagai berikut.
R= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 dan B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
2.3 Primitifitas
Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitifitasnya.
2.3.1 Digraf Primitif
Sebuah digraf D terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik (vi, vj) di D
terda-pat walk berarah (directed walk) dari vi ke vj dan dari vj ke vi . Digraf D primitif
jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif m dimana ada sebuah walk dengan panjang m dari setiap pasang titik di D.
Contoh 2.3.1Berikut adalah contoh digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
(a) (b)
Gambar 2.5 Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat
Gambar 2.5(a) menunjukkan digraf terhubung kuat karena terdapat walk dari tiap pasang titik di digraf D, dan Gambar 2.5(b) menunjukkan digraf tidak ter-hubung kuat, karena tidak terdapat walk dari v3 ke v4.
Digraf D yang terhubung kuat dikatakan primitif , jika terdapat suatu bilangan bulat positif m sedemikian hingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat suatu walk dengan panjang m.
Lemma 2.3.1Andaikan D adalah digraf terhubung kuat, maka setiap titik v di D terletak pada cycle.
BuktiAmbil sebarang titik v di digraf D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari titil u ke v dan path dari v ke u di D. Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycle, dan v adalah sebarang
titik di D, maka setiap titik v di D pasti terletak pada suatu cycle.
2.3.2 Digraf Dwi-warna Primitif
Sebuah digraf dwi-warna D(2) adalah terhubung kuat jika untuk setiap pasang
titik u dan v di D(2) terdapat walk dari titik u ke titik v dan walk dari titik v ke
titik u tanpa memperhatikan warna setiap arc yang dilalui. Berikut adalah contoh digraf dwi-warna D(2) terhubung kuat dan digraf dwi-warna D(2) tidak terhubung
kuat.
Contoh 2.3.2 Representasi dari digraf dwi-warna terhubung kuat
(a) (b)
Gambar 2.6 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.6 memperlihatkan bahwa (a) adalah digraf dwi-warna D(2) terhubung
kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik yang lain dan (b) adalah digraf dwi-warna D(2) yang tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2.
Sebuah digraf dwi-warna terhubung kuat D(2) disebut primitif jika
ter-dapat bilangan tak negatif s dan t sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (s, t)-walk dari u ke v. Andaikan C = {C
1, C2, ..., Ct} adalah
himpunan semua cycle yang terdapat di D(2) dan didefinisikan M sebagai matriks
cycle dari D(2) orde 2 × t dengan setiap kolom ke-i dari M merupakan komposisi
dari cycle-cycle Ci, i= 1, 2, ..., t seperti berikut
M = " r(C1) r(C2) · · · r(Ct) b(C1) b(C2) · · · b(Ct) # .
Sebuah digraf dwi-warna D(2)adalah primitif jika dan hanya jika pembagi
Valcher, 1997).
Lemma 2.3.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna terhubung kuat dengan
paling sedikit satu arc setiap warna. Misalkan M adalah matriks cycle dari D(2).
Digraf D(2) adalah primitif jika dan hanya jika content dari matriks M adalah 1.
Contoh 2.3.3Representasi digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitif
Gambar 2.7 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitif.
Digraf dwi-warna D(2) pada Gambar 2.7 adalah terhubung kuat yang terdiri dari
cycle v1 b → v7 b → v6 r → v5 r → v4 r → v3 b → v2 b → v1 dengan komposisi " 3 4 # , dan cycle v1 b → v5 r → v4 r → v3 b → v2 b → v1 dengan komposisi " 2 3 #
dan maka matriks
cycle dari D(2) adalah M =
" 3 2 4 3
#
dengan det (M) = 1. Oleh karena det (M) = 1, maka digraf dwi-warna terhubung kuat D(2) adalah primitif.
2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraf Dwi-warna
Berikut ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan hubungannya dengan Digraf dwi-warna D(2).
2.4.1 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri aijdari A adalah
bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Perhatikan dua buah matriks berikut ini.
A= 0 1 1 2 0 3 5 7 0
, matriks tak negatif; B = 9 3 1 5 7 2 6 1 1 , matriks positif. 2.4.2 Eksponen Digraf
Eksponen dari sebuah digraf D merupakan bilangan bulat positif terkecil k se-hingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(D).
