Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri 1 DASAR-DASAR GEOMETRI
Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri Budiyono
Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif, geometri dapat disebut sebagai suatu sains deduktif. Dengan berawal pada pengertian pangkal, definisi dan postulat-postult itu menentukan macam geometri. Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif yang didasarkan atas himpunan postulat, yang dapat dianggap sebagai aturan permainannya, maka jika postulat itu diganti akan didapat geometri yang lain.
Kata Kunci: deduktif, postulat, system geometri Pendahuluan
Awal geometri bermula dari za-man prasejarah, ketika itu penduduk suatu daerah berkembang, tempat tinggal alamiah yang tersedia tidak cukup. Orang perlu membangun tempat perlindungan yang cukup besar untuk menampung keluarga dan kuat untuk menahan angin, hujan dan badai. Untuk membuat tempat berlindung dengan ukuran yang tepat, seseorang harus mem-bandingkan ukuran panjang. Jadi, atap harus terletak lebih tinggi di
atas tanah dari pada ujung kepala orang paling tinggi.
Perintis geometri adalah orang Babilonia purba. Tanah antara su-ngai Trigis dan Eufrat, tempat ting-gal orang Babilonia, semula berupa rawa. Kanal-kanal dibangun untuk mengeringkan rawa itu dan untuk menampung luapan air sungai. Un-tuk maksud pembangunan kanal, mereka perlu meneliti tanah. Dalam melakukan penelitian itu, orang Babilonia menciptakan aturan-atur-an untuk mencari luas taturan-atur-anah. Atur-an-aturan ini tidak terperinci benar,
tetapi pengetahuan yang mereka peroleh cukup untuk pembangunan kanal.
Di Mesir, orang mempunyai la-dang pertanian di sepanjang sungai Nil dikenakan pajak sesuai dengan tanah milik mereka. Dalam musim penghujan, sungai Nil akan meluap mengenai tanah itu, dan mengha-nyutkan semua tanda-tanda batas pe-milikan tanah. Oleh karena itu, orang perlu mengukur lagi tanah sehingga masing-masing pemilik akan memperoleh bagian mereka yang sah. Setelah banjir surut, orang yang telah dilatih secara khusus disebut tukang perentang tali akan menetapkan petunjuk batas baru. Mereka menggunakan simpul-sim-pul tali berjarak sama, sehingga mereka dapat mengukur panjang yang diinginkan dan membagi tanah itu ke dalam bentuk-bentuk segitiga, segiempat, persegi panjang, dan trapezium.
Mereka menciptakan aturan-aturan yang praktis untuk mengukur luas bentuk-bentuk itu. Aturan-atur-an itu berAturan-atur-aneka ragam dAturan-atur-an bersifat
garis besar dan sering tidak tepat. Seperti yang kita ketahui sekarang, misalnya, bahwa luas setiap segitiga adalah setengah hasil kali alas dan tingginya. Orang Mesir secara salah memberikan ukuran luas segitiga ini sebagai setengah hasil kali alasnya dengan sebuah sisi. Sebagian besar dari segitiga-segitiga yang panjang dan sempit, dan dalam segitiga seperti itu tidak terdapat perbedaan antara panjang sisi dan tingginya. Oleh karena itu, hasil dari perhi-tungan orang Mesir berguna sekali sebagai dasar pembagian tanah dan penarikan pajak terhadap pemi-liknya.
Geometri Menjadi Sebuah Disi-plin Ilmu.
Orang Yunani menamakan pengukur tanah bangsa Mesir zaman dahulu para geometer atau pengukur tanah. Geometri berasal dari bahasa Yunani ‘ge’ artinya tanah dan ‘metria’ artinya ukuran. Pengukur tanah menemukan banyak fakta tentang segitiga, bujur-sangkar, em-pat persegi panjang, dan bahkan
lingkaran. Fakta ini menjadi ilmu yang oleh orang Yunani disebut ‘geometri’ atau ‘ilmu tentang ukuran tanah’. Geometri dewasa ini lebih luas daripada tahap awalnya, tetapi ilmu ini masih menyangkut ukuran, bentuk, dan kedudukan benda-benda.