Proposisi 2.4.2 A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri ak ij dari
Ak menyatakan banyak walk dari v
i ke vj dengan panjang k di digraf D.
Bukti. Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari titik vi ke vj di digraf D. Ini mengakibatkan
jika k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan walk dari titik vi ke vj dengan
panjang 1.
Andaikan setiap entri a(k)ij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke
vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa
a(k+1)ij adalah banyaknya walk dari vi ke vj dengan panjang k+1 di D dengan k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari titik vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang
terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, ..., n, dan dilanjutkan
dengan arc dari titik vi ke vj, sehingga a(k)il aij menyatakan walk dengan panjang
k+ 1 dari titik vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Jika tidak terdapat walk yang
panjangnya k dari titik vi ke vj di D, maka a(k)il = 0 sehingga a(k)il aij = 0. Hal
ini berakibat tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari titik vi ke vj melalui
titik vl di D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari titik
vi ke vj di D adalah a(k)i1 a1j+ a(k)i2 a2j+ ... + a(k)inanj = n X i=1 akilalj
karena Ak+1 = AkA maka a(k)ij = n X i=1 akilalj
Sehingga a(k+1)ij adalah benar menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke titik vj
yang panjangnya k + 1 di D. Berikut adalah contoh menentukan eksponen suatu digraf dengan menggunakan proposisi 2.1.
Contoh 2.4.2 Perhatikan Gambar 2.5(a). Matriks adjacency dari digraf pada Gambar 2.5(a) adalah sebagai berikut
A= 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
Berdasarkan Proposisi 2.4.2, banyaknya walk dari titik vike titik vjdengan
pan-jang k dinyatakan oleh entri ak
ij dari matriks Ak yang semuanya positif. Eksponen
dari digraf D adalah bilangan positif terkecil k yang mengakibatkan matriks Ak
positif. Perhatikan matriks berikut.
a. Untuk k = 1; diperoleh A1 = 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari titik 1 ke titik 4, titik 2 ke titik 3, titik 3 ke titik 2, titik 4 ke titik 3 dan titik 3 ke titik 4.
b. Untuk k = 2; diperoleh A2 = 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
dengan panjang 2 dari titik 1 ke titik 2, titik 1 ke titik 3, titik 2 ke titik 3, titik 2 ke titik 4 , titik 3 ke titik 4, dan titik 4 ke titik 1.
c. Untuk k = 3; diperoleh A3 = 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari titik 1 ke titik 4, titik 2 ke titik 4, titik 3 ke titik 1, titik 3 ke titik 2, titik 4 ke titik 2 dan titik 4 ke titik 3.
d. Untuk k = 4; diperoleh A4 = 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0
Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 4 dari titik 2 ke titik 3, dan titik 3 ke titik 4.
e. Untuk k = 5; diperoleh A5 = 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 5 dari titik 2 ke titik 4.
f. Untuk k = 6; diperoleh A6 = 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
Karena terdapat walk dengan panjang 6 dari tiap pasang titik yang ada di D, maka eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2 adalah exp(D) = 6.
2.4.3 Eksponen Digraf Dwi-warna
Pada digraf dwi-warna D(2), eksponen dari D(2) didefinisikan sebagai bilangan
sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat sebuah (s, t)-walk dari
u ke v yang terdiri dari s-arc merah dan t-arc biru. Eksponen dari digraf dwi-warna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2)).
Andaikan A dan B adalah matiks tak negatif orde m. Untuk bilan-gan tak negatif s dan t, didefinisikan (s, t)-Hurwitz product, (A, B)(s,t) dari
A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak s kali dan B sebanyak t kali. Sebagai contoh, (A, B)(1,0) = A, (A, B)(0,1) = B,
(A, B)(1,1)= AB + BA dan (A, B)(2,2)= A2B2+ ABAB + AB2A+ BABA + B2A2.
Lemma 2.4.3 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari digraf dwi-warna D(2),
maka entri (i, j) dari (R, B)(s,t) adalah jumlah (s, t)-walk dari titik u ke v di D(2).