Orang Yunani membuat kema-juan penting dalam bidang geometri. Mereka tidak hanya mengoreksi aturan-aturan orang Mesir yang sa-lah, tetapi juga mempelajari berba-gai bentuk geometri agar dapat menyusun hubungan-hubungannya. Thales, seorang ahli matematika Yunani yang hidup kira-kira 2500 tahun yang lalu, menemukan bahwa setiap garis tengah ditarik dalam sebuah lingkaran akan membagi lingkaran menjadi dua buah sete-ngah lingkaran. Dia juga mengamati bahwa jika 2 garis lurus memotong satu sama lain, maka sudut yang bertolak belakang selalu sama, tidak menjadi soal sudut apapun yang dibentuk oleh garis itu. Hal ini merupakan permulaan perhitungan angka-angka untuk menghitung
tanah milik mereka, bukan untuk penggunaan secara praktis. Orang Yunani mengubah geometri dari pengkajian tentang hubungan antara bagian dari bentuk-bentuk yang ada dalam ruang. Hal ini yang sekarang dimaksud dengan geometri.
Setelah Thales, ahli matematika Yunani yang lain menemukan dan membuktikan fakta-fakta tentang bentuk-bentuk geometri. Mereka mengemukakan fakta-fakta itu dalam pernyataan-pernyataan yang disebut dalil atau teorema. Mereka juga menciptakan berbagai alat untuk menggambar bentuk. Biasa-nya, alat-alat yang diperbolehkan dalam pengkajian geometri secara formal adalah penggaris yang tidak diberi tanda, untuk menggambar garis lurus, dan jangka untuk meng-gambar lingkaran dan memindahkan ukuran.
Orang Yunani mengemukakan berbagai soal konstruksi, untuk dipecahkan hanya menggunakan penggaris dan jangka.Di antara soal-soal ini adalah sebagai berikut :
1. Membuat suatu bujur sangkar yang luasnya tepat sama dengan luas sebuah lingkaran yang diketahui, biasa disebut mem-bujursangkarkan lingkaran. 2. Membuat sisi sebuah kubus
yang sisinya akan tepat 2 kali lipat isi kubus diketahui, biasa disebut menduplikasikan kubus. 3. Membuat sebuah sudut yang
besarnya sama dengan sepertiga besar suatu sudut yang diketa-hui, biasa disebut membagi tiga sudut.
Selama lebih dari 20 abad, ahli matematika berusaha memecahkan soal itu, tanpa berhasil. Akhirnya, dalam abad XIX dibuktikan bahwa kita tidak mungkin membujur-sang-karkan lingkaran, menduplikasikan kubus, atau membagi tiga sebuah sudut. Kita mungkin membuat ketiga kontruksi ini dengan alat yang dirancang secara khusus. Kontruksi sedemikian itu termasuk dalam bidang geometri tinggi.
Geometri Sebagai Suatu Sistem Deduktif
Telah disebutkan di atas bahwa geometri menurut sejarahnya tum-buh pada zaman sebelum Masehi karena keperluan pengukuran tanah setiap kali sesudah sungai Nil di Mesir banjir. Dalam Bahasa Indo-nesia Geometri diterjemahkan seba-gai ilmu Ukur. Geometri dapat didefinisikan sebagai cabang Mate-matika yang mempelajari titik, garis, bidang dan benda-benda ruang serta sifat-sifat-nya, ukuran-ukurannya dan hubungannya satu sama lainnya. Jadi, Geometri dapat dipandang sebagai suatu studi yang mempe-lajari tentang ruang phisik.
Kita telah mengetahui apa yang disebut garis, segitiga, jajaran gen-jang, persegi pangen-jang, bujur sang-kar, belah ketupat, trapezium, kubus, bola, kerucut, prisma dan sebagainya. Bangun-bangun atau benda-benda itu perlu didefinisikan dan untuk mendefinisikan sesuatu diperlukan pengertian-pengertian se-belumnya. Jadi, tidak mungkin semuanya didefinisikan. Untuk
menghindari lingkaran dari definisi perlu adanya pengertian-pengertian pangkal atau unsur-unsur yang tidak didefinisikan.
Contoh dari suatu lingkaran definisi: Titik adalah perpotongan dua garis. Garis adalah penghubung dua titik.
Suatu definisi harus dapat dinyatakan dalam bentuk kalimat yang memuat “bila dan hanya bila” atau dapat dibalik misalnya :
Suatu segitiga sama sisi adalah suatu segitiga yang ketiga sisinya sama.
Ini harus berarti :
Jika suatu segitiga sama sisi, maka ketiga sisinya sama.
Jika suatu segitiga sisinya sama, maka segitiga itu sama sisi.
Mengingat perlu adanya unsur-unsur yang tidak didefinisikan, maka tidak semua relasi dapat dide-finisikan. Jadi harus ada relasi yang tidak didefinisikan. Unsur-unsur dan relasi-relasi yang tidak didefinisikan disebut pengertian pangkal.
Geometri dapat dipandang seba-gai suatu sistem deduktif. Dalam suatu sistem deduktif harus ada
pengertian-pengertian pangkal, yaitu unsur-unsur dan relasi-relasi yang tidak didefinisikan. Masih diperlu-kan pula definisi-definisi dari unsur-unsur lain dengan menggunakan pengertian pangkal tersebut.
Definisi memungkinkan kita memberi nama pada unsur-unsur se-hubungan dengan pengertian pang-kal itu. Selain itu harus ada relasi-relasi atau pernyataan yang dapat diterima tanpa bukti yang dina-makan sebagai asumsi atau aksioma atau postulat. Relasi-relasi lainnya yang dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi atau postulat-postulat itu dinamakan dalil atau teorema.
Proses untuk mendapatkan atau menurunkan suatu dalil dari him-punan pengertian pangkal, definisi dan postulat disebut suatu deduksi. Jadi, sistem deduktif mempunyai sejumlah pengertian pangkal, defi-nisi, postulat, dan teorema-teorema. Gambaran sistem deduktif dapat disajikan sebagai berikut:
Pengertian pangkal
Definisi Postulat (aksioma) Dalil
Dalil
Definisi Postulat (aksioma) Dalil
Dan seterusnya
Dalam Geometri sebagai suatu sistem deduktif himpunan postulat itu dipandang sebagai “aturan permainan”.
Himpunan postulat harus kon-sisten, artinya tidak boleh ada 2 pernyataan yang bertentangan. Demikian pula tidak boleh ada 2 dalil yang bertentangan. Demikian pula tidak boleh ada 2 dalil yang bertentangan yang diturunkan dari himpunan postulat itu.
Dalam Geometri harus hanya ada satu presentasi yang memenuhi satu himpunan postulat itu atau jika ada dua, tentu keduanya harus isomorphic. Dikatakan himpunan postulat itu harus “categorical”.
Dalam Geometri kita akan memperhatikan kesimpulan-kesim-pulan dan akibat-akibat dari him-punan postulat itu dan tidak memperhatikan artinya dalam ruang hidup kita.
Geometri Euclides
Geometri yang pertama-tama dapat dipandang sebagai suatu sistem deduktif adalah Geometri dan Euclides. Geometri Euclides ini bertahan selama hampir 2000 tahun.
Matematikawan yang bernama Euclides ini berasal dari Alek-sandria. Euclides hidup kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Dia menulis bukunya sebanyak 13 buah dengan mengumpulkan materinya dari beberapa sumber dan dari tokoh-tokoh sebelumnya. Euclides adalah penulis dan penyusun buku yang sangat luar biasa, bukunya
disebut “The Elements” atau “Euclid’s Elements” yang dapat diterjemahkan ke dalam Bahasa Indonesia sebagai “Unsur-unsur Euclides”.
Buku-buku Euclides itu adalah sebagai berikut :
Enam buah bukunya yang pertama membicarakan tentang segitiga, segiempat, lingkaran, segibanyak, perbandingan dan kesebangunan. Empat buah buku berikutnya membicarakan ilmu bilangan satu buah buku (yang ke 11) memper-kenalkan geometri ruang yang berhubungan dengan buku yang pertama. Buku yang ke 12 adalah sebuah buku membahas limas, kerucut dan tabung. Satu buah bukunya lagi yaitu yang ke-13 membicarakan bidang banyak beraturan dan memberikan kon-truksi dari benda-benda”platonic” atau benda-benda ‘cosmic’. Benda-benda ini disebut Benda-benda “cosmic” karena menurut teori Plato ada hubungan antara kubus dan tanah, bidang empat (tetrahedron) dan api, bidang delapan (octahedron) dan
udara, bidang dua puluh (tetra-hedron) dan air, dan ada yang menambahkan bidang dua belas (dedecahedron) dan ether.