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (s+t) dan (s+t+1), jika s = 0 maka t= 1 atau jika s = 1 maka t = 0. Jika s = 0 maka entri (i,j) dari (R, B)(0,1)= B
adalah walk dengan komposisi "
0 1
#
di D(2). Dengan cara yang sama, jika s = 1
dan t = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk
dengan komposisi " 1 0 # di D(2).
Anggap Lemma 2.4.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif s0 dan t0 dengan s0 + t0 ≤ s + t, akan diperlihatkan untuk s + t + 1 juga benar dengan catatan sebagai berikut
(R, B)(s+1,t)= R(R, B)(s,t)+ B(R, B)(s+1,t−1)
dengan induksi matematika entri (i, j) pada R(R, B)(s,t) adalah walk dari v i ke vj
yang dimulai dengan arc merah diikuti oleh sebuah (s, t)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B)(s+1,t−1) adalah jumlah walk dari v
i ke vj yang dimulai dengan sebuah arc
biru dan diikuti oleh sebuah (s + 1, t − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari (R, B)(s+1,t) adalah jumlah (s + 1, t)-walk dari i ke j. Perhatikan contoh berikut.
Gambar 2.8 Digraf dwi-warna dengan 4 titik dan 5 arc Matriks adjacency merah dan biru dari Gambar 2.8 adalah
R= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 dan B = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Berdasarkan Lemma 2.4.3, banyaknya walk dari titik i ke titik j dengan panjang s + t adalah entri (i, j) dari (R, B)(s,t) yang semuanya bernilai positif,
dan (s + t) terkecil dari yang demikian adalah eksponen dari matriks (R, B)(s,t).
Perhatikan matriks (R, B)(s,t) berikut
Untuk s + t = 1, maka 1. (R, B)(1,0)= R = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2. (R, B)(0,1)= B = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Untuk s + t = 2, maka 1. (R, B)(2,0)= R2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
2. (R, B)(0,2)= B2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. (R, B)(1,1)= RB + BR = 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
dan seterusnya hingga diperoleh untuk s + t = 12, yaitu Untuk s + t = 12, maka 1. (R, B)(12,0)= R12= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. (R, B)(11,1)= R(R, B)(10,1)+ BR11 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. (R, B)(10,2)= R(R, B)(9,2)+ B(R, B)(10,1)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4. (R, B)(9,3)= R(R, B)(8,3)+ B(R, B)(9,2)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5. (R, B)(8,4)= R(R, B)(7,4)+ B(R, B)(8,3)= 1 2 0 0 0 0 0 0 4 5 0 1 4 5 0 1
6. (R, B)(7,5)= R(R, B)(6,5)+ B(R, B)(7,4)= 10 5 4 6 6 4 1 3 5 1 6 4 5 1 6 4
Karena terdapat walk dengan panjang 12 dari tiap pasang titik pada di-graf dwi-warna D(2), maka eksponen dari digraf dwi-warna D(2) pada Gambar 2.8
adalah exp(D2) = 12, dengan komposisi
" 7 5
#
yang terdiri 7 arc merah dan 5 arc biru.
2.5 Eksponen Titik Masuk Digraf dan Digraf Dwi-warna
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi eksponen titik masuk digraf D dan eksponen titik masuk digraf dwi-warna D(2) serta contoh bagaimana
menen-tukan eksponen titik masuk dari digraf D dan digraf dwi-warna D(2).
2.5.1 Eksponen Titik Masuk Digraf
Misalkan D adalah sebuah digraf primitif atas n titik v1, v2, ..., vn. Untuk sebarang
vi di D, i = 1, 2, ..., n, eksponen titik vi yang dinotasikan dengan expinD(vi) adalah
bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang k dari setiap titik di ke titik vi di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah
bi-langan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap titik vj di D terdapat sebuah
walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj dengan panjang p.
Andaikan D adalah digraf primitif orde n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expD(v1) ≤ expD(v2) ≤ · · · ≤ expD(vn)
maka expD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, dinotasikan
expD(vk) (Brualdi dan Liu, 1990).