Euclides, dalam bukunya yang pertama mulai dengan 23 definisi, 5 postulat, 5 aksioma dan 48 dalil. Euclides membedakan antara pos-tulat dan aksioma, pospos-tulat berlaku khusus untuk sains tertentu dan aksioma berlaku untuk umum.
Definisi-definisi sebanyak 23 itu dapat disajikan sebagai berikut: 1. Titik adalah yang tidak
mempu-nyai bagian.
2. Garis adalah panjang tanpa le-bar.
3. Ujung-ujung suatu garis adalah titik.
4. Suatu garis lurus adalah suatu garis yang terletak rata dengan titik-titik padanya.
5. Suatu bidang adalah yang hanya mempunyai panjang dan lebar. 6. Ujung-ujung suatu bidang
ada-lah garis.
7. Suatu bidang datar adalah suatu bidang yang terletak rata dengan garis-garis padanya.
8. Suatu sudut datar adalah inklinasi (kemiringan) sesame-nya dari dua garis dalam suatu bidang datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis lurus. 9. Dan jika garis-garis yang memuat
sudut itu lurus, maka sudut itu disebut sudut garis lurus.
10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang bersisian sama, masing-masing sudut ini disebut siku-siku dan garis yang berdiri pada garis lainnya tadi disebut tegak lurus pada garis yang lain.
11. Suatu sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudur siku-siku.
12. Suatu sudut lancip adalah yang lebih kecil dari suatu sudut siku-siku.
13. Suatu batas adalah ujungnya (akhirnya) sesuatu.
14. Suatu bangun adalah sesuatu yang termuat dalam suatu batas atau beberapa batas.
15. Suatu lingkaran adalah suatu bangun datar yang termuat
dalam suatu garis sedemikian, hingga semua garis lurus yang melalui satu titik dalam hubungan itu dan mengenai garis tadi sama panjangnya. 16. Dan titik itu disebut titik pusat
lingkaran.
17. Suatu garis tengah dari lingkar-an adalah sebarlingkar-ang garis lurus melalui titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dan garis semacam itu membagi dua sama lingkaran itu.
18. Suatu setengah lingkaran ada-lah bangun yang termuat dalam suatu garis tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis tengah itu. Titik pusat setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran. 19. Bangun-bangun garis lurus
ada-lah bangun-bangun yang termu-at dalam garis-garis lurus termu-atau dibatasi garis lurus. Bangun-bangun trilateral adalah yang dibatasi oleh tiga, quadrilateral dibatasi oleh empat dan multi-lateral dibatasi oleh empat dan
multilateral dibatasi oleh lebih dari empat garis.
20. Dari bangun-bangun trilateral (sisi tiga), suatu segitiga sama-sisi adalah yang mempunyai tiga sisi sama, suatu segitiga sama kaki adalah yang hanya dua sisinya sama dan suatu segitiga miring adalah yang semua sisinya tidak sama.
21. Selanjutnya dari bangun-bangun segitiga, suatu segitiga siku-siku adalah yang mempu-nyai suatu sudut siku-siku, suatu segitiga tumpul yang mempunyai suatu sudut tumpul dan suatu segitiga lancip adalah yang ketiga sudutnya lancip. 22. Dari bangun-bangun segiempat,
suatu bujur sangkar adalah yang sama sisi dan bersudut siku-siku, suatu empat persegi panjang adalah yang bersudut siku-siku, tetapi tidak samasisi, suatu belah ketupat adalah yang sama sisi, tetapi tidak bersudut siku-siku, suatu jajarn genjang adalah sama sisinya dan sudut-sudutnya yang berhadapan
sama, tetapi empat yang lain dari ini semua disebut trape-sium.
23. Garis-garis lurus sejajar atau parallel adalah garis-garis lurus yang terletak dalam suatu bidang datar dan jika diperpan-jang tak terbatas pada kedua arahnya tidak akan bertemu pada arah yang manapun.
Postulat-postulat sebanyak 5 buah dari Euclides itu dapat ditulis sebagai berikut:
Postulat 1 : Menarik garis lurus dari sebarang titik ke sebarang titik yang lain.
Postulat 2 : Memperpanjang suatu ruas garis secara kontinu menjadi garis lurus
Postulat 3 : Melukis lingkaran de-ngan sebarang titik pusat dan sebarang jarak.
Postulat 4 : Bahwa semua sudut siku-siku adalah semua sama.
Postulat 5 : Bahwa jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepi-hak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak
terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.
Postulat yang ke 5 ini dapat diberi keterangan sebagai berikut: k g
P1
Q2
Garis g memotong garis k dan l. Sudut P1 ditambah sudut Q2 kurang
dari dua sudut siku-siku. Jika garis k dan l diperpanjang akan berpotong-an di pihak tempat sudut P1 dan
sudut Q2 (dipihak kanan pada
gambar di atas).
Selanjutnya 5 buah aksioma dari Euclides dapat disajikan seba-gai berikut:
Aksioma 1 : Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lain juga sama. Aksioma 2 : Jika sesuatu yang sama
ditambah dengan
sesuatu yang sama, jumlahnya sama.
Aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya sama. Aksioma 4 : Benda-benda yang
berimpit satu sama lain, satu sama lain sama. Aksioma 5: Seluruhnya lebih besar
dari bagiannya.
Beberapa Kelemahan Geometri Euclides
Geometri Euclides mempu-nyai beberapa kelemahan. Beberapa kelemahan itu adalah:
Kelemahan 1 :Euclides berusaha untuk mendefinisikan semuanya dalam Geometri, sampai titik dan garis.
Jika kita memperhatikan defi-nisi Euclides yang pertama: “Titik adalah yang tidak mempunyai bagian, maka perlu didefinisikan apa yang dimaksud dengan bagian.
Dalam definisinya yang kedua: Garis adalah panjang tanpa lebar, maka perlu didefinisikan pula apa
yang dimaksud dengan panjang, apa pula yang dimaksud dengan lebar.
Demikian juga dalam beberapa definisinya yang lain. Tampak, bahwa memang harus ada penger-tian-pengertian pangkal.
Kelemahan 2 : Postulat yang keli-ma dari Euclides yang terkenal dengan nama postulat Parallel ter-lalu panjang, sehingga merisaukan para matematikawan.
Beberapa matematikawan me-nganggap, bahwa postulat yang kelima itu bukan postulat dan dapat dibuktikan dengan keempat postu-lat yang lain. Usaha untuk mem-buktikan postulat kelima ini ber-langsung sejak Euclides masih hidup kira-kira sekitar tahun 1820. Tokoh-tokoh yang berusaha untuk membuktikan ini antara lain Proclus dari Aleksadria (410–485), Girolamo Saccheri dari Italia (1607– 1733), Karl Friedrich gauss dari Jerman (1777–1855), Wolf-gang Bolyai (1802–1860) dan juga Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793–1856).
Usaha-usaha ini tidak ada yang berhasil dan tampak keunggulan Euclides, tetapi usaha ini mengaki-batkan ditemukannya Geometri lain yang sekarang disebut dengan geometri Non-Euclides.
Kelemahan 3 : Terdapat pada dalilnya atau proporsinya yang pertama yang berbunyi sebagai berikut. Pada suatu ruas garis dapat dilukis sesuatu segitiga sama sisi.
Misalkan AB ruas garis yang diketahui. Harus dilukis segitiga sama sisi pada garis AB.
Lukisan : Dengan titik A sebagai titik pusat dan jarak AB dapat dilukis lingkaran BCD (postulat 3). Demikian pula dengan titik B sebagai titik pusat dan jarak BA dapat dilukis lingkaran ACCE (postulat 3), dari titik C, yaitu titik potong kedua lingkaran itu dapat ditarik garis-garis lurus CA dan CB.
Bukti :
Karena titik A adalah titik pusat lingkatan CDB, maka AC sama dengan AB (definisi 15). Demikian pula, karena titik B titik pusat lingkaran ACE maka BC sama dengan BA (definisi 15). Tetapi CA juga terbukti sama dengan AB. Dan benda-benda yang sama dengan yang sama, satu sama lain sama (aksioma 1). Jadi juga CA sama dengan CB. Demikian juga ketiga garis CA, AB dan BC satu sama lain sama. Maka segitiga ABC sama sisi dan ini terlukis pada ruas garis AB.