Matriks adjacency dari digraf pada Gambar 2.5(a) adalah sebagai berikut A= 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
Berdasarkan Proposisi 2.4, eksponen titik dari D diperoleh dengan melihat entri aij dari Ak, dengan entri pada kolom ke-i harus bernilai positif. Perhatikan
matriks Ak berikut a. Untuk k = 4; diperoleh A4 = 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0
Karena kolom pertama bernilai positif, maka expinD(v1) = 4
b. Untuk k = 5; diperoleh A5 = 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Kolom kedua dan kolom ketiga bernilai positif, maka expinD(v2) = expinD(v3) =
5. c. Untuk k = 6; diperoleh A6 = 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
Kolom keempat bernilai postif, maka expinD(v4) = 6.
Dengan demikian eksponen titik digraf pada Gambar 2.5(a), expinD(v1) = 4,
expinD(v2) = expinD(v3) = 5, dan expinD(v4) = 6.
2.5.2 Eksponen Titik Masuk Digraf Dwi-warna
Misalkan D(2) adalah digraf dwi-warna dengan V (D(2)) adalah himpunan semua
titik di D(2), yaitu V (D(2) = {v
1, v2,· · · , vn}. Untuk sebarang titik vk ∈ V (D(2),
maka eksponen titik vk di D(2) yang dinotasikan sebagai expinD(2)(vk) adalah
dari setiap titik di D(2) ke titik v k.
Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif orde n. Jika titik-titik di
D(2) adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expinD(2)(v1) ≤ expinD(2)(v2) ≤ · · · ≤ expinD(2)(vk)
maka expD(2)(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen titik ke-k dari digraf
dwi-warna D(2) (Gao dan Shao, 2009).
Untuk mencari eksponen titik digraf dwi-warna primitif D(2), dapat
di-lakukan dengan operasi (s, t)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefin-isikan secara rekurensif. Untuk bilangan bulat tak negatif terkecil s dan t, jika k adalah adalah titik di D(2), maka semua entri pada kolom ke-k dari matriks
terse-but bernilai positif.
Contoh 2.5.2 Perhatikan kembali digraf dwi-warna primitif pada Contoh 2.4.3. Berikut akan dicari eksponen titik masuk dari masing-masing titik pada digraf dwi-warna D(2) pada Gambar 2.8 dengan melihat entri (i, j) dari (R, B)(s,t) pada
kolom ke-i bernilai positif. Menggunakan Contoh 2.4.3 telah diperoleh matriks-matriks (R, B)(s,t), maka a. Untuk s+t = 5 dengan (R, B)(3,2)= R(R, B)(2,2)+B(R, B)(3,1)= 2 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 Karena semua entri pada kolom pertama dengan (R, B)(3,2) bernilai positif,
maka expin(v1) = 5 yang terdiri dari 3-arc merah dan 2-arc biru.
b. Untuk s+t = 6 dengan (R, B)(4,2)= R(R, B)(3,2)+B(R, B)(4,1)= 1 2 0 0 0 1 0 0 2 1 0 1 2 1 0 1 Karena semua entri pada kolom kedua dengan (R, B)(4,2) bernilai positif,
c. Untuk s+t = 6 dengan (R, B)(3,3)= R(R, B)(2,3)+B(R, B)(3,2)= 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Karena semua entri pada kolom ketiga dengan (R, B)(3,3) bernilai positif,
maka expin(v3) = 6 yang terdiri dari 3-arc merah dan 3-arc biru.
d. Untuk s+t = 7 dengan (R, B)(4,3)= R(R, B)(4,3)+B(R, B)(4,2)= 3 1 1 2 2 1 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 Karena semua entri pada kolom keempat dengan (R, B)(4,3) bernilai positif,
maka expin(v4) = 7 yang terdiri dari 4-arc merah dan 3-arc biru.
2.6 Sistem Persamaan Diophantine
Persamaan diophantine adalah suatu persamaan dalam bentuk
a1x1 + a2x2+ · · · + anxn= b (1)
dengan solusi dari persamaan tersebut adalah bilangan bulat untuk semua bilan-gan bulat a1, a2 , ... , an , b. Andaikan bahwa n ≥ 1 dan koefisien-koefisien a1 , a2
,..., an tak semuanya nol.