Kelemahan dari dalil ini ada-lah, bahwa Euclides menganggap begitu saja bahwa kedua lingkaran itu berpotongan, tanpa mengguna-kan atau mendasarmengguna-kan pada suatu postulat. Untuk memperoleh titik
potong kedua lingkaran ini masih perlu menggunakan pertolongan prinsip kontinuitas.
Perkembangan Geometri
Materi Geometri Euclides di-kumpulkan dari beberapa sumber, maka dari geometri Euclides ini dapat diambil intinya yaitu berupa dua geometri yang berbeda dalam dasar logikanya, pengertian pangkal dan aksiomanya. Kedua geometri itu adalah Geometri Affine dan Geo-metri Absolut atau GeoGeo-metri Netral.
Geometri Affine pertama-tama diperkenalkan oleh Leon hard Euler dari Jerman (1707 – 1793). Dalam Geometri Affine garis sejajar tung-gal, sesuai dengan postulat Playfair, memegang peranan yang sangat penting. Karena dalam Geometri Affine ini lingkaran tidak pernah diukur, maka dapat dikatakan bahwa Geometri Affine mempunyai dasar postulat 1, 2 dan 5 dari postulat Euclides. Postulat 3 dan 4 tidak berarti sama sekali.
Geometri Absolut pertama kali diperkenalkan oleh Y. Bolyai (1802
A B
C
– 1860). Geometri Absolut ini didasarkan pada postulat 1, 2, 3, dan 4 dari Euclides dan me-lepaskan postulat yang ke 5 dari Euclides.
Jika kita perhatikan, maka Geometri Affine dan Geometri Absolut mempunyai dasar perseku-tuan dua postulat pertama dari Euclides. Ada pula inti dari teore-ma-teorema yang berlaku untuk Geometri Affine dan Geometri Absolut mempunyai dasar perse-kutuan dua postulat pertama dari Euclides. Ada pula inti dari teore-ma-teorema yang berlaku untuk Geometri Affine dan Geometri Absolut, yaitu pengertian keantaraan (“intermediacy”). Pengertian kean-taraan ini terkandung dalam definisi keempat dari Euclides. Definsi keempat dari Euclides itu adalah: Suatu garis lurus (ruas garis) adalah terletak rata dengan titik-titik pada-nya, atau Suatu garis lurus (ruas garis) adalah yang terletak rata antara ujung-ujungnya.
Pengertian ini memberikan kemung-kinan untuk memandang keantaraan sebagai pengertian pangkal yaitu
sebagai relasi yang tidak didefini-sikan. Pengertian ini dipergunakan untuk mendefinisikan ruas garis sebagai himpunan titik-titik antara dua titik yang diketahui. Kemudian ruas garis dapat diperpanjang menja-di garis tak berhingga. Jika B terle-tak antara A dan C, dapat dikatakan bahwa A, B dan C terletak berurutan pada garis itu.
Geometri yang menjadi dasar dari Geometri Affine dan Geometri Absolut ini disebut Geometri “Ordered” (Geometri Terurut), karena urutan-urutan memegang peranan penting. Geometri Terurut ini berdasarkan pada dua postulat yang pertama dari Euclides, tetapi penyajiannya lebih teliti.
Memperhatikan hal-hal di atas, maka Geometri Affine dan Geome-tri Absolut termuat dalam GeomeGeome-tri Teurut, sedangkan Geometri Eucli-des termuat dalam Geometri Affine dan Geometri Absolut.
Seperti telah ditulis di depan, bahwa Geometri Non – Euclides timbul karena para matematikawan berusaha untuk membuktikan
pos-tulat kelima dari Euclides. Geome-tri Euclides sebenarnya masih ber-dasarkan empat postulat pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada postulat kelimanya. Dengan demikian Geometri Non – Euclides termuat dalam Geometri Absolut.
Geometri Non – Euclides ada 2 macam. Yang pertama adalah yang ditemukan dalam waktu yang ham-pir bersamaan oleh 3 tokoh berlain-an dberlain-an masing-masing bekerja sen-diri. Tokoh-tokoh itu adalah Karl Friedrich Gauss dari Jerman, Yonos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Ivanovitch Lobachevsky dari Rusia. Geometri ini disebut Geo-metri hiperbolik atau terkenal juga dengan nama Geometri Loba-chevsky.