Teorema 2.6.1 Persamaan (1) adalah punya solusi bulat jika dan hanya jika gcd(a1, a2, ..., an) membagi b.
Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan dio-phantine dalam n variabel yang sama dengan m dan n adalah bilangan bulat positif seperti berikut
a11x1 + a12x2+ · · · + a1nxn= b1
a21x1 + a22x2+ · · · + a2nxn= b2
...
am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= bm
Sistem persamaan diophantine pada persamaan (2) dapat juga dituliskan sebagai sebuah persamaan matriks Ax = b, dimana
A= a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn , x = x1 x2 ... xn , b = b1 b2 ... bm .
Kolom-kolom dari matriks A adalah koefisien-koefisien dari variabel x1, x2, ..., xn
pada persamaan (2).
Teorema 2.6.2Sistem persamaan diophantine Ax = b dari persamaan (2) memi-liki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari A adalah ±1.
2.7 Formula Eksponen Titik Masuk Digraf Dwi-warna
Pada bagian akan dibahas cara menentukan batas bawah dan batas atas ekspo-nen titik digraf dwi-warna primitif yang memuat dua cycle sebagaimana yang ditawarkan oleh Suwilo (2011). Terlebih dahulu akan dibahas mengenai teknik untuk menentukan batas bawah eksponen titik digraf dwi-warna primitif.
Lemma 2.7.1Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif yang memuat dua
cycle dengan matriks cycle M = "
r(C1) b(C2)
b(C1) r(C2)
#
. Misalkan vk adalah sembarang
titik di D(2) dan terdapat sebuah (s, t)-walk dari setiap titik v
j di D(2) ke titik vk de-ngan " s t # = M " g h # , maka " g h # ≥ M−1 " r(pj,k) b(pj,k) #
untuk sembarang bi-langan bulat tak negatif g, h, dan untuk suatu path p(j,k) dari vj ke vk.
Bukti Untuk sembarang 1 ≤ j ≤ n, misalkan pjk adalah path dari titik vj ke
titik vk. D(2) memuat dua cycle sehingga setiap walk di D(2) dapat dituliskan
" s t # = M " x1 x2 # + " r(pj,k) b(pj,k) # (3)
dengan x1, x2 ≥ 0. Karena D(2) primitif, maka M invertible. Menggunakan
" s t # = M " g h #
dan persamaan (3) diperoleh persamaan berikut
M " s t # = M " x1 x2 # + " r(pj,k) b(pj,k) # M " x1 x2 # = M " s t # − " r(pj,k) b(pj,k) # " x1 x2 # = " s t # − M−1 " r(pj,k) b(pj,k) # ≥ 0 sehingga " s t # ≥ M−1 " r(pj,k) b(pj,k) #
dan Lemma (2.7.1) terbukti.
Dari pembuktian Lemma 2.7.1 , maka diperoleh teorema berikut.
Teorema 2.7.1Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif yang terdiri dari cycle C1 dan C2. Misalkan vk adalah titik di D(2). Untuk sembarang titik vi dan
vj di D(2), didefinisikan gk = b(C2)r(pj,k) − r(C2)b(pj,k) dan hk = r(C1)b(pj,k) − b(C1)r(pj,k). Maka " s t # ≥ M " gk hk # , sehingga expin(vk) ≥ l(C1)gk+ l(C2)hk.
Bukti. Andaikan bahwa eksponen titik masuk vk dicapai oleh (s, t)-walk
den-gan " s t # = M " g h #
dan diperoleh persamaan berikut
" g h # ≥ M−1 " r(pj,k) b(pj,k) # = " b(C2)r(pj,k) − r(C2)b(pj,k) r(C1)b(pj,k) − b(C1)r(pj,k) # (4)
untuk sembarang path pj,k dari titik vj ke titik vk.