Geometri Non – Euclides yang kedua adalah Geometri yang dite-mukan oleh G.F.B. Bernhard Riemann (1826 – 1866) dari Jer-man. Geometri yang ditemukan oleh Riemann ini disebut Geometri Elliptik atau Geometri Riemann.
Felix Klien (1849 – 1925) dari Jerman mempunyai pendapat yang lain tentang Geometri. Ia
memberi-kan definisi Geometri sebagai berikut. Suatu Geometri didefini-sikan oleh suatu group dari trans-formasi-transformasi, jika definisi dan dalil-dalilnya yang berlaku untuk sifat-sifat dari bangunan itu “invariant” (tidak berubah) oleh transformasi-transformasi dari G, tetapi tidak “invariant” oleh trans-formasi dari group lain yang mana saja yang memuat G.
Kita telah mengenal berma-cam-macam transformasi antara lain translasi, rotasi, refleksi, refleksi geser, identitas dan dilatasi. Semua transformasi itu adalah anggota dari group transformasi-transformasi lainnya, misalnya transformasi affine, transformasi proyektif dan sebagainya, yang bukan anggota group transformasi Geometri Euclides.
Menurut pandangan Felix Klein tentang Geometri, maka dapat digambarkan ikhtisar sebagai beri-kut: Transformasi Geometri Eu-clides termuat dalam group transformasi Geometri Affine. Demikian juga group transformasi
Geometri Affine, group transforma-si Geometri Hiperbolik dan group transformasi Geometri Affine, group transformasi Geometri Elliptik masing-masing adalah suatu sub group dari group transformasi Geometri Proyektif dan yang tera-khir ini adalah suatu sub group dari group transformasi Topologi.
Topologi adalah cabang Geome-tri yang paling umum, tetapi yang termuda, yang sekarang masih terus berkembang. Topologi lahir pada tahun 1895, tokoh-tokohnya antara lain Leonhard Euler (1707–1893), dari Jerman, Henri Poincare (1854– 1912) dari Perancis dan George Cantor (1845 – 1918) dari Jerman.
Beberapa orang tokoh dari Geo-metri Proyektif antara lain Arthur Cayley (1821–1895) dari Inggris, Jean Victor Poncelet (1788–1867) dari Perancis dan K.G. Christian Von Christian Staudt (1798–1867) dari Jerman. Dapat dikatakan bahwa Geometri Proyektif mulai diakui se-bagai sistem formal yang berdiri pada tahun 1859.
Penutup
Geometri dapat dipandang seba-gai suatu sistem deduktif maka geo-metri dapat juga disebut suatu sains deduktif. Dalam geometri yang ber-awalkan pada pengertian pangkal, definisi dan postulat-postulat maka dapat diturunkan secara logis teore-ma-teorema dan seterusnya. Penger-tian pangkal, definisi dan postulat-postulat itu menentukan macamnya geometri.
Geometri Euclides mempunyai banyak kelemahan, sehingga seka-rang Geometri Euclides tidak dipan-dang lagi sebagai suatu sistem de-duktif yang baik. Walaupun demi-kian Geometri Euclides tetap meru-pakan suatu karya besar, dan telah bertahan selama 2000 tahun. Tanpa adanya Geometri Euclides mungkin juga tidak akan timbul geometri-geometri yang lain.
Geometri adalah suatu ilmu yang berkembang, jika semula ha-nya dikenal Geometri Euclides saja, maka dalam abad 20 ini sudah dikenal macam-macam geometri.
Daftar Pustaka
Coxecter, H.S.M. 1967. Intro-duction to Geometry. New York: John Wiley and Sons, Inc.
Meserve, Bruce E. 1959. Fun-damental Concepts of Geome-try. Massachusets: Addison-Weley Publishing Company, Inc.
Moeharti, Hw. 1986. Sistem-Sistem Geometri. Jakarta: Penerbit Karunika
Prenowitz, Walter: Jordan, Meyer. 1965. Basic Concepts of Geo-metry. London: Blais-dell Publishing Company.
Rawuh, 1988. Geometri. Jakarta: Penerbit Karunika