0, maka didefinisikan
gk = b(C2)r(pj,k) − r(C2)b(pj,k) ≥ 0 (5)
dan jika untuk sembarang titik vi, dimana i = 1, 2, ..., n diperoleh nilai r(C1)b(pi,k)
− b(C1)r(pi,k) ≥ 0, maka didefinisikan
hk = r(C1)b(pi,k) − b(C1)r(pi,k) ≥ 0 (6)
sehingga g ≥ gk dan h ≥ hk. Oleh Lemma (2.6.1) diperoleh
" s t # = M " g h # ≥ M " gk hk # (7) sehingga expin(vk) = s + t ≥ (r(C1) + b(C1))gk+ (r(C2) + b(C2))hk = l(C1)gk+ l(C2)hk.
Proposisi berikut dapat digunakan untuk menentukan batas bawah ekspo-nen titik masuk digraf dwi-warna primitif dari sebuah titik yang ditentukan, mis-alkan titik v. Didefinisikan bahwa d(vk, v) adalah panjang walk terpendek dari vk
ke v.
Proposisi 2.7.1 Asumsikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif atas n titik.
Mi-salkan v adalah sebuah titik di D(2) dengan expin(v). Untuk sembarang titik
vk, k = 1, 2, ..., n di D(2), expin(vk) ≤ expin(v) + d(vk, v).
Bukti. Untuk setiap k = 1, 2, ..., n misalkan pv,k adalah (r(pv,k), b(pv,k))-path
dari v ke titik vk dengan panjang d(v, vk). Karena eksponen titik masuk v adalah
expin(v), maka terdapat (s, t)-walk dengan panjang expin(v) = s + t dari setiap titik vj, j = 1, 2, ..., n ke titik v. Ini menunjukkan bahwa setiap titik vk di D(2)
terdapat suatu (s + r(pv,k), t + b(pv,k))-walk dari setiap titik v ke setiap titik vk.
Walk tersebut ber-awal dari v menuju vk melalui (r(pv,k), b(pv,k))-path dan
kemu-dian menuju vj melalui suatu (s, t)-walk dari vj ke v. Oleh karena itu diperoleh
expin(vk) ≤ expin(v) + d(v, vk)
masuk digraf dwi-warna yang memuat dua cycle.
Proposisi 2.7.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna yang terdiri atas cycle
C1 dan C2. Misalkan vk adalah titik di D(2) yang terdapat pada cycle C1 dan cycle
C2. Jika untuk setiap i = 1, 2, ..., n dan sembarang bilangan bulat positif s dan t,
terdapat path pi,k dari vi ke vk sehingga sistem persamaan
Mx + " r(pi,k) b(pi,k) # = " s t # (8)
punya solusi bilangan bulat tak negatif, maka expin(vk) ≤ s + t.
Bukti. Misalkan bahwa solusi dari sistem persamaan (8) adalah x = (x1, x2)T.
Karena D(2) primitif, maka matriks cycle M invertible, sehingga x
1 dan x2 tidak
dapat nol kedua-duanya. Karena x1, x2 6= 0 dan kedua cycle C1 dan C2 memuat
titik vk, maka terdapat tiga kemungkinan berikut.
Jika x1 > 0 dan x2 > 0, maka walk dari titik vi ke titik vk akan bergerak
sebanyak x1 kali mengelilingi cycle C1 dan bergerak sebanyak x2 kali mengelilingi
cycle C2 dan kembali lagi ke titik vi, kemudian terus bergerak menuju titik vk di
sepanjang path pi,k adalah sebuah (s, t)-walk dari vi ke vk. Jika x1 = 0 dan x2 >0,
maka walk dari titik vi ke titik vk akan bergerak sebanyak x2 kali mengelilingi
cycle C2 dan kembali lagi ke titik vi, kemudian terus bergerak menuju titik vk di
sepanjang path pi,k adalah sebuah (s, t)-walk dari vi ke vk. Jika x1 >0 dan x2 = 0,
maka walk dari titik vi ke titik vk akan bergerak sebanyak x1 kali mengelilingi
cycle C1 dan kembali lagi ke titik vi, kemudian terus bergerak menuju titik vk
di sepanjang path pi,k adalah sebuah (s, t)-walk dari vi ke vk. Dengan demikian,
untuk setiap titik vi, i = 1, 2, ..., n terdapat sebuah (s, t)-walk dari vike vk, sehingga
